입체

2. 정의

도형을 수학적으로 정의하는 방법은 다양하지만, 3차원 공간을 점의 집합으로 생각할 때, 그 특별한 성질을 가진 점으로 이루어진 부분 집합이 입체라고 할 수 있다.

공간 기하학에서 다루는 입체는 3차원 공간의 유계인 3차원 부분 공간으로, 경계가 되는 곡면이 유한 개수의 유한한 면적을 갖는 평면 또는 곡면을 그 경계에서 붙여 놓은 것이다. 여기서 집합이 유계라는 것은, 그것을 모두 포함하는 충분히 큰 구체가 존재한다는 것을 의미한다. 입체의 경계에 있는 점 전체가 이루는 곡면을 그 입체의 표면이라고 부른다. 입체의 표면은 공간을 서로 소인 두 부분 집합으로 분할하며, 그중 직선(선분이 아님)을 포함하지 않는 쪽을 그 입체의 내부로 정한다^[1]。

기하학적 모델론에서의 입체는 3차원 공간의 유계이며 폐인 부분 집합으로, 그 내부의 폐포가 자기 자신과 같은 것을 말한다. 주어진 집합이 그 경계를 모두 포함할 때 완전하다고 하며, 주어진 집합을 완전히 포함하는 최소의 폐집합을 그 집합의 완전화라고 한다. 따라서 앞서 언급된 입체의 조건 중 세 번째는 입체가 3차원 공간에서 완전하다는 것(저차원의 영역으로 뭉개지지 않음)을 보장한다. 이를 입체의 정칙성 또는 균일성이라고 부르기도 한다. 이 정의에 따르면, 입체는 여러 개의 연결 성분을 가질 수 있다^[2][3]。 입체의 표면이 여러 개의 연결 성분으로 이루어지는 경우도 있다. 어느 쪽이든 그 면에 방향이 주어져 있다면, 입체를 그 표면에 의해 기술할 수 있으며, 이를 입체의 경계 표현이라고 부른다.

2. 1. 밑면