카프리카 수

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1. 개요
2. 카프리카 수의 정의 및 성질
3. 카프리카 수의 예시
- 3.1. 10진법 카프리카 수
- 3.2. 다양한 진법에서의 카프리카 수
4. 카프리카 수의 확장
- 4.1. 음의 정수로의 확장
5. 카프리카 수와 관련된 연구
참조

1. 개요

카프리카 수는 정수를 제곱하여 상위 부분과 하위 부분으로 나누어 합했을 때 원래의 수가 되는 수이다. 카프리카 수는 정의에 따라 두 가지 유형으로 나뉘며, 제곱 후 분할 방식과 자릿수 재배열 방식이 있다. 10진법에서 1, 9, 45, 55, 99 등이 카프리카 수에 해당하며, 9, 99, 999 등은 모두 카프리카 수이다. 또한, 카프리카 수는 다양한 진법으로 확장될 수 있으며, 음의 정수와 사교적인 카프리카 수로의 확장도 가능하다.

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카프리카 수
기본 정보
이름	카프리카 수
로마자 표기	Kapeurika su
영어 이름	Kaprekar number
다른 이름	카프리카 상수
명명자	D. R. 카프리카
정의
정의	어떤 진법에서 각 자릿수를 제곱의 합으로 만드는 과정을 반복할 때, 항상 특정 수에 도달하거나 특정 패턴을 반복하는 수
예시	45는 카프리카 수이다. 왜냐하면 45^2 = 2025이고, 20 + 25 = 45이기 때문이다.
예시 (10진법)
10진법 카프리카 수	1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 76440, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 175776, 176470, 263158, 278784, 499999, 500000, 505050, 521739, 528819, 531915, 582141, 598264, 601736, 617864, 621417, 736842, 741181, 748883, 758620, 761904, 806948, 818212, 838671, 871096, 923557, 925882, 999999, ...
성질
자명한 카프리카 수	기수 b에 대하여 1, b-1, b는 자명한 카프리카 수이다.
카프리카 수의 생성	임의의 자연수 n에 대하여, n을 10^k - 1의 배수 형태로 표현할 수 있다면 (단, 10^k > n), n은 카프리카 수이다.
카프리카 수의 분포	카프리카 수는 무한히 많으며, 그 분포는 매우 불규칙적이다.
활용
활용 분야	암호학, 난수 생성, 알고리즘 개발 등
관련 개념
관련 개념	카프리카 상수 (6174)

2. 카프리카 수의 정의 및 성질

카프리카 수는 주어진 수의 제곱을 둘로 나누어 더했을 때 원래의 수가 되는 수를 의미한다. 카프리카 수는 크게 두 가지 정의로 나눌 수 있다.

정의 1: 양의 정수를 제곱한 후, 상위 자릿수와 하위 자릿수로 나누어 더했을 때 원래 수가 되는 경우이다. 이때, 나누어진 두 수는 양수여야 한다. 예를 들어, 297은 297² = 88209이고, 88 + 209 = 297이 되므로 카프리카 수이다.^[9] 9, 99, 999처럼 ''10ⁿ'' - 1 꼴의 수는 모두 카프리카 수이다.

정의 2: 정수의 각 자릿수를 재배열하여 만들 수 있는 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차이가 원래의 수가 되는 경우이다. 이러한 수를 카프리카 상수라고도 부른다.^[11] 예를 들어, 6174는 각 자릿수를 재배열하여 7641 - 1467 = 6174를 만들 수 있으므로 카프리카 상수이다.

카프리카 수는 일반적인 수학적 정의로도 표현할 수 있다. 자연수 n, 밑 b > 1, 거듭제곱 p > 0에 대해 카프리카 함수 F_p,b(n) = α + β 로 정의된다. 여기서 β = n² mod b^p 이고, α = (n² - β) / b^p 이다. 만약 F_p,b(n) = n 이라면, n은 p-카프리카 수이다.

밑 $b$	거듭제곱 $p$	비자명 카프리카 수 $n \neq 0$ , $n \neq 1$	사이클
2	1	10	$\varnothing$
3	1	2, 10	$\varnothing$
4	1	3, 10	$\varnothing$
5	1	4, 5, 10	$\varnothing$
6	1	5, 6, 10	$\varnothing$
7	1	3, 4, 6, 10	$\varnothing$
8	1	7, 10	2 → 4 → 2
9	1	8, 10	$\varnothing$
10	1	9, 10	$\varnothing$
11	1	5, 6, A, 10	$\varnothing$
12	1	B, 10	$\varnothing$
13	1	4, 9, C, 10	$\varnothing$
14	1	D, 10	$\varnothing$
15	1	7, 8, E, 10
16	1	6, A, F, 10	$\varnothing$
2	2	11	$\varnothing$
3	2	22, 100	$\varnothing$
4	2	12, 22, 33, 100	$\varnothing$
5	2	14, 31, 44, 100	$\varnothing$
6	2	23, 33, 55, 100
7	2	22, 45, 66, 100	$\varnothing$
8	2	34, 44, 77, 100
2	3	111, 1000	10 → 100 → 10
3	3	111, 112, 222, 1000	10 → 100 → 10
2	4	110, 1010, 1111, 10000	$\varnothing$
3	4	121, 2102, 2222, 10000	$\varnothing$
2	5	11111, 100000
3	5	11111, 22222, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10
2	6	11100, 100100, 111111, 1000000
3	6	10220, 20021, 101010, 121220, 202202, 212010, 222222, 1000000
2	7	1111111, 10000000
3	7	1111111, 1111112, 2222222, 10000000
2	8	1010101, 1111000, 10001000, 10101011, 11001101, 11111111, 100000000	$\varnothing$
3	8	2012021, 10121020, 12101210, 21121001, 20210202, 22222222, 100000000	$\varnothing$
2	9	10010011, 101101101, 111111111, 1000000000

2. 1. 정의 1: 제곱 후 분할

297은 카프리카 수이다. 297² = 88209이고, 88 + 209 = 297이 되어 원래 수로 돌아간다. 여기서 나누어지는 두 수는 0으로 시작해도 되지만, 양수여야 한다.^[9] 예를 들어 999는 카프리카 수인데, 999² = 998001이고, 998 + 001 = 999가 되기 때문이다. 하지만 100은 카프리카 수가 아닌데, 100² = 10000이고 100 + 00 = 100이지만, 00은 양수가 아니기 때문이다.

처음 몇 개의 카프리카 수는 다음과 같다.^[9]

: 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, ...

9, 99, 999… 와 같이 ''10ⁿ'' - 1꼴의 수는 전부 카프리카 수이다.

카프리카 수는 양의 정수를 제곱하여, 상위와 하위의 0이 아닌^[8] 자릿수로 나누어 그 합을 구했을 때, 원래 값과 같아지는 수를 말한다.^[9]

정의 1의 카프리카 수는 무수히 많다. 예를 들어 9, 99, 999, 9999, 99999, … 처럼 "9"의 같은 숫자는 모두 카프리카 수이다.

2. 2. 정의 2: 자릿수 재배열 (카프리카 상수)

정수의 각 자리 숫자를 재배열하여 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차이를 구한다. 이 차이가 원래의 정수와 같아지는 수를 카프리카 수라고 부르며, '''카프리카 상수'''라고도 한다.^[11]

6174는 7641 - 1467 = 6174이므로, 이 정의에 따른 카프리카 수이다. 6174는 10진 4자리 숫자에서는 유일한 카프리카 상수이다. 3자리 숫자에서 유일한 카프리카 상수는 495이다.

카프리카 상수를 작은 순서대로 나열하면 0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, … 와 같다.^[11] 쉽게 알 수 있듯이, 카프리카 상수는 모두 9의 배수이다.

예를 들어, 첫 번째 수로 2005를 선택하고 위의 연산을 반복하면 다음과 같이 된다.

: 5200 - 0025 = 5175

: 7551 - 1557 = 5994

: 9954 - 4599 = 5355

: 5553 - 3555 = 1998

: 9981 - 1899 = 8082

: 8820 - 0288 = 8532

: 8532 - 2358 = 6174

: 7641 - 1467 = 6174

이후부터는 6174가 반복된다. 어떤 4자리 숫자라도 최종적으로 0 또는 6174가 되는 것을 확인할 수 있다(1111의 배수만 0이 되고, 나머지는 6174가 된다). 카프리카 본인은 4자리 숫자만 고찰했지만, 임의의 자릿수의 정수에 대해서도 같은 것을 생각할 수 있다. 어떤 자릿수의 정수는 유한 개이므로, 이 연산을 반복하면 최종적으로 반드시 루프가 된다. 루프의 주기가 1인 경우에, 그 정수를 카프리카 수라고 부르는 것이다.

이 정의의 카프리카 수는 무수히 많다. 예를 들어, 6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4 (중간에 나타나는 "3"과 "6"의 길이가 같은 것)는 모두 카프리카 수이다.

2005년에는 히라타 이쿠미가 31자리까지의 모든 카프리카 수를 계산하고, 그 분포를 고찰했다.

어떤 자릿수에 속하는 모든 수가, 이 연산으로 하나의 수가 될 때(일반적인 카프리카 수와 구분하여) 특히 "카프리카 상수"라고 부르면, 카프리카 상수는 3자리의 495와 4자리의 6174, 두 개뿐이라는 것이 1981년에 프리체트 등에 의해 제시되었다. 또한, 그들은 카프리카 수를 4가지 유형으로 분류했지만, 이 분류에는 일부 중복이 있었다.

2024년, 아라시야마 수학 연구회(주재 弥永健一)의 이와사키 하루오는, 어떤 자연수가 카프리카 수가 되기 위해서는, 그 자연수가 7종류의 수 495, 6174, 36, 123456789, 27, 124578, 09의 조합으로 구성되는 5종류의 집합 중 하나에 속할 필요충분조건을 만족하며, 이 5종류의 집합에 의한 새로운 분류가 프리체트 등의 분류의 수정을 포함한다는 것을 제시했다.

이에 따라, n자리 카프리카 수의 개수가, 2종류의 1차 방정식

:n=3x (x≧1), n=4+2x (x≧0)

또는 3종류의 1차 부정 방정식

:n=9x+2y (x≧1, y≧0) , n=9x+14y (x≧1 , y≧1) , n=6x+2y+9z+2u (x≧1 , y≧1 , z≧0 , u≧0)

중에서 성립 가능한 방정식의 정수 해 x~u의 개수와 일치하며, 그 해들은 n자리 카프리카 수를 모두 표현한다는 것이 밝혀졌다. 이로써, 정의 2의 카프리카 수에 대한 문제는, 구체적인 해를 얻음으로써 해결되었다.^[12]

또한, 루프 2 이상의 수에 대한 연구는 현재도 계속되고 있다.

2. 3. 일반적인 정의 (수학적 표현)

자연수

n

이 주어졌을 때, 밑

b > 1

및 거듭제곱

p > 0

에 대한 '''카프리카 함수'''

F_{p, b} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

는 다음과 같이 정의된다.

:

F_{p, b}(n) = \alpha + \beta

여기서

\beta = n^2 \bmod b^p

이고,

:

\alpha = \frac{n^2 - \beta}{b^p}

이다.

F_{p, b}(n) = n

이면, 즉

F_{p, b}

에 대한 고정점이면

n

을

p

-'''카프리카 수'''라고 한다.

0

과

1

은 모든

b

와

p

에 대한 '''자명한 카프리카 수'''이고, 다른 모든 카프리카 수는 '''비자명한 카프리카 수'''이다.

앞서 제시된 45의 예는

b = 10

이고

p = 2

일 때 이 정의를 만족한다.

:

\beta = 45^2 \bmod 10^2 = 25

:

\alpha = \frac{45^2 - 25}{10^2} = 20

:

F_{2, 10}(45) = 20 + 25 = 45

자연수

n

이

F_{p, b}

에 대한 주기점이고, 양의 정수

k

에 대해

F_{p, b}^k(n) = n

이며(

F_{p, b}^k

는

F_{p, b}

의

k

번째 반복임), 주기가

k

인 사이클을 형성하면,

n

은 '''사교적인 카프리카 수'''이다. 카프리카 수는

k = 1

인 사교적인 카프리카 수이고, '''우호적인 카프리카 수'''는

k = 2

인 사교적인 카프리카 수이다.

F_{p, b}^{i}(n)

이 고정점에 도달하는 데 필요한 반복 횟수

i

는

n

의 카프리카 함수의 지속성이고, 고정점에 도달하지 않으면 정의되지 않는다.

주어진 밑

b

에 대해

p

-카프리카 수와 사이클의 수는 유한하다. 왜냐하면

n = b^p + m

이고

m > 0

인 경우,

:

\begin{align}n^2 & = (b^p + m)^2 \\& = b^{2p} + 2mb^p + m^2 \\& = (b^p + 2m)b^p + m^2 \\\end{align}

이고

\beta = m^2

,

\alpha = b^p + 2m

이며,

F_{p, b}(n) = b^p + 2m + m^2 = n + (m^2 + m) > n

이기 때문이다. 오직

n \leq b^p

일 때만 카프리카 수와 사이클이 존재한다.

d

가

p

의 어떤 약수이면,

n

은 밑

b^p

에 대한

p

-카프리카 수이기도 하다.

밑

b = 2

에서 모든 짝수 완전수는 카프리카 수이다. 더 일반적으로, 자연수

n

에 대해

2^n (2^{n + 1} - 1)

또는

2^n (2^{n + 1} + 1)

형태의 모든 수는 밑 2에서 카프리카 수이다.

주어진 정수

N

에 대한 집합

K(N)

은 다음 디오판토스 방정식을 만족하는 자연수

A

와

B

가 존재하는 정수

X

의 집합으로 정의될 수 있다.^[1]

:

X^2 = AN + B

, 여기서

0 \leq B < N

:

X = A + B

그러면 밑

b

에 대한

n

-카프리카 수는 집합

K(b^n)

에 속하는 수이다.

2000년에^[1]

N - 1

의 단위 약수와 위에 정의된 집합

K(N)

사이에는 전단사 함수가 있음이 밝혀졌다.

\operatorname{Inv}(a, c)

를

a

의 곱셈 역원 모듈로

c

로 표시하고, 즉

am = 1 \bmod c

를 만족하는 가장 작은 양의 정수

m

이라고 하고, 각 단위 약수

d

에 대해

N - 1

을

e = \frac{N - 1}{d}

로,

\zeta(d) = d\ \text{Inv}(d, e)

로 한다. 그러면 함수

\zeta

는

N - 1

의 단위 약수 집합에서 집합

K(N)

으로의 전단사 함수이다. 특히, 수

X

가 집합

K(N)

에 속하려면

X = d\ \text{Inv}(d, e)

여야 하고, 여기서

d

는

N - 1

의 어떤 단위 약수이다.

K(N)

의 수는 상호 보완적인 쌍

X

와

N - X

로 나타난다.

d

가

N - 1

의 단위 약수이면

e = \frac{N - 1}{d}

도 단위 약수이며,

X = d\operatorname{Inv}(d, e)

이면

N - X = e\operatorname{Inv}(e, d)

이다.

3. 카프리카 수의 예시

297은 카프리카 수의 한 예이다. 297² = 88209이고, 88 + 209 = 297이 되기 때문이다. 이처럼, 어떤 양의 정수를 제곱한 후, 그 결과를 두 부분으로 나누어 더했을 때 원래의 수가 되는 경우, 그 수를 카프리카 수라고 한다. 이때 나누어지는 두 수는 0으로 시작해도 되지만, 양수여야 한다.^[8]

예를 들어 999는 카프리카 수인데, 999² = 998001이고, 이를 998과 001로 나누어 더하면 998 + 001 = 999가 된다. 하지만 100은 카프리카 수가 아닌데, 100² = 10000이고 100 + 00 = 100 이지만, 00은 양수가 아니기 때문이다.

9, 99, 999… 와 같이 ''10ⁿ'' - 1꼴의 수는 모두 카프리카 수이다.

카프리카 수는 주어진 정의에 따라 여러 진법에서 나타날 수 있다.

3. 1. 10진법 카프리카 수

297은 카프리카 수이다. 297² = 88209이고 이것은 88과 209로 나누어지는데, 88 + 209 = 297가 되어 원래의 수로 돌아가기 때문이다. 나누어지는 두 수는 0으로 시작해도 되지만, 양수여야 한다.^[8] 예를 들어, 999는 카프리카 수인데, 999² = 998001이고 998과 001로 나누면 998 + 001 = 999가 되기 때문이다. 하지만, 100은 카프리카 수가 아니다. 100² = 10000이고 100 + 00 = 100이지만, 00은 양수가 아니기 때문이다.

처음 몇 개의 카프리카 수는 다음과 같다.

: 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, ...

9, 99, 999… 와 같이 ''10ⁿ'' - 1꼴의 수는 전부 카프리카 수다. 양의 정수를 제곱하여, 상위와 하위의 0이 아닌^[8] 자릿수로 나누어 그 합을 구한다. 이 연산을 통해 원래 값과 같아지는 수를 카프리카 수라고 한다.^[9]

예를 들어, 297은 카프리카 수이다. 297² = 88209 이고, 이것을 상위 2자리 88과 하위 3자리 209로 나누어 더하면 88 + 209 = 297이 된다.

양의 정수의 제곱을, 상위와 하위의 자릿수를 거의 같게(자릿수가 같거나, 상위 자릿수보다 하위 자릿수가 1만큼 더 크게) 나눈다는 정의도 있다. 즉, 제곱이 짝수 자릿수(2n 자리)인 경우에는 상위의 n 자리와 하위의 n 자리로 나누고, 홀수 자릿수(2n+1 자리)인 경우에는 상위의 n 자리와 하위의 n+1 자리로 나누어, 상위와 하위의 합을 구한다. 4879와 5292는, 이 정의의 카프리카 수에는 포함되지 않는다.^[10]

:: 4879² = 23804641 이고, 238 + 04641 = 4879 이지만, 2380 + 4641 = 7021

:: 5292² = 28005264 이고, 28 + 005264 = 5292 이지만, 2800 + 5264 = 8064

정의 1의 카프리카 수는 무수히 많다. 예를 들어, 9, 99, 999, 9999, 99999, … 처럼 "9"의 같은 숫자는 모두 이 정의의 카프리카 수이다.

3. 2. 다양한 진법에서의 카프리카 수

밑 $b$	거듭제곱 $p$	비자명 카프리카 수 $n \neq 0$ , $n \neq 1$	사이클
2	1	10	$\varnothing$
3	1	2, 10	$\varnothing$
4	1	3, 10	$\varnothing$
5	1	4, 5, 10	$\varnothing$
6	1	5, 6, 10	$\varnothing$
7	1	3, 4, 6, 10	$\varnothing$
8	1	7, 10	2 → 4 → 2
9	1	8, 10	$\varnothing$
10	1	9, 10	$\varnothing$
11	1	5, 6, A, 10	$\varnothing$
12	1	B, 10	$\varnothing$
13	1	4, 9, C, 10	$\varnothing$
14	1	D, 10	$\varnothing$
15	1	7, 8, E, 10
16	1	6, A, F, 10	$\varnothing$
2	2	11	$\varnothing$
3	2	22, 100	$\varnothing$
4	2	12, 22, 33, 100	$\varnothing$
5	2	14, 31, 44, 100	$\varnothing$
6	2	23, 33, 55, 100
7	2	22, 45, 66, 100	$\varnothing$
8	2	34, 44, 77, 100
2	3	111, 1000	10 → 100 → 10
3	3	111, 112, 222, 1000	10 → 100 → 10
2	4	110, 1010, 1111, 10000	$\varnothing$
3	4	121, 2102, 2222, 10000	$\varnothing$
2	5	11111, 100000
3	5	11111, 22222, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10
2	6	11100, 100100, 111111, 1000000
3	6	10220, 20021, 101010, 121220, 202202, 212010, 222222, 1000000
2	7	1111111, 10000000
3	7	1111111, 1111112, 2222222, 10000000
2	8	1010101, 1111000, 10001000, 10101011, 11001101, 11111111, 100000000	$\varnothing$
3	8	2012021, 10121020, 12101210, 21121001, 20210202, 22222222, 100000000	$\varnothing$
2	9	10010011, 101101101, 111111111, 1000000000

4. 카프리카 수의 확장

카프리카 수는 주어진 정수의 각 자리 숫자를 재배열하여 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차이를 구했을 때, 원래의 정수와 같아지는 수를 말한다. 6174는 7641 - 1467 = 6174이므로 카프리카 수에 해당하며, 10진 4자리 숫자에서는 유일한 카프리카 상수이다. 3자리 숫자에서 유일한 카프리카 상수는 495이다.

카프리카 상수를 작은 순서대로 나열하면 0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, … 와 같다.^[11] 이들은 모두 9의 배수이다.

예를 들어 2005를 선택하여 연산을 반복하면 다음과 같이 6174가 반복된다.

: 5200 - 0025 = 5175

: 7551 - 1557 = 5994

: 9954 - 4599 = 5355

: 5553 - 3555 = 1998

: 9981 - 1899 = 8082

: 8820 - 0288 = 8532

: 8532 - 2358 = 6174

: 7641 - 1467 = 6174

어떤 4자리 숫자라도 최종적으로 0 또는 6174가 되는데, 1111의 배수만 0이 되고 나머지는 6174가 된다. 카프리카는 4자리 숫자만 고찰했지만, 임의의 자리수의 정수에 대해서도 같은 것을 생각할 수 있다. 이 연산을 반복하면 최종적으로 루프가 되며, 루프의 주기가 1인 경우 그 정수를 카프리카 수라고 부른다.

6174, 631764, 63317664, … 와 같이 중간에 나타나는 "3"과 "6"의 길이가 같은 수들은 모두 카프리카 수이다.

2005년 히라타 이쿠미는 31자리까지의 모든 카프리카 수를 계산하고 그 분포를 고찰했다. 1981년에 프리체트 등은 3자리의 495와 4자리의 6174, 두 개로 카프리카 상수가 한정된다는 것을 제시하였다. 또한 그들은 카프리카 수를 4가지 유형으로 분류했지만, 이 분류에는 일부 중복이 있었다.

2024년, 아라시야마 수학 연구회(주재 弥永健一)의 이와사키 하루오는, 어떤 자연수가 카프리카 수가 되기 위해서는, 그 자연수가 7종류의 수 495, 6174, 36, 123456789, 27, 124578, 09의 조합으로 구성되는 5종류의 집합 중 하나에 속할 필요충분조건을 만족하며, 이 5종류의 집합에 의한 새로운 분류가 프리체트 등의 분류의 수정을 포함한다는 것을 제시했다.

이에 따라, n자리 카프리카 수의 개수가, 2종류의 1차 방정식 n=3x (x≧1), n=4+2x (x≧0) 또는 3종류의 1차 부정 방정식 n=9x+2y (x≧1, y≧0) , n=9x+14y (x≧1 , y≧1) , n=6x+2y+9z+2u (x≧1 , y≧1 , z≧0 , u≧0) 중에서 성립 가능한 방정식의 정수 해 x~u의 개수와 일치하며, 그 해들은 n자리 카프리카 수를 모두 표현한다는 것이 밝혀졌다.^[12]

루프가 2 이상인 수에 대한 연구는 현재도 계속되고 있다.

4. 1. 음의 정수로의 확장

카프리카 수는 각 정수를 나타내기 위해 부호-숫자 표현을 사용하여 음의 정수까지 확장할 수 있다.

5. 카프리카 수와 관련된 연구

정수의 각 자리 숫자를 재배열하여 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차이를 구할 때, 이 차이가 원래의 정수와 같아지는 수를 카프리카 수라고 한다.('''카프리카 상수'''라고도 한다).^[11]

6174는 7641 - 1467 = 6174이므로 카프리카 수이다. 6174는 10진 4자리 숫자에서는 유일한 카프리카 상수이다. 3자리 숫자에서 유일한 카프리카 상수는 495이다. 카프리카 상수는 모두 9의 배수이다.

2005년 히라타 이쿠미는 31자리까지의 모든 카프리카 수를 계산하고 그 분포를 고찰했다.

1981년 프리체트 등은 카프리카 상수가 3자리의 495와 4자리의 6174 두 개뿐임을 제시하고, 카프리카 수를 4가지 유형으로 분류했다. 그러나 이 분류에는 일부 중복이 있었다.

2024년, 아라시야마 수학 연구회(주재 弥永健一)의 이와사키 하루오는 어떤 자연수가 카프리카 수가 되기 위한 필요충분조건을 제시하고, 5종류의 집합에 의한 새로운 분류가 프리체트 등의 분류의 수정을 포함한다는 것을 제시했다.^[12]

이에 따라, n자리 카프리카 수의 개수가,

2종류의 1차 방정식: n=3x (x≧1), n=4+2x (x≧0)
3종류의 1차 부정 방정식: n=9x+2y (x≧1, y≧0) , n=9x+14y (x≧1 , y≧1) , n=6x+2y+9z+2u (x≧1 , y≧1 , z≧0 , u≧0)

중에서 성립 가능한 방정식의 정수 해 x~u의 개수와 일치하며, 그 해들은 n자리 카프리카 수를 모두 표현한다는 것이 밝혀졌다. 이로써, 정의 2의 카프리카 수에 대한 문제는 구체적인 해를 얻음으로써 해결되었다.^[12]

루프 2 이상의 수에 대한 연구는 현재도 계속되고 있다.

참조

_[1] 인용
_[2] 학술지 217 Another Solitaire Game 1949-03
_[3] 서적 メイトリックス博士の驚異の数秘術紀伊國屋書店
_[4] 학술지 6174の不思議 http://yutaka-nishiy[...] 現代数学社 2006-01
_[5] 서적 数学、それは宇宙の言葉 : 数学者が語る50のヴィジョン岩波書店
_[6] 서적 NHK 算数大すき日本放送出版協会
_[7] 기타
_[8] 기타
_[9] OEIS
_[10] OEIS
_[11] OEIS
_[12] 학술지 History of the Fibonacci Quarterly https://doi.org/10.1[...] 1963-12

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