푸앵카레 재귀정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 상세 내용
4. H 정리와의 관계
참조

1. 개요

푸앵카레 재귀 정리는 앙리 푸앵카레가 1890년에 증명한 정리로, 동역학계가 부피를 보존하고 유계 궤도를 가질 경우, 초기 상태에 무한히 가까워지는 시간이 존재한다는 것을 의미한다. 이 정리는 고전 역학, 위상수학, 양자 역학 등 다양한 분야에서 나타나며, 특히 열역학 제2법칙과 관련된 H 정리의 모순을 지적하는 재귀 역설로도 알려져 있다.

더 읽어볼만한 페이지

에르고딕 이론 - 에르고딕성
에르고딕성은 확률 공간에서 측도 보존 변환이 갖는 특성으로, 계의 시간 평균이 공간 평균과 같다는 성질을 나타내며, 무작위성에 대한 수학적 정의를 제공하고 공간을 채우는 방식으로 움직이는 시스템을 설명하는 데 사용된다.
에르고딕 이론 - 기본 영역
기본 영역은 위상 공간에서 군의 작용으로 생성된 궤도의 대표원 집합으로, 몫공간 적분 계산에 활용되며 위상적으로 충분히 좋고 준불변 측도에 대해 거의 열린 집합 조건을 만족해야 한다.
수학 정리 - 마스터 정리
마스터 정리는 분할 정복 알고리즘의 시간 복잡도 분석 도구로서, 점화식을 세 가지 경우로 나누어 재귀 알고리즘의 효율성을 파악하고, 다양한 정렬 및 일반 알고리즘 분석에 활용되지만, 특정 조건에서는 적용이 제한될 수 있습니다.
수학 정리 - 베이즈 정리
베이즈 정리는 조건부 확률을 계산하는 방법으로, 사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 확률과 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률 사이의 관계를 나타내며 사전 확률과 가능도를 이용하여 사후 확률을 계산하고 다양한 분야에서 활용된다.
물리학 정리 - 뇌터 정리
뇌터 정리는 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 설명하는 정리로, 라그랑지안의 대칭 변환 불변성에 따라 에너지, 운동량 등 보존량이 존재함을 보여주며, 고전역학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다.
물리학 정리 - 보어-판레이우언 정리
보어-판레이우언 정리는 고전 역학으로는 자기 현상을 설명할 수 없음을 밝히는 정리이며, 양자 역학의 필요성을 제시하고 보어 모형 개발에 영향을 미쳤다.

푸앵카레 재귀정리
푸앵카레 재귀 정리
분야	동역학계
공식화자	앙리 푸앵카레
관련 항목	에르고딕 이론 마르코프 연쇄 볼츠만 뇌
설명
내용	특정 동역학계는 결국 초기 상태로 (또는 그 근처로) 되돌아온다.

2. 역사

앙리 푸앵카레는 1890년 논문에서 푸앵카레 재귀 정리를 증명하였다. 해석역학에서 역학계의 하나의 상태는 상 공간상의 점으로 표시되며, 푸앵카레 재귀 정리는 이 상 공간상의 역학계에 관한 정리이다.

루트비히 볼츠만은 열역학 제2법칙을 원자론으로 설명하려 시도하여 H 정리를 발표하였다. 이에 대해 에른스트 체르멜로는 1896년, 푸앵카레 재귀 정리를 근거로 하는 '''재귀 역설(recurrence paradox)'''을 발표하여 비판하였다.

3. 상세 내용

해밀턴 역학에서 상 공간 위의 점은 역학계의 상태를 나타내며, 그 점의 근방은 그 상태에 가까운 상태들의 집합을 의미한다. 푸앵카레 재귀 정리는 이러한 상 공간 상의 역학계에 관한 정리로, 간단히 말하면 특정 조건들이 만족되면 역학계는 유한한 시간 안에 초기 상태로 거의 되돌아온다는 것을 의미한다. 즉, 거의 모든 궤도가 출발점의 임의의 근방으로 무한히 돌아오며, 주어진 초기 조건에 얼마든지 접근하고, 이를 반복한다.

재귀 정리가 성립하기 위한 조건은 역학계가 보존적, 즉 상 공간 내 점 집합의 부피가 보존되어야 하며, 궤도가 유한한 영역에 한정되어야 한다는 것이다. 예를 들어 뉴턴 역학이 성립하는 계에서 등 에너지 면 위를 움직이는 궤도에서는 재귀 정리가 성립한다.

푸앵카레 재귀 정리의 주장은 해밀턴 역학에서 위상 공간 상의 점의 시간 발전을 수학적으로 추상화한 측도 공간 상의 보존 변환이 만족하는 성질로 형식화된다.^[17]^[18]^[19] 해밀턴 역학에서는 일반화 좌표와 그에 대응되는 정준 운동량의 조합으로 이루어진 정준 변수에 의해 계의 상태가 기술된다. 시간 발전은 해밀턴의 정준 방정식에 의해 기술되며, 여기서 계의 해밀토니안이 사용된다.

리우빌 정리에 따르면, 위상 공간 상의 부피 요소는 시간 발전에 대해 불변하며, 이는 보존 변환임을 의미한다. 해밀토니안이 시간에 명시적으로 의존하지 않는 경우, 에너지 보존 법칙에 따라 궤도는 등 에너지 면 내에 머무르게 된다. 이 등 에너지 면 내의 영역의 면적은 기울기 벡터를 이용하여 표현할 수 있다. 푸앵카레 재귀 정리에서는 등 에너지 면의 면적이 유한하다는 가정이 필요하며, 이는 일반화 좌표나 정준 운동량이 무한히 증가하지 않는다는 가정에 해당한다.

위상수학적 표현으로, 만약 제2 가산 하우스도르프 공간이고 보렐 대수를 포함한다면, 재귀하지 않는 점들은 영측도이다. 즉, 거의 모든 점들이 재귀한다.^[24]

양자 역학에서도 유사한 정리가 성립하는데,^[25]^[26]^[27] 이를 양자 재귀 정리라고 부른다.^[22] 이산적인 에너지 준위를 갖는 양자계는 시간 발전에 의해 초기 상태에 임의로 가까이 돌아올 수 있다. 즉, 임의의 허용 오차와 초기 시각에 대해, 특정 조건을 만족하는 시간이 존재하여 상태 벡터가 초기 상태로 돌아온다.

3. 1. 고전 역학에서의 재귀 정리

측도 공간(X, Σ, μ)가 유한하고, f: X → X가 측도보존 변환일 때, 푸앵카레 재귀정리는 다음과 같이 두 가지 형태로 나타낼 수 있다.

임의의 E ∈ Σ에 대해, 모든 n > 0에 대해 fⁿ(x) ∉ E 를 만족하는 E의 점 x들의 집합은 영측도이다. 즉, E의 거의 모든 점은 E로 재귀한다. 더 나아가, 거의 모든 점들은 무한 번 재귀하는데, 이는 다음이 성립함을 의미한다.

:μ({x ∈ E: ∃ N, 모든 n > N에 대해 fⁿ(x) ∉ E}) = 0. ^[23]

상미분 방정식으로 정의된 모든 동역학계는 위상 공간을 자기 자신으로 사상하는 흐름 사상 f^t를 결정한다. 이 계는 위상 공간 내 집합의 부피가 흐름 하에서 불변일 경우 부피 보존이라고 한다. 예를 들어, 모든 해밀턴 역학계는 리우빌 정리에 의해 부피를 보존한다. 만약 흐름이 부피를 보존하고 유계 궤도만을 가진다면, 각 열린 집합에 대해, 이 열린 집합과 교차하는 모든 궤도는 무한히 많이 교차한다.^[5]

이 증명은 다음 두 가지 전제에 기반한다.^[6]

# 접근 가능한 총 위상 공간 부피에 유한한 상한을 설정할 수 있다. 기계적 시스템의 경우, 시스템이 공간의 유한한 ''물리적'' 영역에 포함되어야 한다.

# 동역학에서 유한 요소의 위상 부피는 보존된다(기계적 시스템의 경우, 리우빌 정리에 의해 보장된다).

어떤 유한한 시작 부피 D₁을 위상 공간이라고 상상하고 시스템의 동역학에 따라 그 경로를 따라가 보자. 유한한 위상 공간을 가정하면, 일정 횟수의 단계 k₁ 후에 위상 튜브는 자신과 교차해야 한다. 이는 시작 부피의 유한한 부분 R₁이 재귀적임을 의미한다.

이제 시작 위상 부피의 비귀환 부분 D₂의 크기를 고려해 보자. 비귀환 부분이 유한하면, 유한한 부분 R₂가 k₂ 단계 후에 돌아와야 한다. 그러나 이는 모순이다. 따라서 시작 부피의 비귀환 부분은 공집합일 수 없다. 즉, 모든 D₁은 일정 횟수의 단계 후에 재귀적이다.

이 정리는 재귀의 특정 측면에 대해 언급하지 않는다.

시작 위상 부피로 절대 돌아오지 않거나, 유한한 횟수만 돌아온 다음 다시는 돌아오지 않는 특별한 위상이 있을 수 있다.
위상 부피의 모든 부분이 동시에 돌아올 필요는 없다.
가능한 모든 위상 부피가 소진되기 전에 위상 튜브가 시작 부피로 완전히 돌아오는 것을 막는 것은 없다.
"거의 모든" 시작 위상의 경우, 시스템이 결국 그 시작 위상에 임의로 가까이 돌아올 것이다.
부피 내의 주어진 위상의 경우, 재귀는 반드시 주기적인 재귀는 아니다.

해석역학에서 역학계의 하나의 상태는 상 공간상의 점으로 표시되며, 그 점의 근방은 그 상태에 가까운 상태의 집합을 나타낸다. '''푸앵카레 재귀 정리'''는 이 상 공간상의 역학계에 관한 정리이다. 간단히 말하면, "역학계는, 어떤 종류의 조건이 충족되면, 그 임의의 초기 상태로 유한 시간 내에 거의 재귀한다", "거의 모든 궤도가 출발점의 임의의 근방으로 무한히 돌아온다", "주어진 초기 조건에, 얼마든지 접근하며, 그것을 몇 번이라도 반복할 수 있다"라고 표현된다.

재귀 정리가 성립하는 조건은, 역학계가 '''보존적'''(상 공간 내 점 집합의 부피가 보존되는 것)이며, 그 궤도가 유한 영역으로 제한되어 있다는 것이다. 예를 들어 뉴턴 역학이 성립하는 계에서 등 에너지 면을 움직이는 궤도에서는 재귀 정리가 성립한다.

푸앵카레 재귀 정리의 주장은, 해밀턴 역학에서의 위상 공간 상의 점의 시간 발전을 수학적으로 추상화한 측도 공간 상의 보존 변환이 만족하는 성질로 정식화된다^[17]^[18]^[19]。

해밀턴 역학에서는, 일반화 좌표와 정준 켤레 정준 운동량의 조합으로 이루어진 정준 변수에 의해 계의 상태가 기술된다. 의 시간 발전은, 해밀턴의 정준 방정식

:,

:

로 기술된다. 단, 는 계의 해밀토니안이다. 이 시간 발전에 의해

:

를 주는 사상 가 정해진다. 사상는

:

:

을 만족하며, 그 집합는 '''흐름''' (flow)이라고 불린다. 리우빌 정리에 따르면, 위상 공간 상의 부피 요소

:

는, 에 의한 시간 발전에 대해 불변이다. 이것은 가 측도를 불변으로 유지하는 '''보존 변환'''임을 의미한다.

해밀토니안 가 시간에 명시적으로 의존하지 않는 경우, 에너지 는 보존량이며, 궤도 는

:

로 주어지는 위상 공간 내의 등 에너지 면 ^[20] 내에 머무르게 된다. 이 등 에너지 면 내의 영역 의 면적은,

:

로 주어진다. 여기서, 는 의 면적 요소^[21], 는 기울기 벡터이다. 즉, (과 그 완전 가법족)에 측도 가 도입된다.

푸앵카레 재귀 정리에서는, 의 면적이 유한하다는 가정

:

이 놓인다. 이것은 일반화 좌표 나 정준 운동량 가 무한히 증대하지 않는다는 가정에 상당한다. 집합에 대해, 를 위의 완전 가법족,를 측도로 하는 측도 공간을 고려한다. 여기서 는 유한라고 가정한다. 또한, 사상을 임의의에 대해, 를 만족하는 보존 변환으로 한다. 가라고 하면, 거의 모든 점 에 대해, 반 궤도는 무한히로 되돌아온다. 음의 반 궤도에 대해서도 마찬가지이다.

3. 2. 위상수학적 표현

만약

X

가 제2 가산 하우스도르프 공간이고

\Sigma

가 그 보렐 대수를 포함한다면,

f

의 재귀하지 않는 점들은 영측도이다. 다시 말해, 거의 모든 점들이 재귀한다.^[24]

더 일반적으로, 이 정리는 보존계에 적용되며, 측도를 보존하는 역학계에만 적용되는 것은 아니다. 대략적으로 말하면, 보존계는 재귀 정리가 적용되는 대상이라고 할 수 있다.

3. 3. 양자 역학에서의 재귀 정리

에너지 준위가 이산적인 양자역학적 계에 대해서도 비슷한 정리가 성립한다.^[25]^[26]^[27] 이는 다음과 같다.

상태 벡터

|\psi(t)\rangle

가 초기 상태

|\psi(0)\rangle

의 시간 변화라고 하자. 임의의 허용 오차

\epsilon>0

과

T_0>0

에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 시간

T

가 존재한다.

$T>T_0$ . 즉, $T$ 는 $T_0$ 이후이다.
$\left\| | \psi(T)\rangle - |\psi(0)\rangle\right\| < \epsilon$ . 즉, 시각 $T$ 에서 상태 벡터 $\psi(t)$ 는 초기 상태로 오차 $\epsilon$ 이내로 돌아온다.

이산 에너지 고유 상태를 갖는 시간 독립적인 양자 역학적 시스템의 경우, 유사한 정리가 성립한다. 모든

\varepsilon >0

와

T_0>0

에 대해,

T_0

보다 큰 시간 ''T''가 존재하여

|| \psi(T) \rangle - |\psi(0)\rangle| < \varepsilon

가 성립하며, 여기서

| \psi(t)\rangle

는 시간 ''t''에서의 시스템의 상태 벡터를 나타낸다.^[7]^[8]^[9]

증명의 핵심 요소는 다음과 같다. 시스템은 다음과 같이 시간에 따라 진화한다.

:

|\psi(t)\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n \exp(-i E_n t)|\phi_n\rangle

여기서

E_n

은 에너지 고유값이며 (자연 단위를 사용하므로

\hbar = 1

),

|\phi_n \rangle

은 에너지 고유 상태이다. 시간 ''

T

''와 시간 0에서의 상태 벡터 차이의 제곱 노름은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

| |\psi(T) \rangle - |\psi(0)\rangle|^2 = 2\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 [1-\cos(E_n T)]

합계를 ''n'' = ''N''에서 중단할 수 있으며, 이는 ''T''에 독립적이다. 왜냐하면

:

\sum_{n=N+1}^\infty |c_n|^2 [1-\cos(E_n T)] \leq 2\sum_{n=N+1}^\infty |c_n|^2

이것은 ''N''을 증가시켜 임의로 작게 만들 수 있다.

\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2

의 합계는 초기 상태의 제곱 노름이며 1로 수렴하기 때문이다.

유한 합계

:

\sum_{n=0}^N |c_n|^2 [1-\cos(E_n T)]

는 다음과 같은 구성을 통해 특정 시간 ''T'' 선택에 따라 임의로 작게 만들 수 있다. 임의의

\delta>0

을 선택한 다음, 모든 수

0 \leq n \leq N

에 대해 다음을 만족하는 정수

k_n

이 존재하도록 ''T''를 선택한다.

:

|E_n T -2\pi k_n|<\delta

이 특정 ''T'' 선택에 대해,

:

1-\cos(E_n T)<\frac{\delta^2}{2}

따라서 다음과 같다.

:

2\sum_{n=0}^N |c_n|^2 [1-\cos(E_n T)] < \delta^2 \sum_{n=0}^N |c_n|^2<\delta^2

따라서 상태 벡터

|\psi(T)\rangle

는 초기 상태

|\psi(0)\rangle

에 임의로 가깝게 돌아간다.

고전 역학에서의 푸앵카레 재귀 정리에 대응하는 양자역학 버전이라고 할 수 있는 양자 재귀 정리가 존재한다.^[22] 이 정리에 따르면, 이산적인 에너지 준위만을 갖는 양자계는 시간 발전에 의해 초기 상태에 얼마든지 가까이 돌아온다.

이산 에너지 준위만을 갖는 양자계에서, 계의 상태 벡터를

\psi(t)

|ψ(''t'')^영어로 나타낸다. 이때, 임의의 양의 상수

\epsilon

|ε^영어 > 0과 임의의 초기 시각

t_0

|''t''₀^영어에 대해,

:

|| \,|\psi(T)\rangle-|\psi(t_0) \rangle ||< \epsilon

을 만족하는 시각 T ( > ''t''₀)|T ( > ''t''₀)^영어가 존재한다. 단,

||\psi||

는

||\psi||^2 = \langle\psi|\psi\rangle

로 주어지는 노름이다.

4. H 정리와의 관계

루트비히 볼츠만은 열역학 제2법칙을 원자론적으로 설명하려는 시도로 H 정리를 발표하였다. 에른스트 체르멜로는 1896년 푸앵카레 재귀 정리를 근거로 H 정리가 열역학 제2법칙과 모순된다고 비판했다(재귀 역설(recurrence paradox)).

참조

_[1] 논문 Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique https://projecteucli[...]
_[2] 문서 Poincaré, ''Œuvres'' VII, 262–490 (theorem 1 section 8)
_[3] 논문 Über den Wiederkehrsatz von Poincaré
_[4] 문서 Carathéodory, ''Ges. math. Schr.'' IV, 296–301
_[5] 간행물 Poincaré recurrence: Old and new World Scientific
_[6] 서적 Elementary Principles in Statistical Mechanics Charles Scribner's Sons
_[7] 논문 Quantum Recurrence Theorem
_[8] 논문 Almost Periodicity and the Quantal H theorem
_[9] 논문 Note on the quantum recurrence theorem
_[10] 문서 『岩波理化学辞典-第5版』(1998)
_[11] 문서 山本、中村 (1998)
_[12] 문서 『物理学辞典-改訂版』培風館(1992/05)
_[13] 문서 『現代物理数学ハンドブック』(2005)
_[14] 문서 H. Poincaré, "Sur le probléme des trois corps et les équations de la dynamique," ''Acta Mathematica'', '''13''', 1890, 1-270.
_[15] 문서 藤原、兵頭 (1995) 11章
_[16] 문서 ピーター・コヴニー;ロジャー・ハイフィールド『時間の矢、生命の矢』草思社(1995/03) p19,70
_[17] 문서 山本、中村 (1998)
_[18] 문서 大沢、湯川 (1973)
_[19] 문서 十時 (1971)
_[20] 문서 相空間の2n-1次元の超曲面をなす
_[21] 문서 2n-1次元の超曲面 {{math|Ω_''E''}} の体積要素である。
_[22] 문서 P. Bocchieri and A. Loinger,"Quantum Recurrence Theorem," ''Phys. Rev.'' '''107''', 337 (1957)
_[23] 웹사이트 Proof of Poincaré recurrence theorem 1 https://planetmath.o[...]
_[24] 웹사이트 proof of Poincaré recurrence theorem 2 https://planetmath.o[...]
_[25] 저널 Quantum Recurrence Theorem https://archive.org/[...] 1957-01-01
_[26] 저널 Almost periodicity and the quantal H theorem
_[27] 저널 Note on the quantum recurrence theorem
_[28] 서적 熱学入門―マクロからミクロへ 1995-06-01

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com