스핀C 다양체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 분류
5. 예
참조

1. 개요

스핀C 구조는 스핀 구조와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다. n차원 가향 준 리만 다양체 위의 스핀C 구조는 특정 조건을 만족하는 Spin(n)^c-주다발과 주다발 사상으로 구성된다. 매끄러운 다양체 M 위에 스핀C 구조가 존재할 필요 충분 조건은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인지 여부이다. 주어진 다양체 M 위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들의 공간은 H²(M; Z) 위의 아핀 공간이다. 모든 4차원 이하 콤팩트 유향 다양체, 개복소 다양체, 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.

더 읽어볼만한 페이지

리만 기하학 - 등각 사상
등각 사상은 각도를 보존하는 사상으로, 2차원에서는 도함수가 0이 아닌 정칙 함수인 복소 함수가 해당되며, 3차원 이상에서는 상사 변환, 등거리 변환, 특수 등각 변환 등으로 분류되어 지도 제작, 항공우주 공학 등 다양한 분야에 응용된다.
리만 기하학 - 편평도
편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.

스핀C 다양체

2. 정의

'''스핀C 구조'''(spin^c structure^영어)는 스핀 구조와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다는 점에서 차이가 있다.

$n$ 차원 가향 준 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 '''스핀C 구조'''(spin^c structure^영어)는 다음 조건을 만족하는 Spin(''n'')^c-주다발 $\pi_{\operatorname{Spin^c}}\colon P_{\operatorname{Spin^c}}(M)\twoheadrightarrow M$ 과 주다발 사상 $p\colon P_{\operatorname{Spin^c}}(M)\to P_{\operatorname{SO}}(M)$ 으로 구성된다.

$\pi_{\operatorname{SO}}\circ p=\pi_{\operatorname{Spin^c}}$
임의의 $x\in P_{\operatorname{Spin^c}}$ , $h\in\operatorname{Spin^c}(n)$ 에 대하여, $p(x\cdot h)=p(x)\cdot\rho(h)$ 이다. (여기서 $\cdot$ 은 적절한 군의 작용이며, $\rho\colon\operatorname{Spin^c}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(n)$ 은 군 준동형이다.) 즉, 군의 작용은 $p$ 와 가환한다.

3. 성질

매끄러운 다양체 $M$ 위에 스핀C 구조가 존재할 필요충분조건은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류

: $W_3(M)=\beta w_2(M)\in\operatorname H^3(M;\mathbb Z)$

가 0인지 여부이다. 여기서 $\beta$ 는 복시테인 준동형

: $\beta\colon\operatorname H^2(M;\mathbb Z/2)\to\operatorname H^3(M;\mathbb Z)$

이다.

4. 분류

주어진 다양체 위에 존재하는 스핀C 구조들의 집합은 $\operatorname H^2(M;\mathbb Z)$ 위의 아핀 공간을 이룬다. 이는 U(1) 주다발의 천 특성류와 스핀 구조의 방해물인 2차 슈티펠-휘트니 특성류 사이의 관계를 통해 이해할 수 있다.

구체적으로, 아벨 군의 짧은 완전열

: $0\to\mathbb Z\stackrel{\cdot2}\hookrightarrow\mathbb Z\stackrel{+2\mathbb Z}\twoheadrightarrow\mathbb Z/2\to0$

을 생각하면, 지그재그 보조정리에 따라 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

: $\dotsb\to\operatorname H^2(M,\mathbb Z)\xrightarrow{\cdot2}\operatorname H^2(M;\mathbb Z)\xrightarrow{\bmod2}\operatorname H^2(M;\mathbb Z/2)\xrightarrow\beta\operatorname H^3(M;\mathbb Z)\to\cdots$

여기서 $\beta$ 는 복시테인 준동형이다.

스핀C 구조는 원래 스핀 구조를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) 주다발을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어 만든 것이다. U(1) 주다발은 천 특성류 $c_2\in H^2(M,\mathbb Z)$ 에 의해 분류되며, 이는 위 긴 완전열에서 첫 $H^2(M,\mathbb Z)$ 에 해당한다. 이 값은 두 번째 $H^2(M,\mathbb Z)$ 에서 $\cdot2$ 의 상에 해당한다.

방해물에 막힌 U(1) ‘주다발’은 두 번째 $H^2(M,\mathbb Z)$ 에서 $\cdot2$ 의 상에 속하지 않은 원소 $\alpha\in H^2(M;\mathbb Z)$ 로 나타낼 수 있다. 스핀 구조의 방해물은 2차 슈티펠-휘트니 특성류 $w_2\in H^2(M;\mathbb Z/2)$ 이다. 이 방해물이 U(1) ‘주다발’의 방해물 $\alpha$ 와 같으려면 $\bmod2$ 에 따른 $\alpha$ 의 상이 $w_2$ 이어야 한다. 완전열의 성질에 따라, 이 조건은 $w_2$ 의 복시테인 준동형에 따른 상 $\beta w_2=W_3\in\operatorname H^3(M,\mathbb Z)=0$ 인 조건과 동치이다.

5. 예

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.

모든 4차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.
모든 개복소 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 복소수 접다발의 행렬식 선다발이다.
모든 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 자명한 다발이다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com