하디-리틀우드 타우버 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유계 변동 함수
- 2.2. 급수에 대한 형태
3. 따름정리
- 3.1. 리틀우드 타우버 정리
4. 예
5. 증명
- 5.1. 카라마타의 증명
6. 응용
- 6.1. 소수 정리
7. 역사
8. 한국 수학계의 연구 동향
참조

1. 개요

하디-리틀우드 타우버 정리는 유계 변동 함수의 라플라스 변환과 관련된 정리로, 두 조건의 동치 관계를 설명한다. 이 정리는 펠러에 의해 일반화되었으며, 서서히 변하는 함수를 사용하여 더욱 확장될 수 있다. 급수에 대한 형태와 리틀우드 타우버 정리와 같은 따름정리도 존재한다. 이 정리는 소수 정리 증명에 응용되었으며, 요반 카라마타의 증명이 존재한다.

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하디-리틀우드 타우버 정리

2. 정의

유계 변동 함수

: $f\colon[0,\infty)\to\mathbb R$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $s>0$ 인 경우 라플라스 변환

: $\omega(s)=\int_0^\infty\exp(-st)\,df(t)$

이 항상 존재한다. '''하디-리틀우드 타우버 정리'''에 따르면, 임의의 음이 아닌 실수 $\rho\ge0$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$s\to0^+$ 이라면 $\omega(s)\sim s^{-\rho}$ 이다.
$t\to\infty$ 라면 $f(t)\sim t^\rho/\Gamma(\rho+1)$ 이다.

유계 변동 함수

f\colon[0,\infty)\to\mathbb R

가 주어졌을 때,

s>0

인 경우 라플라스 변환

\omega(s)=\int_0^\infty\exp(-st)\,df(t)

이 항상 존재한다.^[3] 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 음이 아닌 실수

\rho\ge0

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$s\to0^+$ 이라면 $\omega(s)\sim s^{-\rho}$ 이다.
$t\to\infty$ 라면 $f(t)\sim t^\rho/\Gamma(\rho+1)$ 이다.

펠러(Feller)는 보다 일반적인 공식화를 제시했다.^[3]^[4] 유한 변동을 갖는 실수 값 함수

F:[0,\infty)\to\mathbb{R}

의 라플라스-스틸체스 변환은 스틸체스 적분으로 정의된다.

:

\omega(s) = \int_0^\infty e^{-st}\,dF(t).

이 정리는 ω의 점근선과

F

의 점근선을 관련시킨다.

\rho

가 음이 아닌 실수인 경우, 다음 명제는 동치이다.

$\omega(s)\sim C s^{-\rho},\quad\rm{as\ }s\to 0$
$F(t)\sim \frac{C}{\Gamma(\rho+1)}t^\rho, \ \text{as}\ t\to\infty.$

여기서

\Gamma

는 감마 함수를 나타낸다.

서서히 변하는 함수의 정의에 따르면,

L(x)

는 모든

t>0

에 대해

\frac{L(tx)}{L(x)}\to 1,\quad x\to\infty

가 성립할 때 무한대에서 서서히 변한다.

L

을 무한대에서 서서히 변하는 함수로 놓고

\rho\geq 0

이라고 하면, 다음 명제는 동치이다.

$\omega(s)\sim s^{-\rho}L(s^{-1}),\quad\text{as}\ s\to 0$
$F(t)\sim \frac{1}{\Gamma(\rho+1)}t^\rho L(t), \quad\text{as}\ t\to\infty.$

급수 $\sum_na_n$이 주어졌을 때, 하디-리틀우드 타우버 정리를 $a_k$에 대한 계단 함수 $f(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}a_k$에 적용하면, 다음과 같은 형태의 정리를 얻는다.

만약

항상 $a_n\ge0$이며,
$y\to0^+$일 때 $\sum_{k=0}^\infty a_k\exp(-ky)\sim1/y$라면,

다음이 성립한다.^[1]

$\sum_{k=0}^na_k\sim n\qquad(n\to\infty)$

이 공식은 티치마쉬(Titchmarsh)에서 유래했다.^[1] 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $a_n\geq 0$라고 가정하고, 다음을 갖는다고 하자.

$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \sim \frac{1}{1-x}\ \text{as}\ x\uparrow 1 .$

그러면 $n\to\infty$일 때, 다음을 갖는다.

$\sum_{k=0}^n a_k \sim n.$

이 정리는 때때로 동등한 형태로 언급되는데, $a_n\geq 0$을 요구하는 대신 $a_n=O(1)$을 요구하거나, 어떤 상수 $K$에 대해 $a_n\geq -K$를 요구한다.^[2] 이 정리는 (변수 변환 $x=1/e^y$를 통해) 또 다른 동등한 공식으로도 언급된다.^[2]

만약,

$\sum_{n=0}^\infty a_n e^{-ny} \sim \frac{1}{y}\ \text{as}\ y\downarrow 0 $

이라면,

$\sum_{k=0}^n a_k \sim n.$

2. 1. 유계 변동 함수

유계 변동 함수

f\colon[0,\infty)\to\mathbb R

가 주어졌을 때,

s>0

인 경우 라플라스 변환

\omega(s)=\int_0^\infty\exp(-st)\,df(t)

이 항상 존재한다.^[3] 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 음이 아닌 실수

\rho\ge0

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$s\to0^+$ 이라면 $\omega(s)\sim s^{-\rho}$ 이다.
$t\to\infty$ 라면 $f(t)\sim t^\rho/\Gamma(\rho+1)$ 이다.

펠러(Feller)는 보다 일반적인 공식화를 제시했다.^[3]^[4] 유한 변동을 갖는 실수 값 함수

F:[0,\infty)\to\mathbb{R}

의 라플라스-스틸체스 변환은 스틸체스 적분으로 정의된다.

:

\omega(s) = \int_0^\infty e^{-st}\,dF(t).

이 정리는 ω의 점근선과

F

의 점근선을 관련시킨다.

\rho

가 음이 아닌 실수인 경우, 다음 명제는 동치이다.

$\omega(s)\sim C s^{-\rho},\quad\rm{as\ }s\to 0$
$F(t)\sim \frac{C}{\Gamma(\rho+1)}t^\rho, \ \text{as}\ t\to\infty.$

여기서

\Gamma

는 감마 함수를 나타낸다.

서서히 변하는 함수의 정의에 따르면,

L(x)

는 모든

t>0

에 대해

\frac{L(tx)}{L(x)}\to 1,\quad x\to\infty

가 성립할 때 무한대에서 서서히 변한다.

L

을 무한대에서 서서히 변하는 함수로 놓고

\rho\geq 0

이라고 하면, 다음 명제는 동치이다.

$\omega(s)\sim s^{-\rho}L(s^{-1}),\quad\text{as}\ s\to 0$
$F(t)\sim \frac{1}{\Gamma(\rho+1)}t^\rho L(t), \quad\text{as}\ t\to\infty.$

2. 2. 급수에 대한 형태

급수 $\sum_na_n$이 주어졌을 때, 하디-리틀우드 타우버 정리를 $a_k$에 대한 계단 함수 $f(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}a_k$에 적용하면, 다음과 같은 형태의 정리를 얻는다.

만약

항상 $a_n\ge0$이며,
$y\to0^+$일 때 $\sum_{k=0}^\infty a_k\exp(-ky)\sim1/y$라면,

다음이 성립한다.^[1]

$\sum_{k=0}^na_k\sim n\qquad(n\to\infty)$

이 공식은 티치마쉬(Titchmarsh)에서 유래했다.^[1] 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $a_n\geq 0$라고 가정하고, 다음을 갖는다고 하자.

$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \sim \frac{1}{1-x}\ \text{as}\ x\uparrow 1 .$

그러면 $n\to\infty$일 때, 다음을 갖는다.

$\sum_{k=0}^n a_k \sim n.$

이 정리는 때때로 동등한 형태로 언급되는데, $a_n\geq 0$을 요구하는 대신 $a_n=O(1)$을 요구하거나, 어떤 상수 $K$에 대해 $a_n\geq -K$를 요구한다.^[2] 이 정리는 (변수 변환 $x=1/e^y$를 통해) 또 다른 동등한 공식으로도 언급된다.^[2]

만약,

$\sum_{n=0}^\infty a_n e^{-ny} \sim \frac{1}{y}\ \text{as}\ y\downarrow 0 $

이라면,

$\sum_{k=0}^n a_k \sim n.$

3. 따름정리

'''리틀우드 타우버 정리'''(Littlewood Tauberian theorem^영어)에 따르면, 수열 $a_n$ 이

: $a_n\in O(1/n)$

이며, $x\to1^-$ 일 때

: $\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\to s$

라면,

: $\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=s$

이다. 이는 하디-리틀우드 타우버 정리

: $\lim_{x\to1^-}\sum_{k=0}^\infty(1-x)^ca_kx^k=s\implies\sum_{k=0}^na_k\sim\frac{s}{\Gamma(1+c)}n^c$

에서, $c=0$ 인 특수한 경우이다.

1911년 리틀우드는 타우버의 역인 아벨 정리의 확장을 증명했다. 리틀우드는 다음을 보였다: 만약 $a_n=O(1/n)$ 이고,

: $\sum a_n x^n \to s \ \text{as}\ x\uparrow 1$

이라면,

: $\sum a_n = s.$

이것은 역사적으로 하디-리틀우드 타우버 정리보다 먼저 나왔지만, 그 정리의 간단한 응용으로 증명될 수 있다.^[1]

3. 1. 리틀우드 타우버 정리

'''리틀우드 타우버 정리'''(Littlewood Tauberian theorem^영어)에 따르면, 수열

a_n

이

a_n\in O(1/n)

이고,

x\to1^-

일 때

\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\to s

라면,

\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=s

이다. 이는 하디-리틀우드 타우버 정리에서

c=0

인 특수한 경우이다.^[1] 1911년 리틀우드는 타우버의 역인 아벨 정리의 확장을 증명했다. 리틀우드는 만약

a_n=O(1/n)

이고,

\sum a_n x^n \to s \ \text{as}\ x\uparrow 1

이라면,

\sum a_n = s.

임을 보였다. 이것은 역사적으로 하디-리틀우드 타우버 정리보다 먼저 나왔지만, 그 정리의 간단한 응용으로 증명될 수 있다.^[1]

4. 예

하디-리틀우드 타우버 정리에서 $a_n$ 이 음이 아닌 수라는 조건을 생략하면 정리가 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어,

: $g(x)=\frac1{(1+x)^2(1-x)}=1-x+2x^2-2x^3+3x^4-3x^5+\cdots=\sum_{k=0}^\infty g_kx^k$

를 생각하자. 이 경우 $x\to1$ 이라면 $g(x)\sim1/(4(1-x))$ 이지만,

: $\sum_{k=0}^ng_k=\begin{cases}n/2+1&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}\not\sim n/4$

이다. 이 함수는 $x\to 1$ 일 때 $1/4(1-x)$ 에 점근하지만, 그 계수의 부분합은 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ... 이며 어떤 선형 함수에도 점근하지 않는다.

5. 증명

요반 카라마타는 함수 $g$ 를 고려하여 극한값 계산을 통해 정리의 증명을 제시하였다.

$\lim_{x\to 1} (1-x)\sum a_nx^ng(x^n) = \int_0^1 g(t)dt$

모든 단항식 $g(x)=x^k$ 와 모든 다항식 $g$ 에 대해 이 속성이 성립한다. 바이어슈트라스 근사 정리를 통해 계단 함수와 같이 간단한 불연속성을 가진 함수 $g$ 로 확장할 수 있다. 특히, $1/e 일 때 g(t)=1/t 이고 그렇지 않으면 0 으로 주어지는 함수는 이 속성을 갖는다. x=e^{-1/N} 일 때 합 \sum a_n x^n g(x^n) 는 a_0 + \cdots + a_N 이고 g 의 적분은 1 이므로, 이로부터 하디-리틀우드 정리가 바로 유도된다.$

5. 1. 카라마타의 증명

요반 카라마타는 함수

g

를 고려하여 극한값 계산을 통해 정리의 증명을 제시하였다.

\lim_{x\to 1} (1-x)\sum a_nx^ng(x^n) = \int_0^1 g(t)dt

모든 단항식

g(x)=x^k

와 모든 다항식

g

에 대해 이 속성이 성립한다. 바이어슈트라스 근사 정리를 통해 계단 함수와 같이 간단한 불연속성을 가진 함수

g

로 확장할 수 있다. 특히,

1/e 일 때 g(t)=1/t 이고 그렇지 않으면 0 으로 주어지는 함수는 이 속성을 갖는다. x=e^{-1/N} 일 때 합 \sum a_n x^n g(x^n) 는 a_0 + \cdots + a_N 이고 g 의 적분은 1 이므로, 이로부터 하디-리틀우드 정리가 바로 유도된다.

6. 응용

1915년 하디(Hardy)와 리틀우드(Littlewood)는 자신들의 타우버 정리를 이용하여 소수 정리의 증명을 개발했다.^[5]^[6] 그들은 폰 망골트 함수 $\Lambda$ 를 이용해 $\sum_{n=2}^\infty \Lambda(n) e^{-ny} \sim \frac{1}{y}$ 임을 보였고, 이를 통해 $\sum_{n \le x} \Lambda(n) \sim x,$ 를 유도했는데, 이는 소수 정리와 동등한 형태이다.^[5]^[6] 리틀우드는 1971년에 이 타우버 정리에 여전히 기반한 더 간단한 증명을 개발했다.^[6]

6. 1. 소수 정리

1915년 하디(Hardy)와 리틀우드(Littlewood)는 자신들의 타우버 정리를 이용하여 소수 정리의 증명을 개발했다.^[5]^[6] 그들은 폰 망골트 함수

\Lambda

를 이용해

\sum_{n=2}^\infty \Lambda(n) e^{-ny} \sim \frac{1}{y}

임을 보였고, 이를 통해

\sum_{n \le x} \Lambda(n) \sim x,

를 유도했는데, 이는 소수 정리와 동등한 형태이다.^[5]^[6]

7. 역사

8. 한국 수학계의 연구 동향

참조

_[1] 서적 The Theory of Functions https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[2] 서적 Divergent Series AMS Chelsea
_[3] 서적 An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. John Wiley & Sons
_[4] 서적 Pseudodifferential operators and spectral theory Springer-Verlag
_[5] 서적 Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work AMS Chelsea Publishing
_[6] 서적 The Development of Prime Number Theory Springer-Verlag

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