검은 막

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 대칭
- 3.2. 사건 지평선
4. 곡률
5. 끈 이론에서의 응용
6. AdS/CFT 대응성과의 관계
참조

1. 개요

검은 막은 민코프스키 시공간에서 정의되는, 블랙홀과 검은 끈을 포함하는 개념으로, p+1차원 시공간에 존재하는 물체이다. 검은 막은 끈 이론에서 기본 끈, D-막, NS5-막, M-막 등과 연관되어 있으며, AdS/CFT 대응성을 유도하는 데 중요한 역할을 한다. 검은 끈, 칼루자-클라인 블랙홀, M-막, D-막 등은 검은 막의 구체적인 예시이다.

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검은 막
정의
설명	블랙홀의 고차원 일반화
관련 개념	막
상세 내용
설명	블랙 브레인은 일반 상대성 이론의 해로, 블랙홀과 유사하지만 점 대신에 p-차원 공간으로 확장된 사건 지평선을 가진다. 다시 말해, 블랙 브레인은 블랙홀의 일반화된 형태로, 블랙홀의 특이점이 점이 아닌 막 형태로 확장된 것이다. 블랙 브레인의 역학은 AdS/CFT 대응성과 끈 이론 연구에서 중요한 역할을 한다.
추가 정보
nLab	nLab의 블랙 브레인 항목

2. 정의

$n$ 차원 민코프스키 시공간에서, $p+1$ 차원의 검은 막이 있다고 가정한다. ( $p=0$ 은 블랙홀, $p=1$ 은 검은 끈이다.) 검은 막의 세계 부피 방향 지표는 다음과 같이 표기한다.

: $\mu,\nu\in\{0,1,\dotsc,p\}$

검은 $p$ -막은 다음 좌표로 주어진다.

: $(\sigma^0,\sigma^1,\dotsc,\sigma^p,r,\theta_1,\theta_2,\dotsc,\theta_{n-p-2})$

이에 대한 리만 계량은 다음과 같다.

: $\mathrm ds^2 = \left(\eta_{\mu\nu}+(R/r)^{n-p-3}u_\mu u_\nu\right)\mathrm d\sigma^\mu \mathrm d\sigma^\nu+\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)^{-1}\,\mathrm dr^2 + r^2 \mathrm d\Omega^2_{n-p-2}$

여기서

$\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,\dotsc,1)$ 은 $p+1$ 차원 민코프스키 계량이다.
$\mathrm d\Omega^2_{n-p-2}$ 는 $(n-p-2)$ 차원 초구의 계량이다.
$R$ 는 길이 단위를 갖는 상수이다.

3. 성질

질량 중심 틀에서 검은 막의 계량은 다음과 같다.

: $\mathrm ds^2 = -\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)\,\mathrm dt^2 + \sum_{i=1}^p(\mathrm d\sigma^i)^2 + \left(1- (R/r)^{n-p-3} \right)^{-1}\,\mathrm dr^2 + r^2 \mathrm d\Omega^2_{n-p-2}$

3. 1. 대칭

검은 막은

\operatorname{IO}(p,1) \times \operatorname O(n-p-1)

대칭을 갖는다. 이는

p+1

차원 푸앵카레 대칭과 막을 축으로 하는 회전 대칭(직교군)의 직접곱이다.

3. 2. 사건 지평선

이 계량은

r=R

에서 사건 지평선을 갖는다.

4. 곡률

다음과 같은 경우

$ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu + d\Omega_{n+1},$

리치 텐서는 다음과 같다.

$\begin{align}R_{\mu\nu} &= R_{\mu\nu}^{(0)} + \frac{n+1}{r}\Gamma^r_{\mu\nu}, \\R_{ij} &= \delta_{ij} g_{ii} \left(\frac{n}{r^2}(1-g^{rr}) - \frac{1}{r}(\partial_{\mu} + \Gamma^\nu_{\nu\mu})g^{\mu r}\right),\end{align}$

그리고 리치 스칼라는 다음과 같다.

$R = R^{(0)} + \frac{n+1}{r}g^{\mu\nu}\Gamma^r_{\mu\nu} + \frac{n(n+1)}{r^2}(1-g^{rr}) - \frac{n+1}{r}(\partial_\mu g^{\mu r} + \Gamma^\nu_{\nu\mu}g^{\mu r}),$

여기서 $R_{\mu\nu}^{(0)}$ , $R^{(0)}$ 는 계량 $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ 의 리치 텐서 및 리치 스칼라이다.

5. 끈 이론에서의 응용

끈 이론에서, 기본 끈, D-막, NS5-막, M-막 등은 낮은 에너지에서 초중력의 검은 막으로 나타난다. 이들은 AdS/CFT 대응성을 유도할 때 중요한 역할을 한다.

5. 1. 검은 끈

검은 끈은 사건의 지평선이

S^2 \times S^1

과 위상 동치인 고차원 블랙홀의 일반화이다.

검은 끈 해의 섭동은

S^1

주위의 길이가 어떤 임계값보다 클 때 불안정하다는 것을 발견했다. 이 임계값을 넘어서는 검은 끈의 완전한 비선형 진화는 검은 끈이 별개의 블랙홀로 분열되어 단일 블랙홀로 합쳐지는 결과를 초래할 수 있다. 섭동될 때 검은 끈은 안정적이고 정적인 비균일 검은 끈 상태로 정착될 것이다.

5. 2. 칼루자-클라인 블랙홀

칼루자-클라인 블랙홀은 블랙홀의 일반화된 형태로, 점근 평탄한 칼루자-클라인 공간, 즉 콤팩트한 차원을 가진 고차원 시공간에 존재하는 블랙 브레인이다. '''KK 블랙홀'''이라고도 불린다.^[5]

5. 3. M-막

11차원 초중력에서 M이론의 M2-막과 M5-막에 해당하는 극대 검은 2-막 및 5-막이 존재한다. 이때 계량 텐서는 다음과 같다.^[6]

:

ds^2=H_{\mathrm{M}p}(r)^{-2/3}\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu+H_{\mathrm{M}p}(r)^{1/3}\delta_{ij}dy^idy^j

여기서

:

H_{\mathrm{M}p}(r)=1+\left(\frac{r_{\mathrm{M}p}}{r}\right)^{8-p}

이고,

:

r_{\mathrm{M}2}^6=32\pi^2N_2l_p^6

:

r_{\mathrm{M}5}^3=\pi N_5l_p^3

이다. 또한 게이지장은 다음과 같다.

:

F_4=dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dH_{\mathrm{M}2}^{-1}

(M2-막)

:

F_4=*(dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\wedge dx^4\wedge dx^5\wedge dH_{\mathrm{M}5}^{-1})

(M5-막)

여기서

*

는 11차원의 호지 쌍대이다.

5. 4. D-막

10차원 초중력에서는 D''p''-막에 해당하는 극대 검은 ''p''-막들이 존재한다. 그 계량 텐서는 (끈 틀(string frame^영어)에서) 다음과 같다.

:

ds^2=H_{\mathrm{D}p}(r)^{-1/2}\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu+H_{\mathrm{D}p}(r)^{1/2}\delta_{ij}dy^idy^j

여기서

:

H_{\mathrm{D}p}(r)=1+\left(\frac{r_p}{r}\right)^{7-p}

:

r=\sqrt{\delta_{ij}y^iy^j}

이고,

:

r_p^{7-p}=(2\sqrt{\pi})^{5-p}\Gamma\left(\frac{7-p}{2}\right)g_sNl_s^{7-p}

이다. 이 경우 딜라톤은

:

\exp(\Phi)=\exp(\Phi_0)H_{\mathrm{D}p}^{(3-p)/4}

이고,

\Phi_0

은

r\to\infty

에서의 딜라톤 크기다. 라몽-라몽 장세기

F_{p+2}

는 다음과 같다.

:

F_{p+2}=dH_{\mathrm{D}p}^{-1}\wedge\omega_{p+1}

여기서

\omega_{p+1}=dx^0\wedge dx^1\wedge\dots\wedge dx^p

는 ''p''-막의 세계부피 형식이다.

6. AdS/CFT 대응성과의 관계

끈 이론에서 기본 끈, D-막, NS5-막, M-막 등은 낮은 에너지에서 초중력의 검은 막으로 나타난다.^[1] 이들은 AdS/CFT 대응성을 유도할 때 중요한 역할을 한다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 black brane in nLab http://ncatlab.org/n[...] 2017-07-18
_[2] 서적 The Little Book of String Theory https://archive.org/[...] Princeton University Press 2010
_[3] 웹사이트 String theory answers http://superstringth[...] 2017-07-18
_[4] 서적 D-brane : superstrings and new perspective of our world Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
_[5] 문서 Obers (2009), p. 212–213
_[6] 서적 String Theory and M-Theory: A Modern Introduction Cambridge University Press 2006-12

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