카르티에 인자

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 효과적 인자
- 2.2. 카르티에 인자 유군
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

카르티에 인자는 국소환 달린 공간의 유리 함수층을 사용하여 정의되는 아벨 군층이다. 카르티에 인자층은 유리 함수층의 가역원층으로 정의되며, 카르티에 인자군은 카르티에 인자층의 대역 단면들의 아벨 군이다. 카르티에 인자는 카르티에 인자층의 대역 단면으로, 효과적 카르티에 인자와 카르티에 주인자로 구분된다. 카르티에 인자 유군은 카르티에 인자군을 카르티에 주인자로 나눈 몫군으로, 피카르 군의 부분군이다. 카르티에 인자는 선다발과 관련되며, 인자의 합은 선다발의 텐서곱에 해당한다. 이 개념은 1950년대 피에르 카르티에에 의해 도입되었으며, 특이점이 있는 공간에도 적용될 수 있다.

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카르티에 인자
일반 정보
종류	수학적 개념
분야	대수기하학
정의
정의	대수다양체 위의 국소적으로 주분인 가역층의 국소적 생성원
성질
성질	대수다양체의 선다발과 선형계를 정의하는 데 사용됨.
연관 개념	바일 인자 선형계 가역층

2. 정의

국소환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 의 유리 함수층 $\mathcal K_X$ 를 생각하자. 그렇다면 다음과 같은, 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

: $\underline 1\to\mathcal O^\times_X\to\mathcal K_X^\times\to\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times\to \underline 1$

여기서 $(-)^\times$ 는 가역원층을 뜻하며, $\underline1$ 은 자명군의 상수층이다.

$X$ 의 '''카르티에 인자층'''(Cartier主因層, sheaf of Cartier divisors^영어)은 다음과 같은 아벨 군층이다.

: $\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times$

$X$ 의 '''카르티에 인자군'''은 카르티에 인자층의 대역 단면들의 아벨 군, 즉

: $\operatorname{CaDiv}(X)=\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)$

이다. $X$ 의 '''카르티에 인자'''는 카르티에 인자층의 대역 단면, 즉 카르티에 인자군의 원소이다.^[1] 즉, 구체적으로 $X$ 의 카르티에 인자는 $X$ 의 열린 덮개 $\{U_i\}_{i\in I}$ 및 유리 함수 $\{f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)\}_{i\in I}$ 로 정의되며, 이 경우 임의의 $i,j\in I$ 에 대하여 만약 $U_i\cap U_j\ne\varnothing$ 이라면

: $f_i/f_j\in\Gamma(U_i\cap U_j;\mathcal O_X^\times)$

이어야 한다.

2. 1. 효과적 인자

'''효과적 카르티에 인자'''(效果的Cartier因子, effective Cartier divisor^영어)는 모노이드 준동형

:

\Gamma(X;\mathcal O_X\cap\mathcal K^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K^\times/\mathcal O_X^\times)

의 상에 속하는 카르티에 인자이다.^[2] 즉,

\{(U_i,f_i)\}_{i\in I}

로 나타내었을 때,

f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal O_X)\cap\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)

로 잡을 수 있는 카르티에 인자이다.^[1] 이 경우, 각

f_i

는 아이디얼 층

(f_i)

를 정의하며, 이는 여차원이 1인 부분 스킴을 정의한다.

2. 2. 카르티에 인자 유군

층의 짧은 완전열에 따라서, 다음과 같은 아벨 군의 긴 완전열이 존재한다.

:

1\to\Gamma(X;\mathcal O^\times_X)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\xrightarrow{(-)}\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)=\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)\to\cdots

'''카르티에 주인자'''(Cartier主因子, principal Cartier divisor^영어)는

(-)\colon\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)

의 상에 속하는 카르티에 인자이다.^[2] 이에 대한 몫군

:

\frac{\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)}{(\Gamma(X;\mathcal K_X^\times))}

을 '''카르티에 인자 유군'''(Cartier divisor class group^영어)이라고 한다.^[2]

완전열의 정의에 따라 카르티에 인자 유군은 피카르 군

\operatorname{Pic}(X)=\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)

의 부분군이며, 만약

\operatorname H^1(X;\mathcal K_X^\times)=1

이라면 카르티에 인자 유군은 피카르 군과 일치한다. 이것이 성립할 충분 조건은

X

가 축소 뇌터 스킴인 것이다.^[2]

3. 성질

정역 스킴 $X$ 에서 피카르 군 $\operatorname{Pic}(X)$ 은 가역층들의 동치류들로 구성되며, 카르티에 인자 유군은 피카르 군의 부분군이다. 따라서 카르티에 인자 $D$ 에 대응하는 선다발 $\mathcal L(D)$ (또는 가역층 $\mathcal O_X(D)$ )을 정의할 수 있으며, 인자의 합은 이 선다발의 텐서곱에 해당한다.

$X$ 의 열린 덮개 $(U_i)_{i\in I}$ 에 대하여, 선다발은 $U_i$ 와 $U_j$ 사이의 전이 사상(transition map^영어) $h_{ij}\colon U_i\cap U_j\to k^\times$ 들로 정의된다. 카르티에 인자

: $\{[f_i]\}_{i\in I}$

: $[f_i] \in \Gamma(U_i;\mathcal K_X/\mathcal O_X^\times)$

: $f_i \in \Gamma(U_i;\mathcal K_X) = \operatorname{Frac}(\Gamma(U_i;\mathcal O_X))$

가 주어졌을 때, 전이 사상들을

: $h_{ij} = \frac{\operatorname{res}_{U_i\cap U_j}^{U_i}f_i}{\operatorname{res}_{U_i\cap U_j}^{U_j}f_j}\in\Gamma(U_i\cap U_j\in\mathcal K_X)$

로 정의하면, 이는 전이 사상의 성질들 $h_{ij}h_{ji}=1$ , $h_{ij}h_{jk}h_{ki}=1$ 을 만족시킨다.

4. 역사

피에르 카르티에가 1950년대에 층 이론을 사용하여 베유 인자의 개념을 개량한 카르티에 인자를 도입하였다.^[3] 카르티에 인자는 특이점이 있는 공간에도 적용할 수 있다.^[3]

참조

_[1] 서적 Algebraic Geometry Springer
_[2] 서적 Algebraic geometry and arithmetic curves https://web.archive.[...] Oxford University Press 2006-06-29
_[3] 간행물 Questions de rationalité des diviseurs en géometrie algébrique http://www.numdam.or[...] 1958

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