코크 곡선

3. 구성

코흐 곡선은 다음과 같은 방법으로 만들어진다.

1. 선분을 3등분한다.

2. 가운데 선분을 밑변으로 하는 정삼각형을 그리고, 아래 변을 지운다.

3. 위의 과정을 반복한다.

이 과정을 무한히 반복하면 코흐 곡선이 된다.

3. 1. 코흐 곡선 구성 단계

3. 2. 코흐 눈송이 구성

4. 성질

코흐 곡선은 자기유사성을 띠는 도형이다. 연속적인 곡선이지만, 모든 점에서 미분이 불가능하다.^[25] 하우스도르프 차원은 $\backslash bold\{log\}\_3\; 4\backslash approx\; 1.261$이다.

코흐 눈송이는 중앙에 큰 도형이 있고, 그 주위를 6개의 작은 도형이 둘러싸고 있는 모양으로, 7-rep 타일이다. 코흐 곡선의 프랙탈 차원은 $\backslash tfrac\{\backslash ln\; 4\}\{\backslash ln\; 3\}\; \backslash approx\; 1.26186$인데, 이는 1차원(선)보다는 크고 2차원(페아노의 공간 채움 곡선)보다는 작다. 또한, 곡선의 어느 점에서도 접선을 그릴 수 없다.

4. 1. 둘레

4. 2. 면적

4. 3. 기타 성질

• 자기유사성을 가지고 있다.
• 연속적이지만 모든 점에서 미분 불가능하다.
• 하우스도르프 차원은 $\backslash bold\{log\}\_3\; 4\backslash approx\; 1.261$이다.
• 코흐 눈송이의 회전체의 부피는 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 대칭축을 기준으로 할 때 $\backslash frac\{11\backslash sqrt\{3\}\}\{135\}\; \backslash pi$이다.^[10]
• 코흐 눈송이는 자기 복제 도형이며, 중앙의 더 큰 사본을 둘러싸는 6개의 작은 사본이 있다. 따라서, 이것은 irrep-7 irrep-타일이다 (자세한 내용은 Rep-타일 참조).
• 코흐 곡선의 프랙탈 차원은 $\backslash tfrac\{\backslash ln\; 4\}\{\backslash ln\; 3\}\; \backslash approx\; 1.26186$이다. 이는 선의 차원($=1$)보다 크지만, 페아노의 공간 채움 곡선의 차원($=2$)보다는 작다.
• 곡선의 어떤 점에서도 접선을 그리는 것은 불가능하다.

5. 변형

폰 코흐의 개념에 따라 코흐 곡선의 여러 변형이 설계되었으며, 직각(2차), 다른 각도(세사로), 원 및 다면체를 고려하고 이를 고차원으로 확장했다. 스피어플레이크(Sphereflake) 및 코흐큐브(Kochcube)가 그 예시이다.^[1]

변형 (차원, 각도)	그림	구성
≤1D, 60-90° 각도	150px 세사로 프랙탈(85°)	세사로 프랙탈은 60°와 90° 사이의 각도를 가진 코흐 곡선의 변형이다. 세사로 안티스노우플레이크의 처음 네 번의 반복(90° 사각형에 배열된 네 개의 60° 곡선)
≈1.46D, 90° 각도	150px 2차 유형 1 곡선	처음 두 번의 반복
1.5D, 90° 각도	150px 2차 유형 2 곡선	민코프스키 소시지[12] 450px 처음 두 번의 반복. 프랙탈 차원은 3/2이고, 차원 1과 2의 정확히 중간이다. 따라서 비정수 프랙탈 객체의 물리적 특성을 연구할 때 종종 선택된다.
≤2D, 90° 각도	세 번째 반복	민코프스키 섬 사각형에 배열된 네 개의 2차 유형 2 곡선
≈1.37D, 90° 각도	150px 2차 플래이크	450px 다각형에 배열된 4개의 2차 유형 1 곡선: 처음 두 번의 반복. "민코프스키 소시지"로 알려져 있으며,[13][14][15] 프랙탈 차원은 ln 3/ln √5 = 1.36521영어이다.[16]
≤2D, 90° 각도	2차 안티플래이크	안티십자수 곡선, 2차 플래이크 유형 1으로, 곡선이 바깥쪽이 아닌 안쪽을 향한다(빅섹 프랙탈).
≈1.49D, 90° 각도	150px 2차 십자	또 다른 변형. 프랙탈 차원은 ln 3.33/ln √5 = 1.49영어이다.
≤2D, 90° 각도	2차 섬[17]	2차 곡선, 반복 0, 1, 2; ln 18/ln 6 ≈ 1.61영어의 차원
≤2D, 60° 각도	150px 폰 코흐 표면	450px 2차원에서 코흐 곡선의 자연스러운 확장의 처음 세 번의 반복.
≤2D, 90° 각도	150px 2차 유형 1 3D 코흐 프랙탈의 첫 번째(파란색 블록), 두 번째(녹색 블록 추가), 세 번째(노란색 블록 추가) 및 네 번째(투명 블록 추가) 반복	2차 유형 1 곡선의 확장. 왼쪽의 그림은 두 번째 반복 후의 프랙탈을 보여준다. 300px 2차 표면 애니메이션
≤3D, 임의	150px 3D 코흐 곡선	코흐 곡선으로 구성된 3차원 프랙탈. 이 모양은 시에르핀스키 피라미드와 멩거 스펀지가 시에르핀스키 삼각형과 시에르핀스키 카펫의 확장으로 간주될 수 있는 것과 같은 의미에서 곡선의 3차원 확장으로 간주될 수 있다. 이 모양에 사용된 곡선 버전은 85° 각도를 사용한다.

사각형을 사용하여 유사한 프랙탈 곡선을 생성할 수 있다. 단위 사각형에서 시작하여 각 반복에서 각 변에 이전 반복의 사각형의 크기의 사각형을 추가하면, 둘레의 길이와 총 면적 모두 기하 급수적으로 결정될 수 있다. 면적에 대한 진행은 2로 수렴하는 반면, 둘레에 대한 진행은 무한대로 발산하므로, 코흐 눈송이의 경우와 마찬가지로 무한 프랙탈 곡선으로 둘러싸인 유한 면적을 갖는다.^[18] 결과 면적은 원래 사각형과 동일한 중심을 갖지만, 면적이 두 배이고 만큼 회전된 사각형을 채우고, 둘레가 서로 닿지만 겹치지 않는다.

n번째 반복에서 덮인 총 면적은 다음과 같다.

:

:

반면 둘레의 총 길이는 다음과 같다.

:

이는 n이 증가함에 따라 무한대로 접근한다.

5. 1. 함수화

• 로 스케일링:

• 로 스케일링하고, 회전:

• 로 스케일링하고, 회전:

• 로 스케일링:

스프레드시트 소프트웨어의 함수를 사용해도 동일한 계산을 수행할 수 있다.

6. 컴퓨터 생성

반복 함수계(IFS)를 사용하여 코흐 곡선을 생성할 수 있다^[20]。 코흐 곡선은 린덴마이어 시스템으로 표현할 수 있는데, 세부 사항은 다음과 같다.

• '''알파벳''': F
• '''상수''': +, −
• '''공리''': F
• '''생성 규칙''': F → F+F--F+F

• $t(n)\; =\; 0$이면, 한 단위 앞으로 이동한다.
• $t(n)\; =\; 1$이면, $\backslash tfrac\{\backslash pi\}\{3\}$ 각도만큼 시계 반대 방향으로 회전한다.

이러한 반복 함수는 C, 파이썬, Basic 등 다양한 프로그래밍 언어를 통해 구현할 수 있으며^[21], 순차적인 반복 계산을 통해 코흐 곡선을 그릴 수 있다. 또한, 각 반복 함수의 확률 인자를 설정하고^[22], 난수를 발생시켜 확률에 따라 함수를 선택하는 랜덤 알고리즘을 사용하여 코흐 곡선을 생성할 수도 있다^[23][24]。

스프레드시트 소프트웨어를 사용하여 동일한 계산을 수행할 수도 있다.

7. 응용

코흐 곡선은 자기 유사성을 가지는 프랙탈 구조의 대표적인 예시이며, 다양한 분야에 응용된다.

• 프랙탈 안테나: 코흐 곡선의 자기 유사성을 이용하여 안테나의 크기를 줄이면서도 성능을 향상시킬 수 있다.
• 자연 현상 모방: 해안선, 산맥, 나뭇가지 등 복잡한 자연 현상의 형태를 모방하는 데 사용될 수 있다.
• 컴퓨터 그래픽: 이미지 압축, 텍스처 생성 등 다양한 분야에 활용된다.
• 한국 전통 문양: 한국의 전통 문양이나 지형에서 코흐 곡선과 유사한 패턴이 발견되기도 한다.

참조

_[1] 서적 Fractals and Chaos: An Illustrated Course Institute of Physics 1997
_[2] 서적 Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures Princeton University Press 1991
_[3] 간행물 Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire https://babel.hathit[...]
_[4] 간행물 Une méthode géométrique élémentaire pour l’étude de certaines questions de la théorie des courbes planes https://projecteucli[...] 1906
_[5] 간행물 Who Invented von Koch’s Snowflake Curve? https://www.tandfonl[...] 2024-09-13
_[6] 서적 Mathematics and the imagination Dover Publications 2001
_[7] 간행물 Static friction between rigid fractal surfaces https://ses.library.[...]
_[8] 간행물 On the Lower Bound of the Hausdorff Measure of the Koch Curve 2003-10
_[9] 웹사이트 Koch Snowflake http://ecademy.agnes[...]
_[10] 간행물 The area, centroid and volume of revolution of the Koch curve https://pure.ulster.[...] 2020-04-16
_[11] 간행물 Fractal tilings
_[12] 문서 Paul S. Addison, ''Fractals and Chaos: An illustrated course'', p. 19, CRC Press, 1997
_[13] 웹사이트 Weisstein, Eric W. (1999). "[https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/m/m263.htm Minkowski Sausage]", ''archive.lib.msu.edu''
_[14] 웹사이트 Pamfilos, Paris. "[http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Minkowski.html Minkowski Sausage]", ''user.math.uoc.gr/~pamfilos/''
_[15] MathWorld Minkowski Sausage 2019-09-22
_[16] MathWorld Mandelbrot, B. B. (1983). ''The Fractal Geometry of Nature'', p.48. New York: W. H. Freeman 2019-09-22
_[17] 서적 Appignanesi, Richard; ed. (2006). ''Introducing Fractal Geometry'' Icon
_[18] 웹사이트 Demonstrated by [[James McDonald (writer)|James McDonald]] in a public lecture at KAUST University on January 27, 2013 http://www.kaust.edu[...] 2013-01-29
_[19] 서적 ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで 丸善出版
_[20] 웹사이트 Koch Curve http://larryriddle.a[...] 2020-02-18
_[21] 웹사이트 Koch curve - Rosetta Code https://rosettacode.[...] 2020-02-18
_[22] 웹사이트 ifs https://cs.lmu.edu/~[...] 2020-02-18
_[23] 문서 p370,"8 Application to Computer Graphics", Fractals Everywhere
_[24] 웹사이트 Fractal Geometry http://www.math.unio[...] 2020-02-18
_[25] 웹사이트 Koch Snowflake http://ecademy.agnes[...]