에른스트 체르멜로
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1. 개요
에른스트 체르멜로는 독일의 수학자이자 논리학자이다. 그는 변분법, 유체역학, 열역학, 게임 이론 등 다양한 분야에서 연구를 수행했으며, 특히 집합론과 공리적 집합론 발전에 크게 기여했다. 체르멜로는 정렬 가능 정리를 증명하고, 집합론의 공리화를 시도했으며, 그의 공리계는 아브라함 프뢴켈과 토랄프 스콜렘에 의해 개선되어 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)으로 발전했다. 또한, 체르멜로의 항해 문제와 같은 최적 제어 문제도 제안했다.
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| 에른스트 체르멜로 - [인물]에 관한 문서 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 이름 | 에른스트 프리드리히 페르디난트 체르멜로 |
| 원어 이름 | Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo |
| 출생 | 1871년 7월 27일 |
| 출생지 | 독일 제국 베를린 |
| 사망 | 1953년 5월 21일 |
| 사망지 | 서독 프라이부르크 |
| 국적 | 독일 |
| 학문 분야 | |
| 분야 | 수학 |
| 근무지 | 취리히 대학교 |
| 모교 | 베를린 훔볼트 대학교 |
| 박사 지도교수 | 라차루스 푹스 헤르만 아만두스 슈바르츠 |
| 주요 업적 | 체르멜로-프렝켈 집합론 |
| 수상 | |
| 수상 | 아커만-토이프너 기념상 (1916년) |
| 개인 정보 | |
| 배우자 | 게르트루트 제캄프 (1944년 결혼 - 사망) |
2. 생애
1889년 베를린의 루이젠슈타트 김나지움(Luisenstädtisches Gymnasiumde)을 졸업하고, 베를린 대학교, 할레-비텐베르크 대학교, 프라이부르크 대학교에서 수학, 물리학, 철학을 공부했다. 1894년 베를린 대학교에서 변분법에 관한 논문(''Untersuchungen zur Variationsrechnung'')으로 박사 학위를 받았다.
베를린 대학교에서 플랑크의 지도 아래 물리학을 연구했으며, 1896년에는 볼츠만의 H 정리에 대해 열역학계는 오랜 시간이 지난 후에는 원래 상태로 복귀하고 엔트로피는 감소해야 한다는 비판(재귀성 역설)을 제기했다.[2] 1897년 괴팅겐 대학교로 옮겼다.
1900년 힐베르트가 제시한 미해결 23개의 중요 문제 중 첫 번째 문제인 연속체 가설에 착수하여 1902년 관련 첫 논문을 발표했다. 1904년 정렬 가능 정리를 증명, 연속체 가설에 대한 첫 단계를 밟아 이듬해 괴팅겐 대학교 교수가 되었으나, 이 증명은 선택 공리에 기초하여 완전히 받아들여지지 않았다. 1908년 보다 일반적인 증명을 제시하고, 1905년 집합론 공리화에 착수하여 1908년 공표했지만 모순성을 증명하지는 못했다.
1910년 취리히 대학교로 옮겨 1916년까지 재직했다. 1922년 아돌프 프렝켈과 토랄프 스콜렘이 독립적으로 체르멜로의 공리계를 개량, 10개의 공리로 구성된 체르멜로-프렝켈 공리계(ZF)는 공리적 집합론에서 가장 일반적으로 사용된다.
1926년 프라이부르크 대학교 명예 교수직을 받았으나, 1935년 히틀러에 반발하여 사임했다. 제2차 세계 대전 후 다시 명예 교수직을 수여받았다.
2. 1. 초기 생애와 교육
Luisenstädtisches Gymnasiumde을 1889년에 졸업하였다. 그 후, 베를린 대학교, 할레-비텐베르크 대학교, 프라이부르크 대학교에서 수학, 물리학, 철학을 공부하였다. 1894년 베를린 대학교에서 변분법에 관한 논문(''Untersuchungen zur Variationsrechnung'')으로 박사 학위를 받았다.2. 2. 학문적 경력
에른스트 체르멜로는 1894년 베를린 대학교에서 변분법에 관한 논문으로 박사 학위를 받았다. 베를린 대학교에 남아 플랑크의 조교로 임명되었으며, 그의 지도 아래 유체역학을 연구했다.[2] 1897년 괴팅겐 대학교로 가서 1899년 교수 자격 논문을 완성했다.[2]1910년 취리히 대학교 수학과 교수로 임명되었으나, 1916년 사임했다.[2] 1926년 프라이부르크 대학교의 명예 교수로 임명되었으나, 나치 정권을 반대하여 1935년 사임했다.[2] 제2차 세계 대전 이후 프라이부르크 대학교 명예직에 복귀했다.[2]
3. 집합론 연구
1900년 국제 수학자 회의의 파리 회의에서 다비트 힐베르트는 앞으로 수학자들이 해결해야 할 23개의 미해결 문제 목록인 힐베르트의 문제를 제시했다. 이 중 첫 번째 문제는 게오르크 칸토어가 1878년에 제시한 집합론의 문제인 연속체 가설이었으며, 힐베르트는 이 가설을 설명하는 과정에서 정렬 정리를 증명할 필요성에 대해서도 언급했다.
체르멜로는 힐베르트의 영향으로 집합론 문제를 연구하기 시작하여 1902년에 기수의 덧셈에 관한 첫 번째 연구를 발표했고, 러셀의 역설을 발견했다.[1] 1904년에는 정렬 정리(모든 집합은 정렬될 수 있다)를 증명하여 힐베르트가 제안한 연속체 가설에 대한 첫 단계를 성공적으로 밟았다. 이 결과는 체르멜로에게 명성을 가져다주었고, 1905년 괴팅겐 대학교 교수로 임명되었다.
1905년부터 집합론을 공리화하기 시작했고, 1908년에는 자신의 공리적 시스템의 일관성을 증명하는 데 실패했음에도 불구하고 그 결과를 발표했다. 1922년, 아브라함 프뢴켈과 토랄프 스콜렘은 체르멜로의 공리 시스템을 독립적으로 개선했다. 그 결과로 현재 체르멜로-프뢴켈 집합론(ZF)이라고 불리는 시스템은 현재 공리적 집합론에서 가장 일반적으로 사용되는 시스템이다.
3. 1. 정렬 정리 증명
1904년 다비트 힐베르트가 제안한 연속체 가설 해결의 첫 단계로 정렬 정리(모든 집합은 정렬될 수 있다)를 증명했다.[1] 이 증명으로 체르멜로는 명성을 얻었고, 1905년 괴팅겐 대학교 교수로 임명되었다.[1] 그의 정렬 정리 증명은 멱집합 공리와 선택 공리에 기반을 두었는데, 선택 공리는 비구성적 수학의 전형이었기 때문에 모든 수학자들에게 받아들여지지 않았다.[1] 1908년 체르멜로는 데데킨트의 집합의 "사슬" 개념을 활용하여 개선된 증명을 제시했고, 이는 더 널리 받아들여졌다.[1] 이는 주로 그가 집합론의 공리화를 제안했기 때문이었다.[1]3. 2. 집합론 공리화
1900년 국제 수학자 회의의 파리 회의에서 다비트 힐베르트가 제시한 힐베르트의 문제 중 첫 번째는 게오르크 칸토어가 1878년에 제시한 집합론의 문제인 연속체 가설이었다. 힐베르트는 이 가설을 설명하면서 정렬 정리를 증명할 필요성을 언급했다.체르멜로는 힐베르트의 영향으로 집합론 문제를 연구하기 시작하여, 1902년에 기수의 덧셈에 관한 첫 번째 연구를 발표했고, 러셀의 역설을 발견했다. 1904년, 정렬 정리(''모든 집합은 정렬될 수 있다'')를 증명하여 힐베르트가 제안한 연속체 가설에 대한 첫 단계를 성공적으로 밟았다. 이 결과는 체르멜로에게 명성을 가져다주었고, 1905년에 괴팅겐 대학교 교수로 임명되었다. 그의 정렬 정리 증명은 멱집합 공리와 선택 공리에 기반을 두고 있었는데, 선택 공리가 비구성적 수학의 전형이었기 때문에 모든 수학자들에게 받아들여지지는 않았다. 1908년, 체르멜로는 데데킨트의 집합의 "사슬" 개념을 활용하여 개선된 증명을 제시하여 더 널리 받아들여졌다. 이는 주로 그해에 그가 집합론의 공리화를 제안했기 때문이었다.
체르멜로는 1905년에 집합론을 공리화하기 시작했고, 1908년에는 자신의 공리적 시스템의 일관성을 증명하는 데 실패했음에도 불구하고 그 결과를 발표했다.
1922년, 아브라함 프뢴켈과 토랄프 스콜렘은 체르멜로의 공리 시스템을 독립적으로 개선했다. 그 결과로 현재 체르멜로-프뢴켈 집합론(ZF)이라고 불리는 시스템은 현재 공리적 집합론에서 가장 일반적으로 사용되는 시스템이다.
3. 3. 러셀의 역설 발견
1900년 국제 수학자 회의의 파리 회의에서 다비트 힐베르트는 수학자들이 해결해야 할 23개의 미해결 문제 목록인 힐베르트의 문제를 제시했다. 체르멜로는 힐베르트의 영향으로 집합론 문제를 연구하기 시작하여 1902년에 이른바 러셀의 역설을 발견했다.체르멜로는 1902년 기수의 덧셈에 관한 첫 번째 연구를 발표하면서, 동시에 러셀의 역설을 발견하였다.[1] 이는 집합론의 발전에 중요한 계기가 되었다.
4. 체르멜로의 항해 문제
1931년에 제안된 체르멜로의 항해 문제는 고전적인 최적 제어 문제이다. 이 문제는 물 위를 항해하는 배가 출발점 O에서 목적지 D까지 이동하는 것을 다룬다. 배는 특정 최대 속도를 낼 수 있으며, 가능한 최소 시간에 D에 도달하기 위한 최적의 제어를 도출하고자 한다.
해류와 바람과 같은 외부 힘을 고려하지 않으면 최적의 제어는 배가 항상 D를 향하도록 하는 것이다. 그러면 배의 경로는 O에서 D까지의 선분이며, 이는 자명하게 최적이다. 해류와 바람을 고려할 때 배에 가해지는 결합된 힘이 0이 아니면, 해류와 바람이 없는 경우의 제어는 최적의 경로를 생성하지 않는다.
5. 기타 연구 및 업적
1896년 볼츠만의 H 정리에 '재귀성 역설'이라는 반론을 제기했다. 이는 열역학계가 오랜 시간이 지난 후에는 원래 상태로 복귀하고, 엔트로피는 감소해야 한다는 내용이다. 1913년에는 집합론을 응용한 게임 이론 연구를 진행했다.[1]
6. 주요 저서
| 제목 | 출판 연도 |
|---|---|
| "모든 집합이 정렬될 수 있다는 증명" | 1904 |
| "정렬 가능성의 새로운 증명" | 1908 |
| "집합론의 기초에 대한 연구 I" | 1908 |
| "경계 숫자와 집합의 영역에 관하여" | 1930 |
| 에른스트 체르멜로—전집. 제 1권. 집합론, 잡록 | 2013 |
| 에른스트 체르멜로—전집. 제 2권. 변분법, 응용 수학, 그리고 물리학 | 2013 |
7. 영향 및 평가
체르멜로의 연구는 수학, 철학, 논리학 등 다양한 분야에 큰 영향을 미쳤으며, 특히 현대 집합론 및 수리논리학 발전에 중요한 기여를 했다.
1900년 힐베르트가 제시한 23개의 미해결 문제 중 첫 번째 문제인 연속체 가설을 해결하기 위해 노력했다. 1904년에는 선택 공리를 이용하여 정렬 가능 정리를 증명하고 연속체 가설 해결의 첫 단계를 밟았지만, 이 증명은 당시 학계에 완전히 받아들여지지 않았다. 1908년에는 보다 일반적인 증명을 제시했다.
1905년부터는 집합론의 공리화에 착수하여 1908년에 발표했지만, 그 모순성을 증명하지는 못했다. 1922년 아돌프 프렝켈과 토랄프 스콜렘이 각각 독립적으로 체르멜로의 공리계를 개량하여 10개의 공리로 구성된 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)을 만들었다. ZF는 현재 공리적 집합론에서 가장 일반적으로 사용되는 공리계이다.
8. 같이 보기
8. 1. 관련 인물
- 막스 플랑크: 베를린 대학교에서 물리학 연구를 지도했다.
- 루트비히 볼츠만: 그의 H 정리에 대해 반론을 제기했다(재귀성 역설).
- 다비트 힐베르트: 1900년에 23개의 중요 문제를 제시했고, 체르멜로는 그 첫 번째 문제인 연속체 가설에 착수했다.
- 아돌프 프렝켈, 토랄프 스콜렘: 1922년에 각각 독립적으로 체르멜로의 공리계를 개량하여 체르멜로-프렝켈의 공리계(ZF)를 완성했다.
- 아돌프 히틀러: 1935년 히틀러에 반발하여 프라이부르크 대학교 명예 교수직을 반납했다.
8. 2. 관련 개념
1900년 힐베르트가 제시한 23개의 중요 문제 중 첫 번째 문제인 연속체 가설과 관련된 개념은 다음과 같다.참조
[1]
논문
Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung
[2]
서적
Set Theory and Metric Spaces
American Mathematical Society
2020
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