하디-리틀우드 타우버 정리

1. 개요

하디-리틀우드 타우버 정리는 유계 변동 함수의 라플라스 변환과 관련된 정리로, 두 조건의 동치 관계를 설명한다. 이 정리는 펠러에 의해 일반화되었으며, 서서히 변하는 함수를 사용하여 더욱 확장될 수 있다. 급수에 대한 형태와 리틀우드 타우버 정리와 같은 따름정리도 존재한다. 이 정리는 소수 정리 증명에 응용되었으며, 요반 카라마타의 증명이 존재한다.

2. 정의

유계 변동 함수
:$f\backslash colon[0,\backslash infty)\backslash to\backslash mathbb\; R$
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $s>0$인 경우 라플라스 변환
:$\backslash omega(s)=\backslash int\_0^\backslash infty\backslash exp(-st)\backslash ,df(t)$
이 항상 존재한다. 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 임의의 음이 아닌 실수 $\backslash rho\backslash ge0$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $s\backslash to0^+$이라면 $\backslash omega(s)\backslash sim\; s^\{-\backslash rho\}$이다.
* $t\backslash to\backslash infty$라면 $f(t)\backslash sim\; t^\backslash rho/\backslash Gamma(\backslash rho+1)$이다.

유계 변동 함수 $f\backslash colon[0,\backslash infty)\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어졌을 때, $s>0$인 경우 라플라스 변환 $\backslash omega(s)=\backslash int\_0^\backslash infty\backslash exp(-st)\backslash ,df(t)$이 항상 존재한다. 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 음이 아닌 실수 $\backslash rho\backslash ge0$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $s\backslash to0^+$이라면 $\backslash omega(s)\backslash sim\; s^\{-\backslash rho\}$이다.
* $t\backslash to\backslash infty$라면 $f(t)\backslash sim\; t^\backslash rho/\backslash Gamma(\backslash rho+1)$이다.

펠러(Feller)는 보다 일반적인 공식화를 제시했다. 유한 변동을 갖는 실수 값 함수 $F:[0,\backslash infty)\backslash to\backslash mathbb\{R\}$의 라플라스-스틸체스 변환은 스틸체스 적분으로 정의된다.

:$\backslash omega(s)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-st\}\backslash ,dF(t).$

이 정리는 ω의 점근선과 $F$의 점근선을 관련시킨다. $\backslash rho$가 음이 아닌 실수인 경우, 다음 명제는 동치이다.
*$\backslash omega(s)\backslash sim\; C\; s^\{-\backslash rho\},\backslash quad\backslash rm\{as\backslash \; \}s\backslash to\; 0$
*$F(t)\backslash sim\; \backslash frac\{C\}\{\backslash Gamma(\backslash rho+1)\}t^\backslash rho,\; \backslash \; \backslash text\{as\}\backslash \; t\backslash to\backslash infty.$
여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수를 나타낸다.

서서히 변하는 함수의 정의에 따르면, $L(x)$는 모든 $t>0$에 대해 $\backslash frac\{L(tx)\}\{L(x)\}\backslash to\; 1,\backslash quad\; x\backslash to\backslash infty$가 성립할 때 무한대에서 서서히 변한다. $L$을 무한대에서 서서히 변하는 함수로 놓고 $\backslash rho\backslash geq\; 0$이라고 하면, 다음 명제는 동치이다.
*$\backslash omega(s)\backslash sim\; s^\{-\backslash rho\}L(s^\{-1\}),\backslash quad\backslash text\{as\}\backslash \; s\backslash to\; 0$
*$F(t)\backslash sim\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(\backslash rho+1)\}t^\backslash rho\; L(t),\; \backslash quad\backslash text\{as\}\backslash \; t\backslash to\backslash infty.$

급수 \(\sum_na_n\)이 주어졌을 때, 하디-리틀우드 타우버 정리를 \(a_k\)에 대한 계단 함수 \(f(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}a_k\)에 적용하면, 다음과 같은 형태의 정리를 얻는다.

만약
* 항상 \(a_n\ge0\)이며,
* \(y\to0^+\)일 때 \(\sum_{k=0}^\infty a_k\exp(-ky)\sim1/y\)라면,

다음이 성립한다.
\(\sum_{k=0}^na_k\sim n\qquad(n\to\infty)\)

이 공식은 티치마쉬(Titchmarsh)에서 유래했다. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(a_n\geq 0\)라고 가정하고, 다음을 갖는다고 하자.

\(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \sim \frac{1}{1-x}\ \text{as}\ x\uparrow 1 .\)

그러면 \(n\to\infty\)일 때, 다음을 갖는다.

\(\sum_{k=0}^n a_k \sim n.\)

이 정리는 때때로 동등한 형태로 언급되는데, \(a_n\geq 0\)을 요구하는 대신 \(a_n=O(1)\)을 요구하거나, 어떤 상수 \(K\)에 대해 \(a_n\geq -K\)를 요구한다. 이 정리는 (변수 변환 \(x=1/e^y\)를 통해) 또 다른 동등한 공식으로도 언급된다.

만약,

\(\sum_{n=0}^\infty a_n e^{-ny} \sim \frac{1}{y}\ \text{as}\ y\downarrow 0 \)

이라면,

\(\sum_{k=0}^n a_k \sim n.\)

2.1. 유계 변동 함수

유계 변동 함수 $f\backslash colon[0,\backslash infty)\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어졌을 때, $s>0$인 경우 라플라스 변환 $\backslash omega(s)=\backslash int\_0^\backslash infty\backslash exp(-st)\backslash ,df(t)$이 항상 존재한다. 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 음이 아닌 실수 $\backslash rho\backslash ge0$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $s\backslash to0^+$이라면 $\backslash omega(s)\backslash sim\; s^\{-\backslash rho\}$이다.
* $t\backslash to\backslash infty$라면 $f(t)\backslash sim\; t^\backslash rho/\backslash Gamma(\backslash rho+1)$이다.

펠러(Feller)는 보다 일반적인 공식화를 제시했다. 유한 변동을 갖는 실수 값 함수 $F:[0,\backslash infty)\backslash to\backslash mathbb\{R\}$의 라플라스-스틸체스 변환은 스틸체스 적분으로 정의된다.

:$\backslash omega(s)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-st\}\backslash ,dF(t).$

이 정리는 ω의 점근선과 $F$의 점근선을 관련시킨다. $\backslash rho$가 음이 아닌 실수인 경우, 다음 명제는 동치이다.
*$\backslash omega(s)\backslash sim\; C\; s^\{-\backslash rho\},\backslash quad\backslash rm\{as\backslash \; \}s\backslash to\; 0$
*$F(t)\backslash sim\; \backslash frac\{C\}\{\backslash Gamma(\backslash rho+1)\}t^\backslash rho,\; \backslash \; \backslash text\{as\}\backslash \; t\backslash to\backslash infty.$
여기서 $\backslash Gamma$는 감마 함수를 나타낸다.

서서히 변하는 함수의 정의에 따르면, $L(x)$는 모든 $t>0$에 대해 $\backslash frac\{L(tx)\}\{L(x)\}\backslash to\; 1,\backslash quad\; x\backslash to\backslash infty$가 성립할 때 무한대에서 서서히 변한다. $L$을 무한대에서 서서히 변하는 함수로 놓고 $\backslash rho\backslash geq\; 0$이라고 하면, 다음 명제는 동치이다.
*$\backslash omega(s)\backslash sim\; s^\{-\backslash rho\}L(s^\{-1\}),\backslash quad\backslash text\{as\}\backslash \; s\backslash to\; 0$
*$F(t)\backslash sim\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(\backslash rho+1)\}t^\backslash rho\; L(t),\; \backslash quad\backslash text\{as\}\backslash \; t\backslash to\backslash infty.$

2.2. 급수에 대한 형태

급수 \(\sum_na_n\)이 주어졌을 때, 하디-리틀우드 타우버 정리를 \(a_k\)에 대한 계단 함수 \(f(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}a_k\)에 적용하면, 다음과 같은 형태의 정리를 얻는다.

만약
* 항상 \(a_n\ge0\)이며,
* \(y\to0^+\)일 때 \(\sum_{k=0}^\infty a_k\exp(-ky)\sim1/y\)라면,

다음이 성립한다.
\(\sum_{k=0}^na_k\sim n\qquad(n\to\infty)\)

이 공식은 티치마쉬(Titchmarsh)에서 유래했다. 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(a_n\geq 0\)라고 가정하고, 다음을 갖는다고 하자.

\(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \sim \frac{1}{1-x}\ \text{as}\ x\uparrow 1 .\)

그러면 \(n\to\infty\)일 때, 다음을 갖는다.

\(\sum_{k=0}^n a_k \sim n.\)

이 정리는 때때로 동등한 형태로 언급되는데, \(a_n\geq 0\)을 요구하는 대신 \(a_n=O(1)\)을 요구하거나, 어떤 상수 \(K\)에 대해 \(a_n\geq -K\)를 요구한다. 이 정리는 (변수 변환 \(x=1/e^y\)를 통해) 또 다른 동등한 공식으로도 언급된다.

만약,

\(\sum_{n=0}^\infty a_n e^{-ny} \sim \frac{1}{y}\ \text{as}\ y\downarrow 0 \)

이라면,

\(\sum_{k=0}^n a_k \sim n.\)

3. 따름정리

리틀우드 타우버 정리(Littlewood Tauberian theorem^영어)에 따르면, 수열 $a\_n$이
:$a\_n\backslash in\; O(1/n)$
이며, $x\backslash to1^-$일 때
:$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kx^k\backslash to\; s$
라면,
:$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kx^k=s$
이다. 이는 하디-리틀우드 타우버 정리
:$\backslash lim\_\{x\backslash to1^-\}\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty(1-x)^ca\_kx^k=s\backslash implies\backslash sum\_\{k=0\}^na\_k\backslash sim\backslash frac\{s\}\{\backslash Gamma(1+c)\}n^c$
에서, $c=0$인 특수한 경우이다.
1911년 리틀우드는 타우버의 역인 아벨 정리의 확장을 증명했다. 리틀우드는 다음을 보였다: 만약 $a\_n=O(1/n)$이고,
:$\backslash sum\; a\_n\; x^n\; \backslash to\; s\; \backslash \; \backslash text\{as\}\backslash \; x\backslash uparrow\; 1$
이라면,
:$\backslash sum\; a\_n\; =\; s.$
이것은 역사적으로 하디-리틀우드 타우버 정리보다 먼저 나왔지만, 그 정리의 간단한 응용으로 증명될 수 있다.

3.1. 리틀우드 타우버 정리

리틀우드 타우버 정리(Littlewood Tauberian theorem^영어)에 따르면, 수열 $a\_n$이 $a\_n\backslash in\; O(1/n)$이고, $x\backslash to1^-$일 때 $\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kx^k\backslash to\; s$라면, $\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kx^k=s$이다. 이는 하디-리틀우드 타우버 정리에서 $c=0$인 특수한 경우이다. 1911년 리틀우드는 타우버의 역인 아벨 정리의 확장을 증명했다. 리틀우드는 만약 $a\_n=O(1/n)$이고, $\backslash sum\; a\_n\; x^n\; \backslash to\; s\; \backslash \; \backslash text\{as\}\backslash \; x\backslash uparrow\; 1$ 이라면, $\backslash sum\; a\_n\; =\; s.$ 임을 보였다. 이것은 역사적으로 하디-리틀우드 타우버 정리보다 먼저 나왔지만, 그 정리의 간단한 응용으로 증명될 수 있다.

4. 예

하디-리틀우드 타우버 정리에서 $a\_n$이 음이 아닌 수라는 조건을 생략하면 정리가 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어,
:$g(x)=\backslash frac1\{(1+x)^2(1-x)\}=1-x+2x^2-2x^3+3x^4-3x^5+\backslash cdots=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; g\_kx^k$
를 생각하자. 이 경우 $x\backslash to1$이라면 $g(x)\backslash sim1/(4(1-x))$이지만,
:
이다. 이 함수는 $x\backslash to\; 1$일 때 $1/4(1-x)$에 점근하지만, 그 계수의 부분합은 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ... 이며 어떤 선형 함수에도 점근하지 않는다.

5. 증명

요반 카라마타는 함수 $g$를 고려하여 극한값 계산을 통해 정리의 증명을 제시하였다.

$\backslash lim\_\{x\backslash to\; 1\}\; (1-x)\backslash sum\; a\_nx^ng(x^n)\; =\; \backslash int\_0^1\; g(t)dt$

모든 단항식 $g(x)=x^k$와 모든 다항식 $g$에 대해 이 속성이 성립한다. 바이어슈트라스 근사 정리를 통해 계단 함수와 같이 간단한 불연속성을 가진 함수 $g$로 확장할 수 있다. 특히,

5.1. 카라마타의 증명

요반 카라마타는 함수 $g$를 고려하여 극한값 계산을 통해 정리의 증명을 제시하였다.

$\backslash lim\_\{x\backslash to\; 1\}\; (1-x)\backslash sum\; a\_nx^ng(x^n)\; =\; \backslash int\_0^1\; g(t)dt$

모든 단항식 $g(x)=x^k$와 모든 다항식 $g$에 대해 이 속성이 성립한다. 바이어슈트라스 근사 정리를 통해 계단 함수와 같이 간단한 불연속성을 가진 함수 $g$로 확장할 수 있다. 특히,

6. 응용

1915년 하디(Hardy)와 리틀우드(Littlewood)는 자신들의 타우버 정리를 이용하여 소수 정리의 증명을 개발했다. 그들은 폰 망골트 함수 $\backslash Lambda$를 이용해 $\backslash sum\_\{n=2\}^\backslash infty\; \backslash Lambda(n)\; e^\{-ny\}\; \backslash sim\; \backslash frac\{1\}\{y\}$임을 보였고, 이를 통해 $\backslash sum\_\{n\; \backslash le\; x\}\; \backslash Lambda(n)\; \backslash sim\; x,$를 유도했는데, 이는 소수 정리와 동등한 형태이다. 리틀우드는 1971년에 이 타우버 정리에 여전히 기반한 더 간단한 증명을 개발했다.

6.1. 소수 정리

1915년 하디(Hardy)와 리틀우드(Littlewood)는 자신들의 타우버 정리를 이용하여 소수 정리의 증명을 개발했다. 그들은 폰 망골트 함수 $\backslash Lambda$를 이용해 $\backslash sum\_\{n=2\}^\backslash infty\; \backslash Lambda(n)\; e^\{-ny\}\; \backslash sim\; \backslash frac\{1\}\{y\}$임을 보였고, 이를 통해 $\backslash sum\_\{n\; \backslash le\; x\}\; \backslash Lambda(n)\; \backslash sim\; x,$를 유도했는데, 이는 소수 정리와 동등한 형태이다.

7. 역사

8. 한국 수학계의 연구 동향