헤케 지표
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1. 개요
헤케 지표는 대역체의 이델류군에서 단위 복소수 곱셈군으로 가는 군 준동형사상이다. 헤케 지표는 수체 또는 전역 함수체의 이델류 군의 곱셈 문자이며, 헤케 L-함수와 그뢰센캐릭터와 밀접한 관련이 있다. 헤케 지표의 도수는 해당 지표가 특정 법을 따르는 헤케 지표가 되도록 하는 가장 큰 아이디얼이며, 헤케 L-함수는 헤케 지표에 대응하는 디리클레 급수의 일종이다. 그뢰센캐릭터는 헤케 지표의 또 다른 표현 방식으로, 분수 아이디얼에 대한 지표로 정의되며, 헤케 지표와 1:1 대응 관계를 갖는다. 디리클레 지표와 힐베르트 지표는 헤케 지표의 특수한 경우이다. 테이트의 논문은 헤케 지표 이론에 폰트랴긴 쌍대성을 체계적으로 적용하여, 특수한 함수를 사용할 필요성을 없앴다. 대수적 헤케 지표는 대수적 수 값을 갖는 헤케 지표로, 타원 곡선과 관련하여 류수론과 복소 곱셈 이론에 나타난다.
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| 헤케 지표 | |
|---|---|
| 헤케 지표 | |
| 분야 | 수론 |
| 정의 | 군 준동형 사상 아이델 군 → 유리수의 곱셈군 |
| 성질 | 해석적 성질 L-함수 연구에 사용 |
| 관련 개념 | 아이델 L-함수 디리클레 지표 |
| 역사적 배경 | |
| 창시자 | 에리히 헤케 |
| 개발 시기 | 1920년대 |
| 응용 분야 | |
| 주요 응용 | 수론의 다양한 문제 L-함수의 해석적 성질 연구 |
| 구체적 예시 | 디리클레 L-함수의 일반화 모듈러 형식과의 연관성 |
| 추가 정보 | |
| 다른 이름 | 그뢰쎈캐릭터 (Größencharakter) |
2. 정의
대역체 에 대한 '''헤케 지표'''는 그 이델류군 로부터 U(1)(단위 복소수들의 곱셈군)으로 가는 군 준동형
:
이다.
'''헤케 지표'''는 곱셈 문자의 수체 또는 전역 함수체의 이델류 군이며, 사영 사상과의 합성을 통해 주 이델류에서 자명한 이델 군의 문자에 고유하게 대응된다.
이 정의는 저자에 따라 약간씩 다른 문자의 정의에 의존하는데, 0이 아닌 복소수로의 준동형사상( "준문자"라고도 함) 또는 '''C'''의 단위 원으로의 준동형사상("유니터리")으로 정의될 수 있다. 이델류 군의 모든 준문자는 노름의 실수 거듭제곱에 유니터리 문자를 곱한 것으로 고유하게 쓸 수 있으므로 두 정의 사이에는 큰 차이가 없다.
헤케 지표는 대수적 수체나 전역체의 이데알류군의 （유사）지표(Multiplicative character)이며, 사영적 사상을 갖는 합성을 경유하여 주 이데알 위에서 자명한 유사 지표에 유일하게 대응한다. 지표의 정의는 서적의 필자에 따라 약간씩 다른데, 0을 포함하지 않는 복소수로의 준동형(「유사 지표」)으로 정의될 수도 있고, '''C''' 의 단위원의 군(「유니타리성」)일 수도 있다. 임의의 이데알류군의 유사 지표는 유일하게 유니타리 지표에 노름의 실수 거듭제곱을 곱한 값으로 쓸 수 있으며, 두 정의에 큰 차이는 없다.
2. 1. 도수 (Conductor)
헤케 지표 ''χ''의 '''도수'''는 ''χ''가 ''m''을 법으로 하는 헤케 지표가 되도록 하는 가장 큰 아이디얼 ''m''이다. 여기서 ''χ''(이델 군의 문자로 간주)가 모든 v-adic 성분이 1 + ''m''Ov에 있는 유한 이델류의 군에서 자명하다면 ''χ''는 ''m''을 법으로 하는 헤케 지표라고 말한다.3. 헤케 L-함수
헤케 지표 에 대응되는 '''헤케 L-함수'''(Hecke ''L''-function영어)는 다음과 같은 디리클레 급수로 정의된다.[1]
:
여기서
이 디리클레 급수는 특정 조건을 만족하면 오른쪽 반평면에서 절대적으로 수렴한다. 에리히 헤케는 이 L-함수가 전체 복소 평면으로 해석적 접속이 가능하며, 함수 방정식을 만족시킴을 증명하였다.[1] 헤케 L-함수는 s = 1에서 단순 극점을 가지며, 그 외의 영역에서는 해석적이다.
3. 1. 헤케 L-함수의 함수 방정식
에리히 헤케는 헤케 L-함수가 함수 방정식을 만족시키며, 이를 통해 전체 복소 평면으로 해석적 접속이 가능함을 증명하였다.[1] 헤케 L-함수는 s = 1에서 단순 극점을 가지며, 그 외의 영역에서는 해석적이다. 또한, 특정 조건을 만족하면 복소 켤레 함수의 L-함수 값과 관련된 함수 방정식이 성립한다.4. 그뢰센캐릭터 (Größencharakter)
'''그뢰센캐릭터'''(Größencharakter, 종종 그뢰센캐릭터(Grössencharakter), 그로센캐릭터(Grossencharacter) 등으로 표기)는 헤케 지표의 또 다른 표현 방식으로, 분수 아이디얼에 대한 지표로 정의된다.
수체 ''K''에 대해, ''m'' = ''m''''f''''m''∞를 ''K''-모듈러스라고 하자. 여기서 ''m''''f'' (유한 부분)는 ''K''의 정수 아이디얼이고, ''m''∞ (무한 부분)은 ''K''의 실수 자리들의 (형식적) 곱이다.
- ''I''''m'': ''m''''f''와 서로소인 ''K''의 분수 아이디얼들의 그룹
- ''P''''m'': 주 분수 아이디얼 (''a'')의 부분 그룹. 여기서 ''a''는 ''m''의 각 자리에서 그 인자의 중복도에 따라 1에 가깝다.
- ''m''''f''에 있는 각 유한 자리 ''v''에 대해, ord''v''(''a'' − 1)은 ''m''''f''에서 ''v''에 대한 지수보다 크거나 같다.
- ''a''는 ''m''∞에 있는 각 실 임베딩에서 양수이다.
모듈러스 ''m''을 가진 그뢰센캐릭터는 ''I''''m''에서 0이 아닌 복소수로의 군 준동형이며, ''P''''m''에 있는 아이디얼 (''a'')에 대해 그 값은 다음과 같다.
- 호모모르피즘의 각 지역 성분이 같은 실수 부분(지수)을 갖는 ''K''의 모든 아르키메데스 완비의 곱에서 0이 아닌 복소수로의 연속 호모모르피즘의 ''a''에서의 값과 같다. (여기서 ''a''는 ''K''의 다양한 아르키메데스 자리에 해당하는 임베딩을 사용하여 ''K''의 아르키메데스 완비의 곱에 임베딩한다.)
따라서 그뢰센캐릭터는 ''I''''m''/''P''''m''인 레이 유수군 모듈로 ''m''에서 정의될 수 있다.
엄밀히 말하면, 헤케는 완전히 양의 생성자를 허용하는 주 아이디얼에 대한 동작에 대한 규정을 만들었다. 따라서 위에 주어진 정의에 따르면, 그는 실제로 모든 실 자리가 나타나는 모듈러스로만 작업했다. 무한 부분 ''m''∞의 역할은 이제 무한대 유형의 개념에 포함된다.
4. 1. 그뢰센캐릭터와 헤케 지표의 관계
그뢰센캐릭터와 헤케 지표는 본질적으로 동일하며, 1:1 대응 관계를 갖는다.[1] 아이디얼을 이용한 정의는 아이델을 이용한 정의보다 훨씬 더 복잡하다. 헤케가 이 정의를 내린 동기는 디리클레 L-함수의 개념을 유리수에서 다른 수체로 확장하는 ''L''-함수 (때로는 '''헤케 ''L''-함수'''라고도 함)를 구성하기 위한 것이었다.[1]크뢰센캐릭터 χ에 대해, 해당 ''L''-함수는 다음과 같이 정의된다.
:
여기서 합은 크뢰센캐릭터의 모듈러스 ''m''과 서로 소인 정수 아이디얼에 대해 수행되고, ''N(I)''는 아이디얼 노름을 의미한다. ''P''''m'' 부분군에서 크뢰센캐릭터의 동작을 지배하는 일반적인 실수 부분 조건은 이러한 디리클레 급수가 어떤 오른쪽 반평면에서 절대적으로 수렴함을 의미한다. 헤케는 이 ''L''-함수가 전체 복소 평면으로 유리형 확장되며, 문자가 자명할 때 ''s'' = 1에서 1차 단순 극점을 제외하고 해석적임을 증명했다. 원시 크뢰센캐릭터에 대해, 헤케는 이러한 ''L''-함수가 문자의 ''L''-함수 값과 복소 켤레 문자의 ''L''-함수 값을 관련시키는 함수 방정식을 만족함을 보였다.
아이델 군의 문자 ψ를 고려하면, ψ는 아이디얼 군 ''I''''S''의 문자 χ를 생성한다.[2] χ를 Π와 ψ의 합성으로 두면, χ는 아이디얼 군에 대한 문자로 잘 정의된다.[3]
반대로, ''허용 가능한'' ''I''''S''의 문자 χ가 주어지면 고유한 아이델 클래스 문자 ψ가 대응한다.[4] 여기서 허용 가능하다는 것은 문자 χ가 1 mod '''m'''인 아이디얼에서 1인 집합 ''S''를 기반으로 하는 모듈러스 '''m'''의 존재를 의미한다.[5]
헤케 지표가 '크다'는 것은 유한 차수가 아니라는 의미이다. 유한 차수 헤케 문자는 류수 이론에 의해 설명되며, 해당 ''L''-함수는 아르틴 L-함수이고, 아르틴 상호 법칙이 이를 보여준다. 그러나 가우스 유리수와 같은 간단한 체조차도 유한 차수를 넘어가는 헤케 문자를 가진다. 복소 곱셈 이론은 '큰' 문자의 적절한 위치가 중요한 부류의 대수적 다양체에 대한 하세-바일 L-함수를 제공함을 나타냈다.
5. 특별한 경우
디리클레 지표와 힐베르트 지표는 헤케 지표의 특별한 예시이다. 디리클레 지표는 유한 차수를 가지며, 힐베르트 지표는 도수가 1인 디리클레 지표이다.[5][12]
5. 1. 디리클레 지표 (Dirichlet character)
디리클레 지표는 유한 차수의 헤케 지표이다. 이는 어떤 모듈러스 '''m'''에 대해 1인 완전히 양수인 주 이상 집합 또는 총정규 주 아이디얼 집합의 값에 의해 결정된다.[5][12]5. 2. 힐베르트 지표 (Hilbert character)
힐베르트 지표는 도수가 1인 디리클레 지표이다.[5][12] 힐베르트 지표의 개수는 체의 유수군의 차수이며, 류수론은 힐베르트 지표를 힐베르트 유수체의 갈루아 군의 지표와 동일시한다.6. 예시
유리수체와 가우스 정수체에서의 헤케 지표는 다음과 같은 예시를 갖는다.[1]
- 유리수체에서 헤케 지표는 절대값의 멱수와 디리클레 지표의 곱으로 표현된다.
- 가우스 정수체에서 도수가 1인 헤케 지표 χ는 χ((a)) = |a|s(a/|a|)4n 형태로 표현된다. (s는 허수, n은 정수, a는 아이디얼 (a)의 생성자)
6. 1. 유리수체에서의 헤케 지표
유리수체에서 이데알류군은 양의 실수를 이루는 곱셈군과 p진 정수환의 단원군 전체의 곱에 동형이다. 헤케 지표는 절대값의 멱수와 디리클레 지표의 곱이 된다.[1]6. 2. 가우스 정수체에서의 헤케 지표
도수 1의 가우스 정수 헤케 지표 χ는 다음과 같은 형태를 갖는다.[1]: χ((a)) = |a|s(a/|a|)4n
여기서 s는 허수이고, n은 정수이며, a는 아이디얼 (a)의 생성자이다. 유일한 단원은 i의 거듭제곱이므로, 지수에 4를 곱하는 것은 지표가 아이디얼에서 잘 정의되도록 보장한다.[1]
7. 테이트의 논문 (Tate's Thesis)
존 테이트(John Tate)의 1950년 프린스턴 박사 학위 논문은 지도 교수인 에밀 아르틴(Emil Artin)의 지도하에 작성되었으며, 폰트랴긴 쌍대성을 체계적으로 적용하여 특수 함수를 사용할 필요성을 없앴다. 유사한 이론은 이와사와 겐키치(Kenkichi Iwasawa)에 의해서도 독립적으로 개발되었다. 훗날, 베유(Weil)에 의한 Bourbaki seminar영어에서의 재정의에서는, 테이트의 증명의 어떤 부분은 슈바르츠 초함수에 의해 표현될 수 있다는 것이었다. 주어진 χ에 의한 이데알의 작용 하에 변환되는 K의 아델 환 위의 (슈바르츠-브루아 테스트 함수의) 초함수는 차원이 1이 된다.
7. 1. 테이트 논문의 의의
헤케는 ''L''(''s'', χ)에 대한 함수 방정식을 증명하기 위해 원래 세타 함수를 사용했다. 에밀 아르틴의 지도 아래 존 테이트가 1950년 프린스턴 대학에서 쓴 박사 학위 논문에서는 특수한 함수를 사용할 필요 없이 폰트랴긴 쌍대성을 체계적으로 적용했다. 비슷한 이론이 이와사와 겐키치에 의해 독립적으로 개발되었으며, 이는 1950년 ICM 강연의 주제였다. 부르바키 세미나에서의 후기 재해석은 테이트의 증명 일부가 분포 이론으로 표현될 수 있음을 보여주었다. 주어진 χ에 의해 이델의 작용 아래 변환되는 ''K''의 아델 군에 대한 분포 공간(Schwartz–Bruhat test function에 대한)은 차원이 1이다.8. 대수적 헤케 지표 (Algebraic Hecke Character)
대수적 헤케 지표는 대수적 수 값을 갖는 헤케 지표이며, 유체론 및 복소 곱셈 이론에서 중요한 역할을 한다. 1947년 베유(Weil)에 의해 '''A0형'''이라는 이름으로 소개되었다.[6] 상(image)이 어떤 대수체에 포함되는 헤케 지표를 말한다.[13]
예를 들어 ''E''를 대수체 ''F'' 위에 정의된 타원 곡선으로, 허수 이차체 ''K''에 의한 허수 승법을 갖는다고 하자. ''S''를 ''K''의 소점 중 ''E''가 나쁜 환원을 갖는 소점과 무한 소점을 모두 모은 집합으로 한다. 이때 ''K''의 대수적 헤케 지표 χ가 존재하여, '''p'''를 ''S''에 속하지 않는 소점이라고 하면 값 χ('''p''')가 프로베니우스 자기 준동형의 고유 다항식의 근이라는 성질을 갖는다.[14]
8. 1. 대수적 헤케 지표와 타원 곡선
대수적 수 값을 갖는 헤케 지표인 대수적 헤케 지표는 1947년 베유(Weil)에 의해 '''A0형'''이라는 이름으로 소개되었다. 이러한 지표는 류수론과 복소 곱셈 이론에 나타난다.[6]허수 이차체 ''K''에 의한 복소 곱셈을 갖는 수체 ''F'' 위에 정의된 타원 곡선 ''E''가 있고, ''K''가 ''F''에 포함되어 있다고 가정하자. 그러면 ''F''에 대한 대수적 헤케 지표 χ가 존재하며, 예외 집합 ''S''는 ''E''의 나쁜 환원의 소수와 무한 위치의 집합이다. 이 지표는 좋은 환원의 소수 이상 '''p'''에 대해, χ('''p''')의 값이 프로베니우스 자기 준동형사상의 특성 다항식의 근이라는 성질을 갖는다. 결과적으로, ''E''에 대한 하세-베유 제타 함수는 χ와 그 복소 켤레에 대한 두 개의 디리클레 급수의 곱이다.[7]
참조
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