검은 막

1. 개요

검은 막은 민코프스키 시공간에서 정의되는, 블랙홀과 검은 끈을 포함하는 개념으로, p+1차원 시공간에 존재하는 물체이다. 검은 막은 끈 이론에서 기본 끈, D-막, NS5-막, M-막 등과 연관되어 있으며, AdS/CFT 대응성을 유도하는 데 중요한 역할을 한다. 검은 끈, 칼루자-클라인 블랙홀, M-막, D-막 등은 검은 막의 구체적인 예시이다.

2. 정의

$n$차원 민코프스키 시공간에서, $p+1$차원의 검은 막이 있다고 가정한다. ($p=0$은 블랙홀, $p=1$은 검은 끈이다.) 검은 막의 세계 부피 방향 지표는 다음과 같이 표기한다.

:$\backslash mu,\backslash nu\backslash in\backslash \{0,1,\backslash dotsc,p\backslash \}$

검은 $p$-막은 다음 좌표로 주어진다.

:$(\backslash sigma^0,\backslash sigma^1,\backslash dotsc,\backslash sigma^p,r,\backslash theta\_1,\backslash theta\_2,\backslash dotsc,\backslash theta\_\{n-p-2\})$

이에 대한 리만 계량은 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\; ds^2\; =\; \backslash left($
\eta_{\mu\nu}+(R/r)^{n-p-3}u_\mu u_\nu
\right)\mathrm d\sigma^\mu \mathrm d\sigma^\nu
+
\left(1-
(R/r)^{n-p-3}
\right)^{-1}\,\mathrm dr^2 + r^2 \mathrm d\Omega^2_{n-p-2}

여기서

* $\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}=\backslash operatorname\{diag\}(-1,1,\backslash dotsc,1)$은 $p+1$차원 민코프스키 계량이다.
* $\backslash mathrm\; d\backslash Omega^2\_\{n-p-2\}$는 $(n-p-2)$차원 초구의 계량이다.
* $R$는 길이 단위를 갖는 상수이다.

3. 성질

질량 중심 틀에서 검은 막의 계량은 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\; ds^2\; =\; -\backslash left(1-(R/r)^\{n-p-3\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\; dt^2\; +\; \backslash sum\_\{i=1\}^p(\backslash mathrm\; d\backslash sigma^i)^2\; +\; \backslash left(1-\; (R/r)^\{n-p-3\}\; \backslash right)^\{-1\}\backslash ,\backslash mathrm\; dr^2\; +\; r^2\; \backslash mathrm\; d\backslash Omega^2\_\{n-p-2\}$

3.1. 대칭

검은 막은 $\backslash operatorname\{IO\}(p,1)\; \backslash times\; \backslash operatorname\; O(n-p-1)$ 대칭을 갖는다. 이는 $p+1$차원 푸앵카레 대칭과 막을 축으로 하는 회전 대칭(직교군)의 직접곱이다.

3.2. 사건 지평선

이 계량은 $r=R$에서 사건 지평선을 갖는다.

4. 곡률

다음과 같은 경우
$$ds^2=g\_\{\backslash mu\backslash nu\}dx^\backslash mu\; dx^\backslash nu\; +\; d\backslash Omega\_\{n+1\},$$
리치 텐서는 다음과 같다.
$$\backslash begin\{align\}$$
R_{\mu\nu} &= R_{\mu\nu}^{(0)} + \frac{n+1}{r}\Gamma^r_{\mu\nu}, \\
R_{ij} &= \delta_{ij} g_{ii} \left(\frac{n}{r^2}(1-g^{rr}) - \frac{1}{r}(\partial_{\mu} + \Gamma^\nu_{\nu\mu})g^{\mu r}\right),
\end{align}
그리고 리치 스칼라는 다음과 같다.
$$R\; =\; R^\{(0)\}\; +\; \backslash frac\{n+1\}\{r\}g^\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash Gamma^r\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; +\; \backslash frac\{n(n+1)\}\{r^2\}(1-g^\{rr\})\; -\; \backslash frac\{n+1\}\{r\}(\backslash partial\_\backslash mu\; g^\{\backslash mu\; r\}\; +\; \backslash Gamma^\backslash nu\_\{\backslash nu\backslash mu\}g^\{\backslash mu\; r\}),$$
여기서 $R\_\{\backslash mu\backslash nu\}^\{(0)\}$, $R^\{(0)\}$는 계량 $ds^2=g\_\{\backslash mu\backslash nu\}dx^\backslash mu\; dx^\backslash nu$의 리치 텐서 및 리치 스칼라이다.

5. 끈 이론에서의 응용

끈 이론에서, 기본 끈, D-막, NS5-막, M-막 등은 낮은 에너지에서 초중력의 검은 막으로 나타난다. 이들은 AdS/CFT 대응성을 유도할 때 중요한 역할을 한다.

5.1. 검은 끈

검은 끈은 사건의 지평선이 $S^2\; \backslash times\; S^1$과 위상 동치인 고차원 블랙홀의 일반화이다.

검은 끈 해의 섭동은 $S^1$ 주위의 길이가 어떤 임계값보다 클 때 불안정하다는 것을 발견했다. 이 임계값을 넘어서는 검은 끈의 완전한 비선형 진화는 검은 끈이 별개의 블랙홀로 분열되어 단일 블랙홀로 합쳐지는 결과를 초래할 수 있다. 섭동될 때 검은 끈은 안정적이고 정적인 비균일 검은 끈 상태로 정착될 것이다.

5.2. 칼루자-클라인 블랙홀

칼루자-클라인 블랙홀은 블랙홀의 일반화된 형태로, 점근 평탄한 칼루자-클라인 공간, 즉 콤팩트한 차원을 가진 고차원 시공간에 존재하는 블랙 브레인이다. KK 블랙홀이라고도 불린다.

5.3. M-막

11차원 초중력에서 M이론의 M2-막과 M5-막에 해당하는 극대 검은 2-막 및 5-막이 존재한다. 이때 계량 텐서는 다음과 같다.

:$ds^2=H\_\{\backslash mathrm\{M\}p\}(r)^\{-2/3\}\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}dx^\backslash mu\; dx^\backslash nu+H\_\{\backslash mathrm\{M\}p\}(r)^\{1/3\}\backslash delta\_\{ij\}dy^idy^j$

여기서

:$H\_\{\backslash mathrm\{M\}p\}(r)=1+\backslash left(\backslash frac\{r\_\{\backslash mathrm\{M\}p\}\}\{r\}\backslash right)^\{8-p\}$

이고,

:$r\_\{\backslash mathrm\{M\}2\}^6=32\backslash pi^2N\_2l\_p^6$

:$r\_\{\backslash mathrm\{M\}5\}^3=\backslash pi\; N\_5l\_p^3$

이다. 또한 게이지장은 다음과 같다.

:$F\_4=dx^0\backslash wedge\; dx^1\backslash wedge\; dx^2\backslash wedge\; dH\_\{\backslash mathrm\{M\}2\}^\{-1\}$ (M2-막)

:$F\_4=*(dx^0\backslash wedge\; dx^1\backslash wedge\; dx^2\backslash wedge\; dx^3\backslash wedge\; dx^4\backslash wedge\; dx^5\backslash wedge\; dH\_\{\backslash mathrm\{M\}5\}^\{-1\})$ (M5-막)

여기서 $*$는 11차원의 호지 쌍대이다.

5.4. D-막

10차원 초중력에서는 Dp-막에 해당하는 극대 검은 p-막들이 존재한다. 그 계량 텐서는 (끈 틀(string frame^영어)에서) 다음과 같다.

:$ds^2=H\_\{\backslash mathrm\{D\}p\}(r)^\{-1/2\}\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}dx^\backslash mu\; dx^\backslash nu+H\_\{\backslash mathrm\{D\}p\}(r)^\{1/2\}\backslash delta\_\{ij\}dy^idy^j$

여기서

:$H\_\{\backslash mathrm\{D\}p\}(r)=1+\backslash left(\backslash frac\{r\_p\}\{r\}\backslash right)^\{7-p\}$

:$r=\backslash sqrt\{\backslash delta\_\{ij\}y^iy^j\}$

이고,

:$r\_p^\{7-p\}=(2\backslash sqrt\{\backslash pi\})^\{5-p\}\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{7-p\}\{2\}\backslash right)g\_sNl\_s^\{7-p\}$

이다. 이 경우 딜라톤은

:$\backslash exp(\backslash Phi)=\backslash exp(\backslash Phi\_0)H\_\{\backslash mathrm\{D\}p\}^\{(3-p)/4\}$

이고, $\backslash Phi\_0$은 $r\backslash to\backslash infty$에서의 딜라톤 크기다. 라몽-라몽 장세기 $F\_\{p+2\}$는 다음과 같다.

:$F\_\{p+2\}=dH\_\{\backslash mathrm\{D\}p\}^\{-1\}\backslash wedge\backslash omega\_\{p+1\}$

여기서 $\backslash omega\_\{p+1\}=dx^0\backslash wedge\; dx^1\backslash wedge\backslash dots\backslash wedge\; dx^p$는 p-막의 세계부피 형식이다.

6. AdS/CFT 대응성과의 관계

끈 이론에서 기본 끈, D-막, NS5-막, M-막 등은 낮은 에너지에서 초중력의 검은 막으로 나타난다. 이들은 AdS/CFT 대응성을 유도할 때 중요한 역할을 한다.