삼각지붕

1. 개요

삼각지붕은 4개의 정삼각형, 3개의 정사각형, 1개의 정육각형을 면으로 가지는 다면체이다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체인 존슨의 다면체 중 하나이며, 세 번째 존슨의 다면체(J₃)로 분류된다. 삼각지붕은 대칭축을 가지며, 120° 및 240° 회전 시 대칭을 이루고, 쌍대다면체는 6개의 삼각형 면과 3개의 연꼴 면으로 구성된다. 사각뿔 및/또는 정팔면체와 함께 공간 테셀레이션을 이룰 수 있으며, 다른 다면체와 결합하여 다양한 형태를 만들 수 있다.

2. 공식

모든 면이 정다면체이고 변의 길이가 a인 경우, 부피(V)와 표면적(A)은 다음과 같다:

:$V=\backslash left(\backslash frac\{5\}\{3\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)\; a^3\backslash approx\; 1.17851...a^3$

:$A=\backslash left(3+\backslash frac\{5\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; \backslash right)\; a^2\backslash approx\; 7.33013...a^2$

삼각지붕의 높이 $h$는 다음과 같다:

:$h\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}\; a\backslash approx\; 0.82a$

3. 성질

삼각 큐폴라는 4개의 정삼각형, 3개의 정사각형, 1개의 정육각형으로 이루어져 있다. 밑면은 육각형이고, 4개의 삼각형 중 하나는 꼭대기에 있다. 모든 모서리의 길이가 같으면, 정삼각형과 육각형은 정다각형이 된다. 삼각형과 육각형 사이의 이각은 약 70.5°, 정사각형과 육각형 사이는 54.7°, 정사각형과 삼각형 사이는 125.3°이다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체는 존슨의 다면체이며, 삼각 큐폴라는 그중 하나로, 세 번째 존슨의 다면체($J\_\{3\}$)이다.

$a$를 삼각 큐폴라의 모서리 길이라고 하면, 표면적 $A$는 다음과 같이 4개의 정삼각형, 3개의 정사각형, 1개의 육각형의 면적을 더하여 계산할 수 있다.
:$$A\; =\; \backslash left(3+\backslash frac\{5\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; \backslash right)\; a^2\; \backslash approx\; 7.33a^2.$$
높이 $h$와 부피 $V$는 다음과 같다:
:$$\backslash begin\{align\}$$
h &= \frac{\sqrt{6}}{3} a\approx 0.82a, \\
V &= \left(\frac{5}{3\sqrt{2}}\right)a^3 \approx 1.18a^3.
\end{align}

꼭대기와 밑면의 중심을 통과하는 대칭축이 있으며, 전체 회전 각도의 1/3 및 2/3 회전했을 때 대칭을 이룬다. 육각형 밑면의 이등분선을 통과하는 수직 평면에 대해서도 거울 대칭을 이룬다. 따라서 피라미드 대칭을 가지며, 순환군 $C\_\{3\backslash mathrm\{v\}\}$의 차수는 6이다.

4. 쌍대다면체

삼각지붕의 쌍대다면체는 삼각형 면 6개와 연꼴 면 3개를 가진다.

5. 관련 다면체와 벌집

삼각지붕은 사각뿔 및/또는 정팔면체와 함께 공간 테셀레이션을 이룰 수 있다. 이는 정팔면체와 육팔면체가 공간을 채우는 것과 유사한 방식이다. 삼각 돔은 깎인 정팔면체의 구성에서 반구로 간주될 수 있다.

삼각 돔의 밑면에 정육각기둥을 붙이면 늘린 삼각 돔(J₁₈), 정반육각기둥을 붙이면 회전 늘린 삼각 돔(J₂₂)이 된다. 삼각 돔 두 개를 밑면끼리 붙이면 동상 쌍삼각 돔(J₂₇)이 된다. 만약 밑면끼리 60° 어긋나게 붙이면 깎은 정육면체가 된다. 깎은 사면체의 밑면에 삼각 돔을 붙이면 옆면 늘린 깎은 사면체(J₆₅)가 된다.

정사각 돔, 정오각 돔은 삼각 돔에서 밑면의 변의 개수를 늘린 형태이다. 삼각지붕은 사각지붕 3개를 붙여 동일평면 상의 면을 만들 수 있지만, 동일평면 상의 면이 존재하므로 존슨의 다면체는 아니다.