데생당팡

3. 성질

유리수체의 절대 갈루아 군 $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; Q)=\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\backslash mathbb\; Q/\backslash mathbb\; Q)$은 모든 데생당팡의 집합 위에 추이적으로 작용한다. 이는 나무 데생당팡들의 집합에 국한하여도 마찬가지다.

구체적으로, 벨리 사상 $f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash bar\backslash mathbb\; Q\}$가 주어졌을 때, 절대 갈루아 군의 원소 $g\backslash in\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; Q)$는 사상

:$\backslash phi\_g\backslash colon\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash bar\backslash mathbb\; Q\}\backslash to\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash bar\backslash mathbb\; Q\}$

을 정의한다. (이는 무한대 및 모든 유리수를 고정시킨다.) 이에 따라, 또다른 벨리 사상 $\backslash phi\_g\backslash circ\; f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash bar\backslash mathbb\; Q\}$를 정의할 수 있다.

특히, $f$와 $\backslash phi\_g\backslash circ\; f$에 대응하는 데생당팡은 같은 수의 변을 가지므로, 주어진 데생당팡의 안정자군 $G\backslash le\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\backslash mathbb\; Q)$에 대하여, $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\backslash mathbb\; Q)/G$는 유한군이다. 갈루아 이론에 의하여, $G$는 $\backslash mathbb\; Q$의 유한 확대, 즉 수체에 대응한다. 이 수체를 데생당팡의 '''모듈러스 수체'''(field of moduli^영어)라고 한다.

4. 역사

19세기에 윌리엄 로언 해밀턴이 이코시안 미적분에서 데생당팡의 초기 형태를 제시했고,^[1] 펠릭스 클라인^[26]이 데생당팡과 유사한 그래프를 사용하여 특정 리만 곡면을 계산했다. 20세기에 알렉산더 그로텐디크는 겐나디 블라디미로비치 벨리가 증명한 벨리 정리에 영향을 받아 1984년에 데생당팡을 도입하였다.^[29]

"데생당팡"은 프랑스어로 "어린이의 그림"이라는 뜻이다.dessin d’enfant|데생당팡^프랑스어 이는 데생당팡의 정의에 등장하는 그래프가 한붓그리기가 가능하기 때문에, 마치 크레용을 스케치북에서 떼지 않고 마구 그린 그림과 유사하기 때문이다.

그로텐디크는 데생당팡에 대해 다음과 같이 말했다.

정 데생이 아닌 데생은 모든 점을 검게 다시 칠하고 변의 중앙에 흰 점을 추가함으로써 같은 곡면 위의 정 데생으로 변환할 수 있다. 정 데생이 지도에 대응한다면, 일반적인 데생에 대응하는 것은 '''초지도'''(hypermap)이다.

4. 1. 19세기

4. 2. 20세기

5. 지도와 초지도

모든 흰색 꼭짓점의 차수(연결된 변의 수)가 2인 데생당팡은 '''깨끗한 데생당팡'''(clean dessin d’enfant^영어)이라고 불린다.^[5] 깨끗한 데생당팡의 경우, 흰색 꼭짓점들을 삭제하면 (색칠이 없는) 유한 그래프를 이룬다. 반대로, 임의의 유한 그래프에 대하여, 모든 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중심에 새 (차수 2의) 흰 꼭짓점을 추가하면, 이는 깨끗한 데생당팡을 이룬다.^[5]

6. 정칙 지도와 3각군

정규 맵을 사용하여 데생당팡을 만들고, 이를 통해 삼각군(triangle group)으로 불리는 대칭군을 생성하는 삼각화된 리만 곡면을 만들 수 있다. 이때 삼각형의 모서리는 표면의 대칭선을 따라 놓이며, 이 선에 대한 반사가 삼각군을 생성하고, 이 삼각형은 기본 영역을 형성한다.^[16] 예를 들어, 정십이면체에서 이러한 방식으로 생성된 삼각형 집합을 보여주는 그림이 있다.

정칙 지도가 종수가 1보다 큰 표면에 놓일 때, 표면의 전체 덮개는 쌍곡 평면이 되고, 들어 올려진 삼각화를 통해 형성된 쌍곡 평면의 삼각군은 쌍곡 평면의 이산적인 등거리 집합을 나타내는 (공수렴) 푸흐시안 군이 된다. 이 경우 시작 표면은 이 그룹의 유한 지수 부분군 ''Γ''에 의한 쌍곡 평면의 몫이다.

반대로, (2,3,n) 타일링(각도가 , , 인 삼각형으로 구, 유클리드 평면 또는 쌍곡 평면을 타일링하는 것)의 몫인 리만 곡면이 주어지면, 관련 데생은 그룹의 차수 2 및 차수 3 생성자에 의해 주어진 케일리 그래프이거나, 동등하게, 꼭짓점당 셋이 만나는 n각형으로 동일한 표면을 타일링한 것이다. 이 타일링의 꼭짓점은 데생의 검은 점을, 모서리의 중심은 흰 점을, 면의 중심은 무한대 위의 점을 제공한다.

7. 나무와 샤바트 다항식

데생당팡이 나무(tree)인 경우, 해당 벨리 쌍은 샤바트의 이름을 딴 샤바트 다항식(Shabat polynomial)으로 나타낼 수 있다.^[6] 다항식의 차수는 해당 트리의 에지 수와 같다.

예를 들어, 단항식 $p(x)=x^d$는 유한 임계점과 임계 값(둘 다 영)을 하나만 갖는다. 1은 $p$의 임계 값이 아니지만, 임계 값이 모두 집합 $\backslash \{0,1,\backslash infty\backslash \}$에 있으므로 $p$를 리만 구에서 자체로의 벨리 함수로 해석하는 것이 가능하다. 해당하는 데생당팡은 $d$개의 흰색 잎에 연결된 하나의 중앙 검은색 정점을 갖는 별이다 (완전 이분 그래프 $K\_\{1,d\}$).

8. 절대 갈루아 군과 불변량

유리수체의 절대 갈루아 군 $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; Q)=\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\backslash mathbb\; Q/\backslash mathbb\; Q)$는 모든 데생당팡의 집합 위에 추이적으로 작용한다. 임의의 벨리 사상 $f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash bar\backslash mathbb\; Q\}$이 주어졌을 때, 절대 갈루아 군의 원소 $g\backslash in\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; Q)$는 사상

:$\backslash phi\_g\backslash colon\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash bar\backslash mathbb\; Q\}\backslash to\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash bar\backslash mathbb\; Q\}$

을 정의한다. 이에 따라, 또다른 벨리 사상 $\backslash phi\_g\backslash circ\; f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash bar\backslash mathbb\; Q\}$를 정의할 수 있다.

$f$와 $\backslash phi\_g\backslash circ\; f$에 대응하는 데생당팡은 같은 수의 변을 가지므로, 주어진 데생당팡의 안정자군 $G\backslash le\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\backslash mathbb\; Q)$에 대하여, $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash bar\backslash mathbb\; Q)/G$는 유한군이다. 갈루아 이론에 의하여, $G$는 $\backslash mathbb\; Q$의 유한 확대인 수체에 대응한다. 이 수체를 데생당팡의 '''모듈러스 수체'''(field of moduli^영어)라고 한다.

9. 한국 수학에서의 데생당팡 연구

Dessin d'enfant|데생당팡^프랑스어은 한국의 수학자들에 의해 활발하게 연구되고 있다. 특히, 대수기하학, 정수론, 표현론 등의 분야에서 Dessin d'enfant|데생당팡^프랑스어과 관련된 연구가 진행되고 있다. 한국의 연구 결과는 국제 학술지에 발표되고 있으며, 국제 학회에서 발표되기도 한다.

참조

_[1] Harvtxt
_[2] Harvtxt
_[3] Harvtxt
_[4] Harvtxt
_[5] Harvtxt
_[6] 기타
_[7] Harvtxt
_[8] 기타
_[9] Harvtxt
_[10] Harvtxt
_[11] Harvtxt
_[12] Harvnb
_[13] Harvtxt
_[14] Harvtxt
_[15] Harvtxt
_[16] Harvtxt
_[17] Harvtxt
_[18] 기타
_[19] Harvtxt
_[20] Harvtxt
_[21] Harvtxt
_[22] 저널 What is … a dessin d’enfant? http://www.ams.org/n[...] 2003-08
_[23] 서적 Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d’enfants Cambridge University Press 2012-02
_[24] 서적 Graphs on surfaces and their applications Springer-Verlag 2004
_[25] 저널 Dessins d’enfants http://www.numdam.or[...] 2002-06
_[26] 저널 Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (mit einer lithogr. Tafel) http://resolver.sub.[...]
_[27] 서적 The Grothendieck theory of dessins d’Enfants Cambridge University Press 1994-09
_[28] 저널 О расширениях Галуа максимального кругового поля http://mi.mathnet.ru[...] 1979
_[29] 인용 Esquisse d’un programme http://wwwmath.uni-m[...]