카시니의 난형선

3. 방정식

만약 초점이 (''a'', 0)과 (−''a'', 0)이라면, 곡선의 방정식은 다음과 같다.

:((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2) = b^4

전개하면 다음과 같다.

:(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4 = b^4

이에 해당하는 극좌표 방정식은 다음과 같다.

:r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4

두 개의 정점 (-b, 0), (b, 0)에 대해, 동점 P(x, y)를 생각한다. 두 정점으로부터 P까지의 각각의 거리의 곱이 a^2인 P의 자취가 카시니의 난형선이 된다.

즉, \sqrt{(x+b)^2+y^2}\sqrt{(x-b)^2+y^2}=a^2 이 되고, 이 식의 양변을 제곱한 후 변형하면, 앞서 언급한 정의식을 얻을 수 있다.

4. 모양

이 곡선은 $e = b/a$ 값에 따라 모양이 달라진다. $e < 1$ 이면 두 개의 분리된 고리 모양이며, 각 고리 안에 초점이 하나씩 있다.^[2][3] $e = 1$ 이면 베르누이의 렘니스케이트가 되며, 원점에서 이중점(크루노드)을 갖는 옆으로 누운 8자 모양이다. $e > 1$ 이면 두 초점을 모두 포함하는 하나의 연결된 고리 모양이다. $1 < e < \sqrt{2}$ 일 때는 땅콩 모양이고, $e \geq \sqrt{2}$ 일 때는 볼록하다.^[4] $a \rightarrow 0$ ($e \rightarrow \infty$) 이면, 초점들이 서로 겹쳐 원이 된다.

이 곡선은 항상 $(\pm c, 0)$ 에서 x축과 만나며, 여기서 $c^2 = a^2 + b^2$ 이다. $e < 1$ 이면 두 개의 추가적인 실수 x절편이 있고, $e > 1$ 이면 두 개의 실수 y절편이 있으며, 나머지 x, y 절편은 모두 허수이다.^[5]

이 곡선은 무한대에서의 원점에서 이중점을 갖는 원형 대수 곡선이다. 이 점들은 이중 변곡점으로, 곡선이 이 점에서 두 개의 서로 다른 접선을 가지며 각 가지가 변곡점을 갖는다. 플뤼커 공식을 통해 $e \neq 1$ 인 경우의 플뤼커 수를 계산하면 차수 = 4, 클래스 = 8, 노드 수 = 2, 첨점 수 = 0, 이중 접선 수 = 8, 변곡점 수 = 12, 속 = 1 이다.^[6]

원점에서의 접선은 $x \pm iy = \pm a$ 로 주어지며, $(\pm a, 0)$ 에서 실수 교차점을 갖는다. 따라서 초점은 플뤼커가 정의한 의미에서의 초점이다.^[7] 원점은 변곡점이므로 삼중 초점이다. $e \neq 1$ 일 때 곡선은 클래스가 8이므로 총 8개의 실수 초점이 있어야 한다. 이 중 6개는 두 개의 삼중 초점으로 설명되고, 나머지 2개는 다음과 같다.

• $e<1$: $(\pm a \sqrt{1-e^4}, 0)$
• $e>1$: $(0, \pm a \sqrt{e^4-1})$

• $a < b$일 때: 두 개의 둥근 루프로 나뉜다. x축과 $(\pm\sqrt{a^2 + b^2},0), (\pm\sqrt{-a^2 + b^2},0)$의 4개 점에서 만난다.
• $a = b$일 때: 베르누이의 렘니스케이트가 된다. x축과 $(\pm\sqrt{a^2 + b^2},0), (0,0)$의 3개 점에서 만난다.
• $a > b$일 때: 하나의 루프로 이루어진다. x축과 $(\pm\sqrt{a^2 + b^2},0)$의 2개 점에서 만난다.

5. 성질

이 곡선은 $e = \frac{b}{a}$ 값에 따라 모양이 달라진다. $e < 1$일 때는 두 개의 분리된 루프(고리) 모양이며, 각 루프는 초점을 포함한다. $e = 1$일 때는 베르누이의 렘니스케이트가 되는데, 이는 원점에 이중점(특히, 크루노드)이 있는 옆으로 누운 숫자 8 모양이다.^[2][3] $e > 1$일 때는 두 초점을 모두 둘러싸는 하나의 연결된 루프가 된다. 이때, $1 < e < \sqrt{2}$이면 땅콩 모양이고, $e \geq \sqrt{2}$이면 볼록하다.^[4] $a \to 0$ (즉, $e \to \infty$)이 되면 초점들이 서로 일치하며 원이 된다.

이 곡선은 항상 $(\pm c, 0)$에서 $x$ 절편을 가지며, 여기서 $c^2 = a^2 + b^2$이다. $e < 1$일 때는 두 개의 추가적인 실수 $x$ 절편이 있고, $e > 1$일 때는 두 개의 실 $y$ 절편이 있으며, 다른 모든 $x$ 및 $y$ 절편은 허수이다.^[5]

이 곡선은 무한대에서의 원점에서 이중점을 갖는 원형 대수 곡선이다. 이 점들은 이중 변곡점으로, 곡선이 이 점에서 두 개의 서로 다른 접선을 가지며 곡선의 각 가지가 변곡점을 갖는다는 것을 의미한다. 이 정보와 플뤼커 공식을 통해 $e \neq 1$의 경우에 대한 플뤼커의 수를 추론할 수 있다. 즉, 차수 = 4, 클래스 = 8, 노드 수 = 2, 첨점 수 = 0, 이중 접선 수 = 8, 변곡점 수 = 12, 속 = 1이다.^[6]

원점에서의 접선은 $x \pm iy = \pm a$로 주어지며, 이는 $(\pm a, 0)$에서 실제 교차점을 갖는다. 따라서 초점은 실제로 플뤼커가 정의한 의미에서의 초점이다.^[7] 원점은 변곡점이므로 이는 삼중 초점이다. $e \neq 1$일 때 곡선은 클래스 8을 가지며, 이는 총 8개의 실제 초점이 있어야 함을 의미한다. 이 중 6개는 두 개의 삼중 초점에서 설명되었고, 나머지 2개는 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\left(\pm a \sqrt{1-e^4}, 0\right) &\quad (e<1), \\

\left(0, \pm a \sqrt{e^4-1}\right) &\quad (e>1).

\end{align}

따라서 추가적인 초점은 곡선이 두 개의 루프를 가질 때는 $x$축에 있고, 곡선이 단일 루프를 가질 때는 $y$축에 있다.^[8]

x축과 y축에 대해 선대칭이다.

• $a < b$일 때: 두 개의 둥근 루프로 나뉜다. 이때, $(\pm\sqrt{a^2 + b^2},0), (\pm\sqrt{-a^2 + b^2},0)$의 4개 점에서 x축과 교차한다.
• $a = b$일 때: 베르누이의 렘니스케이트가 된다. 이때, $(\pm\sqrt{a^2 + b^2},0), (0,0)$의 3개 점에서 x축과 교차한다.
• $a > b$일 때: 하나의 루프로 이루어진다. 이때, $(\pm\sqrt{a^2 + b^2},0)$의 2개 점에서 x축과 교차한다.

6. 직교 궤적

• 카시니 난형선은 다음 방정식을 가진다.

• 중심 $(0,\; 0)$을 가지면서 $(1,\; 0),\; (-1,\; 0)$을 포함하는 등변 쌍곡선(점근선이 직각)은 다음 방정식으로 설명할 수 있다.

7. 토러스와의 관계

카시니 난형선은 토러스의 평면 절단면으로 나타나지만, 절단면이 토러스의 축과 평행하고 축과의 거리가 생성 원의 반지름과 같을 때만 나타난다.

8. 일반화

카시니의 방법은 임의의 수의 정의점을 가진 곡선 및 표면으로 쉽게 일반화할 수 있다.

:$|PP\_1|\; \backslash times\; |PP\_2|\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; |PP\_n|\; =\; b^n$

위 식은 평면의 경우 음함수 곡선을, 3차원 공간의 경우 음함수 곡면을 나타낸다.

참조

_[1] 문서 Cassini
_[2] 서적 Basset p. 163
_[3] 문서 Lawden
_[4] 웹사이트 Cassini oval - Encyclopedia of Mathematics http://www.encyclope[...]
_[5] 서적 Basset p. 163
_[6] 서적 Basset p. 163
_[7] 서적 See Basset p. 47
_[8] 서적 Basset p. 164
_[9] 논문 Conics in the hyperbolic plane intrinsic to the collineation group http://link.springer[...] 2012-04
_[10] 웹사이트 曲線にはどんな種類があって、どう社会に役立っているのか（その９）－カッシーニの卵形線・レムニスケート等－ https://www.nli-rese[...] 2024-11-06