호프-리노우 정리

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1. 개요
2. 진술
- 2.1. 동치 조건
- 2.2. 최소화 측지선의 존재성
3. 변형 및 일반화
참조

1. 개요

호프-리노우 정리는 연결된 매끄러운 리만 다양체에서 닫힌 유계 집합, 완비 거리 공간, 측지적 완비성 사이의 관계를 설명하는 정리이다. 이 정리에 따르면 이러한 조건들은 서로 동치이며, 이 중 하나라도 참이면 임의의 두 점을 연결하는 길이 최소화 측지선이 존재한다. 호프-리노우 정리는 길이 거리 공간으로 일반화될 수 있으며, 무한 차원 다양체나 로렌츠 다양체에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

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호프-리노우 정리
호프-리노우 정리
개요
분야	리만 기하학
설명	리만 다양체의 완전성에 대한 동치 명제들을 제공한다.
명명	하인츠 호프와 빌헬름 리노우의 이름을 따서 명명되었다.
내용
동치 조건	닫힌 유계 부분 집합이 콤팩트하다. 코시 열은 수렴한다. 모든 측지선은 모든 방향으로 무한히 확장될 수 있다. 다양체는 어떤 점에서의 극좌표로 표현될 수 있다.
결과	위의 조건 중 하나가 성립하면, 임의의 두 점 사이에는 최소 길이의 측지선이 존재한다.
중요성	완전성의 개념을 이해하고 리만 다양체의 전역적 구조를 연구하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 진술

$(M, g)$ 를 매끄러운 연결 리만 다양체라 하자. 호프-리노우 정리는 이러한 다양체의 완비성(completeness)을 특징짓는 여러 중요한 조건들이 서로 동치임을 밝히는 정리이다. 이 조건들은 다양체의 위상적 성질(콤팩트성), 거리 공간으로서의 성질(계량 완비성), 그리고 기하학적 성질(측지 완비성)을 포함한다. 또한, 이 조건들이 만족될 경우 임의의 두 점 $p, q \in M$ 을 잇는 길이 최소화 측지선의 존재성이 보장된다. 구체적인 동치 조건과 그 함의는 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

2. 1. 동치 조건

(M, g)

를 매끄러운 연결 리만 다양체라 하자. 그러면, 다음 명제들은 서로 동치이다.

#

M

의 닫힌 유계 부분 집합은 콤팩트이다.

#

M

은 완비 거리 공간이다.

#

M

은 측지적으로 완비하다. 즉, 모든

p \in M

에 대해, 지수 사상 exp_''p''가 전체 접 공간

\operatorname{T}_p M

에서 정의된다.

또한, 위의 명제 중 하나라도 참이면, 임의의 두 점

p, q \in M

에 대해 이 두 점을 연결하는 길이 최소화 측지선이 존재한다(측지선은 일반적으로 길이 함수에 대한 임계점이며 최소값일 수도 있고 아닐 수도 있다).

호프-리노우 정리에서 완비성의 첫 번째 특징은 다양체의 위상과 다양한 집합의 유계성에 관한 것이고, 두 번째는 변분법의 특정 문제(즉, 길이 범함수의 최소화)에 대한 최소화 자의 존재에 관한 것이며, 세 번째는 특정 상미분 방정식계의 해의 특성에 관한 것이다.

2. 2. 최소화 측지선의 존재성

(M, g)

를 매끄러운 연결 리만 다양체라 하자. 호프-리노우 정리에 따르면 다음 세 가지 명제는 서로 동치이다.

#

M

의 닫힌 유계 부분 집합은 콤팩트하다.

#

M

은 완비 거리 공간이다.

#

M

은 측지적으로 완비하다. 즉, 모든 점

p \in M

에 대해, 지수 사상 exp_''p''가 전체 접공간

\operatorname{T}_p M

에서 정의된다.

이 명제들 중 하나라도 참일 경우, 임의의 두 점

p, q \in M

에 대해, 이 두 점을 연결하는 길이 최소화 측지선이 반드시 존재한다. 여기서 측지선은 일반적으로 길이 함수의 임계점을 의미하며, 반드시 길이가 최소인 경로만을 뜻하는 것은 아니다.

3. 변형 및 일반화

호프-리노우 정리는 원래 정의된 리만 다양체 외에 다른 수학적 공간으로 확장되거나, 특정 조건에서는 성립하지 않는 등 여러 방향으로 연구되었다. 대표적으로 길이 거리 공간으로 일반화될 수 있으며, 반대로 무한 차원 다양체나 준 리만 다양체와 같은 경우에는 일반적으로 성립하지 않는 것으로 알려져 있다.^[4]^[2] 이러한 구체적인 일반화 및 비적용 사례는 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3. 1. 길이-거리 공간으로의 일반화

호프-리노우 정리는 다음과 같은 방식으로 길이-거리 공간으로 일반화된다:

만약 길이-거리 공간이 완비 공간이고 국소 콤팩트 공간이라면, 임의의 두 점은 최소 측지선으로 연결될 수 있으며, 모든 유계 폐집합은 콤팩트 공간이다.

사실 이러한 성질은 국소 콤팩트 길이-거리 공간에 대한 완비성을 특징짓는다.

3. 2. 무한 차원 다양체에서의 비적용

호프-리노우 정리는 무한 차원 다양체에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 분리 가능한 힐베르트 공간의 단위 구는 힐베르트 다양체 구조를 가질 수 있는데, 이 구조에서는 서로 마주보는 점(대척점)들이 길이를 최소화하는 측지선으로 연결될 수 없는 경우가 있다. 나아가, 두 점이 (길이 최소화 여부와 관계없이) 어떤 측지선으로도 연결된다는 것 자체가 보장되지 않는다는 사실도 밝혀졌다.^[2]

3. 3. 준 리만 다양체에서의 비적용

호프-리노우 정리는 준 리만 다양체의 한 종류인 로런츠 다양체로 일반화되지 않는다. 클리프턴-폴 토러스는 콤팩트하지만 완비되지 않은 로런츠 다양체의 예시를 제공하는데, 이는 2차원 원환과 미분동형이다.

참조

_[1] 논문 Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche
_[2] 간행물 The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions
_[3] 논문 Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche
_[4] 간행물 The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions

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