푸비니-슈투디 계량

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1. 개요

푸비니-슈투디 계량은 복소 사영 공간에 정의되는 리만 계량으로, 복소 사영 공간의 몫 공간 구성에서 자연스럽게 나타난다. 이 계량은 동차 좌표 또는 국소 아핀 좌표를 사용하여 표현할 수 있으며, 특히 양자역학에서 뷰레스 계량으로도 알려져 있다. 푸비니-슈투디 계량은 4와 같은 정칙 단면 곡률을 가지며, 아인슈타인 계량으로서 일반 상대성 이론에서 아인슈타인 장 방정식의 해로 사용될 수 있다. 푸비니-슈투디 계량은 귀도 푸비니와 크리스티안 후고 에두아르트 슈투디에 의해 독립적으로 발견되었다.

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푸비니-슈투디 계량
푸비니-슈투디 계량
유형	리만 계량
다양체	복소 사영 공간
기호	g
관련 개념	케흘러 다양체
분야	미분 기하학

2. 정의

푸비니-슈투디 계량은 $n$ 차원 복소 사영 공간 $\mathbb{CP}^n$ 위에 정의되는 특별한 리만 계량이다. 이 계량은 몫 공간 구성을 통해 자연스럽게 유도되며, 동차 좌표와 아핀 좌표를 사용하여 표현할 수 있다.
정의푸비니-슈투디 계량은 다음과 같이 여러 방법으로 정의할 수 있다.

'''C'''^''n''+1 상의 표준 에르미트 계량은 표준 기저에서 다음과 같이 주어진다.

:

ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\overline{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\overline{Z_0} + \cdots + dZ_n \otimes d\overline{Z_n}

이는 '''R'''^2''n''+2 상의 표준 유클리드 계량으로 실현된다.

'''CP'''ⁿ은 '''C'''ⁿ⁺¹ 안의 모든 복소 직선으로 이루어진 공간으로, 각 점에 복소수를 곱하는 것(스케일링)을 동일시하는 '''C'''ⁿ⁺¹\{0}의 몫 공간으로 정의된다. 이는 곱셈군 '''C'''^* = '''C'''\{0}의 대각적인 군 작용에 의한 몫과 일치한다.

:

\mathbf{CP}^n = \left\{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1}\setminus\{0\}\, \right\} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.

0이 아닌 복소 스칼라 ''z'' = ''R'' ''e''^iθ에 의한 곱은 원점을 중심으로 반시계 방향으로 각도 $\theta$ 만큼 회전하고 modulus R만큼 늘리는(지연) 합성으로 생각할 수 있다. 따라서 몫 '''C'''^''n''+1 → '''CP'''^''n''은 다음 두 단계로 분해된다.

:

\mathbf{C}^{n+1}\setminus\{0\} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n

(a) 단계의 몫은 방정식 |'''Z'''|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1로 정의되는 실수 초구면 ''S''^2''n''+1이다. (b) 단계의 몫은 '''CP'''^''n'' = ''S''^2''n''+1/''S''¹로 실현되며, 여기서 ''S''¹은 회전군을 나타낸다.

푸비니-슈투디 계량은 몫 '''CP'''^''n'' = ''S''^2''n''+1/''S''¹ 위에 유도된 계량이며, 여기서 $S^{2n+1}$ 은 표준 유클리드 계량을 단위 초구면에 제한하여 얻어지는 "둥근 계량"을 갖는다.

푸비니-슈투디 계량은 켈러 퍼텐셜과의 관계를 통해 정의될 수도 있으며, 동차 좌표계나 아핀 좌표계를 사용하여 표현할 수 있다.

2. 1. 동차 좌표를 사용한 정의

n

차원 복소수 사영 공간

\mathbb{CP}^{n}

에 동차 좌표

Z_0, Z_1, \dots, Z_n

을 부여하고, 벡터

:

\mathbf{z} = Z_0^{-1}(Z_1, \dots, Z_n) \in \mathbb{C}^n

으로 나타낸다. 푸비니-슈투디 계량의 켈러 퍼텐셜은

:

K = \ln(1 + \mathbf{z} \cdot \bar{\mathbf{z}})

이다. 즉, 그 리만 계량은

:

ds^2 = \frac{(1 + \mathbf{z} \cdot \bar{\mathbf{z}})d\mathbf{z} \cdot d\bar{\mathbf{z}} - (\bar{\mathbf{z}} \cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z} \cdot d\bar{\mathbf{z}})}{(1 + \mathbf{z} \cdot \bar{\mathbf{z}})^2}

이다.

동차 좌표계 표기법으로도 표현이 가능한데, 이는 대수 기하학의 사영 다양체를 설명하는 데 일반적으로 사용된다. '''Z''' = [''Z''₀:...:''Z''_''n'']. 형식적으로 표현식을 적절하게 해석하면 다음과 같다.

:

\begin{align}ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}

2. 2. 국소 아핀 좌표를 사용한 정의

n

차원 복소수 사영 공간

\mathbb{CP}^{n}

에 동차좌표

Z_0, Z_1, \dots, Z_n

을 부여하면, 벡터

\mathbf{z} = Z_0^{-1}(Z_1, \dots, Z_n) \in \mathbb{C}^n

로 나타낼 수 있다.

Z_0 \neq 0

일 때,

[Z_0: \dots : Z_n] \sim [1, z_1, \dots, z_n]

을 만족하는 유일한 좌표

(z_1, \dots, z_n)

이 존재하며, 특히

z_j = Z_j / Z_0

이다.

(z_1, \dots, z_n)

은 좌표 조각

U_0 = \{Z_0 \neq 0\}

에서

\mathbb{CP}^{n}

에 대한 아핀 좌표계를 형성한다.

U_i = \{Z_i \neq 0\}

에서는

Z_i

로 나누어 아핀 좌표계를 설정할 수 있다.

n+1

개의 좌표 조각

U_i

는

\mathbb{CP}^{n}

을 덮는다.

좌표 도함수는 푸비니-슈투디 계량에 에르미트 성분이 있는

\mathbb{CP}^{n}

의 정칙 접다발의 틀

\{\partial_1, \dots, \partial_n\}

을 정의한다. 이 틀에서 푸비니-슈투디 계량의 에르미트 행렬은 다음과 같다.

:

\bigl[g_{i\bar{j}}\bigr] = \frac{1}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}\left[\begin{array}{cccc}1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\

\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2

\end{array}\right]

여기서

|\mathbf{z}|^2 = |z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2

이다. 각 행렬 성분은 유니터리 불변이다. 즉,

\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}

는 행렬을 바꾸지 않는다.

푸비니-슈투디 계량의 에르미트 성분은 다음과 같이 주어진다.

:

g_{i\bar{j}} = h(\partial_i, \bar{\partial}_j) = \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)\delta_{i\bar{j}} - \bar{z}_i z_j}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}

선 요소는 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align}ds^2 &= g_{i\bar{j}} \, dz^i \, d\bar{z}^j \\[4pt]&= \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)|d\mathbf{z}|^2 - (\bar{\mathbf{z}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d\bar{\mathbf{z}})}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2} \\[4pt]&= \frac{(1+z_i\bar{z}^i)dz_j d\bar{z}^j - \bar{z}^j z_i dz_j d\bar{z}^i}{(1+z_i\bar{z}^i)^2}\end{align}

이 식에서 아인슈타인 표기법이 사용되었다.

계량은 다음 켈러 퍼텐셜에서 파생될 수 있다.^[11]

:

K = \ln(1 + z_i \bar{z}^i) = \ln(1 + \delta_{i\bar{j}} z^i \bar{z}^j)

:

g_{i\bar{j}} = K_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial\bar{z}^j} K

2. 3. 켈러 퍼텐셜과의 관계

n

차원 복소수 사영 공간

\mathbb{CP}^{n}

에 동차좌표

Z_0, Z_1, \dots, Z_n

을 부여하고, 벡터

\mathbf{z} = Z_0^{-1}(Z_1, \dots, Z_n) \in \mathbb{C}^n

로 나타내면, 푸비니-슈투디 계량의 켈러 퍼텐셜은 다음과 같다.^[11]

:

K = \ln(1 + \mathbf{z} \cdot \bar{\mathbf{z}})

즉, 그 리만 계량은 다음과 같이 표현된다.

:

ds^2 = \frac{(1 + \mathbf{z} \cdot \bar{\mathbf{z}}) d\mathbf{z} \cdot d\bar{\mathbf{z}} - (\bar{\mathbf{z}} \cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z} \cdot d\bar{\mathbf{z}})}{(1 + \mathbf{z} \cdot \bar{\mathbf{z}})^2}

푸비니-슈투디 계량은 다음과 같은 켈러 퍼텐셜에서 파생될 수 있다.^[11]

:

K = \ln(1 + z_i \bar{z}^i) = \ln(1 + \delta_{i\bar{j}} z^i \bar{z}^j)

여기서

z_i

는 아핀 좌표계의 좌표를 나타내며, 다음과 같은 관계를 통해 켈러 퍼텐셜로부터 계량 텐서

g_{i\bar{j}}

를 얻을 수 있다.

:

g_{i\bar{j}} = K_{i\bar{j}} = \frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial \bar{z}^j} K

이 켈러 퍼텐셜은 동차 좌표 '''Z''' = [Z₀, ..., Z_n]를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\omega = i \partial \overline{\partial} \log |\mathbf{Z}|^2

여기서

\omega

는 켈러 형식이며, log|'''Z'''|²는 '''CP'''ⁿ의 켈러 스칼라이다.

3. 구성

푸비니-슈투디 계량은 복소 사영 공간의 몫 공간 구성에서 자연스럽게 나타난다.

구체적으로, '''CP'''^''n''은 '''C'''^''n''+1 안의 모든 복소 직선으로 이루어진 공간으로 정의할 수 있다. 즉, 각 점에 복소수를 곱하는 것(스케일링)을 동일시하는 '''C'''^''n''+1\{0}의 몫 공간이다. 이는 곱셈군 '''C'''^* = '''C''' \ {0}의 대각적인 군 작용에 의한 몫과 일치한다.

: $\mathbf{CP}^n = \left\{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1}\setminus\{0\}\, \right\} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.$

이 몫은 기본 공간 '''CP'''ⁿ 위의 복소 선다발로서 '''C'''ⁿ⁺¹\{0}으로 실현된다. (실제로, 이 몫은 '''CP'''ⁿ 위의 동어반복 다발이다.) 따라서 '''CP'''ⁿ은 0이 아닌 복소수에 의한 스케일링을 modulo로 한 (n + 1)-개의 튜플 [Z₀,...,Z_n]의 동치류와 동일시된다. Z_i를 그 점에서의 동차 좌표라고 한다.

이 몫은 두 단계를 거쳐 얻을 수 있다. 0이 아닌 복소 스칼라 ''z'' = ''R''e^iθ에 의한 곱은 원점을 중심으로 반시계 방향의 각도 $\theta$ 의 회전을 modulus R에 의한 지연의 합성으로 생각할 수 있으며, 몫 '''C'''ⁿ⁺¹ → '''CP'''ⁿ은 다음 두 부분으로 분해된다.

: $\mathbf{C}^{n+1}\setminus\{0\} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n$

여기서 (a)는 지연 ''R'' ∈ '''R'''⁺, 즉, 양의 실수에 의한 곱셈에 대한 몫 '''Z''' ~ ''R'''''Z'''이며, (b)는 회전 '''Z''' ~ e^iθ'''Z'''에 의한 몫이다.

(a)에서의 몫의 결과는 방정식 |'''Z'''|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1으로 정의되는 실수 초구면 S²ⁿ⁺¹이다. (b)의 몫은 '''CP'''ⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹이 실현된다. 여기서 S¹은 회전군을 표현한다.

(하위 섹션인 "계량 몫으로서의 구성" 및 "호프 올뭉치와의 관계"에서 자세한 내용을 다루므로, 푸비니-슈투디 계량의 정의와 관련된 내용은 간략하게 요약한다.)

3. 1. 계량 몫으로서의 구성

리만 다양체(또는 거리 공간)의 몫 공간을 구성하여 푸비니-슈투디 계량을 유도할 수 있다.

먼저, 복소 사영 공간 '''CP'''^''n''은 '''C'''^''n''+1에서 (0, 0, ..., 0)을 제외한 모든 점들에 대해, 0이 아닌 복소수를 곱하는 것을 동치 관계로 묶어 정의한다. 이는 곱셈군 '''C'''^* = '''C''' \ {0}의 작용에 의한 몫과 같다.

:

\mathbf{CP}^n = \left\{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1}\setminus\{0\} \right\} \big/ \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.

이 몫은 '''C'''^''n''+1\{0}을 복소 선다발로 만든다. 이때 '''CP'''^''n''의 한 점은 (''n''+1)개의 복소수 튜플 [''Z''₀,...,''Z''_''n'']로 나타내며, 0이 아닌 복소수를 곱하는 것은 같은 점으로 간주한다. 이 ''Z''_''i''들을 동차 좌표라고 부른다.

이 몫 사상은 두 단계로 나눌 수 있다. 0이 아닌 복소수 ''z'' = ''R'' ''e''^iθ를 곱하는 것은 크기 ''R''만큼 늘리고, 각도

\theta

만큼 회전시키는 것이다. 따라서 몫 사상 '''C'''^''n''+1 → '''CP'''^''n''은 다음과 같이 두 단계로 분리된다.

:

\mathbf{C}^{n+1}\setminus\{0\} \mathrel{\stackrel{(a)}\longrightarrow} S^{2n+1} \mathrel{\stackrel{(b)}\longrightarrow} \mathbf{CP}^n

(a) 단계는 '''Z''' ~ ''R'''''Z''' (

R

은 양의 실수)에 의한 몫이다. (b) 단계는 '''Z''' ~ ''e''^iθ'''Z''' (회전)에 의한 몫이다.

(a) 단계의 결과는 방정식 |'''Z'''|² = |''Z''₀|² + ... + |''Z''_''n''|² = 1을 만족하는 실수 초구 ''S''^2''n''+1이다. (b) 단계에서는 '''CP'''^''n'' = ''S''^2''n''+1/''S''¹을 얻는다. 여기서 ''S''¹은 회전 군을 나타낸다. 이 몫은 호프 올화 ''S''¹ → ''S''^2''n''+1 → '''CP'''^''n''로 나타낼 수 있다.

리만 다양체의 몫을 취할 때는 몫 공간이 잘 정의된 계량을 갖도록 주의해야 한다. 군 ''G''가 리만 다양체 (''X'',''g'')에 작용할 때, 궤도 공간 ''X''/''G''가 유도된 계량을 가지려면, 임의의

h

∈ ''G''와 벡터장 쌍

X,Y

에 대해 ''g''(''Xh'',''Yh'') = ''g''(''X'',''Y'')가 성립해야 한다.

'''C'''^''n''+1의 표준 에르미트 계량은 다음과 같다.

:

ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\bar{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\bar{Z}_0 + \cdots + dZ_n \otimes d\bar{Z}_n

이것의 실수는 '''R'''^2''n''+2의 표준 유클리드 계량이다. 이 계량은 '''C'''^*의 대각 작용에 대해 변하지 않으므로 '''CP'''^''n''으로 직접 보낼 수 없다. 그러나 회전 군 ''S''¹ = U(1)의 대각 작용에서는 변하지 않는다. 따라서 (a) 단계를 완료하면 (b) 단계가 가능하다.

'''푸비니-슈투디 계량'''은 몫 '''CP'''^''n'' = ''S''^2''n''+1/''S''¹에서 유도된 계량이다. 여기서

S^{2n+1}

은 표준 유클리드 계량을 단위 초구에 제한하여 얻은 "둥근 계량"을 갖는다.

3. 2. 호프 올뭉치와의 관계

푸비니-슈투디 계량은 복소 사영 공간의 몫 공간 구성에서 자연스럽게 나타난다.

구체적으로, '''CP'''^''n''은 '''C'''^''n''+1 안의 모든 복소 직선으로 이루어진 공간으로 정의할 수 있다. 이는 '''C'''^''n''+1\{0}에서 각 점에 복소수를 곱하는 것을 동일시하는 동치 관계로 나눈 공간이다. 이는 곱셈군 '''C'''^* = '''C''' \ {0}의 대각선 군 작용에 의한 몫과 일치한다.

:

\mathbf{CP}^n = \left\{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1}\setminus\{0\}\, \right\} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.

이 몫은 '''C'''^''n''+1\{0}을 기본 공간 '''CP'''^''n'' 위에 있는 복소 선다발로 실현한다. (실제로 이것은 '''CP'''^''n'' 위에 있는 소위 동어반복 다발이다.) 따라서 '''CP'''^''n''의 한 점은 0이 아닌 복소수 스케일링을 기준으로 (''n''+1)튜플 [''Z''₀,...,''Z''_''n'']의 동치류로 식별된다. ''Z''_''i''는 점의 동차 좌표라고 불린다.

이 몫 사상은 두 단계로 실현할 수 있다. 0이 아닌 복소수 ''z'' = ''R''e^iθ를 곱하는 것은 크기 ''R''만큼 늘리고 각도 θ만큼 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하는 것으로 생각할 수 있다. 따라서 몫 사상 '''C'''^''n''+1 → '''CP'''^''n''은 두 부분으로 나뉜다.

:

\mathbf{C}^{n+1}\setminus\{0\} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n

여기서 단계 (a)는 양의 실수의 곱셈 군의 원소 ''R'' ∈ '''R'''⁺에 대해 '''Z''' ~ ''R'''''Z'''에 의한 몫이다. 단계 (b)는 회전 '''Z''' ~ e^iθ'''Z'''에 의한 몫이다.

(a)에서 몫의 결과는 방정식 |'''Z'''|² = |''Z''₀|² + ... + |''Z''_''n''|² = 1로 정의되는 실수 초구 ''S''^2''n''+1이다. (b)의 몫은 '''CP'''^''n'' = ''S''^2''n''+1/''S''¹을 실현한다. 여기서 ''S''¹은 회전 군을 나타낸다. 이 몫은 유명한 호프 올뭉치 ''S''¹ → ''S''^2''n''+1 → '''CP'''^''n''에 의해 명시적으로 실현된다. 그 올들은 ''S''^2''n''+1의 대원들 중에 있다.

4. 성질

푸비니-슈투디 계량은 켈러 퍼텐셜에서 유도될 수 있으며,^[7] 크리스토펠 기호와 곡률 텐서가 많은 대칭성을 가져 특히 간단한 형태를 가진다. 또한, 세그레 매장인 사영 공간의 자연스러운 곱에 대해 분리 가능하다.^[10]

$\vert\psi\rangle$ 가 분리 가능한 상태여서 $\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle$ 로 쓸 수 있다면, 계량은 부분 공간에 대한 계량의 합으로 표현 가능하다.

: $ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2$

여기서 ${ds_A}^2$ 와 ${ds_B}^2$ 는 각각 부분 공간 ''A''와 ''B''의 계량이다.

4. 1. 곡률 성질

n=1

인 경우, 푸비니-슈투디 계량은 2차원 구의 둥근 계량과 동등하며, 일정한 단면 곡률 4를 가진다. 이는 리만 구(복소수 사영 직선)의 경우, 푸비니-슈투디 계량이 반지름이 1/2인 구를 나타내므로, 가우스 곡률은 4가 된다. 그러나

n>1

인 경우, 푸비니-슈투디 계량은 일정한 곡률을 가지지 않는다. 대신 단면 곡률은 다음 방정식으로 주어진다.^[14]

:

K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2

여기서

\{X,Y\} \in T_p \mathbb{CP}^n

는 2차원 평면

\sigma

의 정규 직교 기저이고,

J

는

\mathbb{CP}^{n}

의 복소 구조이며,

\langle \cdot, \cdot \rangle

는 푸비니-슈투디 계량이다.

이 공식의 결과, 단면 곡률은 모든 2차원 평면

\sigma

에 대해

1 \leq K(\sigma) \leq 4

를 만족한다. 최대 단면 곡률(4)은

J

(σ) ⊂ σ인 정칙 2차원 평면에서 얻어지며, 최소 단면 곡률(1)은

J

(σ)가 σ에 직교하는 2차원 평면에서 얻어진다. 이러한 이유로 푸비니-슈투디 계량은 종종 "일정 정칙 단면 곡률"이 4라고 표현한다.

이는

\mathbb{CP}^{n}

을 (엄격하지 않은) 4분의 1 핀칭 다양체로 만든다. 유명한 정리에 따르면 엄격하게 4분의 1 핀칭된 단일 연결

n

-다양체는 구와 위상 동형이다.

푸비니-슈투디 계량은 자체 리치 텐서에 비례한다는 점에서 아인슈타인 계량이기도 하다. 즉, 모든

i

,

j

에 대해 다음을 만족하는 상수

\Lambda

가 존재한다.

:

\operatorname{Ric}_{ij} = \Lambda g_{ij}

이는 푸비니-슈투디 계량이 리치 흐름에 따라 스칼라 배수까지 변하지 않는다는 것을 의미한다. 또한

\mathbb{CP}^{n}

을 일반 상대성 이론에서 중요한 대상으로 만드는데, 진공 아인슈타인 장 방정식의 비자명한 해로 사용되기 때문이다.

\mathbb{CP}^{n}

에 대한 우주 상수

\Lambda

는 공간의 차원으로 주어지며,

\operatorname{Ric}_{ij} = 2(n+1) g_{ij}

이다.

4. 2. 접속 및 곡률

푸비니-슈투디 계량은 켈러 퍼텐셜^[11]

:

K = \ln(1 + z_i \bar{z}^i) = \ln(1 + \delta_{i\bar{j}} z^i \bar{z}^j)

에서 유도될 수 있다.

여기서

:

g_{i\bar{j}}=K_{i\bar{j}}=\frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial\bar{z}^j} K

이다.

계량이 켈러 포텐셜에서 유도될 수 있다는 사실은 크리스토펠 기호와 곡률 텐서가 많은 대칭성을 가지며 특히 간단한 형태를 가질 수 있다는 것을 의미한다.^[7]^[15] 국소 아핀 좌표에서 크리스토펠 기호는 다음과 같다.

:

\Gamma^i_{\;jk}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial g_{k\bar{m}}}{\partial z^j}\qquad\Gamma^\bar{i}_{\;\bar{j}\bar{k}}=g^{\bar{i}m}\frac{\partial g_{\bar{k}m}}{\partial \bar{z}^\bar{j}}

리만 텐서는 특히 간단하다.

:

R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial \Gamma^\bar{m}_{\;\;\bar{j}\bar{l}}}{\partial z^k}

리치 텐서는 다음과 같다.

:

R_{\bar{i}j}= R^{\bar{k}}_{\; \bar{i}\bar{k} j} =

\frac{\partial \Gamma^\bar{k}_{\;\bar{i}\bar{k}}}{\partial z^j}

\qquadR_{i\bar{j}}= R^k_{\; ik \bar{j}} = - \frac{\partial \Gamma^k_{\;ik}}{\partial \bar{z}^\bar{j}}

4. 3. 대칭성

푸비니-슈투디 계량은 각 행렬 요소가 유니터리 불변성을 갖는다. 즉, 대각 작용

\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}

에 대해 행렬이 변하지 않는다. 이는 회전 변환에 대해 계량이 불변임을 의미한다.

이러한 성질은 푸비니-슈투디 계량이 켈러 퍼텐셜에서 파생될 수 있다는 사실과 관련이 있다.^[11] 켈러 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.

:

K = \ln(1 + z_i \bar{z}^i) = \ln(1 + \delta_{i\bar{j}} z^i \bar{z}^j)

여기서

z_i

는 복소수 좌표를 나타내고,

\bar{z}^i

는 그 켤레 복소수를 나타낸다. 이 켈러 퍼텐셜을 이용하여 푸비니-슈투디 계량의 성분을 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

g_{i\bar{j}}=K_{i\bar{j}}=\frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial\bar{z}^j} K

이 식을 통해 계산된 푸비니-슈투디 계량은 다음과 같은 에르미트 행렬로 표현된다.

:

\bigl[g_{i\bar{j}}\bigr] = \frac{1}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2}\left[\begin{array}{cccc}1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\

\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2

\end{array}\right]

여기서

|\mathbf{z}|^2 = |z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2

이다.

푸비니-슈투디 계량은 몫 공간에서 유도된 계량으로도 이해할 수 있다. '''C'''^''n''+1 위의 표준 에르미트 계량은 다음과 같이 주어지며,

:

ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\bar{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\bar{Z}_0 + \cdots + dZ_n \otimes d\bar{Z}_n

이는 실수 부분에서 '''R'''^2''n''+2 위의 표준 유클리드 계량과 같다. 이 계량은 ''S''¹ = U(1) (단위 복소수의 곱셈군)의 대각 작용에 대해 불변이다. 따라서 몫 공간 '''CP'''^''n'' = ''S''^2''n''+1/''S''¹ 위에 푸비니-슈투디 계량이 유도된다. 여기서

S^{2n+1}

은 표준 유클리드 계량을 단위 초구에 제한하여 얻어지는 "둥근 계량"을 갖는다.

4. 4. 분리 가능성

푸비니-슈투디 계량에는 분리 가능성에 대한 일반적인 개념이 적용된다. 더 정확하게는, 이 계량은 세그레 매장인 사영 공간의 자연스러운 곱에 대해 분리 가능하다. 즉,

\vert\psi\rangle

가 분리 가능한 상태^[10]여서

\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle

로 쓸 수 있다면, 계량은 부분 공간에 대한 계량의 합으로 표현 가능하다.

:

ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2

여기서

{ds_A}^2

와

{ds_B}^2

는 각각 부분 공간 ''A''와 ''B''의 계량이다.

5. 양자역학에서의 응용

양자역학에서 푸비니-슈투디 계량은 부레스 계량이라고도 불린다.^[12] 이 계량의 실수 부분은 피셔 정보 계량의 4배이다.^[12] 브라-켓 표기법, 블로흐 구면, 양자 얽힘, 기하학적 위상 등과 같은 개념들과 깊은 관련이 있다.

양자역학의 맥락에서 1차원 복소 사영 공간 $\mathbb{CP}^{1}$ 은 블로흐 구라고 불리며, 푸비니-슈투디 계량은 양자역학을 기하학적으로 이해하는 데 자연스러운 계량을 제공한다. 특히, 양자 얽힘이나 베리 위상과 같은 양자역학의 독특한 현상들은 푸비니-슈투디 계량의 특성으로 설명될 수 있다.^[12]

5. 1. 브라-켓 표기법을 사용한 표현

양자역학에서 흔히 사용되는 브라-켓 표기법을 사용하여 푸비니-슈투디 계량을 표현할 수 있다. 이를 위해 다음과 같이 정의한다.

:

\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]

여기서

\{\vert e_k \rangle\}

는 힐베르트 공간의 정규 직교 기저 벡터 집합이고,

Z_k

는 복소수이며,

Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]

은 동차 좌표에서 사영 공간 '''CP'''^''n''의 점을 나타내는 표준 표기법이다.

공간 상의 두 점

\vert \psi \rangle = Z_\alpha

와

\vert \varphi \rangle = W_\alpha

사이의 거리(측지선의 길이)는 다음과 같이 주어진다.

:

\gamma (\psi, \varphi) = \arccos\sqrt \frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle}

또는 사영 다양체 표기법으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\gamma (\psi, \varphi) =\gamma (Z,W) =\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta}{Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \; W_\beta \bar{W}^\beta}}.

여기서

\bar{Z}^\alpha

는

Z_\alpha

의 켤레 복소수이다. 분모의

\langle \psi \vert \psi \rangle

는

\vert \psi \rangle

와

\vert \varphi \rangle

가 단위 길이로 정규화되지 않았음을 의미하며, 따라서 정규화가 명시적으로 수행된다. 힐베르트 공간에서 이 거리는 두 벡터 사이의 각도로 해석될 수 있으며, 이를 '''양자 각'''이라고도 한다. 이 각은 0과

\pi/2

사이의 실수 값을 가진다.

이 계량의 무한소 형태는

\varphi = \psi+\delta\psi

또는

W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha

를 통해 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle}{\langle \psi \vert \psi \rangle} -\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.

5. 2. 부레스 계량과의 관계

양자역학에서 푸비니-슈투디 계량은 부레스 계량이라고도 불린다.^[4] 하지만 부레스 계량은 일반적으로 혼합 상태 표기법으로 정의되는 반면, 아래 설명은 순수 상태를 기준으로 작성되었다. 이 계량의 실수부는 피셔 정보 계량의 4분의 1이다.^[4]

푸비니-슈투디 계량은 양자역학에서 흔히 사용되는 브라-켓 표기법을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]

여기서

\{\vert e_k \rangle\}

는 힐베르트 공간의 정규 직교 기저 벡터의 집합이고,

Z_k

는 복소수이며,

Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]

은 동차 좌표에서 사영 공간 '''CP'''^''n''의 점에 대한 표준 표기법이다.

공간의 두 점

\vert \psi \rangle = Z_\alpha

와

\vert \varphi \rangle = W_\alpha

사이의 거리(측지선의 길이)는 다음과 같다.

:

\gamma (\psi, \varphi) = \arccos\sqrt \frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle}

사영 다양체 표기법으로는 다음과 같다.

:

\gamma (\psi, \varphi) =\gamma (Z,W) =\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta}{Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \; W_\beta \bar{W}^\beta}}.

여기서

\bar{Z}^\alpha

는

Z_\alpha

의 복소 켤레이다. 분모의

\langle \psi \vert \psi \rangle

는

\vert \psi \rangle

와

\vert \varphi \rangle

가 단위 길이로 정규화되지 않았음을 나타내며, 정규화를 명시적으로 표현한다. 힐베르트 공간에서 이 계량은 두 벡터 사이의 각도로 해석될 수 있으며, '''양자 각'''이라고도 한다. 이 각도는 실수 값을 가지며 0에서

\pi/2

까지의 값을 갖는다.

이 계량의 무한소 형태는

\varphi =  \psi+\delta\psi

또는

W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha

를 사용하여 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle}{\langle \psi \vert \psi \rangle} -\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.

양자역학의 맥락에서 '''CP'''¹은 블로흐 구라고 불리며, 푸비니-슈투디 계량은 양자역학의 기하학화를 위한 자연스러운 계량이다. 양자 얽힘 및 베리 위상 효과를 포함한 양자역학의 특이한 행동의 대부분은 푸비니-슈투디 계량의 특이성으로 설명할 수 있다.

5. 3. 블로흐 구면과의 관계

양자역학에서 1차원 복소 사영 공간 '''CP'''¹은 블로흐 구라고 불린다. 푸비니-슈투디 계량은 양자 역학의 기하학을 설명하는 데 사용되는 자연스러운 계량이다. 이 계량은 양자 얽힘과 베리 위상 효과를 포함한 양자 역학의 독특한 현상들을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.^[12]

푸비니-슈투디 계량은 양자역학에서 자주 사용되는 브라-켓 표기법으로 표현할 수 있다. 힐베르트 공간의 정규 직교 기저 벡터 집합

\{\vert e_k \rangle\}

와 복소수

Z_k

를 사용하여, 상태 벡터

\vert \psi \rangle

는 다음과 같이 표현된다.

:

\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]

여기서

Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]

은 사영 공간

\mathbb{C}P^n

의 한 점에 대한 동차 좌표 표준 표기법이다.

블로흐 구면 위의 두 점

\vert \psi \rangle = Z_\alpha

와

\vert \varphi \rangle = W_\alpha

사이의 거리(측지선의 길이)

\gamma (\psi, \varphi)

는 다음과 같이 주어진다.

:

\gamma (\psi, \varphi) = \arccos\sqrt \frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle}

혹은 사영 다양체 표기법으로는 다음과 같다.

:

\gamma (\psi, \varphi) =\gamma (Z,W) =\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta}{Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \; W_\beta \bar{W}^\beta}}.

여기서

\bar{Z}^\alpha

는

Z_\alpha

의 켤레 복소수이다. 분모의

\langle \psi \vert \psi \rangle

항은 벡터

\vert \psi \rangle

(그리고

\vert \varphi \rangle

)가 단위 길이로 정규화되지 않았음을 나타내며, 따라서 정규화가 명시적으로 수행된다. 이 식에서 거리는 두 벡터 사이의 각도로 해석될 수 있으며, 이를 '''양자 각'''이라고도 부른다. 양자 각은 0에서

\pi/2

사이의 실수 값을 가진다.

이 계량의 무한소 형태는

\varphi = \psi+\delta\psi

(또는

W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha

)를 통해 다음과 같이 얻어진다.

:

ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle}{\langle \psi \vert \psi \rangle} -\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.

5. 4. 양자 얽힘 및 기하학적 위상과의 연관성

양자역학에서 '''CP'''¹은 블로흐 구라고 불리며, 푸비니-슈투디 계량은 양자역학의 기하학에 대한 자연스러운 계량이다. 양자 얽힘 및 베리 위상 효과를 포함한 양자 역학의 특이한 동작의 대부분은 푸비니-슈투디 계량의 특성에 기인한다.^[12]

6. 역사

1904년에 귀도 푸비니가,^[16] 1905년에 크리스티안 후고 에두아르트 슈투디(Christian Hugo Eduard Study^de)가^[17] 독자적으로 발견하였다.

참조

_[1] 간행물 Sulle metriche definite da una forma Hermitiana 1904
_[2] 논문 Kürzeste Wege im komplexen Gebiet Springer Science and Business Media LLC
_[3] 논문 Gravitation, gauge theories and differential geometry https://www.research[...] Elsevier BV
_[4] 간행물 Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics https://arxiv.org/ab[...] 2010
_[5] 논문 Quantum Gravity and World Topology American Physical Society (APS) 1976-11-08
_[6] 서적 Riemannian Geometry American Mathematics Society
_[7] 문서 Visualizing the K3 Surface ftp://ftp.cs.indiana[...] 2006
_[8] 서적 Riemannian Geometry American Mathematics Society
_[9] 간행물 Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics 2010
_[10] 문서 엔타ングル먼트を持たない状態のことをいう。
_[11] 저널 인용 Gravitation, gauge theories and differential geometry https://www.research[...] Elsevier BV
_[12] 간행물 Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics https://arxiv.org/ab[...] 2010
_[13] 저널 인용 Quantum Gravity and World Topology American Physical Society (APS) 1976-11-08
_[14] 서적 Riemannian Geometry American Mathematics Society
_[15] 문서 Visualizing the K3 Surface ftp://ftp.cs.indiana[...] 2006
_[16] 저널 인용 Sulle metriche definite da una forma Hermitiana. Nota 1904
_[17] 저널 인용 Kürzeste Wege im komplexen Gebiet 1905-09

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