11차원 초중력

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1. 개요

11차원 초중력은 초대칭이 존재할 수 있는 최대 차원인 11차원에서 정의되는 이론으로, 중력장, 그래비티노, 3차 미분 형식 게이지장을 포함한다. 이 이론은 M이론의 저에너지 유효 이론으로, M2-브레인과 M5-브레인 해를 포함하며, 1978년 외젠 크레메르, 베르나르 쥘리아, 조엘 셰르크에 의해 발견되었다. 11차원 초중력은 차원 축소를 통해 10차원 IIA 초중력, 9차원 초중력 등 다양한 차원의 초중력 이론과 관계를 맺으며, E₇, E₆과 같은 리 군과도 연관된다.

11차원 초중력

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2. 정의

11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 최대 차원이다. 12차원 이상에서는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하여 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 유일하며, 이 이론을 11차원 초중력이라고 한다.

2.1. 슈퍼다중항

초대칭 변환과 관련된 장들은 슈퍼다중항을 형성하며, 중력자를 포함하는 것은 슈퍼중력 다중항이라고 불린다.

슈퍼중력 이론의 이름에는 일반적으로 이 이론이 존재하는 시공간의 차원 수와 이론이 갖는 그래비티노의 수 $\mathcal{N}$ 이 포함된다. 때로는 이론의 이름에 슈퍼다중항의 선택 사항도 포함하기도 한다. 예를 들어, $\mathcal{N}=2$ 인 (9 + 1)차원 슈퍼중력은 9개의 공간 차원, 1개의 시간 차원 및 2개의 그래비티노를 가진다. 다양한 슈퍼중력 이론의 장 내용물은 상당히 다양하지만, 모든 슈퍼중력 이론은 적어도 하나의 그래비티노를 포함하며, 모두 단일 중력자를 포함한다. 따라서 모든 슈퍼중력 이론은 단일 슈퍼중력 슈퍼다중항을 포함한다. 최대 슈퍼중력 이론에서 모든 장은 초대칭 변환과 관련되어 있으므로 슈퍼중력 다중항인 단 하나의 슈퍼다중항만 존재한다.

2.2. 게이지 초중력 vs 양-밀스 초중력

전역(강체) R-대칭이 게이지화되면, 그라비티노는 몇몇 벡터장에 대해 전하를 띠게 되고, 이 이론은 게이지 초중력이라고 불린다. 이론의 다른 전역(강체) 대칭(예: 이론이 비선형 시그마 모형인 경우)이 게이지화되어 일부 (비-그라비티노) 장들이 벡터에 대해 전하를 띠게 되면, 이를 양-밀스-아인슈타인 초중력 이론이라고 한다. 물론, 위의 게이지화 조합을 사용하여 "게이지화된 양-밀스-아인슈타인" 이론을 가질 수 있다.

3. 성질

11차원 초중력은 32개의 초전하를 가지는 $\mathcal N=1$ 초대칭 이론이다. 초대칭은 리 초대수 $\mathfrak{osp}(1|32)$ 로 주어지며, 가환 성분인 R대칭군은 리 대수 $\mathfrak{o}(32)$ 이다. 11차원에서 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.

이 이론의 그래비티노 초대칭 변환은 다음과 같다.
: $\delta_\epsilon\psi_M = D_M \epsilon - \frac1{12\cdot 4!} F_{NPQR}(\Gamma^{NPQR}{}_M - 8\delta^N_M\Gamma^{PQR}) \epsilon$
여기서 $D_\mu \epsilon = \partial_\mu + \omega_\mu$ 는 스핀 접속을 포함하는 스피너 공변 미분이다. $\delta_\epsilon = 0$ 은 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양을 나타낸다.

11차원 초중력은 중력장 $G_{MN}$ , 마요라나 그래비티노 $\psi_M$ , 3차 미분형식 게이지장 $C_{MNP}$ 를 포함한다. 이들은 다음과 같이 정리할 수 있다.

👆

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이름	기호	푸앵카레 대칭 표현	게이지 대칭
중력장	$G_{MN}$	대칭 텐서	미분 동형
그래비티노	$\psi_M$	벡터-마요라나 스피너	국소 초대칭 변환
게이지장	$C_{MNP}$	3차 미분 형식	$C_{MNP} \mapsto C_{MNP} + \mathrm d_{[M}B_{NP]}$

11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.

:

\begin{array}{rcl}\mathcal L &=& +\frac{1}{2\kappa^2}eR-\frac12e\overline{\psi}_M\Gamma^{MNP}D_N[\frac12(\omega-\overline{\omega})]\psi_P\\&&+\frac1{2\cdot4!}eF^2_{MNPQ}+\frac{\sqrt{2}\kappa}{16\cdot4!}e(\overline{\psi}_M\Gamma^{MNPQRS}\psi_S+12\overline{\psi}^N\Gamma^{PQ}\psi^R)(F+\overline{F})_{NPQR}\\&&+\frac{\sqrt{2}\kappa}{4!\cdot4!\cdot3!}\varepsilon^{M_1\dots M_{11}}F_{M_1\dots M_4}F_{M_5\dots M_8}C_{M_9 M_{10} M_{11}}\end{array}

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

*

M,N,\dotsc

: 11차원 굽은 공간 지표
*

A,B,\dotsc

: 필바인 (11차원 민코프스키 공간) 지표
*

R

: 리치 스칼라
*

e^A_M

: 필바인,

\eta_{AB}e^A_Me^B_N = G_{MN}

(11차원 계량 텐서)
*

e = |\det(e^A_M)| =\sqrt

👆

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: 부피 형식
*

\omega

: 필바인으로 정의되는 스핀 접속
*

F_{MNPQ} = \partial_{[M}C_{NPQ]}

C

의 4차 미분 형식 장세기
*

\epsilon^{M_1\dotsc M_{11}}

: 11차원 레비치비타 기호 (천-사이먼스 꼴 항)
*

\kappa =8\pi G

: 중력 상수의 8π배

11차원 초중력은 L∞-대수를 이용하여 구성할 수 있다. 이 L∞-대수는 슈발레-에일렌베르크 대수를 가지며, 다음과 같은 장들을 포함한다.

👆

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이름	기호	$\mathbb N\oplus\mathbb Z/2$ 등급	미분
필바인	$e^a$	(1,+)	$\mathrm de^a = \omega^a{}_b\wedge e^b + \tfrac12 \mathrm i\bar\psi\gamma^a\psi$
스핀 접속	$\omega^{ab}$	(1,+)	$\mathrm d\omega^a{}_c = \omega^a{}_b \wedge \omega^b{}_c$
그래비티노	$\psi$	(1,−)	$\tfrac14\omega^a{}_b\gamma_a{}^b\psi$
3차 미분 형식 (전기) 게이지 장	$C_3$	(3,+)	$\tfrac12\bar\psi\gamma_{ab}\wedge\psi\wedge e^a \wedge e^b$
6차 미분 형식 (자기) 게이지 장	$C_6$	(6,+)	$\mathrm dC_6 = -\tfrac12\bar\psi\wedge\gamma_{a_1\dotso a_5}\wedge e^{a_1}\wedge\dotsb\wedge e^{a_5} - \tfrac{13}2\bar\psi\gamma_{ab}\wedge e^a\wedge e^b\wedge C_3$

이 L∞-대수

\mathfrak{sugra}

는 초중력 L∞-대수라고 불린다. 이 가운데

\psi

C_3

C_6

를 생략하면, 푸앵카레 군 리 대수

\mathfrak{io}(10,1)

을 얻는다.

그래비티노는 스핀-통계 정리에 따라 페르미온이며, 스피노리얼 지수를 홀수 개 가져야 한다. 그래비티노 장은 하나의 스피너와 하나의 벡터 지수를 가지는데, 이는 그래비티노가 스피노리얼 표현과 로렌츠 군의 벡터 표현의 텐서곱으로 변환됨을 의미한다. 이는 라리타-슈윙거 스피너이다.

각 로렌츠 군에 대해 하나의 벡터 표현만 존재하는 반면, 일반적으로 여러 개의 서로 다른 스피노리얼 표현이 존재한다. 이는 스핀 군이라고 불리는 로렌츠 군의 이중 덮개 군의 표현이다.

스피노리얼 표현의 예로는 디랙 스피너가 있으며, 이는 모든 시공간 차원에서 존재한다. 그러나 디랙 스피너 표현이 항상 기약적인 것은 아니다. 실수 기약 표현의 개수를 셀 때

\mathcal{N}

을 계산한다.

가능한 스피너 표현은 시공간 차원과 부호에 따라 달라지며, k값(공간 차원 d에서 시간 차원 d − k를 뺀 값)에 따라 달라진다. 로렌츠 군의 호모토피 군의 mod 8 보트 주기성 때문에, k는 modulo 8로 고려한다.

어떤 k 값에 대해서도 디랙 스피너 표현이 존재하며, 이는

2^{1+\lfloor{\frac{2d-k}{2}}\rfloor}

의 실수 차원을 갖는다. (

\lfloor x\rfloor

는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수)

*

-2\leq k\leq 2 \pmod 8

일 때: 디랙 표현의 절반 크기인 실수 마요라나 스피너 표현 존재.
* k가 짝수일 때: 바일 스피너 표현 (디랙 스피너의 절반 실수 차원).
* k가 8의 배수일 때: 마요라나-바일 스피너 (디랙 스피너의 1/4의 실수 차원).

3\leq k\leq 5

일 때 존재하는 심플렉틱 마요라나 스피너도 고려하는데, 이는 디랙 스피너의 절반 구성 요소를 갖는다. k=4일 때, 이것들은 또한 바일이 될 수 있으며, 바일 심플렉틱 마요라나 스피너를 생성하며, 이는 디랙 스피너의 1/4 구성 요소를 갖는다.

짝수 차원에서 디랙 스피너는 손지기성에 따라 왼쪽과 오른쪽 바일 스피너로 분해될 수 있다. CPT 정리는 민코프스키 차원 수가 4로 나누어떨어질 때 왼쪽과 오른쪽 초전하의 수가 같아야 함을 의미한다.

이 이론은 32개의 초전하(supercharge)를 가지며, 이는

\mathcal N=1

초대칭에 해당한다. 초전하는 스피너로 변환되며, 이러한 페르미온 생성자의 기약 스피너 수는 중력미자

\mathcal{N}

의 수와 같다.

이론을 중력미자 또는 초전하의 기약 표현의 수

\mathcal{N}

으로 특징짓는 대신, 그 차원의 총 Q로 특징짓는 것이 편리할 때도 있다. 예를 들어, 종종 모든 입자가 스핀 2 이하인 이론에만 관심이 있는데, 이는 Q가 32를 초과하지 않도록 요구한다.

3.1. 대칭

11차원 초중력은 32개의 초전하(supercharge)를 가지며, 이는 $\mathcal N=1$ 초대칭에 해당한다. 초대칭은 리 초대수 $\mathfrak{osp}(1|32)$ 에 의해 주어진다. 가환 성분인 R대칭군은 리 대수 $\mathfrak{o}(32)$ 이다. 11차원에서 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.

특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은 다음과 같은 꼴이다.
: $\delta_\epsilon\psi_M = D_M \epsilon - \frac1{12\cdot 4!} F_{NPQR}(\Gamma^{NPQR}{}_M - 8\delta^N_M\Gamma^{PQR}) \epsilon$
여기서
: $D_\mu \epsilon = \partial_\mu + \omega_\mu$
는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다.

$\delta_\epsilon = 0$ 은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.

3.2. 장

11차원 초중력은 중력장 $G_{MN}$ , 마요라나 그래비티노 $\psi_M$ , 3차 미분형식 게이지장 $C_{MNP}$ 를 포함한다. 이들은 다음과 같다.

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이름	기호	푸앵카레 대칭 표현	게이지 대칭
중력장	$G_{MN}$	대칭 텐서	미분 동형
그래비티노	$\psi_M$	벡터-마요라나 스피너	국소 초대칭 변환
게이지장	$C_{MNP}$	3차 미분 형식	$C_{MNP} \mapsto C_{MNP} + \mathrm d_{[M}B_{NP]}$

3.3. 작용

11차원 초중력의 작용은 다음과 같이 주어진다.

: $\begin{array}{rcl}\mathcal L &=& +\frac{1}{2\kappa^2}eR-\frac12e\overline{\psi}_M\Gamma^{MNP}D_N[\frac12(\omega-\overline{\omega})]\psi_P\\&&+\frac1{2\cdot4!}eF^2_{MNPQ}+\frac{\sqrt{2}\kappa}{16\cdot4!}e(\overline{\psi}_M\Gamma^{MNPQRS}\psi_S+12\overline{\psi}^N\Gamma^{PQ}\psi^R)(F+\overline{F})_{NPQR}\\&&+\frac{\sqrt{2}\kappa}{4!\cdot4!\cdot3!}\varepsilon^{M_1\dots M_{11}}F_{M_1\dots M_4}F_{M_5\dots M_8}C_{M_9 M_{10} M_{11}}\end{array}$

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

* $M,N,\dotsc$ 는 11차원 굽은 공간 지표이다.
* $A,B,\dotsc$ 는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다.
* $R$ 는 리치 스칼라이다.
* $e^A_M$ 은 필바인이며, $\eta_{AB}e^A_Me^B_N = G_{MN}$ 이 11차원 계량 텐서이다.
* $e = |\det(e^A_M)| =\sqrt$

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은 부피 형식이다.
*

\omega

는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다.
*

F_{MNPQ} = \partial_{[M}C_{NPQ]}

는

C

의 4차 미분 형식 장세기이다.
*

\epsilon^{M_1\dotsc M_{11}}

은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다.
*

\kappa =8\pi G

는 중력 상수의 8π배이다.

3.4. L∞-대수를 통한 구성

11차원 초중력은 L∞-대수를 이용하여 구성할 수 있다. 이 L∞-대수는 슈발레-에일렌베르크 대수를 가지며, 다음과 같은 장들을 포함한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

이름	기호	$\mathbb N\oplus\mathbb Z/2$ 등급	미분
필바인	$e^a$	(1,+)	$\mathrm de^a = \omega^a{}_b\wedge e^b + \tfrac12 \mathrm i\bar\psi\gamma^a\psi$
스핀 접속	$\omega^{ab}$	(1,+)	$\mathrm d\omega^a{}_c = \omega^a{}_b \wedge \omega^b{}_c$
그래비티노	$\psi$	(1,−)	$\tfrac14\omega^a{}_b\gamma_a{}^b\psi$
3차 미분 형식 (전기) 게이지 장	$C_3$	(3,+)	$\tfrac12\bar\psi\gamma_{ab}\wedge\psi\wedge e^a \wedge e^b$
6차 미분 형식 (자기) 게이지 장	$C_6$	(6,+)	$\mathrm dC_6 = -\tfrac12\bar\psi\wedge\gamma_{a_1\dotso a_5}\wedge e^{a_1}\wedge\dotsb\wedge e^{a_5} - \tfrac{13}2\bar\psi\gamma_{ab}\wedge e^a\wedge e^b\wedge C_3$

이 L∞-대수

\mathfrak{sugra}

를 초중력 L∞-대수라고 한다. 이 가운데

\psi

C_3

C_6

를 생략하면, 푸앵카레 리 대수

\mathfrak{io}(10,1)

을 얻는다.

3.5. 그래비티노 수 계산

그래비티노는 스핀-통계 정리에 따라 페르미온이며, 이는 그래비티노가 스피노리얼 지수를 홀수 개 가져야 함을 의미한다. 실제로 그래비티노 장은 하나의 스피너와 하나의 벡터 지수를 가지는데, 이는 그래비티노가 스피노리얼 표현과 로렌츠 군의 벡터 표현의 텐서곱으로 변환됨을 의미한다. 이는 라리타-슈윙거 스피너이다.

각 로렌츠 군에 대해 하나의 벡터 표현만 존재하는 반면, 일반적으로 여러 개의 서로 다른 스피노리얼 표현이 존재한다. 기술적으로, 이는 실제로 스핀 군이라고 불리는 로렌츠 군의 이중 덮개 군의 표현이다.

스피노리얼 표현의 전형적인 예는 모든 시공간 차원에서 존재하는 디랙 스피너이다. 그러나 디랙 스피너 표현이 항상 기약적인 것은 아니다. 숫자 $\mathcal{N}$ 을 계산할 때는 항상 "실수" 기약 표현의 개수를 센다.

3.6. 스피너 분류

가능한 스피너 표현은 시공간 차원과 부호에 따라 달라진다. 이러한 표현들은 k값에 따라 달라지는데, 여기서 k는 공간 차원 d에서 시간 차원 d − k를 뺀 값과 같다. 예를 들어, 우리 세상에서는 3 − 1 = 2이다. 로렌츠 군의 호모토피 군의 mod 8 보트 주기성 때문에, 실제로 우리는 k를 modulo 8로만 고려하면 된다.

어떤 k 값에 대해서도 디랙 스피너 표현이 존재하며, 이는 항상 $2^{1+\lfloor{\frac{2d-k}{2}}\rfloor}$ 의 실수 차원을 갖는다. 여기서 $\lfloor x\rfloor$ 는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수이다.

* $-2\leq k\leq 2 \pmod 8$ 일 때는, 디랙 표현의 절반 크기인 실수 마요라나 스피너 표현이 존재한다.
* k가 짝수일 때는 바일 스피너 표현이 있으며, 이는 다시 디랙 스피너의 절반 실수 차원을 갖는다.
* k가 8의 배수, 즉 k가 0 modulo 8일 때는 마요라나-바일 스피너가 있으며, 이는 디랙 스피너의 1/4의 실수 차원을 갖는다.

가끔 $3\leq k\leq 5$ 일 때 존재하는 심플렉틱 마요라나 스피너도 고려하는데, 이는 디랙 스피너의 절반 구성 요소를 갖는다. k=4일 때, 이것들은 또한 바일이 될 수 있으며, 바일 심플렉틱 마요라나 스피너를 생성하며, 이는 디랙 스피너의 1/4 구성 요소를 갖는다.

3.7. 손지기성 선택

짝수 차원에서 디랙 스피너는 손지기성에 따라 왼쪽과 오른쪽 바일 스피너로 분해될 수 있다. CPT 정리는 민코프스키 차원 수가 4로 나누어떨어질 때 왼쪽과 오른쪽 초전하의 수가 같아야 함을 의미한다.

3.8. 초대칭 수 계산

이 이론은 32개의 초전하(supercharge^영어)를 가지며, 이는 $\mathcal N=1$ 초대칭에 해당한다. 초전하는 스피너로 변환되며, 이러한 페르미온 생성자의 기약 스피너 수는 중력미자 $\mathcal{N}$ 의 수와 같다.

이론을 중력미자 또는 초전하의 기약 표현의 수 $\mathcal{N}$ 으로 특징짓는 대신, 그 차원의 총 Q로 특징짓는 것이 편리할 때도 있다. 이는 이론의 일부 특징이 어떤 차원에서도 동일한 Q 의존성을 갖기 때문이다. 예를 들어, 종종 모든 입자가 스핀 2 이하인 이론에만 관심이 있는데, 이는 페르미온 생성자의 반교환자에 보존적 생성자의 곱이 있는, 관습적이지 않고 비선형적인 방식으로 초대칭이 실현되는 특수한 경우를 제외하고, Q가 32를 초과하지 않도록 요구한다.

4. 차원 축소 및 관계

11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소하면 다양한 이론들을 얻을 수 있다. 예를 들어, 10차원으로 축소하면 IIA형 ( $\mathcal N=(1,1)$ ) 초중력을 얻는다. 이는 칼루자-클라인 이론을 통해 이루어지며, 11차원 초중력을 10차원 다양체와 원의 곱으로 표현한 후, 원의 반경 역수에 비례하는 질량을 가진 모드를 제거하는 방식으로 진행된다.

IIA 초중력의 장과 브레인은 차원 축소 과정을 통해 유도할 수 있다. 예를 들어, 1-형식 라몽-라몽 퍼텐셜 $C_1\,$ 은 칼루자-클라인 과정에서 발생하는 1-형식 연결이며, 축소된 원을 따라 하나의 지수를 갖는 11차원 메트릭 성분에서 비롯된다. IIA의 고차 형식은 독립적인 자유도가 아니며, Hodge 쌍대성을 통해 저차 형식으로부터 얻어진다.

IIA 브레인 역시 11차원 브레인과 기하학에서 파생된다. 예를 들어, IIA D0-브레인은 콤팩트화된 원을 따라 칼루자-클라인 운동량 모드이며, IIA 기본 끈은 콤팩트화된 원을 감싸는 11차원 막이다.

11차원 초중력을 $\mathbb R^{3,1}\times\mathbb R^7$ 로 차원 축소하면, 스칼라장들은 동차 공간 $\operatorname E_{7(7)} / \operatorname{SU}(8)$ 의 좌표를 이룬다. 여기서 $\operatorname E_{7(7)}$ 은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.

11차원 초중력을 6차원으로 축소하면 스칼라장들은 동차공간 $\operatorname E_{6(6)} / \operatorname{USp}(8)$ 의 좌표를 이룬다. 여기서 $\operatorname E_{6(6)}$ 은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.

9차원 민코프스키 공간에서는 최대 두 개의 마요라나 스피너를 갖는 초대칭 변환이 가능하다. 두 개의 마요라나 스피너가 있는 경우 9차원 극대 초중력 이론을 얻는다. 10차원에는 IIA와 IIB 두 가지 비동등한 극대 초중력 이론이 존재하는데, 이들을 원으로 축소하면 고유한 9차원 초중력을 얻는다.

4.1. 차원 축소

11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.

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차원	이론
10	ⅡA형 ( $\mathcal N=(1,1)$ ) 초중력
9	$\mathcal N=2$ 초중력
8	$\mathcal N=2$ 초중력
7	$\mathcal N=2$ 초중력
6	$\mathcal N=(2,2)$ 초중력
5	$\mathcal N=4$ 초중력
4	$\mathcal N=8$ 초중력

IIA 초중력(SUGRA)은 11차원 초중력을 차원 축소하여 얻는다. 즉, 시공간

M^{10}\times S^1\,

상의 11차원 초중력은 10차원 다양체

M^{10}\,

상의 IIA 초중력과 동등하며, 여기서 원 S¹의 반경의 역수에 비례하는 질량을 가진 모드는 제거한다.

특히, IIA 초중력의 장과 브레인 내용은 이러한 차원 축소 과정을 통해 유도할 수 있다. 그러나 장

G_0

은 차원 축소에서 발생하지 않으며, 질량이 있는 IIA는 임의의 고차원 이론의 차원 축소로 알려져 있지 않다. 1-형식 라몽-라몽 퍼텐셜

C_1\,

는 칼루자-클라인 과정을 통해 발생하는 일반적인 1-형식 연결이며, 콤팩트화된 원을 따라 하나의 지수를 포함하는 11차원 메트릭의 성분에서 발생한다. IIA 3-형식 게이지 퍼텐셜

C_3\,

는 원을 따라 있지 않은 지수를 가진 11차원 3-형식 게이지 퍼텐셜 성분의 축소이며, IIA 칼브-라몽 2-형식 B-field는 원을 따라 하나의 지수를 가진 11차원 3-형식의 해당 성분으로 구성된다. IIA의 고차 형식은 독립적인 자유도가 아니며, 호지 쌍대성을 사용하여 저차 형식으로부터 얻는다.

마찬가지로 IIA 브레인은 11차원 브레인과 기하학에서 파생된다. IIA D0-브레인은 콤팩트화된 원을 따라 칼루자-클라인 운동량 모드이다. IIA 기본 끈은 콤팩트화된 원을 감싸는 11차원 막이다. IIA D2-브레인은 콤팩트화된 원을 감싸지 않는 11차원 막이다. IIA D4-브레인은 콤팩트화된 원을 감싸는 11차원 5-브레인이다. IIA NS5-브레인은 콤팩트화된 원을 감싸지 않는 11차원 5-브레인이다. IIA D6-브레인은 칼루자-클라인 모노폴, 즉, 콤팩트 원 섬유화의 위상적 결함이다. IIA D8-브레인의 11차원으로의 리프트는 알려져 있지 않다. 왜냐하면 IIA 기하학의 한쪽은 비자명한 로마 질량을 가지며, 로마 질량의 11차원 원본은 알려져 있지 않기 때문이다.

4.2. E₇과의 관계

11차원 초중력을 $\mathbb R^{3,1}\times\mathbb R^7$ 로 차원 축소하면, 스칼라장들은 동차 공간 $\operatorname E_{7(7)} / \operatorname{SU}(8)$ 의 좌표를 이룬다. 여기서 $\operatorname E_{7(7)}$ 은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.

11차원 초중력의 보손 장 (계량 텐서 $G$ 와 게이지 장 $C$ )은 차원 축소에 따라 다음과 같이 분해된다.

: $G_{MN} = \begin{pmatrix}G_{\mu\nu} & G_{m\mu} \\G_{m\mu} & G_{mn}\end{pmatrix}$

: $A_{MNP} = \left(A_{mnp}, A_{\mu mn}, A_{\mu\nu m}, A_{\mu\nu\rho}\right)$

각 성분의 수는 다음과 같다.

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(10,1)차원	(3,1)+7차원	(3,1)차원 (유사)스칼라장의 수	(3,1)차원 벡터장의 수	(3,1)차원 텐서장의 수
$G_{MN}$	$G_{\mu\nu}$	—	—	1
	$G_{\mu m}$	—	7	—
	$G_{mn}$	28	—	—
$C_{MNP}$	$C_{\mu\nu\rho}$	—	—	—
	$C_{m\mu\nu}$	7	—	—
	$C_{mn\mu}$	—	21	—
	$C_{mnp}$	35	—	—
계 \|\| 70 \|\| 28 \|\| 1

이 중 38+35개의 스칼라장

(G_{mn},C_{mnp})

와

\partial_\mu\phi_m = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu C_{\rho\sigma m}

으로 정의되는 7개의 스칼라장

\phi_m

은 총 70개의 스칼라장을 이룬다.

28개의 스칼라장

(G_{m,n})_{1\le m,n\le 7}

과

C_{mn\mu}

를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장

\phi_m

을 고려하여, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의할 수 있다.

:

S = \Delta^{-3/4}\begin{pmatrix}\Delta G^{mn} - \phi^mi \phi^n & \phi^n \\\phi^m & -1\end{pmatrix}_{}\qquad(i,j\in\{1,2,\dotsc,7\})\in\operatorname{SL}(8;\mathbb R)

\Delta = |\det (g_{mn})_{1\le m,n\le 7}|

이는 동차 공간

\operatorname{SL}(8;\mathbb R) / \operatorname{SO}(8;\mathbb R)

의 원소로 간주되며, 게이지 변환을 겪는다. 이 게이지 변환 중

\operatorname{SO}(7;\mathbb R)

부분은 7개 내부 차원의 회전군이다.

35개의 유사스칼라

C_{mnp}

를

S

에 추가하여

\operatorname E_{7(7)}

의 원소로 확장할 수 있다.

이 이론은 28개의 게이지 보손을 가지며, 이들은

\operatorname{SL}(8;\mathbb R)

및

\operatorname{SO}(8)

의 28차원 표현으로 변환한다. 4차원에서 28개의 게이지 보손 장세기와 그 쌍대 장세기들은

\operatorname E_{7(7)}

의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는

\operatorname E_{7(7)}

의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.

:

\begin{matrix}\mathbf{28}_{\mathbb R}\oplus\mathbf{28}_{\mathbb R}&\to&\mathbf{56}_{\mathbb R}\\\uparrow & & \uparrow\\\mathbf{28}_{\mathbb R}\oplus\mathbf{28}_{\mathbb R} & \to & \mathbf{28}_{\mathbb C}\end{matrix}\qquad\begin{matrix}\operatorname{SL}(8;\mathbb R)&\to&\operatorname E_{7(7)}\\\uparrow & & \uparrow\\\operatorname{SO}(8) & \to & \operatorname{SU}(8)\end{matrix}

4.3. E₆과의 관계

11차원 초중력을
: $\mathbb R^{10,1} = \mathbb R^{5,1}\times\mathbb R^6$
: $z^M = (x^\mu, y^m)$
위에 정의하면(차원 축소), 초중력의 보손 장(계량 텐서 $G$ 와 게이지 장 $C$ )은 다음과 같이 분해된다.
: $G_{MN} = \begin{pmatrix}G_{\mu\nu} & G_{m\mu} \\G_{m\mu} & G_{mn}\end{pmatrix}$
: $A_{MNP} = \left(A_{mnp}, A_{\mu mn}, A_{\mu\nu m}, A_{\mu\nu\rho}\right)$
이들의 성분의 수는 아래의 표와 같다.

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좌우로 밀어서 보기

(10,1)차원	(4,1)+6차원	(4,1)차원 (유사)스칼라장의 수	(4,1)차원 벡터장의 수	(4,1)차원 대칭 텐서장의 수
$G_{MN}$	$G_{\mu\nu}$	—	—	1
	$G_{\mu m}$	—	6	—
	$G_{mn}$	$\textstyle\binom{6+1}2 = 21$	—	—
$C_{MNP}$	$C_{\mu\nu\rho}$	1	—	—
	$C_{m\mu\nu}$	—	6	—
	$C_{mn\mu}$	—	$\textstyle\binom62=15$	—
	$C_{mnp}$	$\textstyle\binom63=20$	—	—
계 \|\| 42 \|\| 27 \|\| 1

이제, 위 장들 가운데 21+20개의 스칼라장

(G_{mn},C_{mnp})

및
:

\partial_\mu\phi = \epsilon_\mu{}^{\nu\rho\sigma\tau}\partial_\nu C_{\rho\sigma\tau}

에 의하여 정의되는 스칼라장

\phi

를 생각하면, 이들은 총 42개의 스칼라장을 이룬다. 이 스칼라장들은 동차 공간
:

\operatorname E_{6(6)} / \operatorname{USp}(8)

의 좌표를 이룬다. 여기서

\operatorname E_{6(6)}

은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.

마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E₆의 27차원 기본 표현을 이룬다.

4.4. 10차원 초중력 이론

IIA 초중력(SUGRA)은 11차원 초중력을 차원 축소하여 얻을 수 있다. 즉, 10차원 시공간과 원의 곱으로 표현되는 공간에서 11차원 초중력을 10차원 IIA 초중력으로 축소할 수 있는데, 이때 원의 반경 역수에 비례하는 질량을 가진 모드는 제거된다.

IIA 초중력의 장(field)과 브레인은 이러한 차원 축소 과정을 통해 유도된다. 1-형식 라몽-라몽 퍼텐셜 $C_1\,$ 은 칼루자-클라인 과정에서 발생하는 1-형식 연결이며, 축소된 원을 따라 하나의 지수를 갖는 11차원 메트릭 성분에서 비롯된다. IIA 3-형식 게이지 퍼텐셜 $C_3\,$ 는 원을 따르지 않는 지수를 가진 11차원 3-형식 게이지 퍼텐셜 성분의 축소이며, IIA 칼브-라몽 2-형식 B-장은 원을 따라 하나의 지수를 갖는 11차원 3-형식의 해당 성분으로 구성된다. IIA의 고차 형식은 독립적인 자유도가 아니며, Hodge 쌍대성을 통해 저차 형식으로부터 얻어진다.

IIA 브레인 역시 11차원 브레인과 기하학에서 파생된다.

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좌우로 밀어서 보기

IIA 브레인	11차원 대응	설명
D0-브레인	칼루자-클라인 운동량 모드	축소된 원을 따름
기본 끈	11차원 막	축소된 원을 감쌈
D2-브레인	11차원 막	축소된 원을 감싸지 않음
D4-브레인	11차원 5-브레인	축소된 원을 감쌈
NS5-브레인	11차원 5-브레인	축소된 원을 감싸지 않음
D6-브레인	칼루자-클라인 모노폴	축소 원 섬유화의 위상적 결함
D8-브레인	알려지지 않음	IIA 기하학 한쪽의 비자명한 로마 질량 때문

더 일반적으로, 9차원 공간 위에 비자명한 원 다발을 갖는 10차원 이론을 고려할 수 있다. 차원 축소를 통해 9차원 이론을 얻을 수 있지만, 원 다발의 접속과 동일한 1-형식 게이지 포텐셜과 원래 원 다발의 천 특성류와 동일한 2-형식 장 세기를 갖는다. 이 이론을 다른 10차원 이론으로 올릴 수 있는데, 이 경우 1-형식 게이지 포텐셜은 칼브-라몽 장으로 올라간다. 마찬가지로, 두 번째 10차원 이론에서 원 섬유화의 접속은 원래 이론의 축소된 원에 대한 칼브-라몽 장의 적분이다.

이 두 10차원 이론 간의 변환을 T-이중성이라고 한다. 초중력에서의 T-이중성은 차원 축소를 포함하므로 정보를 잃지만, 전체 양자 끈 이론에서는 추가 정보가 끈 와인딩 모드에 저장되므로 T-이중성은 두 10차원 이론 간의 이중성이다.

4.5. 9차원 초중력 이론

9차원 민코프스키 공간에서 유일한 기약 스피너 표현은 16개의 성분을 갖는 마요라나 스피너이다. 따라서 초대칭 변환은 최대 두 개의 마요라나 스피너에 존재한다.

특히, 두 개의 마요라나 스피너가 있다면 9차원 극대 초중력 이론을 얻을 수 있다. 10차원에는 IIA와 IIB의 두 가지 비동등한 극대 초중력 이론이 있었다는 것을 기억하라. 차원 축소는 IIA 또는 IIB를 원으로 축소하면 고유한 9차원 초중력을 얻는다. 즉, 9차원 공간 M⁹과 원의 곱에 대한 IIA 또는 IIB는 M⁹에 대한 9차원 이론과 동일하며, 원이 0으로 축소되는 극한을 취하지 않으면 칼루자-클라인 모드가 존재한다.

5. 응용

끈 이론에서 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다. 이 최대 초중력은 M이론의 고전적 극한이다. 고전적으로, 11차원 초중력 이론은 단 하나뿐이며, 7차원 초공간과 4개의 공통 차원으로 구성된다. 모든 최대 초중력과 마찬가지로, 하나의 초다중항을 포함하며, 여기에는 중력자, 마요라나 중력미자, 그리고 종종 C-장이라고 불리는 3-형식 게이지장이 포함된다.

이 이론은 C-장에 대해 전하를 띠는 2-브레인과 5-브레인이라는 두 개의 p-브레인 해를 포함한다. 즉, 2-브레인과 5-브레인 전하는 각각 이중 C-장과 원래 C-장에 대한 비앙키 항등식의 위반이다. 초중력 2-브레인과 5-브레인은 M2-브레인과 M5-브레인의 장파장 극한이다.

6. 역사

11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르(Eugène Cremmer^프랑스어)와 베르나르 쥘리아(Bernard Julia^프랑스어), 조엘 셰르크가 증명하였다.

스피너가 32개의 초대칭만을 갖는 최고 차원은 12차원이다. 11개의 공간 차원과 1개의 시간 차원이 있다면, 두 차원 모두 64차원인 바일 스피너와 마요라나 스피너가 존재하며, 이는 너무 크다. 그러나 일부 저자는 더 높은 스핀 장이 나타나지 않을 수 있는 초대칭의 비선형 작용을 고려했다.

대신 10개의 공간 차원과 두 번째 시간 차원을 고려하면, 원하는 대로 32개의 성분만 갖는 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이러한 이론의 주요 지지자 중 한 명인 이츠하크 바르스는 2시간 이론을 주장하였다.

2시간 이론에는 인과 관계 문제(원인과 결과의 불일치)와 유니타리 문제(음의 확률, 유령)가 있을 수 있다는 의견이 널리 퍼져있었지만, 모든 사람이 그렇게 생각하는 것은 아니다. 또한, 해밀토니안 기반의 양자역학 접근 방식은 다른 시간에 대한 두 번째 해밀토니안이 존재할 때 수정해야 할 수도 있다. 그러나 2시간 물리학에서는 적절한 게이지 대칭으로 이러한 잠재적 문제가 해결됨이 입증되었다.

컴런 바파의 12차원의 도움으로 공식화된 F-이론과 같은 저에너지 거동을 설명하는 다른 2시간 이론도 있다. 그러나 F-이론 자체는 2시간 이론이 아니다. F-이론의 12차원 중 2차원은 회계 장치로 이해할 수 있다. 다른 10개의 시공간 좌표와 혼동해서는 안 된다. 이 두 차원은 어떤 면에서 서로 이중적이며 독립적으로 취급해서는 안 된다.