파피안

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 외대수를 이용한 정의
3. 성질
- 3.1. 전개 공식
4. 예시
5. 블록 행렬
6. 계산
7. 응용
8. 역사
참조

1. 개요

파피안은 가환환 K에 대한 2n × 2n 실수 반대칭 정사각 행렬 A에 대해 정의되는 스칼라 값으로, 행렬식과 밀접한 관련이 있다. 파피안은 행렬 원소에 대한 다항식이며, 짝수 차원 반대칭 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱과 같다. 파피안은 외대수를 사용하여 정의할 수 있으며, 행렬식과 유사한 여러 성질을 갖는다. 파피안은 재귀적인 방법, 고윳값, 외대수를 이용하는 방법 등 다양한 방법으로 계산할 수 있으며, 블록 행렬의 파피안을 계산하는 공식도 존재한다. 파피안은 직교 기저 변환 하에서 반대칭 행렬의 불변 다항식으로, 특성류 이론과 평면 그래프의 완전 매칭 수 계산 등 다양한 분야에 응용된다. 아서 케일리가 1852년에 처음 소개했으며, 요한 프리드리히 파프의 이름을 따서 명명되었다.

더 읽어볼만한 페이지

다중선형대수학 - 아인슈타인 표기법
아인슈타인 표기법은 수식에서 중복된 첨자를 사용하여 합을 간결하게 표현하는 방법으로, 동일한 항에 위첨자와 아래첨자로 반복되는 지표가 나타날 경우 해당 지표에 대한 모든 가능한 값에 대한 합을 의미하는 것으로 간주하며, 일반 상대성 이론, 텐서 대수 등에서 복잡한 수식을 단순화하는 데 사용된다.
다중선형대수학 - 외대수
외대수는 가환환 위의 가군에 대해 정의되는 텐서 대수의 몫환으로, 선형대수학, 미분기하학, 물리학 등에서 응용되며 단위 결합 대수이자 등급 대수 구조를 갖는 대수 구조이다.
행렬식 - 부피 형식
부피 형식은 다양체의 방향 결정, 측도 정의, 벡터장 발산 계산에 사용되는 미분 형식의 일종으로, 유향 다양체에서는 밀도와 관련되며, 리 군, 심플렉틱 다양체, 준-리만 다양체 등에서 자연스럽게 정의된다.
행렬식 - 야코비 행렬
야코비 행렬은 열린 집합 U에서 정의된 함수 f의 각 성분 편도함수를 요소로 가지는 행렬이며, 함수가 미분 가능할 때 전미분을 나타내고, n=m일 경우 행렬식은 함수의 동작에 대한 정보를 제공하며 다양한 분야에 응용된다.

파피안

2. 정의

가환환 $K$ 계수를 갖는 $2n\times 2n$ 반대칭 정사각 행렬 $A$ 의 파피안 $\operatorname{pf}(A)$ 는 다음과 같이 정의된다.^[2]

: $\operatorname{pf}A = \frac1{2^n n!}\sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(2n)}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^nA_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}\in K$

여기서

$\operatorname{Sym}(2n)$ 은 $\{1,2,\dotsc,2n\}$ 의 순열들의 집합이다.
$\operatorname{sgn}(\sigma)\in\{\pm1\}$ 는 순열의 부호수이다.

위 공식에서 각 항이

2^nn!

번 등장하므로, 실제로는 나눗셈이 필요하지 않다.^[2]

\{1,2,\dotsc,2n\}

의 분할 중 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을

\pi(2n)

이라고 하면, 그 크기는 다음과 같다.

:

|\pi(2n)| = \frac{(2n)!}{2^nn!}

\pi(2n)

의 원소는 표준적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

a = \{\{a(1),a(2)\},\{a(3),a(4)\},\dotsc,\{a(2n-1),a(2n)\}\}

:

\forall k\colon a(2k) < a(2k+1)

:

a(1) < a(3) < a(5) < \dotsb < a(2k-1)

이를 순열

:

\{1,\dotsc,2n\}\to\{1,\dotsc,2n\}

:

k \mapsto a(k)

로 간주하면, 이는 포함 사상

\pi(2n)\hookrightarrow\operatorname{Sym}(2n)

을 정의한다. 따라서 파피안은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\operatorname{pf}A = \sum_{a\in\pi(2n)}\operatorname{sgn}(a)A_{a(1),a(2)}A_{a(3),a(4)}\dotsm A_{a(2n-1),a(2n)}\in K

실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값으로 간단히 표현된다.

2n\times 2n

실수 반대칭 행렬

A

의 고윳값이

\pm i\lambda_1,\dots,\pm i\lambda_n

이라면,

A

의 파피안은

\lambda_i

들의 곱이다.^[2]

:

\operatorname{pf}A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n

n

이 홀수인

n \times n

반대칭 행렬의 파피안은 0으로 정의된다. 홀수 차수의 반대칭 행렬의 행렬식은 0이기 때문이다.

2. 1. 외대수를 이용한 정의

외대수를 사용하여 파피안을 정의할 수도 있다. 2n차원 벡터 공간 V의 기저

e_1, e_2, \dots, e_{2n}

에 대해, 외대수

\Lambda(V)

에서의 2형식

:

\omega = \sum_{i

를 정의하면,

\omega

의 n승 외적은 다음과 같이 파피안으로 표현된다.

:

\wedge^{\, n} \omega = \omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega = \frac{1}{n!} \operatorname{Pf}(A)e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_{2n}

^[2]

3. 성질

파피안은 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 짝수 차원 반대칭 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.^[1]

: $\det A=\left(\operatorname{pf}A\right)^2$

홀수 차원 반대칭 행렬의 파피안은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 $A$ 는 2차 미분 형식 $\omega=\frac12\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}A_{ij}dx^i\wedge dx^j$ 로 나타낼 수 있으며, 파피안은 $\omega^n/n!=\operatorname{pf}(A)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{2n}$ 으로 주어진다.

파피안은 행렬식과 유사한 다음 속성을 갖는다.

상수와 행과 열을 곱하면 파피안에 동일한 상수를 곱한다.
서로 다른 두 행과 해당 열을 동시에 바꾸면 파피안의 부호가 바뀐다.
어떤 행과 해당 열의 배수를 다른 행과 해당 열에 더해도 파피안은 변하지 않는다.

2n × 2n 반대칭 행렬 A에 대해 다음이 성립한다.^[1]

:

\operatorname{pf}(A^\text{T}) = (-1)^n\operatorname{pf}(A).

:

\operatorname{pf}(\lambda A) = \lambda^n \operatorname{pf}(A).

:

\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A).

임의의 2n × 2n 행렬 B에 대해, 다음이 성립한다.^[1]

:

\operatorname{pf}(BAB^\text{T})= \det(B)\operatorname{pf}(A).

3. 1. 전개 공식

2n차 반대칭 행렬 A에 대해, A에서 i, j행과 i, j열을 제거한 2(n-2)차 반대칭 행렬을 A⁽ⁱʲ⁾로 표기하면, 다음과 같은 전개 공식을 얻을 수 있다.^[1] 이는 행렬식의 여인수 전개에 해당한다.

:

\begin{align}\operatorname{Pf}(A)&= \textstyle\sum\limits_{j=1}^{2n} (-1)^{i+j+1} a_{ij} \operatorname{Pf}(A^{(ij)}) \\&= \textstyle\sum\limits_{j=1}^{2n} (-1)^{i+j+1} \operatorname{Pf}(a_i, a_j) \operatorname{Pf}(a_1, \cdots, \hat{a_i}, \cdots , \hat{a_j}, \cdots, a_{2n})\end{align}

4. 예시

Pfaffian^영어은 행렬의 한 종류이다.

''n'' = 1인 경우

:

\operatorname{Pf}(A)=a_{12}

''n'' = 2인 경우

:

\operatorname{Pf}(A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}

5. 블록 행렬

블록 대각 행렬의 경우, 파피안은 각 블록의 파피안의 곱으로 주어진다.

: $A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},$

: $\operatorname{pf}(A_1\oplus A_2) =\operatorname{pf}(A_1)\operatorname{pf}(A_2).$

임의의 ''n'' × ''n'' 행렬 ''M''의 경우,

: $\operatorname{pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^\text{T} & 0 \end{bmatrix} =(-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

블록 구조를 가진 왜대칭 행렬(skew-symmetric matrix) $S$ 의 파피안을 계산해야 하는 경우가 종종 있다.

: $S = \begin{pmatrix} M & Q \\ -Q^\mathrm{T} & N \end{pmatrix}\,$

여기서 $M$ 과 $N$ 은 왜대칭 행렬이고 $Q$ 는 일반적인 직사각형 행렬이다.

$M$ 이 가역 행렬(invertible matrix)일 때, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{pf}(S) = \operatorname{pf}(M)\operatorname{pf}(N+ Q^\mathrm{T} M^{-1} Q).$

이것은 에이트킨(Aitken)의 블록 대각화 공식에서 알 수 있다.^[3]^[4]^[5]

: $\begin{pmatrix}M& 0\\ 0 & N+Q^\mathrm{T} M^{-1} Q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I& 0\\ Q^\mathrm{T} M^{-1} & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} M & Q\\ -Q^\mathrm{T} & N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& -M^{-1} Q\\ 0 & I \end{pmatrix}.$

이 분해는 파피안의 성질 $\operatorname{pf}(BAB^\mathrm{T}) = \operatorname{det}(B)\operatorname{pf}(A)$ 를 사용하도록 하는 합동 변환(congruence transformations)을 포함한다.

마찬가지로, $N$ 이 가역적일 때, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{pf}(S) =\operatorname{pf}(N)\operatorname{pf}(M+ Q N^{-1} Q^\mathrm{T}),$

분해를 이용하여 알 수 있다.

: $\begin{pmatrix}M+Q N^{-1} Q^\mathrm{T}& 0\\ 0 & N\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I& -Q N^{-1}\\ 0 & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} M& Q\\ -Q^\mathrm{T} & N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& 0\\ N^{-1} Q^\mathrm{T}& I \end{pmatrix}.$

6. 계산

관례에 따라 0×0 행렬의 파피안은 1이다. ''n'' > 0인 왜대칭 2''n'' × 2''n'' 행렬 ''A''의 파피안은 다음과 같이 재귀적으로 계산할 수 있다.

: $\operatorname{pf}(A) = \sum_^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta(i-j)}a_{ij}\operatorname{pf}(A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}),$

여기서 인덱스 ''i''는 임의로 선택할 수 있으며, $\theta(i-j)$ 는 헤비사이드 계단 함수이고, $A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}$ 는 ''i''번째와 ''j''번째 행과 열이 모두 제거된 행렬 ''A''를 나타낸다.^[1] 특히 $i=1$ 로 선택하면, 다음과 같이 더 간단한 식으로 정리된다.

: $\operatorname{pf}(A) = \sum_{j=2}^{2n}(-1)^{j}a_{1j}\operatorname{pf}(A_{\hat{1}\hat{\jmath}}).$

''A''가 ''2n × 2n'' 왜대칭 행렬이라면, 다음과 같이 파피안을 계산할 수도 있다.

: $\textrm{pf}(A) = i^{(n^2)} \exp\left(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log((\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A)\right),$

여기서 $\sigma_y$ 는 두 번째 파울리 행렬이고, $I_n$ 은 차원 ''n''의 항등 행렬이며, 행렬 로그에 대한 대각합(trace)을 수행한다.

이 등식은 다음 대각합 항등식을 기반으로 한다.

: $\textrm{pf}(A)\,\textrm{pf}(B) = \exp\left(\tfrac{1}{2}\mathrm{tr}\log(A^\text{T}B)\right)$

그리고 $\textrm{pf}(\sigma_y\otimes I_n)=(-i)^{n^2}$ 라는 사실을 이용한다.

행렬의 로그를 직접 계산하는 것은 계산량이 많으므로, 대신 $((\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A)$ 의 모든 고윳값을 계산하고, 각 고윳값의 로그를 취하여 모두 더하는 방법을 사용할 수 있다. 이 방법은 로그의 성질 $\operatorname{tr}{\log{(AB)}} = \operatorname{tr}{\log{(A)}} + \operatorname{tr}{\log{(B)}}$ 를 활용한 것이다. Mathematica에서는 다음과 같은 코드로 파피안을 계산할 수 있다.

: Pf[x_] := Module[{n = Dimensions[x] / 2}, I^(n^2) Exp[ 1/2 Total[ Log[Eigenvalues[ Dot[Transpose[KroneckerProduct[PauliMatrix[2], IdentityMatrix[n]]], x] ]]]]]

하지만 이 알고리즘은 파피안의 값이 클 때 불안정하다. $(\sigma_y\otimes I_n)^\mathrm{T}\cdot A$ 의 고윳값은 일반적으로 복소수이며, 복소수 로그는 보통 $[-\pi, \pi]$ 범위의 값을 갖는 것으로 간주된다. 따라서 모든 고윳값의 로그를 더하는 과정에서, 원래 실수여야 할 파피안 값에 반올림 오차로 인해 0이 아닌 허수 성분이 나타날 수 있다.

더 효율적인 알고리즘에 대해서는 Wimmer(2012)를 참조하라.

7. 응용

파피안은 직교 기저 변환 하에서 반대칭 행렬의 불변 다항식이다. 따라서 특성류 이론에서 중요하며, 일반화된 가우스-보네 정리에 사용되는 리만 다양체의 오일러류를 정의하는 데 사용된다.

평면 그래프의 완전 매칭 수는 파피안으로 주어지며, FKT 알고리즘을 통해 다항 시간 내에 계산할 수 있다. 이는 일반적인 그래프에서는 매우 어려운 문제(#P-완전)라는 점을 고려하면 놀라운 결과이다. 이 결과는 사각형의 도미노 타일링 수, 물리학의 이징 모형, 머신 러닝의 마르코프 랜덤 필드의 분할 함수 계산 등에 사용되며, 이 때 기본 그래프는 평면 그래프이다. 또한 제한된 양자 계산의 특정 유형에 대한 효율적인 시뮬레이션을 포함하여, 해결하기 어려운 문제에 대한 효율적인 알고리즘 도출에도 응용된다. 더 자세한 내용은 홀로그래픽 알고리즘 문서를 참조하면 된다.

8. 역사

아서 케일리가 1852년에 발표한 논문에서 파피안의 개념을 요한 프리드리히 파프의 이름을 따서 도입했다.^[9] 케일리는 이 논문에서 다음과 같이 적었다.

> 파프의 미분 방정식에 대한 연구와 연관이 있으므로, 이런 유의 순열식(順列式)은 “파피안”이라고 부르도록 하겠다.^[9]

참조

_[1] 웹사이트 Archived copy https://web.archive.[...] 2015-03-31
_[2] 간행물 On some multiple integrals involving determinants https://research.tue[...] 1955
_[3] 서적 Determinants and matrices Oliver and Boyd, Edinburgh 1939
_[4] 서적 The Schur complement and its applications Springer Science & Business Media 2006
_[5] 논문 A note on the stable decomposition of skew-symmetric matrices 1982
_[6] 논문 "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice" 1961
_[7] 논문 "On the theory of permutants," 1852
_[8] 간행물 "Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, completi integrandi," https://play.google.[...] 1814
_[9] 저널 On the theory of permutants https://archive.org/[...] 1852

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com