베르누이의 렘니스케이트

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1. 개요

베르누이의 렘니스케이트는 8자 모양을 가진 평면 곡선으로, 다양한 좌표계에서 표현될 수 있으며, 데카르트 좌표계 방정식, 극좌표 방정식, 매개변수 방정식 등이 있다. 렘니스케이트는 호의 길이 결정이 타원 적분으로 이어지며, 이를 역전시키는 타원 함수는 가우스에 의해 연구되었다. 렘니스케이트는 초점과 각도에 대한 특징을 가지며, 쌍곡선의 원 반전을 통해 얻을 수 있다. 렘니스케이트는 준 1차원 모델에서의 역학 연구에 응용된다.

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베르누이의 렘니스케이트
개요
베르누이 렘니스케이트
방정식	(x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2)
다른 방정식	r^2 = a^2 cos 2θ
종류	평면 대수 곡선
발견자	야코프 베르누이
정의
초점	F1, F2
초점 간 거리	2c
점	P
조건	PF1·PF2 = c^2
어원
렘니스케이트	라틴어 lemniscatus에서 유래 ("리본으로 장식된")

2. 방정식

베르누이의 렘니스케이트는 사용하는 좌표계에 따라 다양한 형태의 방정식으로 표현될 수 있다. 방정식은 주로 곡선의 반폭(半幅) $a$ 또는 초점까지의 거리 $c$ 를 매개변수로 사용하며, 이 두 값 사이에는 $a = c \sqrt{2}$ 의 관계가 성립한다.

렘니스케이트는 데카르트 좌표계, 극좌표계, 쌍극좌표계, 매개변수 방정식 등 다양한 방식으로 표현될 수 있으며, 각 좌표계에서의 구체적인 방정식 형태는 해당 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

이 외에도 복소 평면에서는 다음과 같이 표현된다.

$|z-c||z+c|=c^2$

유리 함수를 이용한 매개변수 표현도 가능하다.^[2]

$x = a \frac{t+t^3}{1+t^4}; \qquad y = a\frac{t-t^3}{1 + t^4}$

2. 1. 데카르트 좌표계

렘니스케이트의 방정식은 초점까지의 거리

c

또는 곡선의 반폭(半幅)

a

를 사용하여 나타낼 수 있다. 이 두 매개변수 사이에는

a = c \sqrt{2}

의 관계가 성립한다.

데카르트 좌표계에서 (이동 및 회전을 고려하지 않았을 때) 렘니스케이트의 방정식은 다음과 같이 표현된다.

\left(x^2 + y^2\right)^2 = a^2 \left(x^2 - y^2\right)

이 식은 초점 거리

c

를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

\left(x^2 + y^2\right)^2 = 2 c^2 \left(x^2 - y^2\right)

또한, 이 방정식을

y^2

에 대해 풀면 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

y^2 = \frac{a}{2} \left(\sqrt{a^2 + 8 x^2} - a\right) - x^2

2. 2. 극좌표계

렘니스케이트는 극좌표계에서 다음 방정식으로 표현할 수 있다.

r^2 = a^2 \cos{2\theta}

여기서 ''a''는 렘니스케이트의 반폭을 나타낸다.

2. 3. 쌍극좌표계

렘니스케이트는 쌍극좌표계에서 다음과 같은 방정식으로 표현될 수 있다.

:

rr' = \frac{a^2}{2}

여기서 ''r''과 ''r'''은 두 초점으로부터 곡선 위의 한 점까지의 거리를 나타내며, ''a''는 렘니스케이트의 반폭(곡선이 x축과 만나는 점의 x좌표 절댓값)을 의미한다.

또한, 초점 거리 ''c''(두 초점 사이 거리의 절반)를 사용하여 다음과 같이 표현하기도 하는데, 이는 이중심 쌍극 좌표 표현에 해당한다.

:

rr' = c^2

두 매개변수 ''a''와 ''c'' 사이에는

a = c\sqrt{2}

의 관계가 성립하므로, 위의 두 방정식은 동일한 곡선을 나타낸다. (

\frac{a^2}{2} = \frac{(c\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2c^2}{2} = c^2

)

2. 4. 매개변수 방정식

매개변수 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

x = \frac{a\cos t}{1 + \sin^2 t}; \qquad y = \frac{a\sin t \cos t}{1 + \sin^2 t}

3. 미분

베르누이의 렘니스케이트는 미분 가능한 곡선이다. 이 곡선은 x에 대한 y의 함수, 또는 y에 대한 x의 함수로 간주하여 각각의 미분값을 구할 수 있다.

3. 1. x에 대한 y의 함수로서의 미분

:

\frac{dy}{dx} = \begin{cases}\mbox{unbounded} & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\\pm1 & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x = 0 \\\frac{x(a^2 - x^2 - y^2)}{y(a^2 + x^2 + y^2)}  & \mbox{if } y \ne 0\end{cases}

:

\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}\mbox{unbounded} & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\0 & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x = 0 \\\frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3}  & \mbox{if } y \ne 0\end{cases}

3. 2. y에 대한 x의 함수로서의 미분

:

\frac{dx}{dy} = \begin{cases}\mbox{unbounded} & \mbox{if } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\\pm1 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0 \\\frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}   & \mbox{else }\end{cases}

:

\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases}\mbox{unbounded} & \mbox{if } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0 \\\frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3}  & \mbox{else }\end{cases}

4. 호의 길이와 타원 함수

18세기에 렘니스케이트 호의 호의 길이를 구하는 문제는 타원 적분이라는 새로운 수학적 개념의 발견으로 이어졌다. 이후 1800년경, C. F. 가우스는 이 타원 적분의 역함수인 타원 함수를 깊이 연구하였다. 비록 그의 연구 결과 대부분은 생전에 발표되지 않았으나, 그의 저서 ''산술 연구(Disquisitiones Arithmeticae)''의 주석에 관련 내용이 남아 있다.

렘니스케이트와 관련된 타원 함수는 그 주기 격자가 가우스 정수와 비례하는 독특한 성질을 지니는데, 이 때문에 제곱근 -1을 이용한 복소수 곱셈 구조를 갖는 타원 함수 이론의 특정 부분을 '렘니스케이트 케이스'(lemniscatic case^eng)라고 부르기도 한다. 렘니스케이트 호의 길이는 타원 적분을 통해 구체적으로 계산할 수 있으며, 관련 공식 또한 타원 적분으로 표현된다.

4. 1. 타원 적분

렘니스케이트 사인과 코사인은 렘니스케이트 호의 호의 길이와 한 끝점의 원점으로부터의 거리를 관련시킨다.

18세기에 렘니스케이트 호의 호의 길이를 구하는 과정에서 타원 적분이 등장했다. 1800년경 C. F. 가우스는 이 적분의 역함수인 타원 함수를 연구했다(가우스는 연구 결과 대부분을 발표하지 않았지만, 그의 저서 ''산술 연구(Disquisitiones Arithmeticae)'' 노트에 관련 내용이 언급되어 있다). 렘니스케이트와 관련된 타원 함수의 주기 격자는 가우스 정수와 비례하는 특별한 형태를 가진다. 이 때문에 제곱근 -1에 의한 복소수 곱셈 구조를 갖는 타원 함수를 일부 자료에서는 ''렘니스케이트 케이스(lemniscatic case)''라고 부르기도 한다.

렘니스케이트 사인 함수의 역함수인 타원 적분, 소위 '아크사인 렘니스케이트(arcsl)'는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{arcsl}x \stackrel{\text{def}} \int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}

이 적분을 사용하여, 렘니스케이트 곡선 전체의 길이 L은 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align} L &= 4\sqrt{2}\,c\int_{0}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} = 4\sqrt{2}\,c\,\operatorname{arcsl}1 \\[6pt] &= \frac{\Gamma (1/4)^2}{\sqrt\pi}\,c =\frac{2\pi}{\operatorname{M}(1,1/\sqrt{2})}c\approx 7{.}416 \cdot c \end{align}

여기서

\Gamma

는 감마 함수이고

\operatorname{M}

은 산술 기하 평균이며, c는 렘니스케이트의 정의에 사용된 상수이다.

4. 2. 렘니스케이트 타원 함수

18세기에 렘니스케이트 호의 호의 길이를 결정하는 문제는 타원 적분의 발견으로 이어졌다. 1800년경, C. F. 가우스는 이 타원 적분의 역함수인 타원 함수를 연구했다. 당시에는 대부분 발표되지 않았지만, 그의 저서 ''산술 연구''의 주석에 관련 내용이 언급되어 있다.

렘니스케이트와 관련된 타원 함수의 주기 격자는 가우스 정수에 비례하는 매우 특별한 형태를 가진다. 이러한 이유로 제곱근 -1에 의한 복소수 곱셈을 갖는 타원 함수의 경우를 '렘니스케이트 케이스'라고 부르기도 한다.

타원 적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{arcsl}x \stackrel{\text{def}} \int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}

이를 사용하여 렘니스케이트의 전체 호의 길이 L은 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align} L &= 4\sqrt{2}\,c\int_{0}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} = 4\sqrt{2}\,c\,\operatorname{arcsl}1 \\[6pt] &= \frac{\Gamma (1/4)^2}{\sqrt\pi}\,c =\frac{2\pi}{\operatorname{M}(1,1/\sqrt{2})}c\approx 7{.}416 \cdot c \end{align}

여기서

\Gamma

는 감마 함수이고

\operatorname{M}

은 산술 기하 평균이다.

5. 각도

두 개의 서로 다른 점 A와 B가 주어졌을 때, M을 선분 AB의 중점이라고 하자. 그러면 지름 AB의 렘니스케이트는 점 A, B, M과 |∠APM - ∠BPM|가 직각(90°)이 되는 점 P의 자취로 정의될 수 있다(이는 탈레스의 정리와 관련이 있다).^[3]

렘니스케이트에서 나타나는 각도에 대한 다음 정리는 독일 수학자 게르하르트 크리스토프 헤르만 베흐트만이 1843년 렘니스케이트에 관한 논문에서 설명한 것이다.^[4]

:* ''F''₁과 ''F''₂는 렘니스케이트의 초점이고, ''O''는 선분 ''F''₁''F''₂의 중점이며, ''P''는 선분 ''F''₁''F''₂ 밖에 있는 렘니스케이트 위의 임의의 점이다.

:* 점 ''P''에서 렘니스케이트에 그은 수직선(법선) ''n''은 선분 ''F''₁''F''₂와 점 ''R''에서 만난다.

:* 이때 삼각형 ''OPR''에서, 점 ''O''에서의 내각(∠''POR'')은 점 ''R''에서의 외각 크기의 3분의 1이다. 이는 각의 3등분 문제와 관련이 있다.

:* 또한, 점 ''P''에서의 내각(∠''OPR'')은 점 ''O''에서의 내각(∠''POR'') 크기의 두 배이다.

6. 추가 성질

중점 ''O''에서의 두 접선은 서로 수직이며, 각각 ''F''₁과 ''F''₂를 연결하는 선과 π/4의 각도를 이룬다.
표준 토러스의 내적 적도에 접하는 평면 단면은 렘니스케이트이다.

6. 1. 대칭성

렘니스케이트는 초점 ''F''₁과 ''F''₂를 연결하는 선에 대해 대칭이며, 선분 ''F''₁''F''₂의 수직 이등분선에 대해서도 대칭이다.
렘니스케이트는 선분 ''F''₁''F''₂의 중점에 대해 대칭이다.

6. 2. 면적

렘니스케이트로 둘러싸인 면적은 ''a''² = 2''c''²이다.

6. 3. 곡률

(x,y)

에서의 곡률은

{3\over a^2}\sqrt{x^2+y^2}

이다. 따라서

(\pm a,0)

에서 발생하는 최대 곡률은

3/a

이다.

6. 4. 반전 기하학

렘니스케이트는 반전 기하학에서 쌍곡선의 원 반전이며, 그 역도 성립한다.

7. 응용

렘니스케이트 및 더 일반화된 형태의 곡선에서의 역학은 준 1차원 모델 연구에 응용된다.

참조

_[1] 서적 How round is your circle? Where Engineering and Mathematics Meet How Round Is Your Ci[...] Princeton University Press
_[2] 논문 Parametrizing Algebraic Curves
_[3] 서적 The Number Pi American Mathematical Society
_[4] 서적 Geometry by Its History Springer

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