공형군

1. 개요

공형군은 준 리만 다양체에서 각도를 보존하는 사상들의 군을 의미한다. 준 유클리드 공간의 공형군은 공형 콤팩트화를 통해 정의되며, 리 대수는 로런츠 군의 리 대수와 동형이다. 2차원 시공간에서는 공형 대칭이 무한 차원을 가지며, 시공간의 공형군은 전자기장과 같은 물리적 현상 연구에 중요한 역할을 한다.

2. 정의

준-리만 다양체 $M$이 주어졌을 때, 공형군 $\backslash text\{Conf\}(M)$은 $M$에서 자체로 가는 공형 사상들이 이루는 군이다.

보다 구체적으로, 이것은 $M$에서 각도를 보존하는 매끄러운 자기 사상 군이다. 그러나 공형 동치류 $[g]$가 정부호가 아닌 경우 '각도'는 무한대일 수도 있는 초각(超角, hyper-angle)이다.

의사 유클리드 공간의 경우, 정의가 약간 다르다.

2.1. 준 유클리드 공간의 공형군

준 유클리드 공간 $\backslash mathbf\{E\}^\{p,\; q\}$의 공형군 $\backslash text\{Conf\}(p,q)$는 $\backslash mathbf\{E\}^\{p,\; q\}$의 공형 콤팩트화로 인해 발생하는 다양체의 공형군이다. 이 공형 콤팩트화는 $S^p\; \backslash times\; S^q$을 사용하여 정의할 수 있으며, 포함 사상 $(\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{t\})\backslash mapsto\; X\; =\; (\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{t\})$에 의해 $\backslash mathbb\{R\}^\{p+1,\; q+1\}$에서 널 포인트들이 이루는 부분 다양체로 본다. (여기서 $X$는 단일 시공간 벡터로 간주된다.) 공형 콤팩트화는 '대척점'들을 붙인 $S^p\; \backslash times\; S^q$이다. 이는 $\backslash mathbb\{R\}^\{p+1,q+1\}$의 사영화를 통해 발생한다. 만약 $N^\{p,q\}$가 공형 콤팩트화이면, $\backslash text\{Conf\}(p,q)\; :=\; \backslash text\{Conf\}(N^\{p,q\})$이다. 특히 이 군에는 $\backslash mathbb\{R\}^\{p,q\}$의 반전이 포함되는데, 이는 $\backslash mathbb\{R\}^\{p,q\}$의 자기 사상이 아니다. 왜냐하면 원점을 무한대로 사상하고 무한대를 원점으로 사상하기 때문이다.

3. Conf(p,q)

준 유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^\{p,q\}$의 공형군은 리 대수를 가지며, 이 리 대수는 생성원 $\backslash \{M\_\{\backslash mu\backslash nu\},\; P\_\backslash mu,\; K\_\backslash mu,\; D\backslash \}$와 그 교환 관계를 통해 표현된다. 이 리 대수는 공간 차원과 시간 차원이 하나 더 추가된 로런츠 군의 리 대수와 동형이다. 즉, $\backslash mathfrak\{conf\}(p,q)\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\{so\}(p+1,\; q+1)$이다.

3.1. 생성원과 교환 관계

준 유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^\{p,q\}$에서 공형군의 리 대수 기저는 $\backslash \{M\_\{\backslash mu\backslash nu\},\; P\_\backslash mu,\; K\_\backslash mu,\; D\backslash \}$로 주어지며, 다음 교환 관계를 갖는다.

:
&[D,P_\mu]= iP_\mu \,, \\
&[K_\mu,P_\nu]=2i (\eta_{\mu\nu}D-M_{\mu\nu}) \,, \\
&[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu ) \,, \\
&[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu) \,, \\
&[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})\,, \end{align}

다른 모든 리 괄호는 0이다. 여기서 $\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}$는 민코프스키 계량이다. 이 리 대수는 공간과 시간 차원이 하나 더 있는 로런츠 군의 리 대수 $\backslash mathfrak\{conf\}(p,q)\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\{so\}(p+1,\; q+1)$와 동형이다.

다음과 같이 정의하면 동형 사상을 명시적으로 나타낼 수 있다.

:$$$$
\begin{align} &J_{\mu\nu} = M_{\mu\nu} \,, \\
&J_{+1, \mu} = \frac{1}{2}(P_\mu - K_\mu) \,, \\
&J_{0, \mu} = \frac{1}{2}(P_\mu + K_\mu) \,, \\
&J_{-1, 0} = D.
\end{align}

그러면 $a,\; b\; =\; -1,\; 0,\; \backslash cdots,\; n\; =\; p+q$에 대해 생성원 $J\_\{ab\}$는 로런츠 대수 관계를 따르며, 계량은 $\backslash tilde\; \backslash eta\_\{ab\}\; =\; \backslash operatorname\{diag\}(-1,\; +1,\; -1,\; \backslash cdots,\; -1,\; +1,\; \backslash cdots,\; +1)$이다.

4. 2차원 시공간의 공형군

2차원 유클리드 공간 또는 1+1차원 시공간의 경우, 공형 대칭은 무한 차원으로 확장될 수 있으며, 국소 공형 대칭은 비트 대수로 표현된다.

4.1. 2차원 등각 대칭

2차원 유클리드 공간 또는 1+1차원 시공간의 경우 공형 대칭 공간은 훨씬 더 크다. 물리학에서는 공형군이 무한 차원이라고 말하기도 하지만, 이는 국소 대칭의 리 대수가 무한 차원인 반면 잘 정의된 전역 대칭의 리 군으로 반드시 확장되는 것은 아니기 때문에 정확한 표현은 아니다.

$n\; >\; 2$ 차원 시공간의 경우, 국소 공형 대칭은 모두 전역 대칭으로 확장된다. $n\; =\; 2$일 때 유클리드 공간에서 복소 좌표 $z\; =\; x\; +\; iy$로 변경하면, 국소 공형 대칭은 다음 벡터장들의 무한 차원 공간으로 설명된다.

$$l\_n\; =\; -z^\{n+1\}\backslash partial\_z.$$

따라서 2차원 유클리드 공간의 국소 공형 대칭은 무한 차원 비트 대수이다.

5. 시공간의 공형군

1908년, 해리 베이트먼과 에베네저 커닝햄은 시공간의 공형군 개념을 제안했다. 이들은 운동학 군이 시공간의 이차 형식을 보존하며, 전자기장의 자유성과 관련이 있다고 주장했다. 시공간의 공형군은 맥스웰 방정식을 불변하게 만드는 가장 큰 변환 군으로 알려져 있다.

이삭 야글롬은 분할복소수와 이원수를 이용해 시공간 공형 변환을 연구했고, 루드비크 실버스타인은 쌍사원수 환을 사용하여 로런츠 군을 표현했다. 베이트먼은 시공간 공형군의 원소를 구형 파동 변환이라 불렀다.

A. O. 바루트는 1985년에 공형군이 푸앵카레 군을 포함하는 더 큰 군 중에서 가장 중요할 수 있기 때문에 물리학에서 지속적인 관심을 받는다고 언급했다.

5.1. 시공간 등각 변환

1908년, 리버풀 대학교의 해리 베이트먼과 에베네저 커닝햄은 시공간의 등각군에 대한 아이디어를 제안했다. 이들은 운동학 군이 시공간의 이차 형식을 보존하기 때문에 등각군이며, 등방성 이차 형식에 관해서는 직교 변환과 같다고 주장했다. 전자기장의 자유성은 운동학적 운동에만 국한되지 않고, 이차 형식을 보존하는 변환에 국소적으로 비례해야 한다. 1910년 해리 베이트먼의 논문에서는 빛 원뿔을 보존하는 변환의 야코비 행렬을 연구하고 그것이 등각 특성을 가지고 있음을 보여주었다. 베이트먼과 커닝햄은 이 등각군이 " 맥스웰 방정식을 구조적으로 불변하게 만드는 가장 큰 변환 군"임을 보여주었다. 시공간의 등각군은 $C(1,3)$으로 표시되었다.

수학자 이삭 야글롬은 분할복소수와 이원수를 이용하여 시공간 등각 변환의 수학적 구조를 연구했다. 분할 복소수와 이원수는 체가 아닌 환을 형성하므로, 선형 분수 변환에서는 전단사 사상이 되기 위해 환 위의 사영직선이 필요하다.

1914년 루드비크 실버스타인의 작업 이후로 로런츠 군을 표현하기 위해 쌍사원수 환을 사용하는 것이 일반적이었다. 시공간 등각군의 경우 해당 환 위의 사영선에서 선형 분수 변환을 고려하는 것으로 충분하다. 베이트먼은 시공간 등각군의 원소를 구형 파동 변환이라 불렀다. 시공간 이차 형식 연구의 세부 사항은 리 구면 기하학에 흡수되었다.

A. O. 바루트는 1985년에 등각군이 물리적 과학에서 지속적으로 관심을 받는 것에 대해 다음과 같이 썼다. "등각군에 대한 관심의 주요 이유 중 하나는 그것이 아마도 푸앵카레 군을 포함하는 더 큰 군 중에서 가장 중요하다는 것이다."

6. 각도 해석

유클리드 기하학에서는 원에서 유래하는 표준적 각도가 있지만, 준 유클리드 공간에서는 쌍곡 각도도 존재한다. 특수 상대성이론 연구에서 정지 좌표계에 대한 속도 변화에 대한 다양한 기준 좌표계는 쌍곡 각도인 신속도와 관련된다. 로런츠 부스트는 신속도 사이의 미분 각도를 유지하는 쌍곡 회전으로 설명할 수 있다. 즉, 로런츠 부스트는 쌍곡 각도에 대한 공형 변환이다.

6.1. 대체 복소 평면과 공형군

준 유클리드 기하학은 분할복소수 또는 이원수 평면의 점으로 설명된다. 뫼비우스 군을 완전히 설명하기 위해 콤팩트 공간인 리만 구가 필요한 것처럼, 대체 복소 평면은 공형 사상의 완전한 설명을 위해 콤팩트화가 필요하다. 그럼에도 불구하고, 각 경우의 공형군은 적절한 평면에서의 선형 분수 변환에 의해 제공된다.