스핀C 다양체

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1. 개요

스핀C 구조는 스핀 구조와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다. n차원 가향 준 리만 다양체 위의 스핀C 구조는 특정 조건을 만족하는 Spin(n)^c-주다발과 주다발 사상으로 구성된다. 매끄러운 다양체 M 위에 스핀C 구조가 존재할 필요 충분 조건은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인지 여부이다. 주어진 다양체 M 위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들의 공간은 H²(M; Z) 위의 아핀 공간이다. 모든 4차원 이하 콤팩트 유향 다양체, 개복소 다양체, 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.

스핀C 다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 분류
5. 예

2. 정의

스핀C 구조(spin^c structure^영어)는 스핀 구조와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다는 점에서 차이가 있다.

$n$ 차원 가향 준 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 스핀C 구조(spin^c structure^영어)는 다음 조건을 만족하는 Spin(n)^c-주다발 $\pi_{\operatorname{Spin^c}}\colon P_{\operatorname{Spin^c}}(M)\twoheadrightarrow M$ 과 주다발 사상 $p\colon P_{\operatorname{Spin^c}}(M)\to P_{\operatorname{SO}}(M)$ 으로 구성된다.

* $\pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin^c}}$
* 임의의 $x\in P_{\operatorname{Spin^c}}$ , $h\in\operatorname{Spin^c}(n)$ 에 대하여, $p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)$ 이다. (여기서 $\cdot$ 은 적절한 군의 작용이며, $\rho\colon\operatorname{Spin^c}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)$ 은 군 준동형이다.) 즉, 군의 작용은 $p$ 와 가환한다.

3. 성질

매끄러운 다양체 $M$ 위에 스핀C 구조가 존재할 필요충분조건은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류
: $W_3(M)=\beta w_2(M)\in\operatorname H^3(M;\mathbb Z)$
가 0인지 여부이다. 여기서 $\beta$ 는 복시테인 준동형
: $\beta\colon\operatorname H^2(M;\mathbb Z/2)\to\operatorname H^3(M;\mathbb Z)$
이다.

4. 분류

주어진 다양체 위에 존재하는 스핀C 구조들의 집합은 $\operatorname H^2(M;\mathbb Z)$ 위의 아핀 공간을 이룬다. 이는 U(1) 주다발의 천 특성류와 스핀 구조의 방해물인 2차 슈티펠-휘트니 특성류 사이의 관계를 통해 이해할 수 있다.

구체적으로, 아벨 군의 짧은 완전열
: $0\to\mathbb Z\stackrel{\cdot2}\hookrightarrow\mathbb Z\stackrel{+2\mathbb Z}\twoheadrightarrow\mathbb Z/2\to0$
을 생각하면, 지그재그 보조정리에 따라 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.
: $\dotsb\to\operatorname H^2(M,\mathbb Z)\xrightarrow{\cdot2}\operatorname H^2(M;\mathbb Z)\xrightarrow{\bmod2}\operatorname H^2(M;\mathbb Z/2)\xrightarrow\beta\operatorname H^3(M;\mathbb Z)\to\cdots$
여기서 $\beta$ 는 복시테인 준동형이다.

스핀C 구조는 원래 스핀 구조를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) 주다발을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어 만든 것이다. U(1) 주다발은 천 특성류 $c_2\in H^2(M,\mathbb Z)$ 에 의해 분류되며, 이는 위 긴 완전열에서 첫 $H^2(M,\mathbb Z)$ 에 해당한다. 이 값은 두 번째 $H^2(M,\mathbb Z)$ 에서 $\cdot2$ 의 상에 해당한다.

방해물에 막힌 U(1) ‘주다발’은 두 번째 $H^2(M,\mathbb Z)$ 에서 $\cdot2$ 의 상에 속하지 않은 원소 $\alpha\in H^2(M;\mathbb Z)$ 로 나타낼 수 있다. 스핀 구조의 방해물은 2차 슈티펠-휘트니 특성류 $w_2\in H^2(M;\mathbb Z/2)$ 이다. 이 방해물이 U(1) ‘주다발’의 방해물 $\alpha$ 와 같으려면 $\bmod2$ 에 따른 $\alpha$ 의 상이 $w_2$ 이어야 한다. 완전열의 성질에 따라, 이 조건은 $w_2$ 의 복시테인 준동형에 따른 상 $\beta w_2=W_3\in\operatorname H^3(M,\mathbb Z)=0$ 인 조건과 동치이다.

5. 예

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.

* 모든 4차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.
* 모든 개복소 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 복소수 접다발의 행렬식 선다발이다.
* 모든 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 자명한 다발이다.