틀다발

2. 정의

''$E\; \backslash to\; X$''를 위상 공간 ''$X$'' 위에 정의된 랭크 ''$k$''의 실수 벡터 다발이라고 하자. 점 ''$x\; \backslash in\; X$''에서의 '''틀'''은 벡터 공간 ''$E\_x$''의 순서 기저이다. 동등하게, 틀은 다음과 같은 선형 동형 사상으로 볼 수 있다.

:$p\; :\; \backslash mathbf\{R\}^k\; \backslash to\; E\_x.$

''$x$''에서의 모든 틀의 집합은 ''$F\_x$''로 표기하며, 가역적인 ''$k\; \backslash times\; k$'' 행렬의 일반 선형군 ''$\backslash mathrm\{GL\}(k,\backslash mathbb\{R\})$''에 의한 자연스러운 오른쪽 작용을 갖는다. 군 원소 ''$g\; \backslash in\; \backslash mathrm\{GL\}(k,\backslash mathbb\{R\})$''는 합성을 통해 틀 ''$p$''에 작용하여 새로운 틀을 생성한다.

:$p\backslash circ\; g:\backslash mathbf\{R\}^k\backslash to\; E\_x.$

''$\backslash mathrm\{GL\}(k,\backslash mathbb\{R\})$''의 ''$F\_x$''에 대한 이 작용은 자유 작용이면서 추이적 작용이다 (이는 하나의 기저를 다른 기저로 보내는 고유한 가역 선형 변환이 있다는 표준 선형 대수 결과로부터 따른다). 위상 공간으로서, ''$F\_x$''는 위상 동형이지만, "선호하는 틀"이 없기 때문에 군 구조가 없는 ''$\backslash mathrm\{GL\}(k,\backslash mathbb\{R\})$''에 위상 동형이다. 공간 ''$F\_x$''는 ''$\backslash mathrm\{GL\}(k,\backslash mathbb\{R\})$''-토르서라고 한다.

''$E$''의 '''틀 다발'''은 $F(E)$ 또는 $F\_\{\backslash mathrm\{GL\}\}(E)$로 표기하며, 모든 ''$F\_x$''의 서로소 합집합이다.

:$\backslash mathrm\; F(E)\; =\; \backslash coprod\_\{x\backslash in\; X\}F\_x.$

$F(E)$의 각 점은 ''$X$''의 점 ''$x$''와 ''$x$''에서의 틀 ''$p$''의 쌍 (''x'', ''p'')이다. 자연스러운 사영 $\backslash pi:\; F(E)\backslash to\; X$가 있는데, 이는 '''''$(x,p)$'''''를 ''$x$''로 보낸다. ''$\backslash mathrm\{GL\}(k,\backslash mathbb\{R\})$'' 군은 위에서 언급한 바와 같이 $F(E)$에 오른쪽에서 작용한다. 이 작용은 명백히 자유 작용이며, 궤도는 '''''$\backslash pi$'''''의 올이다.

2. 1. 틀

2. 2. 틀다발

2. 2. 1. 일반적인 틀다발

2. 2. 2. 직교 틀다발

• $\backslash mathbb\; R^\{p,q\}$: 부호수 $(p,q)$의 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간 $\backslash mathbb\; R^k$ 위에 이차 형식 $x\_1^2+x\_2^2+\backslash cdots+x\_p^2-x\_\{p+1\}^2-\backslash cdots-x\_k^2$을 부여한 공간이다.
• $\backslash operatorname\{Hilb\}(-;-)$: 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

2. 2. 3. 특수 직교 틀다발

2. 2. 4. 복소수 틀다발

2. 2. 5. 유니터리 틀다발