불변 다항식

1. 개요

불변 다항식은 체 K 위의 유한 차원 리 대수의 쌍대 공간 위에 정의된 대칭 대수의 특정 원소로, 리 대수의 불변성을 만족하는 다항식이다. L∞-대수의 베유 대수와 슈발레-에일렌베르크 대수의 코호몰로지와 관련되며, 리 대수의 분류 공간의 특이 코호몰로지와 연관된다. 단순 리 대수의 경우, 킬링 형식을 포함한 특정 차수의 불변 다항식을 가지며, 이는 리 군의 특이 코호몰로지 환을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 정의

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 쌍대 공간 $\backslash mathfrak\; g^*$ 위의 대칭 대수
:$\backslash operatorname\{Sym\}(\backslash mathfrak\; g^*)$
를 생각하자. $\backslash alpha\backslash in\backslash textstyle\backslash operatorname\{Sym\}^n\backslash mathfrak\; g^*$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\backslash mathfrak\; g$의 $n$차 불변 다항식이라고 한다.
:$\backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\backslash alpha(x\_0,x\_1,\backslash dotsc,[x\_i,x\_\{i+1\}],\backslash dotsc,x\_n)\; =\; 0$
$\backslash mathfrak\; g$ 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

2.1. 불변 다항식

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 쌍대 공간 $\backslash mathfrak\; g^*$ 위의 대칭 대수
:$\backslash operatorname\{Sym\}(\backslash mathfrak\; g^*)$
를 생각하자. 원소 $\backslash alpha\backslash in\backslash textstyle\backslash operatorname\{Sym\}^n\backslash mathfrak\; g^*$가 모든 $x\_0,\; \backslash dots,\; x\_n\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; g$에 대해 다음 조건을 만족시킨다면, $\backslash mathfrak\; g$의 $n$차 불변 다항식이라고 한다.
:$\backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\backslash alpha(x\_0,x\_1,\backslash dotsc,[x\_i,x\_\{i+1\}],\backslash dotsc,x\_n)\; =\; 0$
여기서 $[\backslash cdot,\; \backslash cdot]$는 $\backslash mathfrak\; g$의 리 괄호이다.

$\backslash mathfrak\; g$ 위의 불변 다항식은 각 차수별 불변 다항식들의 합으로 구성된다. 즉, 불변 다항식들의 공간은 다음과 같이 등급 벡터 공간을 이룬다.
:$\backslash operatorname\{Inv\}(\backslash mathfrak\; g)\; =\; \backslash bigoplus\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash operatorname\{Inv\}^n(\backslash mathfrak\; g)$
여기서 $\backslash operatorname\{Inv\}^n(\backslash mathfrak\; g)$는 $n$차 불변 다항식들의 공간이다.

2.2. 베유 대수

유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 $\backslash mathfrak\; g$의 베유 대수(Weil algebra^영어) $\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, $\backslash mathfrak\; g^*$의 동차 원소 기저를 $t^i$라고 할 때, $\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$의 생성원은 $t^i$ 및 $\backslash delta\; t^i$이다 ($\backslash deg\; \backslash delta\; t^i\; =\; 1+\backslash deg\; t^i$). 또한, 그 미분은 다음과 같다.
:$\backslash mathrm\; dt^i\; =\; \backslash mathrm\; d\_\{\backslash mathrm\{CE\}\}t^i\; +\; \backslash delta\; t^i$
:$\backslash mathrm\; d\backslash delta\; t^i\; =\; -\backslash delta\backslash mathrm\; d\_\{\backslash mathrm\{CE\}\}t^i$
여기서 $\backslash mathrm\; d\_\{\backslash operatorname\{CE\}\}$란 슈발레-에일렌베르크 대수 $\backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$의 미분이다. 즉, 이는 $\backslash delta^2\; =\; \backslash \{\backslash mathrm\; d,\backslash delta\; \backslash \}\; =\; 0$을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형
:$\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$
:$t^i\; \backslash mapsto\; t^i$
:$\backslash delta\; t^i\; \backslash mapsto\; 0$
이 존재한다.

2.3. L_∞-대수의 불변 다항식

유한형 L_∞-대수 $\backslash mathfrak\; g$의 불변 다항식은 베유 대수 $\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$의 원소 $\backslash alpha\backslash in\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$ 중에서 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
:$\backslash alpha\backslash in\backslash bigwedge\backslash delta\backslash mathfrak\; g^*\; \backslash subseteq\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$
:$\backslash mathrm\; d\_\{\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\}\; \backslash alpha\; =\; 0$
즉, 베유 대수의 닫힌 원소 중에서 $\backslash delta\backslash mathfrak\; g^*$만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. $\backslash mathfrak\; g$가 리 대수인 경우, 불변 다항식은
:$\backslash operatorname\{Sym\}(\backslash mathfrak\; g^*)\backslash subseteq\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\; =\; \backslash operatorname\{Sym\}(\backslash mathfrak\; g^*)\; \backslash otimes\; \backslash bigwedge(\backslash mathfrak\; g^*)$
의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

3. 성질

리 대수 $\backslash mathfrak\; g$에 대응하는 불변 다항식의 공간 $\backslash operatorname\{inv\}(\backslash mathfrak\; g)$, 베유 대수 $\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$, 슈발레-에일렌베르크 대수 $\backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$는 리 군 $G$ 및 그와 관련된 위상 공간들의 특이 코호몰로지를 연구하는 데 중요한 대수적 도구로 사용된다.

특히, 이 대수들은 표수 0인 체 위에서 리 군 $G$, 보편 주다발의 전체 공간 $\backslash mathrm\; EG$, 분류 공간 $\backslash mathrm\; BG$의 특이 코호몰로지에 대한 대수적 모형을 제공한다. 이들 사이에는 다음과 같은 사슬 관계가 존재하며,
:$\backslash operatorname\{inv\}(\backslash mathfrak\; g)\backslash to\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$
이는 위상 공간들의 관계 $\backslash mathrm\; BG\backslash leftarrow\backslash mathrm\; EG\; \backslash leftarrow\; G$와 대응된다. 각 대수의 코호몰로지는 해당하는 위상 공간의 특이 코호몰로지와 같다는 중요한 성질을 가진다.

3.1. 코호몰로지 관계

리 대수 $\backslash mathfrak\; g$에 대하여, 베유 대수 $\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$, 슈발레-에일렌베르크 대수 $\backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$, 그리고 불변 다항식의 공간 $\backslash operatorname\{inv\}(\backslash mathfrak\; g)$ 사이에는 다음과 같은 사슬 관계가 존재한다.
:$\backslash operatorname\{inv\}(\backslash mathfrak\; g)\backslash to\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$
이 대수적 구조는 리 군 $G$와 관련된 위상 공간들의 관계를 표수 0인 체 $K$ 위의 특이 코호몰로지 관점에서 설명하는 모형이다. 구체적으로, 이는 $G$의 분류 공간 $\backslash mathrm\; BG$와 보편 주다발의 전체 공간 $\backslash mathrm\; EG$ 사이의 관계
:$\backslash mathrm\; BG\backslash leftarrow\backslash mathrm\; EG\; \backslash leftarrow\; G$
에 대응된다. 즉, 각 대수의 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 대응하는 위상 공간의 특이 코호몰로지와 같다.

각 대수와 공간 사이의 구체적인 코호몰로지 관계는 다음과 같다.

* 베유 대수 $\backslash operatorname\; W(\backslash mathfrak\; g)$의 코호몰로지는 $\backslash mathrm\; EG$의 특이 코호몰로지와 같다. $\backslash mathrm\; EG$는 축약 가능 공간이므로, 그 코호몰로지는 0차에서만 $K$이고 나머지 차수에서는 0이다.
:
* 슈발레-에일렌베르크 대수 $\backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g)$의 코호몰로지는 리 군 $G$의 특이 코호몰로지 $\backslash operatorname\; H\_\{\backslash text\{sing\}\}^\backslash bullet(G;K)$와 같으며, 이는 또한 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 리 대수 코호몰로지 $\backslash operatorname\; H^\backslash bullet\_\{\backslash text\{LieAlg\}\}(\backslash mathfrak\; g;K)$와 같다.
:$\backslash operatorname\; H^\backslash bullet(\backslash operatorname\{CE\}(\backslash mathfrak\; g))\; =\; \backslash operatorname\; H\_\{\backslash text\{sing\}\}^\backslash bullet(G;K)\; =\; \backslash operatorname\; H^\backslash bullet\_\{\backslash text\{LieAlg\}\}(\backslash mathfrak\; g;K)$
* 불변 다항식의 공간 $\backslash operatorname\{inv\}(\backslash mathfrak\; g)$은 그 자체로 코호몰로지 군으로 볼 수 있으며 (정의상 모든 원소가 닫힌 원소이므로), 이는 분류 공간 $\backslash mathrm\; BG$의 특이 코호몰로지 $\backslash operatorname\; H\_\{\backslash text\{sing\}\}^\backslash bullet(\backslash mathrm\; BG;K)$와 같다.
:$\backslash operatorname\{inv\}^\backslash bullet(\backslash mathfrak\; g)\; =\; \backslash operatorname\; H\_\{\backslash text\{sing\}\}^\backslash bullet(\backslash mathrm\; BG;K)$

4. 예

체 $K$ 위의 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$를 생각해보자. 이 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 킬링 형식 $B$는 2차 불변 다항식의 대표적인 예이다.

킬링 형식 $B$는 $\backslash mathfrak\; g$ 위의 대칭 쌍선형 형식으로, $B\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Sym\}^2\backslash mathfrak\; g^*$로 표현할 수 있다. 이것이 불변 다항식이라는 것은 다음 조건을 만족한다는 의미이다.
:$B(x,[y,z])\; -\; B([x,y],z)\; =\; 0\backslash qquad\backslash forall\; x,y,z\backslash in\backslash mathfrak\; g$
이 식은 리 대수의 연산 $[\backslash cdot,\; \backslash cdot]$에 대해 킬링 형식이 불변함을 보여준다.

4.1. 단순 리 대수의 불변 다항식

계수 $n$의 단순 리 대수는 $n$개의 독립적인 불변 다항식을 가진다. 각 단순 리 대수 유형별 불변 다항식의 차수는 다음과 같다.

위 표에서 "차수"는 다항식으로서의 차수를 의미한다. 모든 단순 리 대수에서 가장 낮은 차수의 불변 다항식은 항상 2차이며, 이는 해당 리 대수의 킬링 형식에 해당한다.

이 불변 다항식의 차수들은 해당 리 대수에 대응하는 콤팩트 리 군의 위상적 성질과 깊은 관련이 있다. 구체적으로, 이 차수들은 리 군의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환의 구조를 결정한다. 만약 어떤 단순 리 대수의 불변 다항식 차수가 $d\_1,\; d\_2,\; \backslash dotsc,\; d\_r$ (여기서 $r$은 리 대수의 계수)이라면, 해당 리 군의 특이 코호몰로지 환은 각각 차수가 $2d\_i\; -\; 1$인 $r$개의 생성원으로 생성되는 외대수이다.
:$\backslash deg\; x\_i\; =\; 2d\_i-1$
이 관계를 통해 리 군의 전체 차원 또한 계산할 수 있다.
:$\backslash dim\; G\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^r\; (2d\_i-1)$

각 리 대수 유형별 불변 다항식의 구체적인 형태는 해당 리 대수의 표현 방식에 따라 다르게 나타나며, 자세한 내용은 각 리 대수 유형별 하위 섹션에서 다룬다.

4.1.1. A_n형 리 대수

$\backslash mathfrak\; a\_n$형 리 대수는 특수 유니터리 군 SU(n+1)에 대응하는 리 대수로, $\backslash mathfrak\{su\}(n+1)$로 표기한다. 이 리 대수의 원소는 $(n+1)\backslash times\; (n+1)$ 크기의 행렬로 표현될 수 있으며, 구체적으로는 대각합이 0인 반 에르미트 행렬이다.

$\backslash mathfrak\; a\_n$의 불변 다항식은 이러한 행렬 $M$을 이용하여 정의된다. $k$차 불변 다항식 $p\_k(M)$은 행렬 $M$의 $k$ 거듭제곱의 대각합으로 주어진다.
:$p\_k(M)\; =\; \backslash operatorname\{tr\}\_\{(n+1)\backslash times(n+1)\}(M^k)$
여기서 $\backslash operatorname\{tr\}$은 행렬의 대각합을 의미한다.

만약 $k=1$이라면, 행렬 $M$은 대각합이 0이므로 $p\_1\; =\; \backslash operatorname\{tr\}(M)\; =\; 0$이다. 또한, $k\; \backslash ge\; n+2$인 경우의 불변 다항식 $p\_k$는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있으므로, 독립적인 불변 다항식으로 취급하지 않는다.

결과적으로 $\backslash mathfrak\; a\_n$형 리 대수의 독립적인 불변 다항식들은 차수가 2, 3, …, n+1인 것들이다.

4.1.2. B_n, C_n형 리 대수

$\backslash mathfrak\; b\_n$형 단순 리 대수와 $\backslash mathfrak\; c\_n$형 단순 리 대수의 불변 다항식은 각각 $n$개 존재하며, 그 차수는 2, 4, 6, …, 2$n$이다.

4.1.3. D_n형 리 대수

$\backslash mathfrak\; d\_n$형 단순 리 대수의 불변 다항식은 총 $n$개가 존재하며, 그 차수는 2, 4, 6, …, 2n−2, n 이다. 이는 특수 직교 리 대수 $\backslash mathfrak\{so\}(2n)$에 해당한다.

$\backslash mathfrak\{so\}(2n)$의 원소는 반대칭 $2n\; \backslash times\; 2n$ 행렬 $M$으로 나타낼 수 있다. 이 행렬 $M$을 이용하여 불변 다항식을 구성할 수 있다. 기본적인 불변 다항식은 행렬 $M$의 짝수 거듭제곱의 대각합(trace)으로 주어진다.
:$p\_k(M)\; =\; \backslash operatorname\{tr\}(M^k)$
여기서 $k$는 짝수이다. $M$이 반대칭 행렬이므로, $k$가 홀수일 경우에는 $\backslash operatorname\{tr\}(M^k)\; =\; 0$이 되기 때문이다. 따라서 $\backslash mathfrak\; d\_n$의 불변 다항식 중 차수가 2, 4, …, 2n−2인 것들은 이러한 $p\_k$ (단, $k=2,\; 4,\; \backslash dots,\; 2n-2$)에 해당한다.

추가적으로, 차수가 $n$인 불변 다항식이 하나 더 존재한다. 이는 다음과 같이 정의된다.
:$q(M)\; =\; \backslash epsilon^\{i\_1j\_1i\_2j\_2\backslash dotsb\; i\_nj\_n\}M\_\{i\_1j\_1\}\; \backslash dotsm\; M\_\{i\_nj\_n\}$
여기서 $\backslash epsilon^\{i\_1j\_1\backslash dotsb\; i\_nj\_n\}$은 레비치비타 기호이고, $M\_\{ij\}$는 행렬 $M$의 $(i,\; j)$ 성분이다. 이 $q(M)$은 행렬식과 유사한 형태를 가지며, $\backslash mathfrak\; d\_n$ 리 대수의 중요한 불변량 중 하나이다.

4.1.4. E₆, E₇, E₈, F₄, G₂형 리 대수

E₆, E₇, E₈, F₄, G₂형 단순 리 대수의 불변 다항식 차수는 다음과 같다.