반전기하학

1. 개요

반전기하학은 평면 또는 공간에서 원이나 구를 기준으로 점들을 변환하는 기하학의 한 분야이다. 이 변환은 특정 조건을 만족하며, 변환된 점과 원래 점 사이의 관계를 정의한다. 반전기하학은 원에 관한 반전, 구면 반전, 그리고 6-구 좌표계와 같은 개념을 포함하며, 유클리드 기하학뿐만 아니라 쌍곡 기하학을 이해하는 데에도 중요한 도구로 활용된다. 또한, 에를랑겐 프로그램과의 관계를 통해 기하학적 변환의 중요성을 보여주며, 닮음 변환, 역수 변환, 반등각 사상 등과 같은 다양한 개념과 연결된다.

2. 원에 관한 반전

평면에서 중심이 O이고 반지름이 r인 기준원에 대한 점 P의 반전은 점 P'이며, O를 시작점으로 하고 P를 지나는 반직선 위에 존재하며, 다음을 만족한다.

:OP × OP' = r²

어떤 점 P의 반전(점 O 제외)인 P'를 다시 반전시키면 점 P가 나오며, 그러므로 O를 제외한 모든 평면 상의 모든 점의 역을 두번 적용할 경우에는 자기 자신이 나온다. 역을 만들기 위해서는 모든 선에 위치한 한 점인 무한 원점에서 대합을 도입시켜야 하며, 정의를 통해 반전을 확장시키면 중점 O와 무한 원점이 서로의 역이다.

이것은 기준원 내부의 점에 대한 역은 반드시 기준원 밖으로 위치해야 하며, 그 반대로, 무한 원점과 중심점의 위치가 함께 변화하면 원 위의 어떤 점도 영향을 받지 않는다(이것을 반전의 불변성이라고 한다). 요약하면, 중점에 다가갈수록 그의 역은 점점 더 멀어지며, 그 반대도 마찬가지이다.

2.1. 점의 반전

평면에서, 중심이 O이고 반지름이 r인 기준원에 대한 점 P의 반전은 점 P'이며, 점 P는 O와 한 직선 위에 위치하고 다음이 성립한다.

:OP × OP' = r²

어떤 점 P의 반전(점 O 제외)인 P'를 다시 반전시키면 점 P가 나오며, O를 제외한 모든 평면 상의 모든 점의 역을 두 번 적용할 경우에는 자기 자신이 나온다. 역을 만들기 위해서는 모든 선에 위치한 한 점인 무한 원점에서 대합을 도입시켜야 하며, 정의를 통해 반전을 확장시키면 중점 O와 무한 원점이 서로의 역이다.

이것은 기준원 내부의 점에 대한 역은 반드시 기준원 밖으로 위치해야 하며, 그 반대로, 무한 원점과 중심점의 위치가 함께 변화하면 원 위의 어떤 점도 영향을 받지 않는다(이것을 반전의 불변성이라고 한다). 요약하면, 중점에 다가갈수록 그의 역은 점점 더 멀어지며, 그 반대도 마찬가지이다.

2.1.1. 작도 방법

원 P에 대한 점 A의 역점 작도는 A가 P의 내부에 있는지 외부에 있는지와 관계없이 이루어질 수 있다.

중심이 O이고 점 A가 원 P의 내부에 있거나 외부에 있을 수 있는 원 P를 고려해 보자.

* 반직선 OA와 원 P의 교차점 C를 잡는다.
* 점 C를 원 P 위의 임의의 점 B와 연결한다 (C와 C의 대척점에 있는 P 위의 점과는 다른 점).
* h를 선분 BC에 대한 반직선 BA의 반사라고 하자. 그러면 h는 반직선 OC와 점 A'에서 만난다. A'는 원 P에 대한 점 A의 역점이다.

2.2. 원의 반전의 성질

반전기하학에서 원의 반전은 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

* 기준원의 중심을 통과하는 원의 반전은 중심을 통과하지 않는 직선이며, 그 반대도 마찬가지이다. 기준원의 중심을 지나는 직선은 자기 자신으로 반전된다.
* 기준원의 중심을 통과하지 않는 원의 반전은 역시 기준원의 중심을 통과하지 않는 원이다. 이 때, 원래 원과 기준원의 교점은 반전된 원에도 존재한다. 원 또는 직선이 반전에 의해 변하지 않는 경우는 기준원과 직교하는 경우뿐이다.
* 원 q가 두 점 A와 A'를 지나고, 이 두 점이 원 k에 대해 서로 반전 관계에 있으면, 원 k와 q는 서로 직교한다.
* 원 k와 q가 직교하면, k의 중심 O를 지나고 q와 교차하는 직선은 k에 대한 역점에서 교차한다.
* 원 k의 중심 O를 지나는 삼각형 OAB에서, A와 B의 k에 대한 역점을 A', B'라 하면, $\backslash angle\; OAB\; =\; \backslash angle\; OB\text{'}A\text{'}$ 이고 $\backslash angle\; OBA\; =\; \backslash angle\; OA\text{'}B\text{'}$이다.
* 원 k에 직교하는 두 원 p와 q의 교점은 k에 대한 역점이다.
* M과 M'이 원 k에 대한 두 곡선 m과 m'의 역점이고, m과 m'도 k에 대해 역관계에 있으면, 점 M과 M'에서의 m과 m'의 접선은 직선 MM'에 수직이거나 이 선과 MM'을 밑변으로 하는 이등변 삼각형을 이룬다.
* 반전은 각도의 크기를 유지하지만, 각도 방향을 반대로 바꾼다.

2.3. 응용

원의 반전은 기하학의 다양한 문제 해결에 응용될 수 있다.

두 개의 교차하지 않은 원의 반전은 서로서로 동심원 형태의 원이다. 그리고, 이 반전 길이(보통 δ로 표시)는 2개 동심원 반지름비의 자연로그로 정의된다. 여기에 더해서, 2개의 교차하지 않은 원은 역상이원의 한 점을 중심에서 원의 역을 구해서 합동원을 역으로 할 수 있다.

피우셀러-립킨 결합은 반전원을 기계적으로 구현한 것이다. 이것은 선형 및 원형 운동 간 사이 변환의 중요한 문제에 대한 정확한 해결책을 구하는 데 이용한다.

반전 변환의 중심을 지나지 않는 원의 경우, 반전되는 원의 중심과 그 반전 변환에 따른 이미지의 중심은 기준 원의 중심과 공선 관계에 있다. 이 사실은 삼각형의 내접 삼각형의 오일러 선이 그 OI선과 일치한다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다.

3. 3차원 공간에서의 반전 (구면 반전)

3차원 공간에서 중심이 O이고 반지름이 R인 구에 대한 점 P의 반전은, OP × OP' = R²를 만족하고 O를 시작점으로 하는 반직선 위에 있는 점 P'이다. 원 반전은 3차원에서 구 반전으로 일반화될 수 있다. 3차원에서 반지름 R을 가진 점 O를 중심으로 하는 기준 구에 대한 점 P의 반전은 $OP\; \backslash cdot\; OP^\{\backslash prime\}\; =\; ||OP||\; \backslash cdot\; ||OP^\{\backslash prime\}||\; =\; R^2$을 만족하는 방향 OP를 갖는 광선 위의 점 P '이다. 2차원 버전과 마찬가지로, 구는 구로 반전되지만, 구가 기준 구의 중심 O를 통과하면 평면으로 반전된다. O를 통과하는 모든 평면은 O에 접하는 구로 반전된다. 구와 할선의 평면의 교차점인 원은 원으로 반전되지만, 원이 O를 통과하면 선으로 반전된다. 이는 할선의 평면이 O를 통과할 때 2차원 경우로 축소되지만, 할선의 평면이 O를 통과하지 않을 때는 진정한 3차원 현상이다.

실수 n차원 유클리드 공간에서, 점 $O\; =\; (o\_1,\; ...,\; o\_n)$를 중심으로 하고 반지름이 인 구에서의 반전은 임의의 점 $P\; =\; (p\_1,\; ...,\; p\_n)$에 대한 맵으로, 변위 벡터 $P\; -\; O$의 길이를 반전시키고 을 곱하여 찾을 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
P &\mapsto P' = O + \frac{r^2(P - O)}{\|P - O\|^2}, \\[5mu]
p_j &\mapsto p_j' = o_j + \frac{r^2(p_j - o_j)}{\sum_k (p_k - o_k)^2}.
\end{align}

Eⁿ에서 초평면 또는 초구에 대한 반전을 통해 변환을 사용하면 확대, 평행 이동 또는 회전을 생성할 수 있다. 실제로, 연속적인 반전을 생성하는 두 개의 동심 초구는 초구의 중심에 대한 확대 또는 호모테티를 초래한다.

두 개의 평행한 초평면을 사용하여 연속적인 반사를 생성하면, 결과는 평행 이동이다. 두 개의 초평면이 (n–2)차원 평탄에서 교차하면, 연속적인 반사는 (n–2)차원 평탄의 모든 점이 각 반사의 고정점이고, 따라서 합성의 고정점인 회전을 생성한다.

3.1. 구면 반전의 성질

3.2. 예시

구의 반전은 구의 중심이 반전 중심이 아닌 경우, 두 개의 직교하는 교차하는 원 다발을 생성한다. 원기둥, 원뿔, 또는 토러스를 반전하면 뒤팽 사이클라이드가 된다. 타원체는 회전면이며 원의 묶음을 포함하고, 이는 원의 묶음에 매핑되는데, 타원체의 역상은 4차 곡면이다. 한 겹 쌍곡면은 회전면으로, 원의 묶음을 포함하며 이는 원의 묶음에 매핑된다. 한 겹 쌍곡면은 추가로 두 개의 직선 묶음을 포함하며, 이는 원의 묶음에 매핑된다.

스테레오그래픽 투영은 일반적으로 구의 북극 $N$에서 반대편 점 $S$ (남극)의 접평면으로 구를 투영한다. 이 매핑은 구를 접평면에 반전시킴으로써 수행될 수 있다. 반전 중심(점 $N$)을 통과하는 선들은 자신에게 매핑되며, 스테레오그래픽 투영의 투영선이 된다.

4. 6-구 좌표계

6-구 좌표계는 데카르트 좌표계를 반전시켜 얻은 3차원 공간의 좌표계이다.

5. 반전 기하학과 쌍곡 기하학

반전 기하학은 유클리드 기하학뿐만 아니라 쌍곡 기하학을 이해하는 데 중요한 도구이다. 반전 기하학은 로바체프스키와 볼여이가 시작한 평면 기하학의 아이디어를 포함한다. 클라인은 기하학적 현상을 식별하는 이러한 사상의 편리함에 1872년 에를랑겐 프로그램이라는 선언문을 발표했다.

방정식이

:$x\_1^2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n^2\; +\; 2a\_1x\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; 2a\_nx\_n\; +\; c\; =\; 0$

인 (n − 1)-구는 a₁² + ... + a_n²가 c보다 클 경우 양의 반지름을 가지며, 반전에 의해 다른 구로 변환된다.

이 구는 c = 1일 때에만 반전에 대해 불변하며, 이는 단위 구와 직교하는 조건이다. 따라서

:$x\_1^2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n^2\; +\; 2a\_1x\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; 2a\_nx\_n\; +\; 1\; =\; 0,$

인 (n − 1)-구들은 반전에 대해 불변이며, 단위 구와 직교하고, 구 외부의 중심을 가진다. 이 구들은 반구들을 분리하는 부분 공간 초평면과 함께 푸앵카레 원반 모형의 쌍곡 기하학의 초곡면이다.

단위 구에서의 반전은 단위 구에 직교하는 구들을 불변으로 유지하므로, 반전은 단위 구 내부의 점들을 외부로, 반대로 외부의 점들을 내부로 매핑한다. 이는 푸앵카레 원반 모형의 반사를 정의한다. 이 반사들은 모형의 등거리 변환 군을 생성하며, 이는 등거리 변환이 등각 변환임을 알려준다. 따라서, 모형에서 두 곡선 사이의 각도는 쌍곡 공간에서 두 곡선 사이의 각도와 같다.

6. 반전 기하학의 공리화 및 일반화

1911년과 1912년에 마리오 피에리는 반전기하학의 기초를 처음으로 고찰한 사람 중 한 명이다. 에드워드 카스너는 "반전군의 불변 이론"에 관한 논문을 썼다.

더 최근에는 반전기하학의 수학적 구조가 일반화된 원을 "블록"이라고 부르는 사건 구조로 해석되었다. 사건 기하학에서 단일한 무한대점과 함께하는 모든 아핀 평면은 뫼비우스 평면을 형성하는데, 이는 반전 평면이라고도 알려져 있다. 무한대점은 모든 선에 추가된다. 이러한 뫼비우스 평면은 공리적으로 설명될 수 있으며 유한 버전과 무한 버전 모두에서 존재한다. 유클리드 평면에서 나오는 뫼비우스 평면의 모형은 리만 구이다.

유클리드 평면 또는 더 일반적으로 임의의 아핀 평면에 단 하나의 무한원점을 각 직선에 추가하는 것을 고려함으로써 얻어지는 것이 뫼비우스 평면 또는 반전 평면이다.

이미 언급했듯이, 원점은 원반전 사상에서 특별한 주의가 필요하며, 무한원점이 추가된다. 복소수를 사용한 방법에서는 역수 변환이 명확한 연산으로 표시되며, 무한원점의 첨가에 의해 리만 구면이라고도 불리는 복소사영직선의 개념이 도출된다. 이 공간 및 그 위의 변환군의 부분 공간 및 부분군은 벨트라미, 케일리, 클라인 등에 의해 쌍곡 기하학의 초기 모형을 도입하는 데 이용되었다. 그리고 이러한 평면 기하학에서 로바체프스키와 보야이에서 시작된 다양한 아이디어를 반전 기하학은 포함하고 있다. 게다가 클라인은 1872년에 발표한 에를랑겐 프로그램에서, 이 변환 사상군과 기하학적 현상을 동일시함으로써 크게 사태를 타개한다. 그 이후, 많은 수학자는 공간에 그 위의 변환 사상으로 이루어진 군을 함께 고려한 것에 대해 "기하(학)"geometry^영어라는 말을 사용하게 되었다. 이러한 의미에서의 기하학에서 도형의 유의미한 성질이란 이 변환군에 관한 불변량을 말한다.

예를 들어, 스모골체프스키는 로바체프스키 기하학 창시 이전에 반전 기하학의 다양한 정리를 전개했다。

7. 에를랑겐 프로그램과의 관계

원에 대한 반전 변환은 1831년 L. I. 마그누스에 의해 발명되었다. 이후 이 변환은 고등 수학으로 가는 길이 되었다. 원 반전 맵의 몇 단계를 거쳐 변환 기하학을 배우는 학생들은 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램의 중요성을 곧 알게 되는데, 이는 쌍곡 기하학의 특정 모델에서 파생된 것이다.

원에 대한 반전은 클라인의 에를랑겐 프로그램에서 매우 중요한 역할을 차지한다.

복소수 접근 방식에서, 원점인 0은 원의 반전 사상에서 특별한 고려가 필요하며, ∞ 또는 1/0으로 지정된 무한대 점을 추가해야 한다. 이 절차는 종종 리만 구라고 불리는 복소 사영 직선으로 이어진다. 이 공간과 사상 그룹의 부분 공간 및 부분 그룹은 벨트라미, 케일리, 클라인에 의해 쌍곡 기하학의 초기 모델을 생성하는 데 적용되었다. 따라서 반전 기하학은 평면 기하학에서 로바체프스키와 Bolyai에 의해 시작된 아이디어를 포함한다.

펠릭스 클라인은 기하학적 현상을 식별하는 이러한 사상의 편리함에 너무 압도되어 1872년에 에를랑겐 프로그램이라는 선언문을 발표했다. 그 이후로 많은 수학자들은 용어 기하학을 해당 공간의 사상 군과 함께 공간에 대해 사용한다. 기하학에서 도형의 중요한 속성은 이 그룹에서 불변하는 속성이다.

예를 들어, Smogorzhevsky는 Lobachevskian 기하학을 시작하기 전에 반전 기하학의 여러 정리를 전개한다.

7.1. 닮음 변환 (확대 및 축소)

두 개의 동심원에서의 반전의 조합은 원 반지름의 비율로 특징지어지는 닮음 변환, 호모테틱 변환, 또는 팽창을 초래한다.

두 원의 반지름을 변환을 적용하는 순서대로 R, T라고 할 때,

:$x\; \backslash mapsto\; R^2\backslash frac\{x\}\{|x|^2\}\; =\; y\; \backslash mapsto\; T^2\backslash frac\{y\}\{|y|^2\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{T\}\{R\}\backslash right)^\{\backslash !2\}\; x$

는 (T/R)²-배 변환이다.

7.2. 역수 변환

평면 위의 점을 복소수 $z=x+iy$로 해석하고, 켤레 복소수 $\backslash bar\{z\}=x-iy$를 고려하면, z의 역수는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash frac\{1\}\{z\}\; =\; \backslash frac\{\backslash bar\{z\}\}\{|z|^2\}.$

결과적으로, 단위원을 기준으로 하는 반전 $z\; \backslash mapsto\; w$은 대수적인 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$w=\backslash frac\{1\}\{\backslash bar\; z\}=\backslash overline\{\backslash left(\backslash frac\{1\}\{z\}\backslash right)\}$

역수 변환은 뫼비우스 군의 생성원으로서 변환론에서 중요하다. 뫼비우스 군의 다른 생성원은 평행 이동과 회전이며, 이들은 모두 3차원 공간 전체에서 물리적인 조작을 통해 잘 알려져 있다. 역수 변환의 도입은 뫼비우스 기하학에 고유한 특성을 부여한다.

8. 반등각 사상

원점 중심의 원에 대한 원 반전 변환은 반등각 사상이다. 즉, 모든 점에서 각도를 보존하고 방향을 반전시킨다. 사상은 방향이 지정된 각도를 보존하는 경우 등각이라고 한다. 대수적으로, 사상이 모든 점에서 야코비 행렬이 음의 행렬식을 갖는 스칼라 곱하기 직교 행렬인 경우 반등각 사상이다. 2차원에서 야코비 행렬은 모든 점에서 스칼라 곱하기 반사여야 한다. 즉, J가 야코비 행렬인 경우 $J\; \backslash cdot\; J^T\; =\; k\; I$이고 $\backslash det(J)\; =\; -\backslash sqrt\{k\}.$이다.

복소 평면에서 가장 분명한 원 반전 사상(즉, 원점을 중심으로 하는 단위 원 사용)은 z를 1/z로 변환하는 복소수 역함수의 복소 공액이다. 복소 해석 역함수는 등각이고, 그 공액인 원 반전은 반등각이다.