크로네커 곱

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 행렬 방정식
5. 응용
- 5.1. 다변량 통계
- 5.2. 기타 응용
6. 관련 행렬 연산
7. 역사
참조

1. 개요

크로네커 곱은 임의의 환 R 위의 두 행렬 M과 N으로부터 정의되는 블록 행렬이다. 크로네커 곱은 텐서 곱의 특수한 경우로, 쌍선형 연산자이며 결합 법칙이 성립한다. 크로네커 곱은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않지만, 순열 등가 관계를 갖는다. 크로네커 곱은 행렬 방정식 표현, 리야푸노프 방정식, 다변량 통계, 이미지 처리, FFT 알고리즘, 최소 제곱법, 핸드-아이 캘리브레이션 문제 등 다양한 분야에 응용된다. 관련 행렬 연산으로는 트레이시-싱 곱과 카트리-라오 곱이 있다. 크로네커 곱은 1858년 요한 게오르크 체푸스에 의해 처음 사용되었으며, 체푸스 행렬이라고 불리기도 했다.

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크로네커 곱

2. 정의

환 $R$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M$ 과 $p\times q$ 행렬 $N$ 이 주어졌다고 하자.

: $M=\begin{pmatrix}M_{11}&\dotsm&M_{1n}\\\vdots && \vdots \\M_{m1} & \dotsm & M_{mn}\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(m,n;R)$

: $N=\begin{pmatrix}N_{11}&\dotsm&N_{1q}\\\vdots && \vdots \\N_{p1} & \dotsm & N_{pq}\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(p,q;R)$

그렇다면, $M$ 과 $N$ 의 '''크로네커 곱''' $M\otimes N \in\operatorname{Mat}(mp,nq;R)$ 은 다음과 같은 성분을 갖는 $mp\times nq$ 행렬이다.

: $M\otimes N =\begin{pmatrix}M_{11}N&\dotsm&M_{1n}N\\\vdots && \vdots \\M_{m1}N & \dotsm & M_{mn}N\end{pmatrix}$

즉, $(M\otimes N)_{(a-1)p+i,(b-1)q+j} = M_{ab}N_{ij}$ 이다.

만약 $A$ 가 $m\times n$ 행렬이고 $B$ 가 $p\times q$ 행렬이라면, 크로네커 곱 $A\otimes B$ 는 $pm\times qn$ 블록 행렬이다.

: $\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix}a_{11} \mathbf{B} & \cdots & a_{1n}\mathbf{B} \\\vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} \mathbf{B} & \cdots & a_{mn} \mathbf{B}\end{bmatrix},$

더 구체적으로 표현하면 다음과 같다.

: ${\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}} = \begin{bmatrix}a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} &\cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} &\cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} &\cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\\vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} &\cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} &\cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} &\cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq}\end{bmatrix}.$

행렬 원소의 번호를 1부터 시작하면 다음을 얻는다.

: $(A\otimes B)_{p(r-1)+v, q(s-1)+w} = a_{rs} b_{vw}$

만약 $A$ 와 $B$ 가 각각 선형 변환 $V_1\rightarrow W_1$ 와 $V_2\rightarrow W_2$ 를 나타낸다면, 텐서 곱 $A\otimes B$ 는 $V_1\otimes V_2\rightarrow W_1\otimes W_2$ 를 나타낸다.

3. 성질

크로네커 곱은 텐서곱의 특수한 경우로, 쌍선형성과 결합성을 만족한다. 임의의 환 *R* 계수의 행렬 *A*, *B*, *C*에 대해 다음이 성립한다.^[5]

: $1_{1\times1}\otimes A = A\otimes1_{1\times1} = A$

: $A\otimes(B+C) = A\otimes B+A\otimes C$

: $(A+B)\otimes C = A\otimes C+B\otimes C$

: $(A\otimes B)\otimes C=A\otimes(B\otimes C)$

: $(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B)$

: $A \otimes \mathbf{0} = \mathbf{0} \otimes A = \mathbf{0}$ (여기서 k는 스칼라, '''0'''는 영행렬)

: $(A\otimes B)^\top=A^\top\otimes B^\top$

행렬 *A*, *B*, *C*, *D*가 행렬 곱 *AC*와 *BD*를 만들 수 있는 크기일 때,^[7] 다음 혼합 곱의 성질이 성립한다.

: $(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = (\mathbf{AC}) \otimes (\mathbf{BD}).$

3. 1. 기본 성질

크로네커 곱은 텐서곱의 특수한 경우이므로, 쌍선형성과 결합성을 갖는다. 즉, 임의의 환 *R* 계수의 행렬 *A*, *B*, *C*에 대해 다음이 성립한다.

:

1_{1\times1}\otimes A = A\otimes1_{1\times1} = A

:

A\otimes(B+C) = A\otimes B+A\otimes C

:

(A+B)\otimes C = A\otimes C+B\otimes C

:

(A\otimes B)\otimes C=A\otimes(B\otimes C)

:

(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B)

:

A \otimes \mathbf{0} = \mathbf{0} \otimes A = \mathbf{0}

(여기서 k는 스칼라, '''0'''는 영행렬)

크로네커 곱은 가환이 아니며, 일반적으로 *A* ⊗ *B*와 *B* ⊗ *A*는 서로 다른 행렬이다. 그러나 *A* ⊗ *B*와 *B* ⊗ *A*는 치환 동치이다. 즉, 다음을 만족하는 치환 행렬 *P*와 *Q*가 존재한다.^[5]

:

\mathbf{B} \otimes \mathbf{A} = \mathbf{P} \, (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) \, \mathbf{Q}.

A*와 *B*가 정사각 행렬인 경우, *A* ⊗ *B*와 *B* ⊗ *A*는 치환 닮음이며, *P* = *Q*^T를 취할 수 있다.^[5]

만약 *R*이 가환환이면, 행렬식을 정의할 수 있으며, 다음이 성립한다.

:

\det(A\otimes B)=(\det A)^n(\det B)^m\qquad(A\in\operatorname{Mat}(m,m;R),\;B\in\operatorname{Mat}(n,n;R)

행렬 *A*, *B*, *C*, *D*가 행렬 곱 *AC*와 *BD*를 형성할 수 있는 크기인 경우,^[7] 다음의 혼합 곱의 성질이 성립한다.

:

(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = (\mathbf{AC}) \otimes (\mathbf{BD}).

A* ⊗ *B*는 *A*와 *B*가 모두 가역 행렬인 경우에만 가역 행렬이며, 그 경우 역행렬은 다음과 같다.^[7]

:

(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \otimes \mathbf{B}^{-1}.

전치 및 켤레전치는 크로네커 곱에 대해 분배된다. 즉, 다음이 성립한다.

:

(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})^\textsf{T} = \mathbf{A}^\textsf{T} \otimes \mathbf{B}^\textsf{T}

:

(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B})^* = \mathbf{A}^* \otimes \mathbf{B}^*

3. 2. 행렬식 및 관련 성질

R이 가환환일 때, 행렬식을 정의할 수 있으며, 다음이 성립한다.^[11]

:

\det(A\otimes B)=(\det A)^n(\det B)^m\qquad(A\in\operatorname{Mat}(m,m;R),\;B\in\operatorname{Mat}(n,n;R)

''A''와 ''B''가 각각 크기가 ''m''과 ''n''인 정사각 행렬이고, ''λ''₁, ..., ''λ''_''m''을 ''A''의 고유값, ''μ''₁, ..., ''μ''_''n''을 ''B''의 고유값이라고 하면(중복도에 따라 나열),

A \otimes B

의 고유값은 다음과 같다.

:

\lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,m ,\, j=1,\ldots,n.

결과적으로 크로네커 곱의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.

:

\operatorname{tr}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{tr} \mathbf{A} \, \operatorname{tr} \mathbf{B} \quad\text{and}\quad \det(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})^n (\det \mathbf{B})^m.

3. 3. 스펙트럼, 특이값, 계수

'''A'''와 '''B'''가 각각 크기가 ''n''과 ''m''인 정사각 행렬이라고 가정하고, ''λ''₁, ..., ''λ''_''n''을 '''A'''의 고유값, ''μ''₁, ..., ''μ''_''m''을 '''B'''의 고유값이라고 하자(중복도에 따라 나열). 그러면 크로네커 곱(A ⊗ B)의 고유값은 다음과 같다.

:

\lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,m.

결과적으로 크로네커 곱의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.

:

\operatorname{tr}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{tr} \mathbf{A} \, \operatorname{tr} \mathbf{B} \quad\text{and}\quad \det(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = (\det \mathbf{A})^m (\det \mathbf{B})^n.

'''A'''와 '''B'''가 직사각형 행렬인 경우, 특이값을 고려할 수 있다. '''A'''가 ''r''_'''A'''개의 0이 아닌 특이값을 가진다고 가정하자.

:

\sigma_{\mathbf{A},i}, \qquad i = 1, \ldots, r_\mathbf{A}.

마찬가지로, '''B'''의 0이 아닌 특이값을 다음과 같이 나타낸다.

:

\sigma_{\mathbf{B},i}, \qquad i = 1, \ldots, r_\mathbf{B}.

그러면 크로네커 곱 (A ⊗ B)는 ''r''_'''A'''''r''_'''B'''개의 0이 아닌 특이값을 가지며, 이는 다음과 같다.

:

\sigma_{\mathbf{A},i} \sigma_{\mathbf{B},j}, \qquad i=1,\ldots,r_\mathbf{A} ,\, j=1,\ldots,r_\mathbf{B}.

행렬의 계수는 0이 아닌 특이값의 개수와 같으므로, 다음을 얻을 수 있다.

:

\operatorname{rank}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{rank} \mathbf{A} \, \operatorname{rank} \mathbf{B}.

3. 4. 추상 텐서 곱과의 관계

행렬의 크로네커 곱은 선형 사상의 추상 텐서 곱에 해당한다. 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

벡터 공간 ''V'', ''W'', ''X'', ''Y''가 각각 기저 {''v''₁, ..., ''v''_''m''}, {''w''₁, ..., ''w''_''n''}, {''x''₁, ..., ''x''_''d''}, {''y''₁, ..., ''y''_''e''}를 가진다고 가정하자. 이때 행렬 ''A''와 ''B''가 각각 선형 변환 ''S'': ''V'' → ''X'', ''T'': ''W'' → ''Y''를 나타낸다고 하자. 그러면 행렬 ''A'' ⊗ ''B''는 두 사상의 텐서 곱 ''S'' ⊗ ''T'': ''V'' ⊗ ''W'' → ''X'' ⊗ ''Y''를 나타낸다.

이는 ''V'' ⊗ ''W''의 기저 {''v''₁ ⊗ ''w''₁, ''v''₁ ⊗ ''w''₂, ..., ''v''₂ ⊗ ''w''₁, ..., ''v''_''m'' ⊗ ''w''_''n''}와 ''X'' ⊗ ''Y''의 유사하게 정의된 기저에 대해, ''A'' ⊗ ''B''(''v''_''i'' ⊗ ''w''_''j'') = (''Av''_''i'') ⊗ (''Bw''_''j'')의 속성을 만족한다.^[11] 여기서 ''i''와 ''j''는 적절한 범위 내의 정수이다.

''V''와 ''W''가 리 대수이고, ''S'': ''V'' → ''V'', ''T'': ''W'' → ''W''가 리 대수 준동형사상인 경우에도, ''A''와 ''B''의 크로네커 곱은 유도된 리 대수 준동형사상 ''V'' ⊗ ''W'' → ''V'' ⊗ ''W''를 나타낸다.

3. 5. 그래프 곱과의 관계

두 그래프의 인접 행렬의 크로네커 곱은 그래프의 텐서곱의 인접 행렬이 된다. 또한, 그래프의 인접 행렬의 크로네커 합은 직접곱 그래프의 인접 행렬이다^[27].

4. 행렬 방정식

크로네커 곱은 행렬 방정식을 간편하게 표현하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, ''AXB'' = ''C'' 형태의 행렬 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[17]^[18]^[19]

: $(B^\top \otimes A)\operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(AXB) = \operatorname{vec}(C)$

여기서 vec(''X'')는 행렬 ''X''의 각 열을 세로로 쌓아 하나의 열 벡터로 만든 ''X''의 벡터화이다. 이 표현에서 크로네커 곱의 성질을 이용하면, 방정식 ''AXB'' = ''C''가 유일한 해를 가질 필요충분조건은 ''A''와 ''B''가 모두 가역 행렬인 것이다.

만약 ''X''를 행 순서대로 열 벡터로 만든 것을 '''x'''라고 하면, ''AXB''는 (''A'' ⊗ ''B''^⊤)'''x'''로도 표현할 수 있다.

5. 응용

크로네커 곱은 다음과 같은 여러 분야에서 활용된다.

'''리야푸노프 방정식''': 행렬 방정식 $\mathbf{AXB} = \mathbf{C}$ (A, B, C는 주어진 행렬, X는 미지 행렬)는 크로네커 곱을 사용하여 $\left(\mathbf{B}^\textsf{T} \otimes \mathbf{A}\right) \, \operatorname{vec}(\mathbf{X}) = \operatorname{vec}(\mathbf{C})$ 와 같이 표현할 수 있다. 여기서 vec('''X''')는 '''X'''의 열들을 쌓아 만든 열 벡터이다.
'''행렬 정규 분포'''
'''2D 이미지 처리'''
'''쿨리-터키 FFT 알고리즘'''
'''핸드-아이 캘리브레이션 문제'''

5. 1. 다변량 통계

다변량 통계에서 모멘트는 크로네커 곱을 사용하여 나타낼 수 있다.^[28] '''x''' = (X₁, X₂, ... )를 다변량 벡터라고 하면,

1차 모멘트는 $\mu_1 = E[x] = (E[X_1], E[X_2], ...)$ 이다.
2차 모멘트는 $\mu_2 = E[x \otimes x^t] = (E[X_1^2], E[X_2^2], ..., E[X_1X_2], E[X_1X_3], ... )$ 이다.

세 변수 예시는 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\ c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c \end{bmatrix}

이는 공분산 행렬이 된다.

마찬가지로,

3차 모멘트는 $\mu_3 = E[x \otimes x^t \otimes x^t]$ 이다.

2변수 예시는 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a \cdot a & a \cdot b \\ b \cdot a & b \cdot b \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} aa \cdot a & aa \cdot b & ab \cdot a & ab \cdot b \\ ba \cdot a & ba \cdot b & bb \cdot a & bb \cdot b \end{bmatrix}

4차 모멘트는 $\mu_4 = E[x \otimes x^t \otimes x^t \otimes x^t]$ 이다.

일반적으로 k차 모멘트는

\mu_k = E[x^{\otimes k}]

로 표기한다.

5. 2. 기타 응용

크로네커 곱은 다음과 같은 여러 분야에서 활용된다.

'''리야푸노프 방정식''': 행렬 방정식 $\mathbf{AXB} = \mathbf{C}$ (A, B, C는 주어진 행렬, X는 미지 행렬)는 크로네커 곱을 사용하여 $\left(\mathbf{B}^\textsf{T} \otimes \mathbf{A}\right) \, \operatorname{vec}(\mathbf{X}) = \operatorname{vec}(\mathbf{C})$ 와 같이 표현할 수 있다. 여기서 vec('''X''')는 '''X'''의 열들을 쌓아 만든 열 벡터이다.
'''행렬 정규 분포'''
'''2D 이미지 처리'''
'''쿨리-터키 FFT 알고리즘'''
'''핸드-아이 캘리브레이션 문제'''

6. 관련 행렬 연산

카트리-라오 곱과 관련된 행렬 연산에는 트레이시-싱 곱, 얼굴 분할 곱 등이 있다.^[20] 이들은 블록 행렬에 대해 작동하며, 크로네커 곱과 유사한 성질을 갖는다. 예를 들어 다음과 같은 혼합 곱셈 속성이 있다.^[21]^[22]

: $\mathbf{A} \otimes (\mathbf{B}\bull \mathbf{C}) = (\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}) \bull \mathbf{C} ,$

여기서 $\bull$ 은 얼굴 분할 곱을 나타낸다.

: $(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\mathbf{C}) \bull (\mathbf{B} \mathbf{D}) ,$

비슷하게 다음이 성립한다.^[23]

: $(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) \cdots (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S}) = (\mathbf{A}\mathbf{B} \cdots \mathbf{C}) \bull (\mathbf{L}\mathbf{M} \cdots \mathbf{S}) ,$

: $\mathbf{c}^\textsf{T} \bull \mathbf{d}^\textsf{T} = \mathbf{c}^\textsf{T} \otimes \mathbf{d}^\textsf{T} ,$

여기서 $\mathbf c$ 와 $\mathbf d$ 는 벡터이다.^[24]

: $(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{c} \otimes \mathbf{d}) = (\mathbf{A}\mathbf{c}) \circ (\mathbf{B}\mathbf{d}) ,$

여기서 $\mathbf c$ 와 $\mathbf d$ 는 벡터이고, $\circ$ 는 Hadamard product를 나타낸다.

비슷하게 다음도 성립한다.

: $(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{M}\mathbf{N}\mathbf{c} \otimes \mathbf{Q}\mathbf{P}\mathbf{d}) = (\mathbf{A}\mathbf{M}\mathbf{N}\mathbf{c}) \circ (\mathbf{B}\mathbf{Q}\mathbf{P}\mathbf{d}),$

: $\mathcal F(C^{(1)}x \star C^{(2)}y) = (\mathcal F C^{(1)} \bull \mathcal F C^{(2)})(x \otimes y)= \mathcal F C^{(1)}x \circ \mathcal F C^{(2)}y,$

여기서 $\star$ 는 벡터 convolution이고 $\mathcal F$ 는 푸리에 변환 행렬이다(이 결과는 count sketch 속성의 발전이다).^[21]^[22]

: $(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) \cdots (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(\mathbf{K} \ast \mathbf{T}) = (\mathbf{A}\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}\mathbf{K}) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M} \cdots \mathbf{S}\mathbf{T}) ,$

여기서 $\ast$ 는 열별 카트리-라오 곱을 나타낸다.

비슷하게 다음이 성립한다.

: $(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) \cdots (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(c \otimes d ) = (\mathbf{A}\mathbf{B} \cdots \mathbf{C}\mathbf{c}) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M} \cdots \mathbf{S}\mathbf{d}) ,$

: $(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) \cdots (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(\mathbf{P}\mathbf{c} \otimes \mathbf{Q}\mathbf{d} ) = (\mathbf{A}\mathbf{B} \cdots \mathbf{C}\mathbf{P}\mathbf{c}) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M} \cdots \mathbf{S}\mathbf{Q}\mathbf{d}) ,$

여기서 $\mathbf c$ 와 $\mathbf d$ 는 벡터이다.

7. 역사

크로네커 곱은 레오폴트 크로네커의 이름을 땄지만, 요한 게오르크 체푸스 (1832~1901)가 1858년에 최초로 사용하였다.^[29]^[30] 과거에는 체후스 행렬이라고 불리기도 했다.

참조

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