충실한 함자와 충만한 함자

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 망각 함자
- 4.2. 포함 함자
5. (∞, 1)-범주로의 일반화
참조

1. 개요

충실한 함자와 충만한 함자는 범주론에서 함자의 성질을 나타내는 개념이다. 함자 F: C → D에 대해, 충실한 함자는 F_X,Y가 단사인 경우를, 충만한 함자는 F_X,Y가 전사인 경우를 의미한다. 충실충만한 함자는 충실하면서 충만한 함자를 의미하며, 이는 F_X,Y가 전단사인 경우이다. 충실한 부분 범주는 포함 함자가 충만한 부분 범주를 말한다. 망각 함자는 충실하지만 충만하지 않은 함자의 예시이며, 아벨 군의 범주에서 군의 범주로 가는 포함 함자는 충실충만한 함수의 예시이다.

더 읽어볼만한 페이지

함자 - 자연 변환
자연 변환은 두 함자 사이의 사상으로, 모든 대상에 대해 사상을 포함하며, 사상에 대해 특정 조건을 만족시키고, 자연 동형 사상과 수직 및 수평 합성을 가지며 다양한 분야에 응용된다.
함자 - 함자 (수학)
함자는 범주 C와 D 사이의 관계를 정의하는 수학적 개념으로, C의 대상과 사상을 각각 D의 대상과 사상에 대응시키며 항등 사상과 사상의 합성을 보존하고 다양한 종류와 성질을 가지며, 대수적 위상수학 등에서 발전했다.

충실한 함자와 충만한 함자

2. 정의

국소적으로 작은 범주 $C$ 와 $D$ , 그리고 $C$ 에서 $D$ 로 가는 함자 $F$ 를 가정하자. $C$ 의 임의의 대상 $X$ 와 $Y$ 에 대해, 함자 $F$ 는 사상 집합 사이에 다음과 같은 함수를 유도한다.

: $F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))$

이 함수 $F_{X,Y}$ 의 성질에 따라 함자 $F$ 는 다음과 같이 분류된다.

'''충실하다'''(faithful)는 것은 모든 대상 $X, Y$ 에 대해 함수 $F_{X,Y}$ 가 단사 함수임을 의미한다.^[1]^[2]^[4]^[5]
'''충만하다'''(full)는 것은 모든 대상 $X, Y$ 에 대해 함수 $F_{X,Y}$ 가 전사 함수임을 의미한다.^[2]^[3]^[5]^[6]
'''충실충만하다'''(fully faithful^영어)는 것은 모든 대상 $X, Y$ 에 대해 함수 $F_{X,Y}$ 가 전단사 함수임을 의미한다.^[4]^[5]^[6] 즉, 충실하면서 동시에 충만한 경우이다.

또한, 범주

C

의 부분 범주

D

에 대하여, 만약 포함 함자(inclusion functor)

D\to C

가 충만한 함자라면,

D

를

C

의 '''충만한 부분 범주'''(full subcategory^영어)라고 한다. 참고로, 부분 범주의 포함 함자는 항상 충실한 함자이다.

2. 1. 충실 함자 (Faithful Functor)

국소적으로 작은 범주

C

와

D

, 그리고

C

에서

D

로 가는 함자

F: C \to D

를 생각해보자. 이 함자

F

는

C

의 임의의 두 대상

X

와

Y

에 대해, 사상들의 집합 사이에 다음과 같은 함수를 유도한다.

:

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

여기서

\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)

는 범주

C

에서 대상

X

로부터 대상

Y

로 가는 모든 사상들의 모임이고,

\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

는 범주

D

에서 대상

F(X)

로부터 대상

F(Y)

로 가는 모든 사상들의 모임이다.

함자

F

가 '''충실하다'''(faithful)는 것은

C

의 모든 대상

X

와

Y

에 대해 위에서 정의된 함수

F_{X,Y}

가 단사 함수인 경우를 의미한다.^[1]^[2]^[4]^[5] 다시 말해, 정의역

\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)

에 속하는 서로 다른 두 사상

f, g: X \to Y

(

f \neq g

)는 함자

F

에 의해 항상 서로 다른 사상

F(f), F(g): F(X) \to F(Y)

(

F(f) \neq F(g)

)으로 대응된다. 즉, 함자가 충실하다는 것은 서로 다른 사상들을 항상 서로 다른 사상들로 보낸다는 것을 뜻한다.

2. 2. 충만 함자 (Full Functor)

국소적으로 작은 범주

C

와

D

, 그리고

C

에서

D

로 가는 함자

F

를 생각하자. 함자

F

는

C

의 임의의 두 대상

X

와

Y

에 대해, 두 대상 사이의 사상들의 집합을 대응시키는 함수를 유도한다.

:

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

이때, 모든 대상

X

,

Y

에 대해 함수

F_{X,Y}

가 전사 함수일 경우, 함자

F

를 '''충만하다'''(full^영어)고 한다.^[2]^[3]^[5]^[6] 이는 함자

F

의 공역인 범주

D

에서,

F(X)

로부터

F(Y)

로 가는 모든 사상이 정의역 범주

C

의 어떤 사상

f: X \to Y

의 상

F(f)

로서 얻어질 수 있음을 의미한다.

범주

C

의 부분 범주

D

가 주어졌을 때, 만약 포함 함자(inclusion functor)

D \to C

가 충만한 함자라면,

D

를

C

의 '''충만한 부분 범주'''(full subcategory^영어)라고 부른다. (부분 범주의 포함 함자는 항상 충실한 함자이다.)

2. 3. 충실충만 함자 (Fully Faithful Functor)

C와 D가 국소적으로 작은 범주이고 범주라 하자. F가 C에서 D로 가는 함자라고 할 때, 이 함자 F는 C의 임의의 대상 X와 Y에 대해, 사상 집합 사이의 함수

:

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

를 유도한다.

함자 F가 '''충실충만하다'''(忠實充滿, fully faithful^영어)는 것은 C의 각 대상 X와 Y에 대해, 함수

F_{X,Y}

가 전단사 함수인 경우를 말한다.^[4]^[5]^[6] 즉, 함자 F가 충실하면서 동시에 충만하다는 것을 의미한다.

3. 성질

충실한 함자는 대상이나 사상에 대해 단사일 필요는 없다. 즉, 서로 다른 두 대상 ''X''와 ''X''′이 범주 ''D''에서 같은 대상 ''F''(''X'') = ''F''(''X''′)으로 사상될 수 있다. 또한, (서로 다른 정의역이나 공역을 가진) 두 사상 ''f'' : ''X'' → ''Y'' 와 ''f''′ : ''X''′ → ''Y''′가 범주 ''D''에서 같은 사상 ''F''(''f'') = ''F''(''f''′)으로 사상될 수도 있다. 이것이 충실충만 함자의 치역이 반드시 원래 범주 ''C''와 동형일 필요가 없는 이유이다.

마찬가지로, 충만한 함자는 대상이나 사상에 대해 전사일 필요는 없다. 범주 ''D''에는, 범주 ''C''의 어떤 대상 ''X''에 대해서도 ''F''(''X'')의 형태가 아닌 대상이 존재할 수 있다. 그러한 대상들 사이의 사상은 분명히 범주 ''C''의 사상으로부터 올 수 없다.

그러나 충실하고 충만한 함자(충실충만 함자)는 동형 사상의 차이를 제외하고는 대상에 대해 단사여야 한다. 즉, 함자 ''F'' : ''C'' → ''D''가 충실하고 충만하며 ''F''(''X'') ≅ ''F''(''Y'') 이면, 반드시 ''X'' ≅ ''Y'' 이다.

4. 예시

망각 함자 ''U'' : '''Grp''' → '''Set'''는 군을 기본 집합으로 보내고 군 연산을 "잊어버리는" 함자이다. 이 함자 ''U''는 동일한 정의역과 공역을 가진 두 군 준동형사상이 기본 집합에서 동일한 함수이면 같기 때문에 충실하다. 그러나 군의 기본 집합 사이의 모든 함수가 군 준동형사상인 것은 아니므로 충만하지 않다(전사적이지 않다). '''Set'''으로 가는 충실한 함자를 가진 범주는 정의에 따라 구체적 범주이다. 일반적으로 이러한 망각 함자는 충만하지 않다.
'''Ab'''에서 '''Grp'''로 가는 포함 함자는 충만 충실하다. 이는 '''Ab'''가 아벨 군으로 이루어진 '''Grp'''의 전체 부분 범주이기 때문이며, 아벨 군 사이의 모든 군 준동형은 '''Grp'''에서도 그대로 보존된다.

4. 1. 망각 함자

망각 함자 ''U'' : '''Grp''' → '''Set'''는 군을 그 기저 집합으로 보내고 군 연산을 "잊어버리는" 함자이다. 이 함자 ''U''는 충실하다. 왜냐하면 정의역과 공역이 같은 두 군 준동형사상이 기저 집합 사이의 함수로서 동일하다면, 그 두 준동형사상 자체도 반드시 같기 때문이다.^[1]^[2] 그러나 이 함자는 충만하지 않다(전사적이지 않다). 왜냐하면 군의 기저 집합 사이의 모든 함수가 군 준동형사상인 것은 아니기 때문이다.^[1]^[2] '''Set'''으로 가는 충실한 함자를 가진 범주는 정의에 따라 구체적 범주라고 한다. 일반적으로 이러한 망각 함자는 충만하지 않다.^[1]^[2]
포함 함자 '''Ab''' → '''Grp'''는 충만 충실하다. 여기서 '''Ab'''는 아벨 군의 범주를 나타낸다. 이는 '''Ab'''가 아벨 군들로 이루어진 '''Grp'''의 전체 부분 범주이기 때문이다. 즉, 아벨 군 사이의 모든 군 준동형은 '''Grp'''에서도 그대로 보존된다.^[1]^[2]

4. 2. 포함 함자

아벨 군의 범주 '''Ab'''에서 군의 범주 '''Grp'''로 가는 포함 함자 '''Ab''' → '''Grp'''는 충실충만하다. 이는 '''Ab'''가 정의상 아벨 군들로 이루어진 '''Grp'''의 전체 부분 범주이기 때문이다. 다시 말해, 각각의 아벨 군은 유일한 군으로 사상되며, 아벨 군 사이의 모든 군 준동형은 '''Grp'''에서도 그대로 보존된다.

5. (∞, 1)-범주로의 일반화

함자가 '충실'하거나 '전사'하다는 개념은 (∞, 1)-범주의 개념으로 직접 번역되지 않는다. (∞, 1)-범주에서는 두 객체 사이의 사상이 호모토피까지 고려한 공간으로 주어진다. 단사적이거나 전사적이라는 개념은 호모토피 불변량이 아니기 때문에 (예를 들어, 실수로 포함된 구간과 점으로 사상되는 구간을 생각해보면 알 수 있다), "충실"하거나 "전사"적인 함자라는 개념은 (∞, 1)-범주에서는 의미를 가지기 어렵다.

그러나 준 범주의 함자 ''F''가 모든 대상 ''X''와 ''Y''에 대해, 사상 공간 사이의 유도된 사상 $F_{X,Y}$ 가 약한 동치일 경우, 이 함자 ''F''를 완전 충실(fully faithful)하다고 정의할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Mac Lane 1971
_[2] 서적 Jacobson 2009
_[3] 서적 Mac Lane 1971
_[4] 서적 Mac Lane 1971
_[5] 서적 Jacobson 2009
_[6] 서적 Mac Lane 1971

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com