클리퍼드 다발

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 클리퍼드 대수
- 2.2. 클리퍼드 다발 접속
3. 리만 다양체와 클리퍼드 다발
4. 일반화 기하학에서의 응용
- 4.1. 자연스러운 이차 형식
- 4.2. 클리퍼드 가군 다발
5. 국소적 표현
참조

1. 개요

클리퍼드 다발은 위상 공간 위의 벡터 다발과 대칭 다발의 연속 단면을 사용하여 정의되는 벡터 다발이다. 미분기하학에서 매끄러운 다양체와 매끄러운 벡터 다발, 매끄러운 단면을 사용하여 매끄러운 클리퍼드 다발을 정의할 수 있다. 클리퍼드 다발은 클리퍼드 대수를 섬유로 갖는 섬유 다발로, 리만 다양체와 같은 기하학적 구조와 연관되어 있으며, 스핀 구조와 스피너 다발을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 또한 일반화 기하학에서의 응용과 국소적 표현을 통해 디랙-쾰러 연산자를 정의하고 외미분, 코미분 및 호모토피 연산자와의 관계를 설명한다.

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클리퍼드 다발

2. 정의

위상 공간 $X$ 위의 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$ 와 대칭 다발 $\operatorname{Sym}^2E^*$ 의 연속 단면 $Q\in\Gamma^0(\operatorname{Sym}^2E)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 $x\in X$ 에 대하여, 벡터 공간 $E_x$ 와 이차 형식 $Q_x$ 로부터 실수 클리퍼드 대수 $\operatorname{Cl}(E_x,Q_x)$ 를 정의할 수 있다. 이를 올로 하는, $X$ 위의 벡터 다발

: $\operatorname{Cl}(E,Q)=\bigsqcup_{x\in X}\operatorname{Cl}(E_x,Q_x)$

을 자연스럽게 정의할 수 있으며, 이를 '''클리퍼드 다발'''이라고 한다.

미분기하학을 전개하려면, $X$ 가 매끄러운 다양체이며, $E$ 가 매끄러운 벡터 다발이며, $Q$ 가 매끄러운 단면인 경우를 생각하여 '''매끄러운 클리퍼드 다발'''을 정의할 수 있다.

2. 1. 클리퍼드 대수

''V''를 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 하고, 대칭 쌍선형 형식 <·,·>를 갖는다고 하자. 클리퍼드 대수 ''Cℓ''(''V'')는 ''V''에 의해 생성되는 자연스러운 (단위적 결합적) 대수이며, 다음과 같은 관계를 가진다.^[1]

:''v''² = <''v'',''v''>

여기서 ''v''는 ''V''에 속하는 모든 벡터이다. 위 관계에 의해 생성된 아이디얼로 ''V''의 텐서 대수를 나눔으로써 ''Cℓ''(''V'')를 구성할 수 있다.

다른 텐서 연산과 마찬가지로, 이 구성은 매끄러운 벡터 다발에 대해 섬유별로 수행될 수 있다. ''E''를 매끄러운 다양체 ''M'' 위의 매끄러운 벡터 다발로 하고, ''g''를 ''E'' 위의 매끄러운 대칭 쌍선형 형식이라고 하자. ''E''의 '''클리퍼드 다발'''은 섬유가 ''E''의 섬유에 의해 생성된 클리퍼드 대수인 섬유 다발이다.

:''Cℓ''(''E'') = ∐_{''x''∈''M''} ''Cℓ''(''E''_''x'',''g''_''x'')

''Cℓ''(''E'')의 위상은 연관 다발 구성을 통해 ''E''의 위상에 의해 결정된다.

가장 흔히 사용되는 경우는 ''g''가 양의 정부호이거나 적어도 비퇴화일 때이다. 즉, (''E'', ''g'')가 리만 또는 의사-리만 벡터 다발일 때이다. 구체적으로, (''E'', ''g'')가 리만 벡터 다발이라고 가정하자. ''E''의 클리퍼드 다발은 다음과 같이 구성할 수 있다. 유클리드 거리를 갖는 '''R'''^''n''에 의해 생성된 클리퍼드 대수를 ''Cℓ''_''n'''''R'''라고 하자. 직교군 O(''n'')이 '''R'''^''n''에 대해 갖는 표준 작용은 ''Cℓ''_''n'''''R'''의 등급이 매겨진 자기동형 사상을 유도한다. 다음과 같은 준동형 사상

:''ρ'' : O(''n'') → Aut(''Cℓ''_''n'''''R''')

은 다음과 같이 결정된다.

:''ρ''(''A'')(''v''₁''v''₂⋯''v''_''k'') = (''Av''₁)(''Av''₂)⋯(''Av''_''k'')

여기서 ''v''_''i''는 모두 '''R'''^''n''에 속하는 벡터이다. 그런 다음 ''E''의 클리퍼드 다발은 다음과 같다.

:''Cℓ''(''E'') = ''F''(''E'') ×_''ρ'' ''Cℓ''_''n'''''R'''

여기서 ''F''(''E'')는 ''E''의 정규 직교 프레임 다발이다. 이 구성을 통해 ''Cℓ''(''E'')의 구조군이 O(''n'')임을 알 수 있다. O(''n'')은 ''Cℓ''_''n'''''R'''에서 등급이 매겨진 자기동형 사상으로 작용하므로, ''Cℓ''(''E'')는 ''M'' 위의 '''Z'''₂-등급 대수의 다발이다. 클리퍼드 다발 ''Cℓ''(''E'')는 짝수 및 홀수 부분 다발로 분해될 수 있다.

:''Cℓ''(''E'') = ''Cℓ''⁰(''E'') ⊕ ''Cℓ''¹(''E'').

벡터 다발 ''E''가 가향 가능하면 자연스러운 방식으로 ''Cℓ''(''E'')의 구조군을 O(''n'')에서 SO(''n'')으로 축소할 수 있다.

2. 2. 클리퍼드 다발 접속

매끄러운 클리퍼드 다발

C

위의 코쥘 접속

\nabla

가 다음 곱 규칙을 만족시킨다면, '''클리퍼드 다발 접속'''이라고 한다.

:

\nabla_X(ab)=a\nabla_Xb+(\nabla_Xa)b

즉, 코쥘 접속이 클리퍼드 대수의 연산과 호환되어야 한다.

3. 리만 다양체와 클리퍼드 다발

준 리만 다양체 $(M,g)$ 가 주어졌을 때, 접다발과 공변접다발을 이용하여 클리퍼드 다발을 구성할 수 있다. 레비치비타 접속은 클리퍼드 대수 구조와 호환되도록 확장할 수 있다. $(M,g)$ 위에 스핀 구조 또는 스핀C 구조가 주어진 경우, 스피너 다발은 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

''M''의 클리포드 다발과 외대수 다발 사이에는 벡터 다발 동형 사상이 존재한다.

: $C\ell(T^*M) \cong \Lambda(T^*M).$

이는 벡터 다발 사이의 동형 사상이며, 대수 다발 사이의 동형 사상은 아니다. 이 동형 사상은 각 섬유(fiber)에서 해당하는 동형 사상으로부터 유도된다. 클리포드 다발의 단면은 쐐기곱 대신 클리포드 곱이 적용된 ''M'' 위의 미분 형식으로 생각할 수 있다(쐐기곱은 계량과 무관하다).

위의 동형 사상은 차수를 보존하며, 다음과 같다.

: $\begin{align}C\ell^0(T^*M) &= \Lambda^{\mathrm{even}}(T^*M)\\C\ell^1(T^*M) &= \Lambda^{\mathrm{odd}}(T^*M).\end{align}$

3. 1. 접다발과 공변접다발

준 리만 다양체

(M,g)

가 주어졌을 때, 그 접다발

\mathrm TM

의 올 위에는 자연스러운 이차 형식

g

이 존재하며, 마찬가지로 공변접다발

\mathrm T_xM

의 올 위에는 이차 형식

g^{-1}

가 존재한다. 이에 따라, 클리퍼드 다발

:

\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g)

과

:

\operatorname{Cl}(\mathrm T^*M,g^{-1})

를 정의할 수 있다.^[6] 리만 계량에 따라 사실 표준적인 벡터 다발 동형

:

g^\flat\colon\mathrm TM\to\mathrm T^*M

이 존재하므로, 이 두 클리퍼드 다발은 사실 동형이다.

이는 직교군의 클리퍼드 대수 위의 표현을 통해, 직교 틀다발

\mathrm F_{\operatorname O}M

의 연관 벡터 다발로도 구성될 수 있다.

만약 ''M''이 리만 다양체이고, ''g''가 계량 텐서인 경우, ''M''의 클리퍼드 다발은 접다발 ''TM''에 의해 생성된 클리퍼드 다발이다. 또한 여접다발 ''T''*''M''에서 클리퍼드 다발을 구성할 수도 있다. 계량은 자연 동형 사상 ''TM'' = ''T''*''M''을 유도하며, 따라서 ''Cℓ''(''TM'') = ''Cℓ''(''T''*''M'')의 동형 사상을 유도한다.

3. 2. 레비치비타 접속과 스피너 다발

준 리만 다양체

(M,g)

가 주어졌을 때, 그 접다발

\mathrm TM

의 올 위에는 자연스러운 이차 형식

g

이 존재하며, 마찬가지로 공변접다발

\mathrm T_xM

의 올 위에는 이차 형식

g^{-1}

가 존재한다. 이에 따라, 클리퍼드 다발

:

\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g)

과

:

\operatorname{Cl}(\mathrm T^*M,g^{-1})

를 정의할 수 있다.^[6] 리만 계량에 따라 표준적인 벡터 다발 동형

:

g^\flat\colon\mathrm TM\to\mathrm T^*M

이 존재하므로, 이 두 클리퍼드 다발은 사실 동형이다.

이는 직교군의 클리퍼드 대수 위의 표현을 통해, 직교 틀다발

\mathrm F_{\operatorname O}M

의 연관 벡터 다발로도 구성될 수 있다.

이 경우, 레비치비타 접속을

\operatorname{Cl}(\mathrm TM,g)

위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 대수 구조와 호환된다. 만약

(M,g)

위에 스핀 구조 또는 스핀C 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발

\mathrm SM

은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

3. 3. 외대수와의 관계

리만 다양체 ''M''에 계량 텐서 ''g''가 주어지면, ''M''의 클리퍼드 다발은 접다발 ''TM''으로 생성된 클리퍼드 다발이다. 여접다발 ''T''*''M''에서 클리포드 다발을 구성할 수도 있다. 계량은 자연 동형 사상 ''TM'' = ''T''*''M''을 유도하고, 이는 ''Cℓ''(''TM'') = ''Cℓ''(''T''*''M'')의 동형 사상을 유도한다.

''M''의 클리포드 다발과 ''M''의 외대수 다발 사이에는 자연스러운 벡터 다발 사상인 벡터 다발 동형 사상이 존재한다.

:

C\ell(T^*M) \cong \Lambda(T^*M).

이는 벡터 다발의 동형 사상이며, 대수 다발의 동형 사상은 아니다. 이 동형 사상은 각 섬유에서 해당하는 동형 사상으로부터 유도된다. 이러한 방식으로 클리포드 다발의 단면을 쐐기곱 대신 클리포드 곱이 적용된 ''M'' 위의 미분 형식으로 생각할 수 있다(쐐기곱은 계량과 무관하다).

위의 동형 사상은 차수를 보존하며, 다음과 같다.

:

\begin{align}C\ell^0(T^*M) &= \Lambda^{\mathrm{even}}(T^*M)\\C\ell^1(T^*M) &= \Lambda^{\mathrm{odd}}(T^*M).\end{align}

4. 일반화 기하학에서의 응용

매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발에 대해 클리퍼드 다발을 구성하여 일반화 기하학에 응용할 수 있다.

4. 1. 자연스러운 이차 형식

매끄러운 다양체

M

위의 임의의 매끄러운 벡터 다발

E

가 주어졌다고 하자. 그렇다면

E \oplus E^*

위에는 자연스러운 이차 형식

:

Q(x,\xi) = \xi(x)

이 주어지며, 이에 따라 클리퍼드 다발

\operatorname{Cl}(E\oplus E^*)

을 정의할 수 있다.

이 경우,

\textstyle\bigwedge E^*

은

\operatorname{Cl}(E\oplus E^*)

위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

4. 2. 클리퍼드 가군 다발

매끄러운 다양체

M

위의 임의의 매끄러운 벡터 다발

E

가 주어졌을 때,

E \oplus E^*

위에는 자연스러운 이차 형식

Q(x,\xi) = \xi(x)

가 주어지며, 이에 따라 클리퍼드 다발

\operatorname{Cl}(E\oplus E^*)

을 정의할 수 있다.

이 경우,

\textstyle\bigwedge E^*

은

\operatorname{Cl}(E\oplus E^*)

위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

5. 국소적 표현

클리퍼드 다발의 국소적 표현에서는 클리퍼드 곱셈, 외미분, 코미분, 디랙-쾰러 연산자 등을 국소 좌표계를 사용하여 구체적으로 표현한다. 이러한 연산자들은 별 모양 영역에서 특정 조건을 만족하면 반전될 수 있다.^[4]

5. 1. 클리퍼드 곱셈

벡터

v \in T_{x}M

(

x\in M

)에 대해, 형식

\psi \in \Lambda(T_{x}M)

에 대한 클리퍼드 곱셈^[2]은 다음과 같이 정의된다.

:

v\psi= v\wedge \psi + v \lrcorner \psi

여기서 첫 번째 항에서는 벡터를 1-형식으로 바꾸기 위해 계량 쌍대성을 사용한다.

5. 2. 외미분과 코미분

벡터

v \in T_{x}M

와 형식

\psi \in \Lambda(T_{x}M)

(

x\in M

)에 대해, 클리포드 곱셈^[2]은 다음과 같이 정의된다.

:

v\psi= v\wedge \psi + v \lrcorner \psi

여기서 첫 번째 항은 벡터를 1-형식으로 바꾸기 위해 계량 쌍대성을 사용한다.

정규 직교 기저

\{ e_{a}\}

를 선택하면, 외미분

d

와 코미분

\delta

는 계량 접속

\nabla

과 다음과 같이 관련된다.

:

d=e^{a}\wedge \nabla_{e_a}, \quad \delta = -e^{a}\lrcorner\nabla_{e_a}

.

이를 통해 디랙-쾰러 연산자^[3]^[2]는 다음과 같이 정의된다.

:

D = e^{a}\nabla_{e_a}=d-\delta

.

별 모양 영역에서 이 연산자는 외미분에 대한 푸앵카레 보조정리와 코미분에 대한 호지 별 쌍대성을 사용하여 반전될 수 있다.^[4]

5. 3. 디랙-쾰러 연산자

벡터

v \in T_{x}M

에 대해,

x\in M

에서, 형식

\psi \in \Lambda(T_{x}M)

에 대한 클리포드 곱셈^[2]은 다음과 같이 정의된다.

:

v\psi= v\wedge \psi + v \lrcorner \psi

여기서 첫 번째 항에서는 벡터를 1-형식으로 바꾸기 위해 계량 쌍대성을 사용한다.

정규 직교 기저

\{ e_{a}\}

를 선택하면, 외미분

d

와 코미분

\delta

는 계량 접속

\nabla

과 다음과 같이 관련된다.

:

d=e^{a}\wedge \nabla_{e_a}, \quad \delta = -e^{a}\lrcorner\nabla_{e_a}

.

이러한 정의를 사용하여 디랙-쾰러 연산자^[3]^[2]는 다음과 같이 정의된다.

:

D = e^{a}\nabla_{e_a}=d-\delta

.

별 모양 영역에서 이 연산자는 외미분에 대한 푸앵카레 보조정리와 코미분에 대한 호지 별 쌍대성을 사용하여 반전될 수 있다.^[4] 이를 수행하는 실질적인 방법은 호모토피와 코호모토피 연산자를 이용하는 것이다.^[4]^[5]

5. 4. 호모토피 연산자와 코호모토피 연산자

별 모양 영역에서 디랙-쾰러 연산자는 외미분에 대한 푸앵카레 보조정리와 코미분에 대한 호지 별 쌍대성을 사용하여 반전될 수 있다.^[4] 이를 수행하는 실질적인 방법은 호모토피와 코호모토피 연산자를 이용하는 것이다.^[4]^[5]

참조

_[1] 문서 sign convention
_[2] 서적 An Introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics https://books.google[...] A. Hilger 1987
_[3] 간행물 Differential forms as spinors http://www.numdam.or[...] 1978
_[4] 간행물 The Poincare Lemma for Codifferential, Anticoexact Forms, and Applications to Physics https://link.springe[...]
_[5] 간행물 The Poincare Lemma, Antiexact Forms, and Fermionic Quantum Harmonic Oscillator https://link.springe[...]
_[6] 서적 Heat kernels and Dirac operators Springer-Verlag 1992

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