플라스틱 수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 방정식의 해
- 2.2. 다른 표현
3. 수학적 성질
4. 반 데어 란 수열
5. 기하학적 활용
6. 역사
참조

1. 개요

플라스틱 수는 3차 방정식 x³ - x - 1 = 0의 유일한 실수 해로, 약 1.324717957244746...으로 시작하는 값이다. 이 수는 피솟 수 중에서 가장 작은 수이며, 여러 대수 방정식의 해로도 나타난다. 플라스틱 수는 반 데어 란 수열의 극한 비율이며, 기하학적 활용, 특히 정사각형 분할과 플라스틱 나선과 관련이 있다. 네덜란드 수도사이자 건축가인 한스 반 데어 란이 정의했으며, 건축과 디자인에 적용되었다.

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플라스틱 수
숫자 정보
이름	플라스틱 수
다른 이름	플라스틱 상수, 최소 피소트-비요탈리 수
기호	ρ (로)
값 (소수)	1.3247179572447460259609088...
값 (수학식)	((9-√69)^(1/3) + (9+√69)^(1/3))/(2^(1/3)*3^(2/3)) = ∛(1/2+1/6√(23/3))
합리성	무리수, 대수적 수
연속 분수 (선형)	[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80,...]
연속 분수 (주기성)	비주기적
연속 분수 (유한성)	무한
대수적 표현	x³ = x + 1의 실수 근
근사값	53/40

2. 정의

플라스틱 수는 3차 방정식 $x^3 - x - 1 = 0$ 의 유일한 실수 해이다. 소수점 전개는 1.324717957244746... (A060006)로 시작하며, 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number) 중 가장 작은 수이다.

플라스틱 수는 반복 $x \gets (2x^{3}+1) /(3x^{2}-1)$ 의 초안정 고정점이며, 반복 $x \gets \sqrt{1 +\tfrac{1}{x}}$ 는 연분수 제곱근 $\rho =\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\ddots}}}}}}$ 를 생성한다.

정의된 삼항식 $x^{3} -x -1$ 을 $x - \rho$ 로 나누면 $x^{2} +\rho x +1 /\rho$ 를 얻는다. $\rho$ 의 켤레 원소는 $x_{1,2} = \frac12\left( -\rho \pm i \sqrt{3 \rho^2 - 4} \right)$ 이며, $x_1 +x_2 =-\rho \;$ 및 $\; x_1x_2 =1 /\rho.$ 이다.

2. 1. 방정식의 해

플라스틱 수는 다음 대수 방정식의 실수 해이다.

:

\begin{align}x^5 &= x^4 + 1 \\x^5 &= x^2 + x + 1 \\x^6 &= x^2 + 2x + 1 \\x^6 &= x^4 + x + 1 \\x^7 &= 2x^5 - 1 \\x^7 &= 2x^4 + 1 \\x^8 &= x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\x^9 &= x^6 + x^4 + x^2 + x + 1 \\x^{12} &= 2x^{10} - x^4 - 1 \\x^{14} &= 4x^9 + 1\end{align}

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이기도 하다.

세 양수 a, b, c (a > b > c > 0)가 다음을 만족하면 플라스틱 수에 속한다.

:

\frac{a}{b} = \frac{b+c}{a} = \frac{b}{c}

비율 a/b는 일반적으로 ρ로 표시된다. a = ρ 및 b = 1이라고 하면,

:

\rho^{2} =1 +c \,\land \,\rho =1 /c

\implies\rho^{2} -1 =\rho^{-1}

따라서 플라스틱 비율은 3차 방정식 ρ³ - ρ - 1 = 0의 유일한 실수 해로 찾아진다. 이 근의 소수점 전개는 1.324717957244746... (A060006)로 시작한다.

카르다노의 공식으로 방정식을 풀면,

:

w_{1,2} = \frac12\left( 1 \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{23}{3}} \right)

:

\rho =\sqrt[3]{w_1} +\sqrt[3]{w_2}

또는 쌍곡 코사인을 사용하여,^[3]

:

\rho =\frac{2}{ \sqrt{3}} \cosh \left( \frac{1}{3} \operatorname{arcosh} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) \right).

ρ는 반복 x → (2x³ + 1) / (3x² - 1)의 초안정 고정점이다.

반복 x → √(1 + 1/x)는 다음과 같은 연분수 제곱근을 생성한다.

:

\rho =\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\ddots}}}}}}

정의된 삼항식 x³ - x - 1을 x - ρ로 나누면 x² + ρx + 1/ρ를 얻고, ρ의 켤레 원소는

:

x_{1,2} = \frac12\left( -\rho \pm i \sqrt{3 \rho^2 - 4} \right),

이며 x₁ + x₂ = -ρ 및 x₁x₂ = 1/ρ이다.

가로세로비 ρ, ρ², ρ³ (상부) 및 ρ², ρ, ρ³ (하부)의 직사각형은 정사각형을 형성한다.

플라스틱 수는 피소-비자야라가반 수 중에서 가장 작은 수이다.
플라스틱 수의 제곱 ρ²는 x에 대한 방정식 (x - 1)² = 1/x을 만족하는 실수 해이다.
ρ² = 1.754877666246692760049508896...
다음과 같은 다양한 표현이 알려져 있다.
$\rho =\frac{2}{ \sqrt{3}} \cosh \left( \frac{1}{3} \operatorname{arcosh} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) \right)$
$\rho =\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\ddots}}}}}}$
$\rho =\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\cdots}}}$
자기 자신의 무한 기하급수로서 다음과 같은 표현이 가능하다.
$\rho = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-5n}$
$\rho^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-3n}$

2. 2. 다른 표현

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(피솟 수) 중에서 가장 작은 수이다.

플라스틱 수는 다음 대수 방정식의 실수 해이다.^[3]

x^5 = x^4 + 1

x^5 = x^2 + x + 1

x^6 = x^2 + 2x + 1

x^6 = x^4 + x + 1

x^7 = 2x^5 - 1

x^7 = 2x^4 + 1

x^8 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

x^9 = x^6 + x^4 + x^2 + x + 1

x^{12} = 2x^{10} - x^4 - 1

x^{14} = 4x^9 + 1

플라스틱 수의 제곱 $\rho^2$ 는 ''x''에 대한 방정식 $(x-1)^2=\frac{1}{x}$ 을 만족하는 실수 해이다.

: $\rho^2 = 1.754877666246692760049508896\cdots$

플라스틱 수는 3차 방정식 $\rho^{3} -\rho -1 =0.$ 의 유일한 실수 해로, 근의 소수점 전개는 $1.324\,717\,957\,244\,746...$ 로 시작한다.

카르다노의 공식으로 방정식을 풀면 다음과 같다.

: $w_{1,2} = \frac12\left( 1 \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{23}{3}} \right)$

: $\rho =\sqrt[3]{w_1} +\sqrt[3]{w_2}$

또한, 쌍곡 코사인을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[3]

: $\rho =\frac{2}{ \sqrt{3}} \cosh \left( \frac{1}{3} \operatorname{arcosh} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) \right).$

이 외에도 다음과 같은 다양한 표현이 알려져 있다.

: $\rho =\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\ddots}}}}}}$

: $\rho =\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\cdots}}}$

자기 자신의 무한 기하급수로서 다음과 같은 표현도 가능하다.

: $\rho = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-5n}$ 및 $\rho^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-3n}$

3. 수학적 성질

플라스틱 수(ρ)는 황금비와 유사하게 형태수(form number)의 성질을 가지며, 무한 거듭제곱근 및 무한 등비급수로 표현될 수 있다. 또한, 특정 방정식의 해가 되며, 그 거듭제곱은 거의 정수에 가까워지는 특징을 가진다.

형태수: 플라스틱 수(ρ)와 황금비(φ)는 다음을 만족하는 유일한 형태수이다.

:

x +1 =x^{m}

및

x -1 =x^{-n}

.^[4]

형태수는 측정 시스템의 기초로 사용될 수 있다. 플라스틱 수(ρ)의 속성(m=3 및 n=4)은 황금비(φ)의 속성(m=2 및 n=1)과 관련이 있다.

무한 거듭제곱근: 플라스틱 수는 다음의 무한 거듭제곱근을 만족한다.

:

\rho =\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\cdots}}}

무한 등비 급수: 플라스틱 수는 무한 등비 급수로 자신을 표현할 수 있다.

:

\rho = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-5n}

및

\,\rho^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-3n}

점화식: 모든 정수 $n$ 에 대해 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\rho^{n} &=\rho^{n-2} +\rho^{n-3}\\&=\rho^{n-1} +\rho^{n-5}\\&=\rho^{n-3} +\rho^{n-4} +\rho^{n-5}.\end{align}

최소 다항식: 플라스틱 수의 최소 다항식 $m(x) = x^{3}-x-1$ 의 판별식은 $\Delta=-23$ 이다.

데데킨트 에타 함수: 인수 $\tau=(1 +\sqrt{\Delta})/2\,$ 로 정의되는 수 K의 ring of integers에 대한 생성기가 있으면, 다음의 특수 값을 갖는 Dedekind eta 몫이 있다.

:

\rho = \frac{ e^{\pi i/24}\,\eta(\tau)}{ \sqrt{2}\,\eta(2\tau)}

.^[6]

베버 모듈러 함수: Weber-Ramanujan class invariant G_n으로 표현하면 다음과 같다.

:

\rho = \frac{ \mathfrak{f} ( \sqrt{ \Delta} ) }{ \sqrt{2} } = \frac{ G_{23} }{ \sqrt[4]{2} }

.^[7]

플라스틱 수의 세제곱과 관련된 Rauzy 프랙탈. 중앙 타일과 세 개의 하위 타일의 면적 비율은 이다.

플라스틱 수의 제곱과 관련된 Rauzy 프랙탈. 위의 면적 비율과 동일하다.

3. 1. 켤레 원소

플라스틱 수는 아래 대수 방정식의 실수해이다.

:

x^5 = x^4 + 1

:

x^5 = x^2 + x + 1

:

x^6 = x^2 + 2x + 1

:

x^6 = x^4 + x + 1

:

x^7 = 2x^5 - 1

:

x^7 = 2x^4 + 1

:

x^8 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

:

x^9 = x^6 + x^4 + x^2 + x + 1

:

x^{12} = 2x^{10} - x^4 - 1

:

x^{14} = 4x^9 + 1

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number, Pisot–Vijayaraghavan number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이다.

3. 2. 연분수 표현

플라스틱 수의 제곱

\rho^2

는 ''x''에 대한 방정식

(x-1)^2=\frac{1}{x}

을 만족하는 실수 해이다.

:

\rho^2 = 1.754877666246692760049508896\cdots

플라스틱 수는 다음과 같이 다양하게 표현할 수 있다.

:

\begin{align}\rho &=\frac{2}{ \sqrt{3}} \cosh \left( \frac{1}{3} \operatorname{arcosh} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) \right) \\&=\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\ddots}}}}}} \\&=\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\cdots}}}\end{align}

또한, 자기 자신의 무한 기하급수로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\rho = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-5n}

및

\rho^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-3n}

3. 3. 거의 정수

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이기도 하다.

플라스틱 수는 다음 대수 방정식의 실수 해이다.

x^5 = x^4 + 1

x^5 = x^2 + x + 1

x^6 = x^2 + 2x + 1

x^6 = x^4 + x + 1

x^7 = 2x^5 - 1

x^7 = 2x^4 + 1

x^8 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

x^9 = x^6 + x^4 + x^2 + x + 1

x^{12} = 2x^{10} - x^4 - 1

x^{14} = 4x^9 + 1

3. 4. 모듈러 함수와의 관계

플라스틱 수는 피솟 비자야라가브한 수(피솟 수)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이다. 또한 플라스틱 수는 아래의 대수 방정식의 실수해이다.

x^5 = x^4 + 1

x^5 = x^2 + x + 1

x^6 = x^2 + 2x + 1

x^6 = x^4 + x + 1

x^7 = 2x^5 - 1

x^7 = 2x^4 + 1

x^8 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

x^9 = x^6 + x^4 + x^2 + x + 1

x^{12} = 2x^{10} - x^4 - 1

x^{14} = 4x^9 + 1

4. 반 데어 란 수열

비율이 Ⴔ인 플라스틱 라우지 타일의 팬. 프랙탈 경계는 박스-카운팅 차원 1.11

네덜란드 베네딕토 수도회 수도사이자 건축가인 돔 한스 반 데어 란은 두 크기 사이의 최소 차이와 최대 비율을 연구하여, 크기들이 서로 연관되어 있으면서도 뚜렷하게 인식될 수 있는 범위를 찾았다. 그의 관찰에 따르면, 그 답은 이며, 이는 단일 ''크기의 순서''를 포괄한다.^[9] 그는 비례 연속성을 요구하며, 공비가 인 기하 급수의 8개 척도(''크기의 유형'')를 구성했다. 이를 유리수 형태로 표현하면, 이 건축적 척도 시스템은 그의 이름을 딴 숫자들의 부분 집합으로 구성된다.

4. 1. 정의 및 성질

플라스틱 라우지 프랙탈: 결합된 표면과 세 개의 개별 타일은 의 비율로 면적을 갖는다.

돔 한스 반 데어 란이 정의한 반 데어 란 수는 재귀 관계로 정의되는 수열이다. 이 수열은 다음과 같이 정의된다.^[9]

:

V_{n} =V_{n-2} +V_{n-3}

(

n > 2

일 때)

초깃값은 다음과 같다.

:

V_{1} =0, V_{0} =V_{2} =1

처음 몇 개의 항은 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... 이다. 연속된 항 사이의 극한 비율은 플라스틱 비율이다.

반 데어 란 수는 페린 수 및 파도반 수열과 밀접한 관련이 있다. 조합론에서 n을 2와 3의 부분으로 조합하는 경우의 수는 n번째 반 데어 란 수로 계산된다.^[9]

반 데어 란 수열의 생성 함수는 다음과 같다.^[10]

:

\frac{1}{1 -x^{2} -x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} V_{n}x^{n}

(

x < 1 /\rho

일 때)

이 수열은 이항 계수의 합과 관련이 있다.^[11]

:

V_{n} = \sum_{k =\lfloor (n +2)/3 \rfloor}^{\lfloor n /2 \rfloor}{k \choose n -2k}

재귀 관계의 특성 방정식은

x^{3} -x -1=0

이다. 세 개의 해가 실수 근 와 켤레쌍 및 인 경우, 반 데어 란 수는 비네 공식을 사용하여 계산할 수 있다. ^[11]

:

V_{n-1} =a \alpha^{n} +b \beta^{n} +c \gamma^{n}

여기서 는 실수이고,

23x^{3} +x -1 = 0

의 근인 켤레 및 가 있다.

\left\vert b \beta^{n} +c \gamma^{n} \right\vert < 1 /\sqrt{ \alpha^{n}}

이고

\alpha = \rho

이므로, 수 은

a\,\rho^{n+1}

에 가장 가까운 정수이며, 이고

a =\rho /(3 \rho^{2} -1) =

0.3106288296404670777619027... 이다.

반 데어 란 수는 실수 고유값 를 갖는 행렬의 정수 거듭제곱 으로 얻어진다. ^[10]

:

Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ,

:

Q^{n} = \begin{pmatrix} V_{n} & V_{n+1} & V_{n-1} \\ V_{n-1} & V_{n} & V_{n-2} \\ V_{n-2} & V_{n-1} & V_{n-3} \end{pmatrix}

4. 2. 생성 함수 및 다른 수열과의 관계

반 데어 란 수는 페린 수와 파도반 수열과 밀접하게 관련되어 있다. 조합론에서 n을 2와 3의 부분으로 조합하는 경우의 수는 ''n''번째 반 데어 란 수로 계산된다.

반 데어 란 수열은 다음과 같은 3차 재귀 관계로 정의된다.

:

V_{n} =V_{n-2} +V_{n-3}

(단, n>2)

초깃값은 다음과 같다.

:

V_{1} =0, V_{0} =V_{2} =1

.

처음 몇 개의 항은 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... 이다. 연속된 항 사이의 극한 비율은 플라스틱 비율이다.

8개의 반 데어 란 척도 표
k	n - m	V_n /V_m	err	간격
0	3 - 3	1 /1	0	작은 요소
1	8 - 7	4 /3	1/116	큰 요소
2	10 - 8	7 /4	-1/205	작은 조각
3	10 - 7	7 /3	1/116	큰 조각
4	7 - 3	3 /1	-1/12	작은 부분
5	8 - 3	4 /1	-1/12	큰 부분
6	13 - 7	16 /3	-1/14	작은 전체
7	10 - 3	7 /1	-1/6	큰 전체

V_n이 소수인 첫 14개의 지수 n은 n = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264 이다. 마지막 숫자는 154자리 십진수이다.

수열은 음수 지수로 확장될 수 있다.

: $V_{n} =V_{n+3} -V_{n+1}$ .

반 데어 란 수열의 생성 함수는 다음과 같다.

: $\frac{1}{1 -x^{2} -x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} V_{n}x^{n}$ (단, $x < 1 /\rho \;.$ )^[10]

이 수열은 이항 계수의 합과 관련이 있다.

: $V_{n} = \sum_{k =\lfloor (n +2)/3 \rfloor}^{\lfloor n /2 \rfloor}{k \choose n -2k}$ .^[11]

재귀 관계의 특성 방정식은 $x^{3} -x -1=0$ 이다. 세 개의 해가 실수 근 $\alpha$ 와 켤레쌍 $\beta$ 및 $\gamma$ 인 경우, 반 데어 란 수는 비네 공식을 사용하여 계산할 수 있다. ^[11]

: $V_{n-1} =a \alpha^{n} +b \beta^{n} +c \gamma^{n}$ , 여기서 a는 실수이고, b와 c는 $23x^{3} +x -1 = 0$ 의 근인 켤레 복소수이다.

$\left\vert b \beta^{n} +c \gamma^{n} \right\vert < 1 /\sqrt{ \alpha^{n}}$ 이고 $\alpha = \rho$ 이므로, 수 V_n은 $a\,\rho^{n+1}$ 에 가장 가까운 정수이며, n > 1이고 $a =\rho /(3 \rho^{2} -1)$ 이다.

계수 a = b = c = 1은 관련 수열 $P_{n} =2V_{n} +V_{n-3}$ 에 대한 비네 공식을 생성한다.

처음 몇 개의 항은 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... 이다.

이 페린 수열은 페르마 속성을 갖는다. 즉, p가 소수이면 $P_{p} \equiv P_{1} \bmod p$ 이다. 그 역은 성립하지 않지만, 소수의 작은 숫자 $\,n \mid P_{n}$ 이 수열을 특별하게 만든다.^[12] 이 테스트를 통과하는 10⁸ 미만의 7개의 합성수는 n = 271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291이다.^[13]

반 데어 란 수는 실수 고유값 $\rho$ 를 갖는 행렬의 정수 거듭제곱(n>2)으로 얻어진다. ^[10]

: $Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ,$

: $Q^{n} = \begin{pmatrix} V_{n} & V_{n+1} & V_{n-1} \\ V_{n-1} & V_{n} & V_{n-2} \\ V_{n-2} & V_{n-1} & V_{n-3} \end{pmatrix}$

Qⁿ의 대각합은 페린 수를 제공한다.

또는, Q는 대응하는 대체 규칙을 갖는 D0L 린덴마이어 시스템에 대한 사건 행렬로 해석될 수 있다.

: $\begin{cases}a \;\mapsto \;b\\b \;\mapsto \;ac\\c \;\mapsto \;a\end{cases}$

및 개시자 w₀=c. 대체를 반복하여 생성된 일련의 단어 w_n은 a, b, c의 개수가 연속적인 반 데어 란 수와 같다는 속성을 갖는다. 길이는 $l(w_n) =V_{n+2}.$ 이다.

이 문자열 재작성 과정과 관련된 것은 라우지 프랙탈이라고 하는 세 개의 겹치는 자기 유사 타일 집합으로, 여러 세대에 걸친 문자 시퀀스에 포함된 조합론적 정보를 시각화한다.^[14]

4. 3. 행렬 표현

반 데어 란 수는 실수 고유값을 갖는 행렬의 정수 거듭제곱으로 얻어진다.^[10]

:

Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ,

:

Q^{n} = \begin{pmatrix} V_{n} & V_{n+1} & V_{n-1} \\ V_{n-1} & V_{n} & V_{n-2} \\ V_{n-2} & V_{n-1} & V_{n-3} \end{pmatrix}

Q^n

의 대각합은 페린 수를 제공한다.

또는,

Q

는 대응하는 대체 규칙을 갖는 D0L 린덴마이어 시스템에 대한 사건 행렬로 해석될 수 있다.

:

\begin{cases}a \;\mapsto \;b\\b \;\mapsto \;ac\\c \;\mapsto \;a\end{cases}

및 개시자

w_0 = c

이다. 대체를 반복하여 생성된 일련의 단어

w_n

은

c

,

b

와

a

의 개수가 연속적인 반 데어 란 수와 같다는 속성을 갖는다. 길이는

l(w_n) =V_{n+2}

이다.

이 문자열 재작성 과정과 관련된 것은 라우지 프랙탈이라고 하는 세 개의 겹치는 자기 유사 타일 집합으로, 여러 세대에 걸친 문자 시퀀스에 포함된 조합론적 정보를 시각화한다.^[14]

5. 기하학적 활용

플라스틱 수는 기하학적으로 활용된다. 특히 정사각형을 세 개의 닮은 직사각형으로 분할하는 방법과 관련이 깊다.^[15]^[16] 이와 관련된 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

스너브 이십이십이면체의 단위 모서리 길이에 대한 외접반지름은 다음과 같다.

: $\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{2 \rho -1}{\rho -1}}$ .^[19]

5. 1. 정사각형 분할

정사각형을 세 개의 닮은 직사각형으로 분할하는 방법은 정확히 세 가지가 있다.^[15]^[16]

번호	분할 방법	종횡비	선형 크기 비율 (큰 것:중간 것:작은 것)
1	세 개의 합동 직사각형	3:1	1:1:1
2	두 개는 합동, 나머지 하나는 두 배의 변 길이	3:2	1:1:2
3	세 개의 직사각형이 모두 다른 크기	ρ²	ρ: ρ²: ρ³

세 번째 경우, 가장 큰 직사각형의 내부 긴 모서리(정사각형의 단층선)는 정사각형의 네 모서리 중 두 모서리를 각각 비율 ''ρ''로 서로 나누는 두 개의 선분으로 나눈다. 중간 직사각형의 내부, 일치하는 짧은 모서리와 작은 직사각형의 긴 모서리는 정사각형의 다른 두 모서리 중 하나를 비율 ''ρ''⁴로 서로 나누는 두 개의 선분으로 나눈다.

종횡비가 ''ρ''²인 직사각형을 정사각형을 닮은 직사각형으로 분할하는 데 사용할 수 있다는 사실은 라우스-휘르비츠 정리와 관련된 수 ''ρ''²의 대수적 속성과 동일하다. 모든 켤레 복소수는 양의 실수부를 갖는다.^[17]^[18]

5. 2. 로-제곱 사각형

종횡비가 ''ρ''²인 직사각형을 로-제곱 사각형이라고 부른다. 여기서 ''ρ''는 플라스틱 수이다.

정사각형을 세 개의 닮은 직사각형으로 분할하는 방법은 정확히 세 가지가 있다.^[15]^[16]

# 3:1 종횡비를 가진 세 개의 합동 직사각형으로 이루어진 자명한 해.

# 세 개의 직사각형 중 두 개가 합동이고 나머지 하나는 다른 두 개의 두 배의 변 길이를 가지는 해로, 직사각형의 종횡비는 3:2이다.

# 세 개의 직사각형이 모두 다른 크기를 가지며 종횡비가 ''ρ''²인 해. 세 직사각형의 선형 크기 비율은 ''ρ'' (큰 것:중간 것), ''ρ''² (중간 것:작은 것), ''ρ''³ (큰 것:작은 것)이다. 가장 큰 직사각형의 내부 긴 모서리(정사각형의 단층선)는 정사각형의 네 모서리 중 두 모서리를 각각 비율 ''ρ''로 서로 나누는 두 개의 선분으로 나눈다. 중간 직사각형의 내부, 일치하는 짧은 모서리와 작은 직사각형의 긴 모서리는 정사각형의 다른 두 모서리 중 하나를 비율 ''ρ''⁴로 서로 나누는 두 개의 선분으로 나눈다.

종횡비가 ''ρ''²인 직사각형을 정사각형을 닮은 직사각형으로 분할하는 데 사용할 수 있다는 사실은 라우스-휘르비츠 정리와 관련된 수 ''ρ''²의 대수적 속성과 동일하다. 즉, 모든 켤레 복소수는 양의 실수부를 갖는다.^[17]^[18]

높이 1, 길이 ''ρ''², 대각선 길이

\sqrt{\rho^{5}}

인 사각형이 주어졌을 때 (

1+\rho^4 =\rho^5

에 따라), 대각선 상의 삼각형은 높이

1 /\sqrt{\rho}\,;

을 가지며, 각 수직 발은 대각선을

\rho^4

의 비율로 나눈다.

왼쪽에서 변의 길이가 1인 정사각형을 잘라내고 떨어지는 대각선과의 교차점을 표시하면, 남은 사각형은 종횡비 ''ρ'':1을 갖는다(

\rho^2 -1 =\rho^{-1}

에 따라). 두 번째 수평 절단을 교차점을 통과시켜 원래 사각형을 네 부분으로 나눈다.^[20]

부모 로-제곱 사각형과 대각선을 따라 있는 두 개의 축소된 사본은

\rho^{3}:\rho:1

의 비율로 선형 크기를 갖는다. 대각선 반대쪽 사각형의 면적은 모두

1 /\rho^3

과 같으며, 종횡비는 각각 ''ρ''³ (아래) 및 ''ρ'' (위)이다.

다이어그램이 높이의 발을 통과하는 수직선에 의해 더 세분화되면, 대각선과 (지금까지) 7개의 별개의 부분의 길이는

\rho^6:\rho^5:\rho^4:\rho^{2} +1:

\, \rho^3:\rho^2:\rho:1,

의 비율을 가지며, 여기서

\rho^2 +1

은 두 발 사이의 범위를 나타낸다.

대각선 길이가

1 /\rho^2

비율인 중첩된 로-제곱 사각형은 교차점으로부터 거리

t =\sqrt{\rho} /(\rho^2 +1) =0.41779130...

에서 수렴한다. 이것은 구간 [−1,1]에서 3차 라그랑주 보간법을 최적화하는 고유한 양의 노드와 같다. 최적 노드 집합 {−1,−t, t, 1}에서 르베그 함수

\lambda_3(x)

는 임계점

x_c =\rho^{2} t.

에서 최소 3차 르베그 상수

\Lambda_3(T)

로 평가된다.^[21]

t +\rho^{2} t =\sqrt{\rho}

이므로, 이것은 또한 수렴 지점에서 왼쪽 상단 꼭짓점까지의 거리이다.

5. 3. 플라스틱 나선

플라스틱 나선은 4분의 1 회전마다 의 인수로 넓어지는 로그 나선이다. 이는 극좌표 방정식 r(θ) = a exp(kθ)^영어로 설명되며, 초기 반경은 이고, 매개변수는 이다. 변의 비율이 인 직사각형 위에 그려지면, 나선은 대각선 상의 삼각형의 고도 발치에 극점을 가지고, 의 종횡비를 가진 직사각형의 꼭짓점을 통과하며, 직각으로 정렬되고, 요인 에 의해 연속적으로 스케일링된다.

1838년 헨리 모즐리는 앵무조개 껍질의 소용돌이가 기하 급수적으로 진행한다는 것을 발견했다. 그는 "반경 벡터에서 측정된 임의의 두 소용돌이의 거리는 같은 반경 벡터에서 측정된 다음 두 소용돌이의 거리의 ''3분의 1''이다"라고 언급하며, 곡선이 로그 나선임을 밝혔다.^[22] 모즐리는 4분의 1 회전에 대한 팽창 속도를 로 제시했다.

플라스틱 비율은 흔히 황금비의 3차원적인 등가물로 여겨지므로, 앵무조개 껍질을 측정하는 자연스러운 후보가 된다.

6. 역사

ρ^el는 1912년 악셀 튜에에 의해 처음 연구되었고, 1919년에는 G. H. 하디에 의해 연구되었다.^[5] 1924년 프랑스 고등학생 Gérard Cordonnier|제라르 코르도니에^프랑스어는 이 비율을 독자적으로 발견했다. 몇 년 후 한스 판 데어 란과의 서신에서 그는 이것을 복사 수()라고 불렀다. 판 데어 란은 처음에는 그것을 기본 비율()이라고 불렀고, 1950년대부터 플라스틱 수()를 사용했다. 1944년 카를 지겔은 ρ^el가 가능한 가장 작은 피소-비자야라가반 수임을 보였고, 튜에를 기리기 위해 이름을 지을 것을 제안했다.

황금비와 은비의 이름과는 달리, 판 데어 란은 플라스틱이라는 단어를 특정 물질을 지칭하기보다는 형용사적인 의미로, 즉 3차원 형태로 만들 수 있는 무언가를 의미하는 데 사용했다.^[24] 리처드 파도반에 따르면, 숫자 3/4와 1/7의 특성 비율이 인간이 하나의 물리적 크기를 다른 크기와 연관시키는 데 있어서의 지각 한계와 관련되기 때문이다. 판 데어 란은 이 플라스틱 수의 비율에 맞춰 1967년 성 베네딕투스베르크 수도원 교회를 설계했다.^[25]

플라스틱 수는 때때로 미드하트 J. 가잘레가 붙인 이름인 은수라고도 불리며,^[26] 이후 마틴 가드너가 사용했지만,^[27] 그 이름은 일반적으로 금속비의 한 종류인 은비 (1 + √2)에 더 많이 사용되며, 이는 베라 W. 데 스피나델에 의해 처음 기술되었다. 가드너는 를 "하이 파이"라고 부를 것을 제안했으며, 도널드 커누스는 이 이름을 위해 특별한 타이포그래피 기호를 만들었는데, 이는 그리스 문자 파이("φ")의 변형으로, 가운데 원이 위로 올라가 있어 조지아 문자 파리("Ⴔ")와 유사하다.

참조

_[1] OEIS
_[2] OEIS
_[3] 웹사이트 What is the plastic ratio? https://www.youtube.[...] 2022
_[4] 간행물 Morphic numbers https://www.nieuwarc[...] 2001
_[5] 간행물 A systematic construction of almost integers https://mathreview.u[...] 2011
_[6] MathWorld Plastic constant
_[7] 문서 Ramanujan G-function
_[8] MathWorld Elliptic integral singular value
_[9] 웹사이트 1:7 and a series of 8 https://domhansvande[...] Van der Laan Foundation 2019
_[10] OEIS
_[11] OEIS
_[12] 간행물 Strong primality tests that are not sufficient AMS 1982
_[13] OEIS
_[14] 간행물 Topological properties of Rauzy fractals http://numdam.org/it[...] 2009
_[15] 간행물 Tales of a neglected number http://members.fortu[...] 1996
_[16] citation Towards van der Laan's plastic number in the plane http://www.helderman[...]
_[17] citation Tiling a square with similar rectangles
_[18] citation Tilings of the square with similar rectangles
_[19] MathWorld Snub icosidodecadodecahedron
_[20] 간행물 A supergolden rectangle 1994
_[21] 서적 Advances in applied Mathematics and Approximation Theory 2012
_[22] 간행물 On the Geometrical Forms of Turbinated and Discoid Shells https://www.jstor.or[...]
_[23] MathWorld Omega constant
_[24] 간행물 Properties of Cordonnier, Perrin and Van der Laan numbers
_[25] citation Dom Hans van der Laan and The plastic number https://www.nexusjou[...] Kim Williams Books 2002
_[26] 서적 Gnomon: From Pharaohs to Fractals Princeton University Press 1999
_[27] 서적 A Gardner's Workout A K Peters 2001

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