대수다양체

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1. 개요

대수다양체는 대수적으로 닫힌 체 K에 대해 정의되는 위상 공간과 층의 순서쌍으로, 국소적으로 아핀 대수다양체와 동형이며 기약성과 분리성을 만족하는 구조를 가진다. 아핀, 사영, 준사영 다양체 등이 있으며, 고전 대수 기하학에서 준사영 다양체는 사영 공간의 닫힌 부분 다양체의 열린 부분 다양체로 정의되었다. 대수다양체는 힐베르트 영점 정리와 밀접한 관련이 있으며, 아핀 다양체는 다항식 환의 소 아이디얼과 일대일 대응된다. 스킴 이론을 통해 일반화되어, 현대 대수 기하학에서 널리 사용된다.

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대수다양체

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체는 아핀 대수다양체, 사영 대수다양체, 준사영 다양체 등의 더 작은 대수다양체를 이어 붙여서 만들 수 있다. 나가타 마사요시는 1950년대에 이러한 방식으로 새로운 대수다양체의 예시를 제시했다.

고전 대수 기하학에서 다양체는 항상 준사영 다양체였다. 예를 들어, Hartshorne의 1장에서는 대수적으로 닫힌 체 위의 ''다양체''를 준사영 다양체로 정의했지만, 2장부터는 '''다양체''' ('''추상 다양체''라고도 함)라는 용어를 더 일반적인 객체를 지칭하며, 이는 국소적으로는 준사영 다양체이지만 전체적으로는 반드시 준사영일 필요는 없다. 즉, 사영 공간으로의 매장이 없을 수도 있다.^[3]

이러한 정의의 단점은 모든 다양체가 사영 공간으로의 자연스러운 매장을 갖는 것은 아니라는 점이다. 예를 들어, 곱 은 세그레 매장을 통해 더 큰 사영 공간에 매장되기 전까지는 다양체가 아니다. 또한, 하나의 사영 공간 매장을 허용하는 모든 다양체는 다른 많은 매장을 허용한다. 따라서 정칙 함수와 같이 본질적으로 보여야 하는 많은 개념이 명백하지 않다.

앙드레 베유는 매장 없이 대수적 다양체를 추상적으로 정의하려는 최초의 성공적인 시도를 했다. 클로드 슈발레는 유사한 목적을 수행하지만 더 일반적인 스킴의 정의를 만들었다. 알렉산더 그로텐디크의 스킴 정의는 훨씬 더 일반적이며 가장 널리 받아들여지고 있다. 그로텐디크의 언어에서 추상 대수적 다양체는 일반적으로 대수적으로 닫힌 체 위의 유한 유형, 분리된 정수 스킴으로 정의되지만, 일부 학자들은 기약성, 축소성, 분리성 조건을 생략하거나, 기초 체가 대수적으로 닫히지 않도록 허용한다.^[3] 고전적 대수적 다양체는 대수적으로 닫힌 체 위의 준사영 정수 분리 유한 유형 스킴이다.

가장 초등적으로 정의되는 대수다양체는 아핀 대수다양체이다. 대수적 폐체 ''k'' 위의 ''n'' 차원 아핀 공간 $\mathbb A^n_k$ 을 벡터 공간 ''kⁿ''의 점 전체로 정의한다. ''k''를 계수로 가지는 유한 개의 ''n'' 변수 다항식계 '''f''' = (''f_i''(''x''₁, ..., ''x''_n'') | ''i'' = 1, 2, ..., ''r'')에 대해, 그것이 정하는 ''아핀 대수적 집합'' ''V''('''f''')는 다음과 같다.

: $V(\mathbf f)=\{(a_1,\ldots , a_n)\in \mathbb A^n_k\mid f_i(a_1,\ldots, a_n)=0 \; (\forall i)\}$

아핀 대수적 집합 ''V''가 ''V''에 진하게 포함되는 아핀 대수적 집합의 합집합으로 쓸 수 없을 때, ''V''는 '''기약'''이라고 하고, 기약인 아핀 대수적 집합을 아핀 대수다양체라고 한다.

체 ''k'' 위의 사영 공간 $\mathbb{P}^n_k$ 는 ''n'' + 1개의 ''k''의 원소의 비 [''a''₀ : ''a''₁ : ... : ''a_n''] 전체의 집합이다. 제차 다항식 ''F''(''x''₀ , ''x''₁, ..., ''x''_n'')는 그 차수가 ''d''이면, 0이 아닌 상수 ''t''에 대해, ''F''(''t.x''₀, ''t.x''₁, ..., ''t.x_n'') = ''t^d''. ''F''(''x''₀, ''x''₁, ..., ''x_n'')가 되므로, 사영 공간의 점 [''a''₀ : ''a''₁ : ... : ''a_n'']에 대해, ''F''(''a''₀, ''a''₁, ..., ''a_n'') = 0이 되는지 여부는 점을 나타내는 제차 좌표의 표시 방법에 관계없이 정해져 있다. 그래서, 유한 개의 (''n'' + 1)-변수 제차 다항식계 '''F''' = (''F_i'' | ''i'' = 0, ..., ''r'')에 대해 사영 대수적 집합 ''V_h''('''F''')를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $V_h(\mathbf F)=\{[a_0 :\cdots : a_n]\in \mathbb{P}^n_k\mid F_i(a_0,\ldots, a_n)=0 \; (\forall i)\}$

아핀 대수다양체의 경우와 마찬가지로, 진하게 포함되는 사영 대수적 집합의 합으로 쓸 수 없는 사영 대수적 집합을 사영 대수다양체라고 부른다.

일반적인 대수다양체는 아핀 대수다양체를 풀칠하여 정의하며, 이들 사이의 정칙 동형이나 정칙 사상을 고려한다.

2. 1. 층 이론을 통한 정의

다항식환 $K[x_1,\dots,x_n]$의 소 아이디얼 $\mathfrak p\subseteq K[x_1,\dots,x_n]$에 대하여,

:$V(\mathfrak p)=\{x\in K^n\colon p(x)=0\forall p\in\mathfrak p\}$

라고 하자. 이 위에는 자리스키 위상 및 다항함수들의 층 $\mathcal O_{V(\mathfrak p)}$을 정의할 수 있다.

$K$에 대한 '''대수다양체''' $(X,\mathcal O_X)$는 다음과 같은 순서쌍이다.^[34]

$X$는 위상 공간이다.
$\mathcal O_X$는 $X$ 위의, 결합 가환 $K$-대수들의 층이다.

이 데이터는 다음 세 조건들을 만족시켜야 한다.

(국소 아핀 조건) $X$ 위에, 다음 조건을 만족시키는 열린 덮개 $\{U_i\}_{i\in I}$가 존재한다.
* 각 $i\in I$에 대하여, $(U_i,\mathcal O_X|_{U_i})$는 $K^n$ 위의 어떤 아이디얼 $\mathfrak p_i\subset K[x_1,\dots,x_n]$과 동형이다.
(기약성) $X$는 기약 공간이다.
(분리성) 대각 부분 집합 $\Delta\subset X\times X$가 닫힌집합이다.

이는 국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 환 달린 공간이다. 즉, 환 달린 공간 $X$ 위에 열린 덮개 $\{U_\alpha\}$가 존재하여, $U_\alpha$ 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.

2. 2. 스킴 이론을 통한 정의

스킴 이론을 사용하여 대수적으로 닫힌 체

K

에 대한 '''

K

-대수다양체'''를 정의하면, 다음 조건들을 모두 만족시키는

K

-스킴

X\to\operatorname{Spec}K

이다.^[35]

기약 스킴이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키며, 위상 공간으로서의 연결성보다 더 강한 조건이다.
축소 스킴이다. 이는 $K[x,y]/(y^2)$ 와 같은 멱영원이 없음을 의미한다. 이러한 멱영원은 기하학적으로 싹으로 해석할 수 있다.
분리 스킴이다. 예를 들어, 두 개의 아핀 직선 $\mathbb A^1_K$ 을, 0을 제외한 열린 집합 $\mathbb A^1_K\setminus\{0\}$ 에서 이어붙여 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.^[35] 이는 위상 공간의 하우스도르프 조건에 대응한다.
사상 $X\to\operatorname{Spec}K$ 는 유한형 사상이다. 이는 대수다양체가 국소적으로 다항식환 $K[x_1,x_2,\dots,x_n]$ 의 몫대수의 꼴임을 뜻하며, 이에 따라 대수다양체는 유한한 차원을 갖는다.

알렉산더 그로텐디크의 스킴 정의는 앙드레 베유나 클로드 슈발레의 시도보다 더 일반적이며 가장 널리 받아들여지고 있다. 그로텐디크의 언어에서 추상 대수적 다양체는 일반적으로 대수적으로 닫힌 체 위의 유한 유형, 분리된 정수 스킴으로 정의되지만,^[3] 일부 학자들은 기약성, 축소성, 분리성 조건을 생략하거나, 기초 체가 대수적으로 닫히지 않도록 허용하기도 한다. 고전적 대수적 다양체는 대수적으로 닫힌 체 위의 준사영 정수 분리 유한 유형 스킴이다.

3. 종류

고전적 대수기하학에서는 다음과 같은 대수다양체들을 정의한다.

'''아핀 다양체'''(affine多樣體, affine variety^영어)
'''준아핀 다양체'''(準affine多樣體, quasi-affine variety^영어)
'''사영 다양체'''(射影多樣體, projective variety^영어)
'''준사영 다양체'''(準射影多樣體, quasi-projective variety^영어)

사영 공간

\mathbb{P}^n_k

은 아핀 대수 다양체가 아닌 대수 다양체의 기본적인 예시이다. 사영 공간에는 사영 대수적 집합을 닫힌 집합으로 하는 위상(자리스키 위상)이 들어간다.^[28]

\mathbb{P}^n_k

의 동차 좌표 [''x''₀ : ''x''₁ : ... : ''x_n'']에 관해, 동차 다항식계 '''F''' = (''F_i'' | ''i'' = 0, ..., ''r'')로 정의된 사영 대수 다양체 ''V''_''h''('''F''')를

\mathbb A^n_k

와 동일시할 수 있는 아핀 열린 집합 ''U_j'' : ''x_j'' ≠ 0에 제한한 것은,

\mathbb A^n_k

에서 ''f_i''(''y''₁, ..., ''y_n'') = ''F_i''(''y''₁, ..., 1, ..., ''y_n'')(''j''번째 변수에는 1을 대입)로 주어지는 방정식계로 정의되는 아핀 대수 다양체와 동일시할 수 있다.

일반적으로, 사영 대수 다양체의 열린 부분 다양체를 '''준사영 대수 다양체'''라고 부른다. 아핀 대수 다양체는 준사영 대수 다양체이다.

3. 1. 아핀 다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ (예: 복소수체)에 대한 아핀 공간 $\mathbb A_K^n=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]$에서, 다음이 정의된다.

'''아핀 대수 집합'''은 $\mathbb A^n_K$의 축소 닫힌 부분 스킴이다.
'''아핀 다양체'''는 $\mathbb A^n_K$의 기약 축소 닫힌 부분 스킴이다.
'''준아핀 다양체'''는 어떤 아핀 다양체의 기약 축소 열린 부분 스킴이다.

다항식환 $K[x_1,\dots,x_n]$의 부분 집합 $S$에 대해 $V(S)\subset\mathbb A^n$를 $S$의 원소들의 근의 교집합으로 정의한다. 즉,

:$V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}$

이다. '''아핀 대수 집합''' $X\subset\mathbb A^n$은 $X=V(S)$인 $S\subset K[x_1,\dots,x_n]$가 존재하는 부분 집합이다. '''아핀 다양체'''는 두 개의 아핀 대수 집합의 자명하지 않은 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 아핀 대수 집합이다.

아핀 대수 집합에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재하여, 모든 아핀 대수 집합은 위상 공간을 이룬다.

'''준아핀 다양체'''는 아핀 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$와 자연수 $n$에 대해, $\mathbf{A}^n$을 $K$ 위의 아핀 $n$-공간으로 하고, 아핀 좌표계를 선택하여 $K^n$과 동일시한다. 링 $K[x_1, \dots, x_n]$의 다항식 $f$는 각 $x_i$에 대해 $K$의 값을 선택하여 $\mathbf{A}^n$의 점들에서 $f$를 평가함으로써 $\mathbf{A}^n$상의 $K$ 값 함수로 볼 수 있다. $K[x_1, \dots, x_n]$의 다항식 집합 $S$에 대해, 영점 집합 $Z(S)$를 $S$의 함수가 동시에 사라지는 $\mathbf{A}^n$의 점들의 집합으로 정의한다.

:$Z(S) = \left \{x \in \mathbf{A}^n \mid f(x) = 0 \text{ for all } f\in S \right \}.$

$\mathbf{A}^n$의 부분 집합 $V$는 어떤 $S$에 대해 $V = Z(S)$인 경우 '''아핀 대수 집합'''이라고 한다.^[1] 비어있지 않은 아핀 대수 집합 $V$는 두 개의 진정한 대수 부분 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 경우 '''기약'''이라고 한다. 기약 아핀 대수 집합을 '''아핀 다양체'''라고도 한다.

아핀 다양체는 정확히 아핀 대수 집합을 닫힌 집합으로 선언하여 자연 위상을 부여받을 수 있다. 이 위상을 자리스키 위상이라고 한다.

$\mathbf{A}^n$의 부분 집합 $V$가 주어지면, $I(V)$를 $V$에서 사라지는 모든 다항식 함수의 아이디얼로 정의한다.

:$I(V) = \left \{f \in K[x_1,\ldots,x_n] \mid f(x) = 0 \text{ for all } x\in V \right \}.$

모든 아핀 대수 집합 $V$에 대해, $V$의 '''좌표 링''' 또는 '''구조 링'''은 이 아이디얼에 의한 다항식 링의 몫 링이다.

가장 초등적으로 정의되는 대수다양체는 아핀 대수다양체이다. 대수적 폐체 $k$ 위의 $n$ 차원 아핀 공간 $\mathbb A^n_k$을 여기서는 벡터 공간 $k^n$의 점 전체로 한다. $k$를 계수로 가지는 유한 개의 $n$ 변수 다항식계 '''f''' = ($f_i$($x_1, \dots, x_n$) | $i$ = 1, 2, ..., $r$)에 대해, 그것이 정하는 ''아핀 대수적 집합'' $V$('''f''')를

:$V(\mathbf f)=\{(a_1,\ldots , a_n)\in \mathbb A^n_k\mid f_i(a_1,\ldots, a_n)=0 \; (\forall i)\}$

로 정의한다. 아핀 대수적 집합 $V$가 $V$에 진하게 포함되는 아핀 대수적 집합의 합집합으로 쓸 수 없을 때, $V$는 '''기약'''이라고 하고, 기약인 아핀 대수적 집합을 '''아핀 대수다양체'''라고 한다.

3. 2. 사영 다양체

K

를 대수적으로 닫힌 체(복소수체 등)라고 하고,

\mathbb P_K^n=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]

을

K

에 대한 사영 공간이라고 하자.

'''사영 대수 집합'''은 $\mathbb P^n_K$ 의 축소 닫힌 부분 스킴이다.
'''사영 다양체'''는 $\mathbb P^n_K$ 의 기약 축소 닫힌 부분 스킴이다.
'''준사영 다양체'''는 어떤 사영 다양체의 기약 축소 열린 부분 스킴이다.

S\subset K[x_1,\dots,x_n]

이 동차 다항식으로만 이루어져 있다면,

V(S)

는

S

의 원소들의 근의 교집합이다. 즉,

:

V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}

이다. 사영 공간에서는 동차 다항식이 아닌 경우 근을 정의할 수 없다.

'''사영 대수 집합'''(射影代數集合, projective algebraic set^영어)

X\subset\mathbb A^n

은

X=V(S)

인 동차 다항식 부분 집합

S\subset K[x_1,\dots,x_n]

이 존재하는 부분 집합이다.

'''사영 다양체'''는 두 개의 사영 대수 집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분 집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 사영 대수 집합이다.

'''준사영 다양체'''는 사영 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다.

k

를 대수적으로 닫힌 체라고 하고,

\mathbb P^n_k

를

k

위의 사영 공간이라고 하자.

f

를

k[x_0, \dots, x_n]

의

d

차 동차 다항식이라고 하자.

f

를 동차좌표에서

\mathbb P^n_k

의 점에 대해 평가하는 것은 잘 정의되지 않는다.

그러나

f

는 동차이므로,

:

f(\lambda x_0, \dots, \lambda x_n) = \lambda^d f(x_0, \dots, x_n)

이며,

f

가 점

[x_0 : \dots : x_n]

에서 사라지는지 묻는 것은 의미가 있다.

동차 다항식 집합

S

에 대해, ''S''의 영궤적을 ''S''의 함수가 사라지는

\mathbb P^n_k

의 점 집합으로 정의한다.

:

Z(S) = \{x \in \mathbf{P}^n \mid f(x) = 0 \text{ for all } f\in S\}.

\mathbb P^n_k

의 부분 집합

V

는 어떤

S

에 대해

V = Z(S)

이면 '''사영 대수 집합'''이라고 한다. 기약 사영 대수 집합은 '''사영 다양체'''라고 한다.

사영 다양체는 모든 대수 집합을 닫힌 것으로 선언하여 자리스키 위상을 갖는다.

\mathbb P^n_k

의 부분 집합

V

가 주어지면,

I(V)

를

V

에서 사라지는 모든 동차 다항식에 의해 생성된 아이디얼이라고 하자. 임의의 사영 대수 집합

V

에 대해, ''V''의 '''동차 좌표환'''은 이 아이디얼로 나눈 다항식 환의 몫이다.

체

k

위의 사영 공간

\mathbb{P}^n_k

는

n + 1

개의

k

의 원소의 비

[a_0 : a_1 : \dots : a_n]

전체의 집합이다. 제차 다항식(포함된 단항식의 차수가 모두 같음)

F(x_0 , x_1, \dots, x_n)

는 그 차수가

d

이면, 0이 아닌 상수

t

에 대해,

:

F(t x_0, t x_1, \dots, t x_n) = t^d F(x_0, x_1, \dots, x_n)

가 되므로, 사영 공간의 점

[a_0 : a_1 : \dots : a_n]

에 대해,

F(a_0, a_1, \dots, a_n) = 0

이 되는지 여부는 점을 나타내는 제차 좌표의 표시 방법(상수배의 차이)에 관계없이 정해져 있다.

따라서, 유한 개의 (

n + 1

)-변수 제차 다항식계

F = (F_i \mid i = 0, \dots, r)

에 대해 사영 대수적 집합

V_h(F)

를

:

V_h(F)=\{[a_0 :\cdots : a_n]\in \mathbb{P}^n_k\mid F_i(a_0,\ldots, a_n)=0 \; (\forall i)\}

로 정의할 수 있다.

아핀 대수다양체의 경우와 마찬가지로, 진하게 포함되는 사영 대수적 집합의 합으로 쓸 수 없는 사영 대수적 집합을 '''사영 대수다양체'''라고 부른다.

사영 대수다양체

X = V_h(F)

에 대해, 그 '''함수체'''

k(X)

를, 환

:

A_0=k[x_1,\ldots, x_n]/(F_0(1, x_1,\ldots, x_n), \ldots, F_r(1,x_1,\ldots, x_n))

의 분수체로 정의하면^[23] 대수 함수의 경우의 적절한 일반화가 된다.

예를 들어

\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}

에, 방정식

x_0^2-x_1^2-x_2^2=0

가 정하는 사영 대수다양체를

X

라고 하면, 그 함수체

\mathbb{C}(X)

는

\mathbb{C}(x_1)[x_2]/(x_1^2+x_2^2-1)

이 된다. 이것은 대응

:

t\mapsto (x_1,x_2)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)

에 의해, 1변수 유리 함수체

\mathbb{C}(t)

와 동형이 된다.

\mathbb{C}(t)

는 사영 직선

\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}

의 함수체이므로,

X

와

\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}

는 본질적으로 같은 도형으로 간주해야 한다.

또한,

Y\subset \mathbb{P}^2_{\mathbb C}

를

x_0x_2^2-x_1^3-x_0x_1^2=0

으로 정하면, 함수체

\mathbb{C}(Y)

는

\mathbb{C}(x_1)[x_2]/(x_2^2-x_1^3-x_1^2)

로 주어지지만 대응

t\mapsto (x_1,x_2)=(t^2-1, t(t^2-1))

에 의해 이것도 1변수 유리 함수체

\mathbb{C}(t)

와 동형이 된다.

이 예에서,

X

의 경우에는 점 집합으로서

\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}

와 자연스러운 1대1 대응이 있으므로^[24], "같은" 대수다양체로 간주해야 한다. 사영 대수다양체는 그 정의로부터 항상, "그릇"인 사영 공간이 있고 나서 처음 정의되지만, 다양체 그 자체의 '''내재적 성질'''을 알기 위해서는 그릇에 의존하지 않는 정의가 필요하다.

반면,

Y

의 경우에는, 점 집합으로서조차

\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}

와 자연스러운 1대1 대응을 할 수 없으므로, 대수다양체로 동일시할 수 없다. 이와 같이 일반적으로 대수다양체로서 동일시할 수 없는 (정칙 동형이 아닌) 두 개의 대수다양체가, 동형인 함수체를 가질 때가 있는데, 이 때, 두 개의 대수다양체는 '''쌍유리 동치'''라고 한다.

아핀 대수 다양체가 아닌 대수 다양체의 가장 기본적인 예는 사영 공간

\mathbb{P}^n_k

이다. 사영 공간에는 아핀 공간의 경우와 마찬가지로 사영 대수적 집합을 닫힌 집합으로 하는 위상이 들어가고^[28], '''사영 대수 다양체'''에는 여기서 유도되는 위상을 넣는다( 자리스키 위상).

\mathbb{P}^n_k

의 동차 좌표

[x_0 : x_1 : \dots : x_n]

에 관해, 동차 다항식계

F = (F_i \mid i = 0, \dots, r)

로 정의된 사영 대수 다양체

V_h(F)

를

\mathbb A^n_k

와 동일시할 수 있는 아핀 열린 집합

U_j : x_j \ne 0

에 제한한 것은,

\mathbb A^n_k

에서

f_i(y_1, \dots, y_n) = F_i(y_1, \dots, 1, \dots, y_n)

(

j

번째 변수에는 1을 대입) 로 주어지는 방정식계로 정의되는 아핀 대수 다양체와 동일시할 수 있다.

4. 성질

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체들에 대하여, 다음 포함 관계가 성립한다.

관계
아핀 다양체 ⊊ 준아핀 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊ $K$ -스킴
사영 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊ $K$ -스킴
아핀 다양체 ⊊ 아핀 대수 집합 ⊊ $K$ -스킴
사영 다양체 ⊊ 사영 대수 집합 ⊊ $K$ -스킴

이는 아핀 공간이 사영 공간의 자리스키 열린 집합이기 때문이다.

일반적으로 아핀 다양체는 사영 다양체일 필요가 없고, 반대로 사영 다양체는 아핀 다양체일 필요가 없다. 아핀/사영 다양체가 아닌 아핀/사영 대수 집합은 대수다양체가 아니다. 또한, 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재한다.^[39]

대수 함수론에서는, 콤팩트한 대수다양체를 생각하고, 그 위의 함수로서는 유리형 함수 혹은 콤팩트한 것들 사이의 정칙 사상을 생각하는 것이 편리하다는 것을 알 수 있다. 이 요건을 만족시키는 대수다양체는 사영 공간 속에서 정의되는 사영 대수다양체로 실현할 수 있다.^[22]

일반적인 대수다양체는 아핀 대수다양체의 풀칠로 정의되며, 그것들 사이의 정칙 동형(보다 일반적으로 정칙 사상)을 고려한다.

함수체가 동형인 두 대수다양체는 쌍유리 동치라고 한다.

4. 1. 영점 정리

힐베르트 영점 정리에 따르면, 아핀 다양체

X=\operatorname{Spec}R

의 부분 대수다양체들은 정역

R

의 소 아이디얼들과 일대일 대응하며,

X

의 부분 대수 집합들은

\Gamma(X,\mathcal O_X)

의 반소 아이디얼들과 일대일 대응한다.

마찬가지로, 사영 다양체

X=\operatorname{Proj}R

의 부분 대수다양체들은 등급환

R

의 동차 소 아이디얼과 일대일 대응하며, 부분 대수 집합들은

R

의 동차 반소 아이디얼들과 일대일 대응한다.

이는 범주론적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체

K

에 대한 아핀 다양체의 범주

\operatorname{Aff}_K

의 반대 범주

\operatorname{Aff}_K^{\operatorname{op}}

는 다음과 같은 범주와 동치이다.^[35]

대상은 정역인 유한 생성 $K$ - 단위 결합 대수이다.
사상은 $K$ - 단위 결합 대수의 준동형이다.

5. 역사

앙드레 베유는 1946년에 "국소적으로 아핀 다양체와 동형인 공간"이라는 대수다양체의 추상적인 정의를 제안하였다.^[35] 베유는 원래 추상적 대수다양체의 개념을 야코비 다양체를 정의하려고 고안했는데, 당시에는 야코비 다양체가 (준)사영 대수다양체라는 것을 보일 수 없었다. 이후 1954년에 저우웨이량이 야코비 다양체가 사실은 사영 다양체라는 것을 증명하였고,^[35]^[38] 1956년에는 나가타 마사요시가 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재함을 보였다.^[39]

베유의 정의 이후, 1955년에 장피에르 세르는 대수다양체를 환 달린 공간의 개념을 사용하여 재정의하였다.^[40] 이 정의는 복소수에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 체 위에서도 할 수 있게 하는 토대를 마련했다. 이후 알렉산더 그로텐디크의 스킴 이론이 등장하면서, 대수다양체는 적절한 성질을 만족시키는 스킴으로 다시 정의되었다.

6. 예시

아핀 대수다양체는 가장 초등적으로 정의되는 대수다양체이다. 대수적 폐체 ''k'' 위의 ''n'' 차원 아핀 공간 $\mathbb A^n_k$ 에서, ''k''를 계수로 가지는 유한 개의 ''n'' 변수 다항식계 '''f''' = (''f_i''(''x''₁, ..., ''x''_n'') | ''i'' = 1, 2, ..., ''r'')에 대해, 그것이 정하는 ''아핀 대수적 집합'' ''V''('''f''')는 다음과 같이 정의된다.

: $V(\mathbf f)=\{(a_1,\ldots , a_n)\in \mathbb A^n_k\mid f_i(a_1,\ldots, a_n)=0 \; (\forall i)\}$

아핀 대수적 집합 ''V''가 ''V''에 진하게 포함되는 아핀 대수적 집합의 합집합으로 쓸 수 없을 때, ''V''는 기약이라고 하고, 기약인 아핀 대수적 집합을 아핀 대수다양체라고 한다.

''k''를 실수 '''R'''이나 복소수 '''C'''로 한 경우, 아핀 공간은 유클리드 공간이 되므로, 아핀 대수다양체는 그 닫힌 집합이 되어, 보통 의미에서의 위상 공간이 된다. 평면 $\mathbb A^2_{\mathbb{C}}$ 위에, 하나의 다항식 ''F''(''x''₁, ''x''₂)로 정의된 아핀 대수다양체를 ''평면 곡선''이라고 하는데, 평면 곡선은 미분이 사라지지 않은 점의 주위에서는 통상의 의미에서의 다양체('''C''' 위라면 리만 면)가 된다(음함수 정리). 그러나 이 위상 공간은 일반적으로 콤팩트가 되지 않는다.

체 ''k'' 위의 사영 공간 $\mathbb{P}^n_k$ 는 ''n'' + 1개의 ''k''의 원소의 비 [''a''₀ : ''a''₁ : ... : ''a_n''] 전체의 집합이다. 제차 다항식 ''F''(''x''₀ , ''x''₁, ..., ''x''_n'')는 그 차수가 ''d''이면, 0이 아닌 상수 ''t''에 대해, ''F''(''t.x''₀, ''t.x''₁, ..., ''t.x_n'') = ''t^d'' · ''F''(''x''₀, ''x''₁, ..., ''x_n'')가 되므로, 사영 공간의 점 [''a''₀ : ''a''₁ : ... : ''a_n'']에 대해, ''F''(''a''₀, ''a''₁, ..., ''a_n'') = 0이 되는지 여부는 점을 나타내는 제차 좌표의 표시 방법(상수배의 차이)에 관계없이 정해져 있다. 그래서, 유한 개의 (''n'' + 1)-변수 제차 다항식계 '''F''' = (''F_i'' | ''i'' = 0, ..., ''r'')에 대해 사영 대수적 집합 ''V_h''('''F''')를

: $V_h(\mathbf F)=\{[a_0 :\cdots : a_n]\in \mathbb{P}^n_k\mid F_i(a_0,\ldots, a_n)=0 \; (\forall i)\}$

로 정의할 수 있다. 아핀 대수다양체의 경우와 마찬가지로, 진하게 포함되는 사영 대수적 집합의 합으로 쓸 수 없는 사영 대수적 집합을 사영 대수다양체라고 부른다.

일반적으로 대수다양체로서 동일시할 수 없는 (정칙 동형이 아닌) 두 개의 대수다양체가, 동형인 함수체를 가질 때가 있는데, 이 때, 두 개의 대수다양체는 쌍유리 동치라고 한다.

아핀 대수 다양체가 아닌 대수 다양체의 가장 기본적인 예는 사영 공간 $\mathbb{P}^n_k$ 이다. 사영 공간에는 아핀 공간의 경우와 마찬가지로 사영 대수적 집합을 닫힌 집합으로 하는 위상이 들어간다.

또 다른 중요한 대수 다양체의 예는 아핀 공간의 열린 집합 $\mathbb A^n_k \backslash \{0\}$ 이다 (단 ''n'' ≥ 2). 이것은 아핀 대수 다양체의 열린 집합이므로 대수 다양체가 된다. 그러나 이것은 아핀 대수 다양체가 되지 않는다.^[29]

더 일반적으로 사영 대수다양체의 열린 부분 다양체를 준사영 대수다양체라고 부른다. 아핀 대수다양체는 준사영 대수 다양체이다.

6. 1. 부분다양체

힐베르트 영점 정리에 따르면, 아핀 또는 사영 다양체의 닫힌 부분 다양체는 다양체의 좌표환의 소 아이디얼 또는 비-무의미한 균질 소 아이디얼과 일대일 대응을 이룬다.^[25]

대수다양체의 열린 부분 집합은 대수다양체가 되며, 이를 열린 부분 다양체라고 한다. 대수다양체의 기약 닫힌 부분 집합 또한 대수다양체가 되는데, 이를 닫힌 부분 다양체라고 한다.

6. 2. 아핀 다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$와 자연수 $n$에 대해, $\mathbb{A}^n$을 $K$ 위의 아핀 $n$-공간으로 하고, 아핀 좌표계를 선택하여 $K^n$과 동일시한다. $K[x_1, \dots, x_n]$의 다항식 $f$는 각 $x_i$에 $K$의 값을 대입하여 $\mathbb{A}^n$의 점에서 $f$를 평가함으로써 $\mathbb{A}^n$상의 $K$ 값 함수로 볼 수 있다.

$K[x_1, \dots, x_n]$의 다항식 집합 $S$에 대해, 영점 집합 $Z(S)$는 $S$의 모든 함수가 동시에 0이 되는 $\mathbb{A}^n$의 점들의 집합이다. 즉,

:$Z(S) = \left \{x \in \mathbf{A}^n \mid f(x) = 0 \text{ for all } f\in S \right \}.$

$\mathbb{A}^n$의 부분 집합 $V$가 어떤 $S$에 대해 $V = Z(S)$이면, $V$를 '''아핀 대수 집합'''이라고 한다. 비어있지 않은 아핀 대수 집합 $V$가 두 개의 진(眞)부분 대수 집합의 합집합으로 나타낼 수 없으면 '''기약(irreducible)'''이라고 한다. 기약 아핀 대수 집합을 '''아핀 다양체'''라고도 한다.

아핀 다양체에는 아핀 대수 집합을 닫힌 집합으로 선언하여 자리스키 위상을 부여할 수 있다.

$\mathbb{A}^n$의 부분 집합 $V$가 주어지면, $I(V)$는 $V$에서 0이 되는 모든 다항식 함수의 아이디얼이다.

:$I(V) = \left \{f \in K[x_1,\ldots,x_n] \mid f(x) = 0 \text{ for all } x\in V \right \}.$

모든 아핀 대수 집합 $V$에 대해, $V$의 '''좌표 링''' 또는 '''구조 링'''은 다항식 링을 $I(V)$로 나눈 몫 링이다.

6. 2. 1. Example 1

Example 1^영어은 복소수체 위의 2차원 아핀 공간에서 시작한다. 환 의 다항식은 의 점을 대입하여 복소수 값을 갖는 함수로 볼 수 있다. 여기서 단일 원소 를 포함하는 집합 를 고려한다.

:

f(x, y) = x+y-1.

이때, 의 영궤적(함수값이 0이 되는 점들의 집합)은 를 만족하는 모든 복소수 쌍 의 집합이며, 이는 아핀 평면에서 선으로 불린다. 이 선은 복소수 위상에서 유도된 고전 위상에서 2차원 실수 다양체인 복소선이다. 이 집합은 로 표현된다.

:

Z(f) = \{ (x,1-x) \in \mathbf{C}^2 \}.

의 부분집합 는 대수적 집합이다. 집합 는 공집합이 아니며, 두 개의 고유한 대수적 부분집합의 합집합으로 나타낼 수 없으므로 기약적이다. 따라서, 는 아핀 대수적 다양체이다.

6. 2. 2. Example 2

Example^영어 2는 다음과 같다.

복소수체^한국어 '''C'''에 대해, '''A'''²를 '''C''' 위의 2차원 아핀 공간이라고 하자. 환 '''C'''[''x'', ''y'']의 다항식은 '''A'''²의 점을 대입하여 '''A'''² 위에서 복소수 값을 가지는 함수로 볼 수 있다. '''C'''[''x'', ''y'']의 부분 집합 ''S''는 단일 원소 ''g''(''x'', ''y'')를 포함한다.

:

g(x, y) = x^2 + y^2 - 1.

''g''(''x'', ''y'')의 영점 궤적은 이 함수가 0이 되는 '''A'''²의 점들의 집합이다. 즉, ''x''² + ''y''² = 1을 만족하는 점 (''x'', ''y'')의 집합이다. ''g''(''x'', ''y'')가 절대 기약 다항식이므로, 이 집합은 대수다양체이다. 이 다양체의 실수점 집합(즉, ''x''와 ''y''가 실수인 점들)은 단위 원으로 알려져 있으며, 이 이름은 전체 다양체에도 종종 사용된다.

6. 2. 3. Example 3

Example^영어 3은 초곡면이 아니고, 선형 공간도 아니며, 단일 점도 아닌 경우를 보여준다. 복소수체 '''C''' 위의 3차원 아핀 공간 '''A'''³에서, '''C''' 안의 ''x''에 대해 점 (''x'', ''x''², ''x''³)들의 집합은 대수다양체이다. 더 정확하게는, 이 집합은 어떤 평면에도 포함되지 않는 대수 곡선이며, 꼬인 삼차 곡선이라고 불린다.^[5] 이 곡선은 다음 방정식으로 정의할 수 있다.

:

\begin{align}y-x^2&=0\\z-x^3&=0\end{align}

이 대수 집합이 기약(irreducible)이라는 것은 증명이 필요하다. 이 경우, 투영 (''x'', ''y'', ''z'') → (''x'', ''y'')가 해의 집합에서 단사 함수인지 확인하고, 그 이미지가 기약 평면 곡선인지 확인하면 된다.

더 복잡한 경우에는 비슷한 증명을 할 수 있지만, 그뢰브너 기저 계산을 통해 차원을 구하고, 무작위 선형 변수 변환을 수행하는 등 어려운 계산이 필요할 수 있다. 그런 다음 다른 단항식 순서에 대한 그뢰브너 기저 계산을 통해 투영을 계산하고, 이 투영이 일반적으로 단사이며, 그 이미지가 초곡면임을 증명한다. 마지막으로, 다항식 인수분해를 통해 이미지의 기약성을 증명한다.

6. 2. 4. General linear group

일반 선형군 \$\operatorname{GL}_n(k)\$는 아핀 다양체이다. 좌표환은 국소화 \$k[x_{ij} \mid 0 \le i, j \le n][{\det}^{-1}]\$이며, 이는 \$k[x_{ij}, t \mid 0 \le i, j \le n]/(t \det - 1)\$과 동일시될 수 있다.^[30] 기저 체 \$k\$의 곱셈군 \$k^*\$은 \$\operatorname{GL}_1(k)\$과 같으며, 따라서 아핀 다양체이다.^[30]

6. 2. 5. Characteristic variety

''A''를 체 ''k'' 위에서 가환하지 않을 수 있는 대수라고 하자. ''A''가 결합 환

\operatorname{gr} A = \bigoplus_{i=-\infty}^{\infty} A_i/{A_{i-1}}

가 가환하고 축소되며, ''k''-대수로서 유한 생성될 수 있는

\mathbb{Z}

-여과를 가질 때,

\operatorname{gr} A

는 아핀 (환원 가능한) 다양체 ''X''의 좌표환이 된다. 예를 들어 ''A''가 유한 차원 리 대수

\mathfrak g

의 보편 포락 대수이면,

\operatorname{gr} A

는 다항식 환이 되며(PBW 정리), 이는 쌍대 벡터 공간

\mathfrak g^*

의 좌표환이다.^[6]

''M''을 ''A'' 위의 여과된 가군이라고 하자(즉,

A_i M_j \subset M_{i + j}

).

\operatorname{gr} M

이

\operatorname{gr} A

-대수로 유한 생성되면, ''X''에서

\operatorname{gr} M

의 지지, 즉

\operatorname{gr} M

이 사라지지 않는 자취를 ''M''의 특성 다양체라고 한다.^[6] 이 개념은 ''D''-가군 이론에서 중요한 역할을 한다.

6. 3. 사영 다양체

를 대수적으로 닫힌 체라고 하고, 을 위의 사영 ''n''-공간이라고 하자. 를 의 ''d''차 동차 다항식이라고 할 때, 동차 다항식 집합 ''S''에 대해 ''S''의 영궤적은 ''S''의 함수가 사라지는 의 점 집합으로 다음과 같이 정의된다.

:

Z(S) = \{x \in \mathbf{P}^n \mid f(x) = 0 \text{ for all } f\in S\}.

의 부분 집합 ''V''가 어떤 ''S''에 대해 ''V'' = ''Z''(''S'')이면 '''사영 대수 집합'''이라고 한다. 기약 사영 대수 집합은 '''사영 다양체'''라고 한다. 사영 다양체는 모든 대수 집합을 닫힌 것으로 선언하여 자리스키 위상을 갖는다.

의 부분 집합 ''V''가 주어지면, ''I''(''V'')를 ''V''에서 사라지는 모든 동차 다항식에 의해 생성된 아이디얼이라고 하자. 임의의 사영 대수 집합 ''V''에 대해, ''V''의 '''동차 좌표환'''은 이 아이디얼로 나눈 다항식 환의 몫이다.

'''준사영 다양체'''는 사영 다양체의 자리스키 열린 부분 집합이다.

6. 3. 1. Example 1

평면 사영 곡선은 3개의 미지수에 대한 기약 동차 다항식의 영 궤적이다. 사영 직선 '''P'''¹은 사영 곡선의 한 예이다. 이것은 '''P'''² = {[''x'', ''y'', ''z'']^영어}에서 ''x'' = 0^영어으로 정의된 곡선으로 볼 수 있다. 다른 예로, 2차원 아핀 공간(표수가 2가 아닌 체 위)에서 아핀 3차 곡선

:

y^2 = x^3 - x.

를 고려할 수 있다. 이것은 다음과 같은 3차 동차 다항식 방정식을 갖는다.

:

y^2z = x^3 - xz^2,

이것은 '''P'''²에서 타원 곡선이라고 하는 곡선을 정의한다. 이 곡선은 종수 1을 가지며(종수 공식), 특히 종수 0을 갖는 사영 직선 '''P'''¹과 동형이 아니다. 종수를 사용하여 곡선을 구별하는 것은 매우 기본적인데, 사실 종수는 곡선을 분류하는 데 사용하는 첫 번째 불변량이다(대수 곡선의 모듈리 참고).

6. 3. 2. Example 2: Grassmannian

그래스만 다양체 ''G_n''(''V'')는 ''V''의 모든 ''n''차원 부분 공간의 집합이다. 이 다양체는 플뤼커 매입을 통해 사영 공간에 매입되므로 사영 다양체이다.

:

\begin{cases} G_n(V) \hookrightarrow \mathbf{P} \left (\wedge^n V \right ) \\ \langle b_1, \ldots, b_n \rangle \mapsto [b_1 \wedge \cdots \wedge b_n] \end{cases}

여기서 ''b_i''는 ''V''의 선형 독립적인 벡터 집합이며,

\wedge^n V

는 ''V''의 ''n''차 외대수이고, 괄호 [''w'']는 0이 아닌 벡터 ''w''에 의해 생성된 선을 의미한다.

그래스만 다양체는 자명한 번들이라고 불리는 자연스러운 벡터 다발(또는 다른 용어로는 국소 자유층)을 갖는데, 이는 천 특성류와 같은 특성류 연구에서 중요하다.

6. 3. 3. Jacobian variety and abelian variety

매끄럽고 완전한 곡선 ''C''와 그 피카르 군

\operatorname{Pic}(C)

를 고려하자. ''C''가 매끄럽기 때문에,

\operatorname{Pic}(C)

는 ''C''의 인자류 군과 동일시될 수 있으며, 따라서 차수 준동형 사상

\operatorname{deg} : \operatorname{Pic}(C) \to \mathbb{Z}

가 존재한다. ''C''의 야코비 다양체

\operatorname{Jac}(C)

는 이 차수 사상의 핵이다. 즉, 차수가 0인 ''C''의 인자류의 군이다. 야코비 다양체는 아벨 다양체의 예시이며, 이는 호환 가능한 아벨 군 구조를 갖춘 완전한 다양체이다.^[7] 아벨 다양체는 사영적임이 밝혀진다. 따라서

\operatorname{Jac}(C)

는 사영 다양체이다. 항등원에 대한

\operatorname{Jac}(C)

의 접선 공간은 자연스럽게

\operatorname{H}^1(C, \mathcal{O}_C)

에 동형이며, 따라서

\operatorname{Jac}(C)

의 차원은

C

의 종수이다.

C

위의 점

P_0

을 고정하자. 각 정수

n > 0

에 대해, 자연스러운 사상이 존재한다.^[8]

:

C^n \to \operatorname{Jac}(C), \, (P_1, \dots, P_r) \mapsto [P_1 + \cdots + P_n - nP_0]

여기서

C^n

은 ''n''개의 ''C'' 복사본의 곱이다.

g = 1

인 경우 (즉, ''C''가 타원 곡선인 경우),

n = 1

에 대한 위의 사상은 동형 사상이 된다. 특히, 타원 곡선은 아벨 다양체이다.

6. 3. 4. Moduli varieties

정수

g \ge 0

에 대해, 종수

g

인 매끄러운 완전 곡선의 동형류의 집합을 종수

g

의 곡선 모듈라이라고 부르며,

\mathfrak{M}_g

로 표기한다.^[9] 이 모듈라이가 대수적 다양체의 구조를 갖는다는 것을 보일 수 있는 방법이 몇 가지 있다. 예를 들어, 기하 불변 이론을 사용하면 동형류의 집합이 준사영적 다양체 구조를 갖도록 할 수 있다.^[9]

고정된 종수의 곡선 모듈라이와 같은 모듈라이는 일반적으로 사영적 다양체가 아니다. 그 이유는 매끄러운 곡선의 퇴화(극한)가 매끄럽지 않거나 가약적으로 되는 경향이 있기 때문이다. 이는 종수

g \ge 2

의 안정 곡선 개념으로 이어진다. 안정 곡선은 특별히 나쁜 특이점이 없고 자동형군이 크지 않은, 반드시 매끄럽지 않은 완전 곡선을 의미한다. 종수

g \ge 2

의 안정 곡선의 동형류 집합인 안정 곡선의 모듈라이

\overline{\mathfrak{M}}_g

는

\mathfrak{M}_g

를 열린 조밀 부분 집합으로 포함하는 사영적 다양체이다.

\overline{\mathfrak{M}}_g

는

\mathfrak{M}_g

에 경계점을 추가하여 얻어지므로,

\overline{\mathfrak{M}}_g

는 통상적으로

\mathfrak{M}_g

의 콤팩트화라고 불린다. 역사적으로 Mumford와 Deligne의 논문^[10]은

g \ge 2

일 때

\mathfrak{M}_g

가 기약임을 보이기 위해 안정 곡선 개념을 도입했다.

곡선 모듈라이는 전형적인 상황을 보여준다. 즉, 좋은 객체의 모듈라이는 사영적이지 않고 준사영적인 경향이 있다. 또 다른 예는 곡선 위의 벡터 번들의 모듈라이이다. 여기에는 매끄러운 완전 곡선

C

위의 안정 및 반안정 벡터 번들의 개념이 있다. 주어진 랭크

n

과 차수

d

(번들의 행렬식의 차수)의 반안정 벡터 번들의 모듈라이는

SU_C(n, d)

로 표시되는 사영적 다양체이며, 랭크

n

및 차수

d

의 안정 벡터 번들의 동형류 집합

U_C(n, d)

를 열린 부분 집합으로 포함한다.^[11] 선형 번들은 안정적이므로, 이러한 모듈라이는

C

의 야코비 다양체의 일반화이다.

일반적으로, 곡선 모듈라이의 경우와 달리, 모듈라이의 콤팩트화는 유일하지 않을 수 있으며, 경우에 따라 다른 비동치 콤팩트화가 다른 방법과 저자에 의해 구성된다.

\mathbb{C}

위의 예는 유계 대칭 영역

D

를 산술 이산군

\Gamma

의 작용으로 나눈 몫

D / \Gamma

을 콤팩트화하는 문제이다.^[12]

D / \Gamma

의 기본적인 예는

D = \mathfrak{H}_g

(지겔 상반 평면)이고

\Gamma

가

\operatorname{Sp}(2g, \mathbb{Z})

와 공약인 경우이다. 그 경우

D / \Gamma

는 차원

g

의 주 편극 복소수 아벨 다양체의 모듈라이

\mathfrak{A}_g

로 해석된다(주 편극은 아벨 다양체를 이중과 동일시한다). 토릭 다양체(또는 토러스 임베딩)의 이론은

D / \Gamma

를 콤팩트화하는 방법인, 토로이드 콤팩트화를 제공한다.^[13]^[14] 그러나

D / \Gamma

를 콤팩트화하는 다른 방법이 있다. 예를 들어, Baily와 Borel에 의한

D / \Gamma

의 최소 콤팩트화가 있다. 이는 모듈 형식(지겔의 경우, 지겔 모듈 형식;^[15] 지겔 모듈 다양체 참조)으로 형성된 등급환에 관련된 사영적 다양체이다. 콤팩트화의 비유일성은 그러한 콤팩트화의 모듈라이 해석이 부족하기 때문이다. 즉, 그들은 어떠한 자연 모듈라이 문제를 (범주론적 의미에서) 나타내지 않거나, 정확한 언어로, 안정 곡선의 모듈라이 스택의 아날로그가 될 자연스러운 모듈라이 스택이 없다.

6. 4. Non-affine and non-projective example

Non-affine and non-projective example^영어의 예로, 대수다양체는 아핀적이거나 사영적이지 않을 수 있다. 예를 들어, ''X'' = '''P'''¹ × '''A'''¹로 두고, ''p'': ''X'' → '''A'''¹를 투영으로 정의하면, ''X''는 다양체의 곱이므로 대수다양체이다. '''P'''¹이 ''X''의 닫힌 부분다양체이지만(''p''의 영점 집합), 아핀 다양체는 양의 차원을 갖는 사영 다양체를 닫힌 부분다양체로 포함할 수 없으므로, ''X''는 아핀적이지 않다. 또한, ''X''에는 상수 함수가 아닌 정칙 함수인 ''p''가 존재하므로 사영적이지 않다.^[3]

6. 5. Non-examples

복소수체 Complex number|^영어

\mathbb{C}

위의 아핀 공간

\mathbb{A}^1 = \mathbb{C}

에서 원

\{ z \in \mathbb{C} \text{ with } |z|^2=1 \}

의 여집합은 대수다양체가 아니며, 대수적 집합도 아니다. 그 이유는

|z|^2 - 1

은

z

에 대한 다항식이 아니기 때문이다. (실수 좌표

x, y

에 대한 다항식이기는 하다). 반면에,

\mathbb{A}^1 = \mathbb{C}

에서 원점의 여집합은 대수적 아핀 다양체이다. 원점은

z

의 영점 궤적이기 때문이다. 아핀 공간의 차원은 1이고, 따라서 아핀 공간의 부분 다양체는 자신을 제외하고는 반드시 엄격하게 작은 차원, 즉 0을 가져야 한다.

비슷한 이유로, 유니타리 군은 대수다양체가 아니지만, 특수 선형군

\operatorname{SL}_n(\mathbb{C})

는

\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})

의 닫힌 부분 다양체이며,

\det - 1

의 영점 궤적이다.

7. 기본 결과

아핀 대수 집합 ''V''가 대수다양체가 될 필요충분조건은 ''I''(''V'')가 소 아이디얼인 것이다. 즉, ''V''가 대수다양체일 필요충분조건은 ''V''의 좌표환이 정역인 것이다.^[1]

모든 공집합이 아닌 아핀 대수 집합은 유한 개의 대수다양체의 합집합으로 유일하게 표현될 수 있다 (분해에 포함된 대수다양체 중 다른 대수다양체의 부분다양체는 없음).^[2]

8. 대수다양체의 동형

대수다양체 가 주어졌을 때, 만약 두 정칙 사상 와 가 존재하여, 함수 합성 와 가 각각 과 위에서의 항등 함수가 된다면, 과 는 동형이라고 하고, 라고 쓴다.^[22]

9. 논의 및 일반화

대수다양체의 기본 정의와 사실들을 통해 고전 대수 기하학을 수행할 수 있지만, 대수적으로 닫히지 않은 체 위의 다양체를 다루는 등 더 많은 작업을 수행하려면 몇 가지 근본적인 변화가 필요하다. 현대의 다양체 개념은 고전적인 정의보다 훨씬 추상적이지만, 대수적으로 닫힌 체 위의 다양체의 경우에는 동일하다.

''추상 대수 다양체''는 일종의 스킴이다. 스킴으로의 일반화를 통해 기하학적 측면에서 위에 설명된 대응 관계를 더 넓은 종류의 환으로 확장할 수 있다. 스킴은 모든 점이 국소 환을 가진 공간으로서, 환의 스펙트럼과 동형인 국소 환 달린 공간이다. 기본적으로 위의 다양체는 구조층이 위에 나타나는 환 ''R''이 모두 정역이고, 모두 유한 생성 k-대수, 즉 다항식 대수를 소 아이디얼로 나눈 몫이라는 성질을 가진 k-대수의 층인 스킴이다.

이러한 정의는 모든 체 k 위에서 작동한다. 이를 통해 결과 객체가 어떤 사영 공간에 넣을 수 있는지 걱정하지 않고 아핀 다양체(공통 열린 집합을 따라)를 붙일 수 있다. 그러나 이는 다소 병리학적인 객체(예: 0이 두 배인 아핀 선)를 도입할 수 있기 때문에 어려움을 초래한다. 이러한 객체는 일반적으로 다양체로 간주되지 않으며, 다양체의 기초가 되는 스킴이 ''분리''되도록 요구함으로써 제거된다.

일부 현대 연구자들은 다양체가 정역 아핀 차트를 갖는 것에 대한 제한을 제거하고, 다양체에 대해 말할 때 아핀 차트가 사소한 닐라디칼을 갖는 것만 요구하기도 한다.

완전 다양체는 비특이 대수 곡선의 열린 부분 집합에서 그 다양체로의 모든 사상이 전체 곡선으로 고유하게 확장될 수 있는 다양체이다. 모든 사영 다양체는 완전하지만 그 반대는 아니다.

이러한 다양체는 세르의 기본 논문인 FAC^[17]가 층 코호몰로지에 관해 쓰여졌기 때문에 "세르의 의미의 다양체"라고 불려왔다.

일반화를 이끄는 한 가지 방법은 약분 가능한 대수 집합(그리고 대수적으로 닫히지 않은 체 k)을 허용하여 환 ''R''이 정역이 아닐 수 있도록 하는 것이다. 더 중요한 수정은 멱영원을 환의 층에 허용하는 것이다. 이는 그로텐디크의 스킴 이론에 내장된 고전 대수 기하학의 여러 일반화 중 하나이다.

환에 멱영원을 허용하는 것은 대수 기하학에서 "중복도"를 추적하는 것과 관련이 있다. 예를 들어, ''x''² = 0으로 정의된 아핀 선의 닫힌 부분 스킴은 ''x'' = 0(원점)으로 정의된 부분 스킴과 다르다. 더 일반적으로, 스킴의 사상 ''X'' → ''Y''의 점 ''Y''에서의 섬유는 ''X''와 ''Y''가 환원되더라도 환원되지 않을 수 있다. 기하학적으로 이것은 좋은 사상의 섬유가 비자명한 "무한소" 구조를 가질 수 있다는 것을 의미한다.

대수적 공간 및 대수적 스택이라고 하는 더 많은 일반화가 있다.

10. 대수다양체

대수다양체는 차원 ''m''의 다양체이기도 한 대수적 다양체이며, 따라서 모든 충분히 작은 국소 패치는 ''k^m''와 동형이다. 다양체는 매끄럽다(특이점이 없다). k^영어가 실수 '''R'''일 때, 대수다양체는 내시 다양체라고 불린다. 대수다양체는 유한한 수의 해석적 대수 함수의 영점으로 정의할 수 있다. 사영 대수다양체는 사영 다양체의 동등한 정의이다. 리만 구가 그 예시이다.

가장 초등적으로 정의되는 대수다양체는 아핀 대수다양체이다. 대수적 폐체 ''k'' 위의 ''n'' 차원 아핀 공간 $\mathbb A^n_k$ 을 여기서는 벡터 공간 ''kⁿ''의 점 전체로 한다. ''k''를 계수로 가지는 유한 개의 ''n'' 변수 다항식계 '''f''' = (''f_i''(''x''₁, ..., ''x''_n'') | ''i'' = 1, 2, ..., ''r'')에 대해, 그것이 정하는 ''아핀 대수적 집합'' ''V''('''f''')를

: $V(\mathbf f)=\{(a_1,\ldots , a_n)\in \mathbb A^n_k\mid f_i(a_1,\ldots, a_n)=0 \; (\forall i)\}$

로 정의한다. 아핀 대수적 집합 ''V''가 ''V''에 진하게 포함되는 아핀 대수적 집합의 합집합으로 쓸 수 없을 때, ''V''는 '''기약'''이라고 하고, 기약인 아핀 대수적 집합을 '''아핀 대수다양체'''라고 한다.

''k''를 실수체 '''R'''이나 복소수체 '''C'''로 한 경우, 아핀 공간은 유클리드 공간이 되므로, 아핀 대수다양체는 그 닫힌 집합이 되어, 보통 의미에서의 위상 공간이 된다. 평면 $\mathbb A^2_{\mathbb{C}}$ 위에, 하나의 다항식 ''F''(''x''₁, ''x''₂)로 정의된 아핀 대수다양체를 ''평면 곡선''이라고 하는데, 평면 곡선은 미분이 사라지지 않은 점의 주위에서는 통상의 의미에서의 다양체('''C''' 위라면 리만 면)가 된다(음함수 정리). 그러나, 이 위상 공간은 일반적으로 콤팩트가 되지 않는다. 평면 곡선의 경우, 방정식 ''f''(''x''₁, ''x''₂) = 0으로부터 정해지는 대수 함수 algebraic function^영어는, 해석적 연속 및 리만의 제거 가능한 특이점 정리에 의해, 이 평면 곡선으로부터 유한 개의 점(특이점)을 제거하고 콤팩트화한 리만 면 ''S'' 위의 유리형 함수로 간주된다. 대수 함수 전체가 이루는 체, 즉 1변수 유리 함수체의 ''f''에 의한 확대체 ''K'' = '''C'''(''x''₁)[''x''₂]/(''f'')는, 이 콤팩트 리만 면 ''S''의 유리형 함수 전체가 이루는 체 ''M''(''S'')와 자연스럽게 동형이 된다. 더 나아가, 콤팩트한 리만 면 ''S''의 동형류는 그 위의 유리형 함수체 ''M''(''S'')와 1대1로 대응한다.

이 대수 함수론으로부터, 더 고차원의 대수다양체를 생각함에 있어서는 대수다양체로서는 콤팩트한 것을 생각하고, 그 위의 함수로서는 유리형 함수 혹은 콤팩트한 것들 사이의 정칙 사상을 생각하는 것이 편리하다는 교훈을 얻을 수 있다. 이 요건을 만족시키는 대수다양체는 사영 공간 속에서 정의되는 사영 대수다양체로 실현할 수 있다^[22]。

체 ''k'' 위의 사영 공간 $\mathbb{P}^n_k$ 는 ''n'' + 1개의 ''k''의 원소의 비 [''a''₀ : ''a''₁ : ... : ''a_n''] 전체의 집합이다. 제차 다항식(포함된 단항식의 차수가 모두 같음) ''F''(''x''₀ , ''x''₁, ..., ''x''_n'')는 그 차수가 ''d''이면, 0이 아닌 상수 ''t''에 대해, ''F''(''t.x''₀, ''t.x''₁, ..., ''t.x_n'') = ''t^d''. ''F''(''x''₀, ''x''₁, ..., ''x''_n'')가 되므로, 사영 공간의 점 [''a''₀ : ''a''₁ : ... : ''a_n'']에 대해, ''F''(''a''₀, ''a''₁, ..., ''a_n'') = 0이 되는지 여부는 점을 나타내는 제차 좌표의 표시 방법(상수배의 차이)에 관계없이 정해져 있다. 그래서, 유한 개의 (''n'' + 1)-변수 제차 다항식계 '''F''' = (''F_i'' | ''i'' = 0, ..., ''r'')에 대해 사영 대수적 집합 ''V_h''('''F''')를

: $V_h(\mathbf F)=\{[a_0 :\cdots : a_n]\in \mathbb{P}^n_k\mid F_i(a_0,\ldots, a_n)=0 \; (\forall i)\}$

로 정의할 수 있다. 아핀 대수다양체의 경우와 마찬가지로, 진하게 포함되는 사영 대수적 집합의 합으로 쓸 수 없는 사영 대수적 집합을 '''사영 대수다양체'''라고 부른다. 사영 대수다양체 ''X'' = ''V_h''('''F''')에 대해, 그 '''함수체''' ''k''(''X'')를, 환

: $A_0=k[x_1,\ldots, x_n]/(F_0(1, x_1,\ldots, x_n), \ldots, F_r(1,x_1,\ldots, x_n))$

의 분수체로 정의하면^[23] 대수 함수의 경우의 적절한 일반화가 된다.

여기서, $\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ 에, 방정식 $x_0^2-x_1^2-x_2^2=0$ 가 정하는 사영 대수다양체를 ''X''라고 하면, 그 함수체 '''C'''(''X'')는 $\mathbb{C}(x_1)[x_2]/(x_1^2+x_2^2-1)$ 이 된다. 이것은 대응

: $t\mapsto (x_1,x_2)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)$

에 의해, 1변수 유리 함수체 '''C'''(''t'')와 동형이 된다. '''C'''(''t'')는 사영 직선 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ 의 함수체에 지나지 않으므로, 이 ''X''와 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ 는 본질적으로 같은 도형으로 간주해야 한다. 더 나아가 $Y\subset \mathbb{P}^2_{\mathbb C}$ 를 $x_0x_2^2-x_1^3-x_0x_1^2=0$ 으로 정하면, 함수체 '''C'''(''Y'')는 $\mathbb{C}(x_1)[x_2]/(x_2^2-x_1^3-x_1^2)$ 로 주어지지만 대응

$t\mapsto (x_1,x_2)=(t^2-1, t(t^2-1))$ 에 의해 이것도 1변수 유리 함수체 '''C'''(''t'')와 동형이 된다.

이 예에서, ''X''의 경우에는 점 집합으로서 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ 와 자연스러운 1대1 대응이 있으므로^[24], "같은" 대수다양체로 간주해야 한다. 사영 대수다양체는 그 정의로부터 항상, "그릇"인 사영 공간이 있고 나서 처음 정의되지만, 다양체 그 자체의 '''내재적 성질'''을 알기 위해서는 그릇에 의존하지 않는 정의가 필요하다. 이것이, 일반적인 대수다양체를 아핀 대수다양체의 풀칠로 정의하고, 그것들 사이의 (대수적인 의미에서의) 정칙 동형(보다 일반적으로 정칙 사상)을 생각하는 발상으로 이어진다.

한편, ''Y''의 경우에는, 점 집합으로서조차 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ 와 자연스러운 1대1 대응을 할 수 없으므로, 대수다양체로 동일시할 수 없다. 이와 같이 일반적으로 대수다양체로서 동일시할 수 없는 (정칙 동형이 아닌) 두 개의 대수다양체가, 동형인 함수체를 가질 때가 있는데, 이 때, 두 개의 대수다양체는 '''쌍유리 동치'''라고 한다. 고차원 대수 기하학에 있어서는 이 쌍유리 동치의 개념은 불가피하며 또한 매우 중요하다.

아핀 대수다양체 ''V'', ''W'' 사이의 사상은 다변수 해석의 경우와 마찬가지로, ''V'' 위의 정칙 함수의 묶음으로 주어진다. 즉, 아핀 대수다양체 ''V''에서 $\mathbb A^m_k$ 로의 '''사상''' $g\colon V\to \mathbb A^m_k$ 를 $g_i\in A(V)\; (i=1,\ldots, m)$ 을 사용하여

: $V\ni a\mapsto (g_1(a),\ldots, g_m(a)) \in \mathbb A^m_k$

로 정의한다. ''W''가 $\mathbb A^m_k$ 내에서 정의되는 아핀 대수다양체이고, ''g''의 상이 ''W''에 포함될 때, ''g''는 사상 ''g'': ''V'' → ''W''를 정의한다고 한다. 사상 ''g'': ''V'' → ''W''가 주어지면, 함수의 합성에 의해 좌표환 사이의 준동형 사상

: $g^*\colon A(W)\to A(V);\quad g^*(f(y_1,\ldots, y_m))=f(g_1(x_1,\ldots, x_n),\ldots , g_m(x_1,\ldots, x_n))$

이 정해진다. 반대로 ''k'' 대수의 준동형 φ: ''A''(''W'') → ''A''(''V'')가 주어졌을 때, 합성

: $k[y_1,\ldots ,y_m]\to A(W) \overset{\phi}{\to} A(V)$

에 의한, ''y_i''의 상을 ''g_i''라고 하면, ''g'' = (''g''₁, ..., ''g_m'')는 아핀 대수다양체의 사상 ''g'': ''V'' → ''W''를 정의한다. 아핀 대수다양체의 동형 $V\cong W$ 를 사상 ''g'': ''V'' → ''W'' 및 ''h'': ''W'' → ''V''가 존재하여 ''h'' ◦ ''g'' = id_''V'', ''g'' ◦ ''h'' = id_''W''가 성립하는 것으로 정의하면, 유도되는 좌표환 사이의 준동형 ''g''^*도 동형이 된다. 반대로, 좌표환 사이의 동형 φ가 있으면, 아핀 대수다양체의 동형 ''g''가 존재하여 φ = ''g''^*가 된다. 따라서, 아핀 대수다양체의 동형류는 ''k'' 위에서 유한 생성된 정역의 동형류와 1대1로 대응한다.

일반적인 대수다양체는 보통의 다양체와 마찬가지로 아핀 대수다양체의 붙여넣기로 정의된다. 붙여넣기를 정의하기 위해 아핀 대수다양체의 열린 집합에 대해 조금 설명한다.

아핀 공간 $\mathbb A^n_k$ 에서 정의되는 아핀 대수다양체 ''V'' = ''V''(''P'') (''P''는 다항식환의 소 아이디얼)의 닫힌 부분 집합은 ''P''를 포함하는 아이디얼 ''I''를 사용하여 ''V''(''I'')로 주어진다. 따라서 ''V''의 열린 집합은 ''D''_''V''(''I'') = ''V'' $\setminus$ ''V''(''I'')로 쓸 수 있다. 특히 ''I'' = ''P'' + (''f'')로 쓸 수 있는 아이디얼, 즉, ''I''가 ''P''와 ''f''로 생성된 아이디얼일 때, ''D''_''V''(''I'')를 ''D''_''V''(''f'')로 쓴다. ''f''가 ''P''에 포함되지 않는 원소를 움직일 때,

: $D_V(I)=\bigcup _{f\in I} D_V(f)$

가 되므로, ''D''_''V''(''f'')는 ''V''의 위상의 기저가 된다. 게다가, ''V_f''를 한 차원 더 큰 아핀 공간 $\mathbb A^{n+1}_k$ 에서 아이디얼 ''I'' + (''x''_''n''+1 · ''f'' − 1)로 정의되는 아핀 대수다양체로 하면, 자연스러운 사영 (''x''₁, ..., ''x_n'', ''x''_''n''+1 ) → (''x''₁, ..., ''x''_n'')는 동상사상 ''V''_''f'' → ''D''_''V''(''f'')를 준다. 그래서, ''D''_''V''(''f'')를 ''V''_''f''와 동일시하여 아핀 대수다양체로 간주한다. ''A''(''V''_''f'')는 ''A''(''V'')[''f''⁻¹]이므로, ''A''(''V''_''f'') ⊃ ''A''(''V'')이다.

위상 공간 ''X''가 '''기약'''이라는 것은, 진 부분 집합 ''X''₁ , ''X''₂를 사용하여 $X=X_1\cup X_2$ 로 쓸 수 없다는 것을 말한다. 기약 위상 공간 ''X''는 연결이다. 또한, 기약 위상 공간 ''X''의 공집합이 아닌 열린 집합 ''U''는 조밀이다^[26] .

기약 위상 공간 ''X''가 '''대수다양체'''라는 것(대수다양체의 구조를 갖는다는 것)은,

# ''X''의 유한 열린 덮개 $X=\bigcup _{i\in I} U_i$ 가 있다.

# 아핀 대수다양체 ''V_i'' 및 동상사상 α_''i'' : ''U_i'' → ''V_i''가 있다.

# 임의의 ''i'', ''j''의 쌍과 $V_{ij}=\alpha _i (U_i\cap U_j)\subset V_i$ 에 포함되는 임의의 아핀 열린 부분 다양체 $D_{V_i}(f)$ 에 대해, $\alpha _j\circ \alpha _i^{-1}: D_{V_i}(f)\to V_j$ 는 아핀 대수다양체의 사상(의 아래에 있는 연속 사상)이다.

라고 정의한다^[27].아핀 대수다양체 ''W''에서 대수다양체 ''X''로의 연속 사상 ''f'': ''W'' → ''X''는 $W_i=f^{-1}(U_i)$ 에 포함되는 임의의 아핀 열린 부분 다양체 ''D''_''W'' ( ''g'' )에 대해, 합성 사상 $\alpha _i\circ f_$

참조

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_[25] 문서 これは[[代数学の基本定理]]の多変数版と見なせる。この節で ''k'' が代数的閉であることを仮定した理由は零点定理を用いるためである。
_[26] 문서 ''U'' の閉包を $\overline U$ とすると、 $X=\overline U\cup (X\backslash U)$ となるが、''X'' の既約性および ''U'' が空でないことより $X=\overline U$ 。
_[27] 문서 この定義では、代数多様体は分離的とは限らないことになる。[[#代数多様体の積・分離性・固有性|代数多様体の積・分離性・固有性]]参照。
_[28] 문서 アフィン空間の場合のイデアルを、無縁イデアルを含まない斉次イデアルに置き換えて議論する。[[#参考文献|参考文献]] Hartshorne, Shafarevich, Riedなど参照。
_[29] 문서 ''n'' ≥ 2 のとき、 $\mathbb A^n_k$ 上の有理関数で原点を除いて正則になるものは多項式関数のみであることから。
_[30] 문서 これは、19世紀末のイタリア学派の態度でもある（[[#参考文献|参考文献]] Zariski, Enriques など参照）。準射影代数多様体は分離的であるので、2つのアフィン部分多様体の交わりは常にアフィン部分多様体となりこのような煩雑性の問題は生じない。
_[31] 문서 [[小平次元#脚注]]にモアシェゾン多様体として、定義を記載
_[32] 문서 文献では分離性を仮定することも多い。また、体 ''k'' が代数的閉でない場合は、「既約で被約」を ''k'' 上ではなく、''k'' の代数閉包への底変換をしても既約かつかつ被約（'''幾何学的既約'''かつ'''幾何学的被約'''; {{lang|en|geometrically ireducible and geometrically irreducible}}）を仮定する場合もある。
_[33] 문서 代数多様体のアフィン開部分多様体全体は代数多様体の位相の基底をなす。[[#一般の代数多様体|一般の代数多様体]]の節参照。
_[34] 서적
_[35] 서적
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_[37] 서적 "Courbes algébriques et variétés abéliennes. Variétés abéliennes et courbes algébriques Hermann 1946
_[38] 저널 The Jacobian variety of an algebraic curve 1954
_[39] 저널 On the imbedding problem of abstract varieties in projective varieties http://projecteuclid[...]
_[40] 저널 Faisceaux algébriques cohérents http://www.mat.uniro[...] 2012-12-21

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