클리퍼드 가군 다발

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 클리퍼드 가군 다발
- 2.2. 클리퍼드 가군 다발 접속
3. 연산
- 3.1. 직합
- 3.2. 텐서곱
4. 예
- 4.1. 스피너 다발
- 4.2. 일반화 기하학
참조

1. 개요

클리퍼드 가군 다발은 매끄러운 다양체 M 위의 클리퍼드 다발 C와 벡터 다발 E가 주어졌을 때, C의 E에 대한 작용이 위상 왼쪽 가군을 이루는 경우의 E를 지칭한다. 클리퍼드 가군 다발 접속은 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 코쥘 접속을 의미한다. 스피너 다발, 일반화 기하학 등에서 클리퍼드 가군 다발의 예시를 찾아볼 수 있다.

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클리퍼드 가군 다발
정의
한국어 명칭	클리퍼드 가군 다발
영어 명칭	Clifford module bundle
수학적 정의
정의	벡터 다발 E가 클리퍼드 대수 Cl(V)의 작용을 갖는다는 것은, 각 점 x에서 Ex가 Cl(Vx)의 가군이라는 의미이다. 여기서 Vx는 x에서의 접공간이다.
조건	사영 가군이고, Vx에서 Cl(Vx)의 작용은 선형적으로 이루어진다.
참고 문헌
참고 문헌	Berline Lawson Berline en 이름=N.

2. 정의

매끄러운 다양체 위에 정의된 클리퍼드 다발과 벡터 다발을 이용하여 클리퍼드 가군 다발을 정의할 수 있다. 클리퍼드 가군 다발은 각 점에서의 작용이 위상 왼쪽 가군을 이루며, 이 작용이 연속적인 경우를 말한다.

또한, 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 코쥘 접속을 갖는 클리퍼드 가군 다발 접속을 정의할 수 있다.

2. 1. 클리퍼드 가군 다발

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
$M$ 위의 클리퍼드 다발 $C$
$M$ 위의 벡터 다발 $E$

만약 각

x\in M

에서,

C_x

의

E_x

위의 작용이 주어져

E_x

가

C_x

의 위상 왼쪽 가군이 되며, 그 작용이 모두 연속적이라면,

E

를

C

의 '''클리퍼드 가군 다발'''(Clifford module bundle^영어)이라고 한다. 물론, 마찬가지로 '''매끄러운 클리퍼드 가군 다발'''을 정의할 수 있다.

방향이 지정된 리만 다양체 ''M''이 주어지면, ''Cℓ''(''T''*''M'') 위에 기약 가군의 클리포드 가군 다발을 구성하는 것이 가능한지 질문할 수 있다. 실제로, 이러한 다발은 ''M''이 스핀 다양체인 경우에만 구성할 수 있다.

''M''을 ''M''에 대한 스핀 구조 ''F''_Spin(''M'') → ''F''_SO(''M'')를 가진 ''n''차원 스핀 다양체라고 하자. 임의의 ''Cℓ''_''n'''''R'''-가군 ''V''가 주어지면, 연관된 스피너 다발

:

S(M) = F_{\mathrm{Spin}}(M) \times_\sigma V\,

를 구성할 수 있다. 여기서 σ : Spin(''n'') → GL(''V'')는 ''S''에 대한 왼쪽 곱셈으로 주어진 Spin(''n'')의 표현이다. 이러한 스피너 다발은 ''V''가 해당 속성을 갖는지 여부에 따라 ''실수'', ''복소수'', ''등급'' 또는 ''비등급''이라고 한다. ''S''(''M'')의 단면을 ''M''에 대한 스피너라고 한다.

스피너 다발 ''S''(''M'')이 주어지면 자연스러운 다발 사상

:

C\ell(T^*M) \otimes S(M) \to S(M)

이 있으며, 이는 각 올에 대한 왼쪽 곱셈으로 주어진다. 따라서 스피너 다발 ''S''(''M'')은 ''Cℓ''(''T''*''M'') 위의 클리포드 가군 다발이다.

2. 2. 클리퍼드 가군 다발 접속

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $(M,g)$
매끄러운 클리퍼드 다발 $C$ 및 그 위의 클리퍼드 다발 접속 $\nabla^C$
$C$ 의 매끄러운 클리퍼드 왼쪽 가군 다발 $E\twoheadrightarrow M$
$E$ 위의 코쥘 접속 $\nabla^E$

만약

\nabla^E

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''클리퍼드 가군 다발 접속'''(Clifford module bundle connection^영어)이라고 한다. 임의의

a\in\Gamma^\infty(C)

및 벡터장

X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)

및 매끄러운 단면

s\in\Gamma^\infty(E)

에 대하여,

:

(\nabla^E_X)(a\bullet s)-a\bullet\nabla^E_Xs = (\nabla_X^Ca)\bullet s

즉, 클리퍼드 접속은 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는 코쥘 접속이다.

3. 연산

클리퍼드 다발 위에서, 두 클리퍼드 가군 다발의 직합은 역시 클리퍼드 가군 다발이다. 또한, 매끄러운 벡터 다발과의 텐서곱을 통해 새로운 클리퍼드 가군 다발 구조를 만들 수 있다. 특히, (실수 또는 복소수) 선다발과의 텐서곱이 자주 사용된다.

스피너 다발의 경우, 방향이 지정된 리만 다양체 ''M''에서 ''Cℓ''(''T''*''M'') 위의 기약 가군의 클리포드 가군 다발 구성은 ''M''이 스핀 다양체일 때 가능하다.

''n''차원 스핀 다양체 ''M''에 스핀 구조가 주어지면, 임의의 ''Cℓ''_''n'''''R'''-가군 ''V''에 대해 연관된 스피너 다발

: $S(M) = F_{\mathrm{Spin}}(M) \times_\sigma V\,$

을 구성할 수 있다. (σ는 Spin(''n'')의 표현) 이 스피너 다발은 ''V''에 따라 ''실수'', ''복소수'', ''등급'', ''비등급''으로 분류되며, ''S''(''M'')의 단면은 ''M''에 대한 스피너라고 불린다.

스피너 다발 ''S''(''M'')은 자연스러운 다발 사상

: $C\ell(T^*M) \otimes S(M) \to S(M)$

을 가지며, 이는 각 올에서 왼쪽 곱셈으로 주어진다. 따라서 ''S''(''M'')은 ''Cℓ''(''T''*''M'') 위의 클리포드 가군 다발이다.

3. 1. 직합

같은 클리퍼드 다발 위의 두 클리퍼드 가군 다발의 직합은 역시 클리퍼드 가군 다발이다.

3. 2. 텐서곱

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
$M$ 위의 클리퍼드 다발 $C$
$C$ 위의 클리퍼드 가군 다발 $E$
$M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $F$

그렇다면,

E \otimes F

위에는 표준적인 클리퍼드 가군 다발 구조가 다음과 같이 존재한다.

:

c\bullet (e\otimes f) = (x\bullet e)\otimes f\qquad\forall x\in M,\;c\in C_x,\;e\in E_x,\;f\in F_x

특히,

F

가 (실수 또는 복소수) 선다발일 경우가 자주 사용된다.

4. 예

준 리만 다양체 $(M,g)$ 가 주어졌을 때, 그 접다발 $\mathrm TM$ 에 대한 클리퍼드 다발 $\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g) \cong \operatorname{Cl}(\mathrm T^*M,g^{-1})$ 이 존재한다. 만약 $M$ 이 짝수 차원 스핀 다양체라면, 스피너 다발은 바일 스피너 다발로 분해되며, 이들 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 적절한 부호수에서 마요라나(-바일) 스피너 다발 또한 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

4. 1. 스피너 다발

준 리만 다양체

(M,g)

에 스핀 다양체 구조가 주어지면, 그 스피너 다발

\mathrm SM

은 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 레비치비타 접속을 통해

\mathrm SM

위에 클리퍼드 가군 다발 접속을 정의할 수 있다. 짝수 차원에서는 스피너 다발이 바일 스피너 다발

:

\mathrm SM = \mathrm S^+M\oplus\mathrm S^-M

으로 분해되며, 이들 역시 클리퍼드 가군 다발을 이룬다. 적절한 부호수에서는 마요라나(-바일) 스피너 다발을 정의할 수 있고, 이 또한 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

레비치비타 접속은

\mathrm SM

위로 자연스럽게 확장되며, 이는 클리퍼드 가군 다발 접속을 이룬다. 스핀 구조가 주어진

(M,g)

위에서, 스피너 다발

\mathrm SM

은 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

스핀C 다양체 구조가 주어진

(M,g)

위의 스피너 다발도 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

방향이 지정된 리만 다양체 ''M''에서, ''Cℓ''(''T''*''M'') 위에 기약 가군의 클리포드 가군 다발을 구성하는 것은 ''M''이 스핀 다양체인 경우에만 가능하다.^[1]

''M''이 스핀 구조 ''F''_Spin(''M'') → ''F''_SO(''M'')를 가진 ''n''차원 스핀 다양체이고, ''Cℓ''_''n'''''R'''-가군 ''V''가 주어지면, 연관된 스피너 다발

:

S(M) = F_{\mathrm{Spin}}(M) \times_\sigma V\,

을 구성할 수 있다. 여기서 σ : Spin(''n'') → GL(''V'')는 ''S''에 대한 왼쪽 곱셈으로 주어진 Spin(''n'')의 표현이다. 이러한 스피너 다발은 ''V''의 속성에 따라 ''실수'', ''복소수'', ''등급'', ''비등급''으로 나뉜다. ''S''(''M'')의 단면은 ''M''에 대한 스피너이다.^[1]

스피너 다발 ''S''(''M'')이 주어지면, 각 올에 대한 왼쪽 곱셈으로 주어지는 자연스러운 다발 사상

:

C\ell(T^*M) \otimes S(M) \to S(M)

이 존재한다. 따라서 스피너 다발 ''S''(''M'')은 ''Cℓ''(''T''*''M'') 위의 클리포드 가군 다발이다.^[1]

4. 2. 일반화 기하학

매끄러운 다양체

M

위의 임의의 매끄러운 벡터 다발

E

가 주어졌다면,

E \oplus E^*

위의 자연스러운 이차 형식

:

Q(x,\xi) = \xi(x)

을 통해 클리퍼드 다발

\operatorname{Cl}(E\oplus E^*,Q)

을 정의할 수 있다. 이 경우,

E\oplus E^*

의 단면은 임의의 미분 형식

\alpha \in \Gamma(\textstyle\bigwedge E^*)

위에 다음과 같이 작용한다.

:

(x,\xi)\bullet\alpha = x \lrcorner \alpha + \xi\wedge\alpha\in\Gamma\left(\bigwedge E^*\right)

여기서

\lrcorner

는 내부곱이며

\wedge

는 쐐기곱이다.

이 작용은

:

(x,\xi)\bullet ((x,\xi)\bullet\alpha) = x\lrcorner(\xi\wedge\alpha)-\xi\wedge(x\lrcorner\alpha) = \xi(x) \alpha

를 따르므로,

\textstyle\bigwedge E^*

은

\operatorname{Cl}(E\oplus E^*)

위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

특히,

E = \mathrm TM

인 경우, 미분 형식은 이 클리퍼드 다발의 일종의 ‘스피너’처럼 행동하는 것을 알 수 있다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적 Heat kernels and Dirac operators Springer-Verlag 1992

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