삼각지붕
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1. 개요
삼각지붕은 4개의 정삼각형, 3개의 정사각형, 1개의 정육각형을 면으로 가지는 다면체이다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체인 존슨의 다면체 중 하나이며, 세 번째 존슨의 다면체(J₃)로 분류된다. 삼각지붕은 대칭축을 가지며, 120° 및 240° 회전 시 대칭을 이루고, 쌍대다면체는 6개의 삼각형 면과 3개의 연꼴 면으로 구성된다. 사각뿔 및/또는 정팔면체와 함께 공간 테셀레이션을 이룰 수 있으며, 다른 다면체와 결합하여 다양한 형태를 만들 수 있다.
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삼각지붕 | |
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개요 | |
종류 | 존슨의 다면체 (J2 - J3 - J4) |
면의 수 | 8개 |
면의 종류 | 정삼각형 4개, 정사각형 3개, 정육각형 1개 |
모서리 수 | 15개 |
꼭짓점 수 | 9개 |
대칭군 | C3v |
꼭짓점 배열 | 6(3.4.6), 3(3.4.3.4) |
성질 | 볼록 |
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2. 공식
모든 면이 정다면체이고 변의 길이가 ''a''인 경우, 부피(V)와 표면적(A)은 다음과 같다:[11]
삼각 큐폴라는 4개의 정삼각형, 3개의 정사각형, 1개의 정육각형으로 이루어져 있다. 밑면은 육각형이고, 4개의 삼각형 중 하나는 꼭대기에 있다. 모든 모서리의 길이가 같으면, 정삼각형과 육각형은 정다각형이 된다.[1] 삼각형과 육각형 사이의 이각은 약 70.5°, 정사각형과 육각형 사이는 54.7°, 정사각형과 삼각형 사이는 125.3°이다.[2] 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체는 존슨의 다면체이며, 삼각 큐폴라는 그중 하나로, 세 번째 존슨의 다면체()이다.[3]
삼각지붕의 쌍대다면체는 삼각형 면 6개와 연꼴 면 3개를 가진다.
삼각지붕은 사각뿔 및/또는 정팔면체와 함께 공간 테셀레이션을 이룰 수 있다. 이는 정팔면체와 육팔면체가 공간을 채우는 것과 유사한 방식이다.[12] 삼각 돔은 깎인 정팔면체의 구성에서 반구로 간주될 수 있다.
[1]
논문
Regular-faced convex polyhedra
:
:
삼각지붕의 높이 는 다음과 같다:
:
3. 성질
를 삼각 큐폴라의 모서리 길이라고 하면, 표면적 는 다음과 같이 4개의 정삼각형, 3개의 정사각형, 1개의 육각형의 면적을 더하여 계산할 수 있다.[1]
:
높이 와 부피 는 다음과 같다:[4][1]
:
꼭대기와 밑면의 중심을 통과하는 대칭축이 있으며, 전체 회전 각도의 1/3 및 2/3 회전했을 때 대칭을 이룬다. 육각형 밑면의 이등분선을 통과하는 수직 평면에 대해서도 거울 대칭을 이룬다. 따라서 피라미드 대칭을 가지며, 순환군 의 차수는 6이다.[2]
4. 쌍대다면체
삼각지붕의 쌍대다면체 쌍대다면체의 전개도
5. 관련 다면체와 벌집
삼각 돔의 밑면에 정육각기둥을 붙이면 늘린 삼각 돔(J₁₈), 정반육각기둥을 붙이면 회전 늘린 삼각 돔(J₂₂)이 된다. 삼각 돔 두 개를 밑면끼리 붙이면 동상 쌍삼각 돔(J₂₇)이 된다. 만약 밑면끼리 60° 어긋나게 붙이면 깎은 정육면체가 된다. 깎은 사면체의 밑면에 삼각 돔을 붙이면 옆면 늘린 깎은 사면체(J₆₅)가 된다.
정사각 돔, 정오각 돔은 삼각 돔에서 밑면의 변의 개수를 늘린 형태이다. 삼각지붕은 사각지붕 3개를 붙여 동일평면 상의 면을 만들 수 있지만, 동일평면 상의 면이 존재하므로 존슨의 다면체는 아니다.-- --
참조
[2]
서적
Polyhedra
https://archive.org/[...]
Cambridge University Press
[3]
논문
2642. Unitary Construction of Certain Polyhedra
[4]
논문
Logical and Geometrical Distance in Polyhedral Aristotelian Diagrams in Knowledge Representation
2017
[5]
논문
Convex polyhedra with regular faces
[6]
논문
Area and volume of the Johnson solid
https://www.problema[...]
2020-09-08
[7]
서적
Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem
https://books.google[...]
Hindustan Book Agency
[8]
논문
Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms
https://www.helderma[...]
[9]
서적
Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry
https://books.google[...]
Springer
[10]
인용
Convex polyhedra with regular faces
[11]
웹사이트
Triangular cupola
http://www.wolframal[...]
2010-07-20
[12]
웹사이트
http://woodenpolyhed[...]
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