각운동량 연산자

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 교환 관계
- 2.2. 사다리 연산자
3. 각운동량의 양자화
4. 각운동량 결합
5. 회전 연산자와의 관계
- 5.1. 리 군 및 리 대수와의 관계
6. 응용
- 6.1. 구면 좌표계에서의 각운동량
7. 한국의 각운동량 연구
참조

1. 개요

각운동량 연산자는 양자역학에서 각운동량을 나타내는 연산자이다. 이 연산자는 교환 관계를 만족하며, 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다는 불확정성 원리를 따른다. 각운동량 연산자는 궤도 각운동량, 스핀 각운동량, 총 각운동량으로 구분되며, 사다리 연산자를 통해 각운동량의 양자화를 설명한다. 각운동량은 양자화되어 특정 허용 값 사이에서만 변화하며, 궤도 각운동량 연산자는 고전역학의 각운동량을 양자화한 것이고, 스핀 각운동량은 입자 고유의 각운동량이다. 총 각운동량은 궤도 각운동량과 스핀 각운동량의 합이며, 회전 연산자와 밀접한 관련이 있다. 각운동량 연산자는 구면 좌표계에서 라플라스 연산자를 표현하는 데 사용되며, 리 대수 및 리 군과 관련이 있다.

2. 정의

각운동량 연산자는 특정한 교환 관계를 만족하는 연산자들의 집합을 의미한다. 양자역학에서 각운동량은 궤도 각운동량, 스핀 각운동량, 총 각운동량 세 가지로 나뉜다.

'''궤도 각운동량'''( $\mathbf{L}$ ): 고전역학적 정의( $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ )를 양자역학적으로 표현한 것으로, 위치 연산자와 운동량 연산자의 외적으로 나타낸다.
'''스핀 각운동량'''( $\mathbf{S}$ ): 입자의 고유한 각운동량으로, 스핀 연산자로 나타낸다.
'''총 각운동량'''( $\mathbf{J}$ ): 궤도 각운동량과 스핀 각운동량을 합한 것으로, 각운동량 보존 법칙에 따라 폐쇄계에서 보존된다.

스핀-궤도 상호작용과 같이

\mathbf{L}

과

\mathbf{S}

는 일반적으로 보존되지 않지만, 총 각운동량

\mathbf{J}

는 일정하게 유지된다.

2. 1. 교환 관계

\mathbf J=(J_x,J_y,J_z)

는 다음과 같은 교환 관계를 만족하는 일련의 연산자이다.

:

\left[ J_i , J_j \right] = \sum_k i\hbar \epsilon_{ijk} J_k

.

여기서

\epsilon_{ijk}

는 레비치비타 기호이다. 풀어 쓰면 다음과 같다.

:

\left[ J_x , J_y \right] = i\hbar J_z

:

\left[ J_y , J_z \right] = i\hbar J_x

:

\left[ J_z , J_x \right] = i\hbar J_y

.

각운동량 성분 사이에는 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 불확정성 원리에 따라 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다.

성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환 관계가 성립한다.

:

\left[ J_i , \mathbf J^2 \right] = 0

.

위 둘 사이에서는 교환 법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 이 두 교환 관계는 수소 원자에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 한다. 위 교환 관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량 중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 통상적으로, 정확히 측정되는 성분을 z성분으로 잡는다.

각운동량의 고전역학적 정의는

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

이다. 이러한 대상의 양자역학적 대응물도 동일한 관계를 공유한다.

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

여기서 '''r'''은 양자 위치 연산자, '''p'''는 양자 운동량 연산자, ×는 외적, '''L'''은 ''궤도 각운동량 연산자''이다. '''L''' ('''p''' 및 '''r'''과 마찬가지로)은 ''벡터 연산자'' (성분이 연산자인 벡터), 즉

\mathbf{L} = \left(L_x, L_y, L_z\right)

이며, 여기서 ''L''_x, ''L''_y, ''L''_z는 세 개의 서로 다른 양자역학적 연산자이다.

궤도 각운동량 연산자는 벡터 연산자이며, 이는 벡터 성분

\mathbf{L} = \left(L_x, L_y, L_z\right)

로 쓸 수 있다는 것을 의미한다. 각 성분들은 서로 다음과 같은 교환 관계를 가진다:^[3]

\left[L_x, L_y\right] = i\hbar L_z, \;\; \left[L_y, L_z\right] = i\hbar L_x, \;\; \left[L_z, L_x\right] = i\hbar L_y,

여기서 는 교환자를 나타낸다.

[X, Y] \equiv XY - YX.

이것은 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

\left[L_l, L_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} L_n,

여기서 ''l'', ''m'', ''n''는 성분 지수(1은 ''x'', 2는 ''y'', 3은 ''z'')이고, 는 레비-치비타 기호를 나타낸다.

하나의 벡터 방정식으로 압축된 표현도 가능하다:^[4]

\mathbf{L} \times \mathbf{L} = i\hbar \mathbf{L}

이 교환 관계는 정준 교환 관계

[x_l,p_m] = i \hbar \delta_{lm}

의 직접적인 결과로 증명될 수 있으며, 여기서 는 크로네커 델타이다.

고전 물리학에도 유사한 관계가 있다:^[5]

\left\{L_i, L_j\right\} = \varepsilon_{ijk} L_k

여기서 ''L''_''n''은 '고전적인' 각운동량 연산자의 성분이고,

\{ ,\}

는 푸아송 괄호이다.

다른 각운동량 연산자(스핀 및 총 각운동량)에도 동일한 교환 관계가 적용된다:^[26]

\left[S_l, S_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} S_n, \quad \left[J_l, J_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} J_n.

이들은 '''L'''과 유사하게 ''가정''될 수 있다.

이러한 교환 관계는 '''L'''이 리 대수의 수학적 구조를 가지며, 가 그 구조 상수임을 의미한다. 이 경우, 리 대수는 물리학 표기법으로 SU(2) 또는 SO(3) (수학 표기법으로는 각각

\operatorname{su}(2)

또는

\operatorname{so}(3)

)인데, 이는 3차원에서의 회전에 관련된 리 대수이다. '''J'''와 '''S'''도 마찬가지이다. 이러한 교환 관계는 측정 및 불확정성과 관련이 있다.

분자에서 총 각운동량 '''F'''는 로브로닉(궤도) 각운동량 '''N''', 전자 스핀 각운동량 '''S''', 핵 스핀 각운동량 '''I'''의 합이다. 전자 단일항 상태의 경우 로브로닉 각운동량은 '''N''' 대신 '''J'''로 표시된다. Van Vleck에 의해 설명된 바와 같이,^[6] 분자 고정 축을 기준으로 한 분자 로브로닉 각운동량의 성분은 위에서 주어진 공간 고정 축을 기준으로 한 성분과는 다른 교환 관계를 가진다.

어떤 크기의 제곱은, 여느 벡터와 마찬가지로, 궤도 각운동량 연산자에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.

L^2 \equiv L_x^2 + L_y^2 + L_z^2.

L^2

역시 다른 양자 연산자이다. 이는

\mathbf{L}

의 성분과 가환한다.

\left[L^2, L_x\right] = \left[L^2, L_y\right] = \left[L^2, L_z\right] = 0 .

이러한 연산자들이 가환한다는 것을 증명하는 한 가지 방법은 이전 절의 교환 관계에서 시작하는 것이다.

수학적으로,

L^2

는

\mathbf{L}

이 생성하는 리 대수 '''SO(3)'''의 카시미르 불변량이다.

위와 같이, 고전 물리학에도 유사한 관계가 존재한다.

\left\{L^2, L_x\right\} = \left\{L^2, L_y\right\} = \left\{L^2, L_z\right\} = 0

여기서

L_i

는 ''고전적'' 각운동량 연산자의 한 성분이며,

\{ ,\}

는 푸아송 괄호이다.

다시 양자론으로 돌아가면, 동일한 교환 관계가 다른 각운동량 연산자들(스핀 및 총 각운동량)에도 적용된다.

\begin{align}\left[ S^2, S_i \right] &= 0, \\\left[ J^2, J_i \right] &= 0.\end{align}

2. 2. 사다리 연산자

사다리 연산자

J_+

와

J_-

는 각운동량의 x, y 성분을 이용하여 다음과 같이 정의된다.^[11]

:

J_\pm = J_x \pm iJ_y

.

이 연산자들은 파동 함수의 상태를 다른 상태로 바꾸는 역할을 하며, 각각 각운동량 올림 연산자와 각운동량 내림 연산자로 불린다.

각운동량 올림 연산자와 내림 연산자는 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

J_+ J_- + J_- J_+ = 2 (J_x^2 + J_y^2 ) = 2 (\mathbf J^2 - J_z^2 )

:

J_+ J_- = \mathbf J^2 - J_z^2 + \hbar J_z

:

J_- J_+ = \mathbf J^2 - J_z^2 - \hbar J_z

또한, 이들 연산자에 대한 교환 관계는 다음과 같다.

:

\left[ J_+ , J_- \right] = 2\hbar J_z

:

\left[ J_z , J_\pm \right] = \pm \hbar J_\pm

:

\left[ \mathbf J^2 , J_\pm \right] = 0

|\psi\rangle

가

J^2

와

J_z

의 동시 고유 상태라고 가정하면, 사다리 연산자를 통해

J_+ |\psi\rangle

와

J_-|\psi\rangle

상태를 얻을 수 있다. 이 상태들은

J^2

에 대해서는

|\psi\rangle

와 같은 값을 가지지만,

J_z

에 대해서는 각각

\hbar

만큼 증가하거나 감소한 값을 갖는다. 만약 사다리 연산자를 사용했을 때 허용 범위를 벗어나는

J_z

값이 나온다면, 그 결과는 0이 된다.^[12] 이러한 방식으로

J^2

와

J_z

의 가능한 값과 양자수를 구할 수 있다.

3. 각운동량의 양자화

양자역학에서 각운동량은 양자화되어 있다. 즉, 각운동량은 연속적으로 변할 수 없고, 특정 값 사이에서만 "양자 도약"을 통해 변화할 수 있다. 모든 시스템에서 환산 플랑크 상수 $\hbar$ 에 대해, 측정 결과는 다음과 같은 제한을 받는다.^[9]

측정 대상	측정 결과	참고
$L^2$	$\hbar^2 \ell (\ell + 1)$ , 여기서 $\ell = 0, 1, 2, \ldots$	방위 양자수 (궤도 양자수)
$L_z$	$\hbar m_\ell$ , 여기서 $m_\ell = -\ell, (-\ell + 1), \ldots, (\ell - 1), \ell$	자기 양자수
$S^2$	$\hbar^2 s(s + 1)$ , 여기서 $s = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots$	스핀 양자수 (스핀)
$S_z$	$\hbar m_s$ , 여기서 $m_s = -s, (-s + 1), \ldots, (s - 1), s$	스핀 투영 양자수
$J^2$	$\hbar^2 j(j + 1)$ , 여기서 $j = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots$	총 각운동량 양자수
$J_z$	$\hbar m_j$ , 여기서 $m_j = -j, (-j + 1), \ldots, (j - 1), j$	총 각운동량 투영 양자수

$\mathbf{L}$ , $\mathbf{S}$ , $\mathbf{J}$ 의 모든 성분(예: $L_x$ 또는 $L_y$ , $S_x$ 또는 $S_y$ , $J_x$ 또는 $J_y$ )에도 동일한 양자화 규칙이 적용된다. 이 규칙은 때때로 '''공간 양자화'''라고 불린다.^[10]

3. 1. 고윳값과 고유함수

3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다는 교환 관계에 따라, 각운동량 연산자의 고유함수는 이 둘을 통해 정의된다. 보통 각운동량 성분 연산자로

J_z

를 택하며, 이에 대한 고윳값 방정식은 다음과 같다.

:

\mathbf J^2 | j, m \rangle = \hbar^2 j (j+1) | j, m \rangle

:

\mathbf J_z | j, m \rangle = \hbar m | j, m \rangle

.

m

은

-j, -j +1 , -j +2 , \cdots , j-1, j

중 하나의 수를 갖는다. 궤도 각운동량의 경우,

j

(통상적으로

l

로 표기)는 음이 아닌 정수(

0,1,2,\dots

)이다. 스핀 각운동량이나 궤도 및 스핀 각운동량의 합의 경우에는

j

는 음이 아닌 정수 또는 반정수(half-integer^영어)

j=0,1/2,1,3/2,2,\dotsc

이다.

고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의

m

값이 변하게 된다.

:

J_+ | j, m \rangle = \hbar \sqrt{(j-m)(j+m+1)} | j, m+1 \rangle

:

J_- | j, m \rangle = \hbar \sqrt{(j+m)(j-m+1)} | j, m-1 \rangle

양자역학에서 각운동량은 ''양자화''된다. 즉, 연속적으로 변할 수 없고 특정 허용 값 사이의 "양자 도약"만 가능하다. 모든 시스템에 대해,

\hbar

는 환산 플랑크 상수일 때 측정 결과에 대한 다음 제한이 적용된다.^[9]

측정 대상	측정 결과	참고
$L^2$	$\hbar^2 \ell (\ell + 1)$ , 여기서 $\ell = 0, 1, 2, \ldots$	$\ell$ 은 방위 양자수 또는 궤도 양자수라고 불린다.
$L_z$	$\hbar m_\ell$ , 여기서 $m_\ell = -\ell, (-\ell + 1), \ldots, (\ell - 1), \ell$	$m_\ell$ 은 자기 양자수라고 불린다.
$S^2$	$\hbar^2 s(s + 1)$ , 여기서 $s = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots$	s는 스핀 양자수 또는 단순히 스핀이라고 불린다. 예를 들어, 스핀- 입자는 s = 인 입자이다.
$S_z$	$\hbar m_s$ , 여기서 $m_s = -s, (-s + 1), \ldots, (s - 1), s$	$m_s$ 는 스핀 투영 양자수라고 불린다.
$J^2$	$\hbar^2 j(j + 1)$ , 여기서 $j = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots$	j는 총 각운동량 양자수라고 불린다.
$J_z$	$\hbar m_j$ , 여기서 $m_j = -j, (-j + 1), \ldots, (j - 1), j$	$m_j$ 는 총 각운동량 투영 양자수라고 불린다.

$\mathbf{L}$ , $\mathbf{S}$ , $\mathbf{J}$ 의 모든 성분에 대해서도 동일한 양자화 규칙이 적용된다. (예: $L_x \,or\, L_y$ , $S_x \,or\, S_y$ , $J_x \,or\, J_y$ ). 이 규칙은 때때로 '''공간 양자화'''라고 불린다.^[10]

3. 2. 궤도 각운동량

'''궤도 각운동량''' 연산자는 고전역학의 각운동량

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

를 양자화한 연산자로, 다음과 같다.

:

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

.

여기서,

:

\mathbf{L}

: 궤도 각운동량 연산자

:

\mathbf{r}

: 위치 연산자

:

\mathbf{p} = -i\hbar\nabla

: 운동량 연산자

이다. 공식은 고전적인 경우와 보기에 같지만, 이 공식은 더 이상 고전적인 값이 아니라 파동 함수에 작용하는 에르미트 연산자이다.

위치로 표현할 때, 운동량 연산자가

\textstyle \mathbf{p} = {h \over i } \nabla

가 되므로 궤도 각운동량은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\mathbf{L} = {h \over i} \mathbf{r} \times \nabla

정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱

\mathbf{L}^2

과 데카르트 좌표계에서의 성분에 대한 연산자

L_x

,

L_y

,

L_z

가 더 자주 쓰인다.

:

L_x = -i\hbar (y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y})

:

L_y = -i\hbar (z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z})

:

L_z = -i\hbar (x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x})

:

\mathbf{L}^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2

.

이를 대입하면 궤도 각운동량 연산자가 각운동량 교환 관계를 만족한다는 사실을 확인할 수 있다.

총 각운동량 '''J'''(녹색), 궤도 '''L'''(파랑), 스핀 '''S'''(빨강)의 "벡터 원뿔". 원뿔은 각운동량 성분을 측정하는 것 사이의 양자 불확정성(아래 참조) 때문에 발생한다.

전하와 스핀이 없는 단일 입자의 특수한 경우에 궤도 각운동량 연산자는 위치 기저에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathbf{L} = -i\hbar(\mathbf{r} \times \nabla)

여기서 ∇는 벡터 미분 연산자, ∇이다.

궤도 각운동량 연산자는 벡터 연산자이며, 이는 벡터 성분

\mathbf{L} = \left(L_x, L_y, L_z\right)

로 쓸 수 있다는 것을 의미한다. 각 성분들은 서로 다음과 같은 교환 관계를 가진다:^[3]

:

\left[L_x, L_y\right] = i\hbar L_z, \;\; \left[L_y, L_z\right] = i\hbar L_x, \;\; \left[L_z, L_x\right] = i\hbar L_y,

여기서 [ , ]는 교환자를 나타낸다.

:

[X, Y] \equiv XY - YX.

이것은 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\left[L_l, L_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} L_n,

여기서 ''l'', ''m'', ''n''는 성분 지수(1은 ''x'', 2는 ''y'', 3은 ''z'')이고,

\varepsilon_{lmn}

는 레비-치비타 기호를 나타낸다.

하나의 벡터 방정식으로 압축된 표현도 가능하다:^[4]

:

\mathbf{L} \times \mathbf{L} = i\hbar \mathbf{L}

이 교환 관계는 정준 교환 관계

[x_l,p_m] = i \hbar \delta_{lm}

의 직접적인 결과로 증명될 수 있으며, 여기서

\delta_{lm}

는 크로네커 델타이다.

고전 물리학에도 유사한 관계가 있다:^[5]

:

\left\{L_i, L_j\right\} = \varepsilon_{ijk} L_k

여기서 ''L''_''n''은 '고전적인' 각운동량 연산자의 성분이고,

\{ ,\}

는 푸아송 괄호이다.

3. 3. 스핀 각운동량

스핀 각운동량(스핀)은 입자 고유의 각운동량으로, 궤도 운동과는 무관하다. 스핀 연산자

\mathbf{S} = \left(S_x, S_y, S_z\right)

로 나타낸다. 스핀은 종종 입자가 축을 중심으로 회전하는 것으로 묘사되지만, 이는 비유일 뿐이며, 가장 가까운 고전적 유비는 파동 순환에 기반을 두고 있다.^[2] 모든 기본 입자는 고유한 스핀을 가지며, 스칼라 보손은 스핀 0을 갖는다. 예를 들어, 전자는 항상 "스핀 1/2"를 갖는 반면, 광자는 항상 "스핀 1"을 갖는다.

3. 4. 총 각운동량

총 각운동량(

\mathbf{J} = \left(J_x, J_y, J_z\right)

)은 입자 또는 계의 스핀 각운동량과 궤도 각운동량을 모두 결합한 것이다.

:

\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}.

각운동량 보존은 폐쇄계 또는 전체 우주의 '''J'''가 보존된다고 명시한다. 그러나 '''L'''과 '''S'''는 일반적으로 보존되지 않는다. 예를 들어, 스핀-궤도 상호작용은 각운동량이 '''L'''과 '''S''' 사이에서 이동할 수 있게 하여 총 '''J'''는 일정하게 유지된다.^[2]

해밀토니안 ''H''가 회전 불변이면 (내적 공간에 정의된 해밀토니안 함수는 임의의 회전을 좌표에 적용해도 값이 변하지 않으면 회전 불변성을 가진다고 한다.) 총 각운동량 '''J'''가 보존된다. 이는 뇌터 정리의 한 예이다.

''H''가 단일 입자에 대한 해밀토니안인 경우, 입자가 중심 퍼텐셜(즉, 퍼텐셜 에너지 함수가

\left|\mathbf{r}\right|

에만 의존하는 경우) 안에 있을 때 해당 입자의 총 각운동량이 보존된다. 또는 ''H''가 우주의 모든 입자와 장의 해밀토니안일 수 있으며, 이 경우 ''H''는 ''항상'' 회전 불변이다. 이는 우주의 기본적인 물리 법칙이 방향에 관계없이 동일하기 때문이다. 이는 각운동량 보존이 물리학의 일반적인 원리라고 말하는 근거가 된다.

스핀이 없는 입자의 경우, '''J''' = '''L'''이므로 궤도 각운동량은 동일한 상황에서 보존된다. 스핀이 0이 아니면, 스핀-궤도 상호작용으로 인해 각운동량이 '''L'''에서 '''S'''로, 또는 그 반대로 전달될 수 있다. 따라서 '''L'''은 단독으로 보존되지 않는다.

4. 각운동량 결합

스핀-궤도 상호작용과 같이 여러 종류의 각운동량이 서로 상호작용할 때, 각운동량은 서로 전달될 수 있다. 예를 들어 스핀-궤도 결합에서 각운동량은 '''L'''과 '''S''' 사이에서 전달될 수 있지만, 전체 각운동량 '''J''' = '''L''' + '''S'''는 보존된다. 두 전자를 가진 원자에서는 각 전자가 자체 각운동량 '''J'''₁과 '''J'''₂를 갖지만, 전체 각운동량 '''J''' = '''J'''₁ + '''J'''₂만 보존된다.^[1]

이러한 상황에서, $\left(J_1\right)_z, \left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)_z, \left(J_2\right)^2$ 가 모두 특정 값을 갖는 상태와 $\left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)^2, J^2, J_z$ 가 모두 특정 값을 갖는 상태 간의 관계를 아는 것이 유용하다. 후자의 네 개는 일반적으로 보존되기 때문이다. 이들 기저 사이를 변환하는 과정은 클레브쉬-고르단 계수를 통해 이루어진다.^[1]

$\left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)^2, J^2$ 에 대한 양자수 간의 관계는 다음과 같다.^[1]

$j \in \left\{ \left|j_1 - j_2\right|, \left(\left|j_1 - j_2\right| + 1\right), \ldots, \left(j_1 + j_2\right) \right\} .$

'''J''' = '''L''' + '''S'''인 원자 또는 분자의 경우, 항 기호는 연산자 $L^2, S^2, J^2$ 와 관련된 양자수를 나타낸다.^[1]

5. 회전 연산자와의 관계

양자역학에서 각운동량은 회전 변환과 깊은 관련이 있다. 어떤 축 $\hat{n}$ 에 대한 각도 $\phi$ 만큼의 회전 연산자 $R(\hat{n},\phi)$ 를 생각해보자. $\phi\rightarrow 0$ 일 때, 이 연산자는 항등 연산자에 가까워진다. 이때, 축 $\hat{n}$ 에 대한 각운동량 연산자 $J_{\hat{n}}$ 는 다음과 같이 정의된다.^[26]

$J_\hat{n} \equiv i\hbar \lim_{\phi \rightarrow 0} \frac{R\left(\hat{n}, \phi\right) - 1}{\phi} = \left. i\hbar \frac{\partial R\left(\hat{n}, \phi\right)}{\partial\phi} \right|_{\phi = 0}$

여기서 1은 항등 연산자이다. 회전 연산자는 덧셈에 대해 $R\left(\hat{n}, \phi_1 + \phi_2\right) = R\left(\hat{n}, \phi_1\right)R\left(\hat{n}, \phi_2\right)$ 를 만족하므로, 다음 관계가 성립한다.^[26]

$R\left(\hat{n}, \phi\right) = \exp\left(-\frac{i \phi J_\hat{n}}{\hbar}\right)$

간단히 말해, 총 각운동량 연산자는 양자계가 회전할 때 어떻게 변하는지를 나타낸다.

회전 연산자는 다음과 같이 세 종류로 나눌 수 있다.

'''J'''와 관련된 연산자 ''R''은 전체 시스템을 회전시킨다.
'''L'''과 관련된 연산자 ''R''_spatial은 입자의 위치를 회전시키지만, 내부 스핀 상태는 바꾸지 않는다.
'''S'''와 관련된 연산자 ''R''_internal은 입자의 내부 스핀 상태를 회전시키지만, 위치는 바꾸지 않는다.

'''J'''가 전체 회전 연산자의 생성자인 것처럼, '''L'''과 '''S'''는 부분적인 회전 연산자의 생성자이다.

R_\text{spatial}\left(\hat{n}, \phi\right) = \exp\left(-\frac{i \phi L_\hat{n}}{\hbar}\right),

R_\text{internal}\left(\hat{n}, \phi\right) = \exp\left(-\frac{i \phi S_\hat{n}}{\hbar}\right),

전체 회전은 위치를 회전시킨 후 내부 상태를 회전시키는 것과 같으므로, 다음 관계가 성립한다.

R\left(\hat{n}, \phi\right) = R_\text{internal}\left(\hat{n}, \phi\right) R_\text{spatial}\left(\hat{n}, \phi\right)

360° 회전은 항등 연산자일 것이라고 예상할 수 있지만, 양자역학에서는 총 각운동량 양자수가 반정수(1/2, 3/2 등)일 때는

R\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = -1

이고, 정수일 때는

R\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = +1

이다.^[26] 이는 우주의 회전 구조가 고전역학의 3차원 회전 군 SO(3)가 아니라 SU(2)이기 때문이다. SU(2)는 작은 회전에서는 SO(3)와 같지만, 360° 회전은 0° 회전과 수학적으로 다르다.^[26]

반면, 공간 구성의 360° 회전은 항상

R_\text{공간}\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = +1

이다. 즉,

R_\text{공간}

연산자는 SO(3)의 구조를 가지는 반면,

R

과

R_\text{내부}

는 SU(2)의 구조를 가진다.

+1 = R_\text{공간}\left(\hat{z}, 360^\circ\right) = \exp\left(-2\pi i L_z / \hbar\right)

식으로부터, 궤도 각운동량 양자수는 정수만 가능하다는 것을 알 수 있다.

해밀토니안 ''H''가 회전에 대해 불변이면, 즉

RHR^{-1} = H

이면, 총 각운동량 '''J'''는 보존된다. 이는 뇌터 정리의 한 예이다.

''H''가 단일 입자에 대한 해밀토니안이고, 입자가 중심 퍼텐셜 안에 있을 때, 해당 입자의 총 각운동량이 보존된다. 또는 ''H''가 우주의 모든 입자와 장의 해밀토니안일 경우, 우주의 기본적인 물리 법칙이 방향에 관계없이 동일하므로 ''H''는 항상 회전 불변이고, 따라서 각운동량은 보존된다.

스핀이 없는 입자의 경우, '''J''' = '''L'''이므로 궤도 각운동량도 같은 상황에서 보존된다. 그러나 스핀이 0이 아니면, 스핀-궤도 상호작용 때문에 '''L'''은 보존되지 않을 수 있다.

5. 1. 리 군 및 리 대수와의 관계

각운동량 연산자는 SU(2) 및 SO(3) 리 군과 밀접하게 관련되어 있다. 궤도 각운동량 연산자는 벡터 연산자이며, 각 성분은 서로 다음과 같은 교환 관계를 갖는다:^[3]

\left[L_x, L_y\right] = i\hbar L_z, \;\; \left[L_y, L_z\right] = i\hbar L_x, \;\; \left[L_z, L_x\right] = i\hbar L_y,

이는 리 대수의 수학적 구조를 가지며, 이 경우 리 대수는 3차원에서의 회전에 관련된 SU(2) 또는 SO(3)이다.^[26] 다른 각운동량 연산자(스핀 및 총 각운동량)에도 동일한 교환 관계가 적용된다:^[26]

\left[S_l, S_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} S_n, \quad \left[J_l, J_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} J_n.

분자의 총 각운동량 '''F'''는 로브로닉(궤도) 각운동량 '''N''', 전자 스핀 각운동량 '''S''', 핵 스핀 각운동량 '''I'''의 합이다. Van Vleck에 의해 설명된 바와 같이,^[6] 분자 고정 축을 기준으로 한 분자 로브로닉 각운동량의 성분은 공간 고정 축을 기준으로 한 성분과는 다른 교환 관계를 가진다.

6. 응용

각운동량은 원자, 분자, 핵 등의 구조와 성질을 이해하는 데 필수적인 개념이다.^[27]^[28]^[29]

6. 1. 구면 좌표계에서의 각운동량

각운동량 연산자는 일반적으로 구면 대칭을 가진 문제를 구면 좌표계에서 풀 때 나타난다. 공간 표현에서의 각운동량은 다음과 같다.^[27]^[28]

{{lang|en|:

\begin{align}\mathbf L &= i \hbar \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\theta}}}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\phi} - \hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\partial}{\partial\theta}\right) \\&= i\hbar\left(\hat{\mathbf{x}} \left(\sin(\phi) \frac{\partial}{\partial\theta} + \cot(\theta)\cos(\phi) \frac{\partial}{\partial\phi}\right)+ \hat{\mathbf{y}} \left(-\cos(\phi)\frac{\partial}{\partial\theta} + \cot(\theta)\sin(\phi) \frac{\partial}{\partial\phi}\right)

\hat{\mathbf z} \frac{\partial}{\partial\phi}

\right) \\L_+ &= \hbar e^{i\phi} \left( \frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot(\theta) \frac{\partial}{\partial\phi} \right), \\L_- &= \hbar e^{-i\phi} \left( -\frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot(\theta) \frac{\partial}{\partial\phi} \right), \\L^2 &= -\hbar^2 \left(\frac{1}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin(\theta) \frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2(\theta)}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right), \\L_z &= -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.\end{align} }}^영어

구면 좌표계에서 라플라스 연산자의 각 부분은 각운동량으로 표현될 수 있다. 이는 다음 관계를 이끌어낸다.

연산자 의 고유 상태를 찾기 위해 풀면, 다음을 얻는다.

{{lang|en|:

\begin{align}L^2 \left| \ell, m \right\rangle &= \hbar^2 \ell(\ell + 1) \left| \ell, m \right\rangle \\L_z \left| \ell, m \right\rangle &= \hbar m \left| \ell, m \right\rangle\end{align}

}}

여기서

는 구면 조화 함수이다.^[29]

7. 한국의 각운동량 연구

한국은 각운동량 관련 연구를 활발히 진행하고 있으며, 특히 응집물질 물리학, 핵물리학 분야에서 세계적인 연구 성과를 내고 있다. 한국원자력연구원, 고등과학원 등에서 관련 연구가 진행 중이다.

참조

_[1] 서적 Introductory Quantum Mechanics
_[2] 논문 What is spin? https://www.academia[...] 1986-06-01
_[3] 서적 Quantum Mechanics Prentice Hall India 2004-02-01
_[4] 서적 Principles of quantum mechanics https://archive.org/[...] Kluwer Academic / Plenum 1994
_[5] 서적 Classical Mechanics, 3rd Edition Addison-Wesley 2002
_[6] 논문 The Coupling of Angular Momentum Vectors in Molecules
_[7] 서적 Introduction to Quantum Mechanics https://archive.org/[...] Prentice Hall
_[8] 문서 Goldstein et al, p. 410
_[9] 서적 Quantum Theory of Atomic Spectra https://books.google[...] Cambridge University Press
_[10] 서적 Introduction to quantum mechanics: with applications to chemistry https://books.google[...]
_[11] 서적 Introduction to Quantum Mechanics https://archive.org/[...] Prentice Hall
_[12] 서적 1935
_[13] 서적 1935
_[14] 서적 1935
_[15] 서적 1935
_[16] 서적 1935
_[17] 서적 Quantum Mechanics: A Modern Development World Scientific Publishing 1998
_[18] 간행물 Critical comments on the quantization of the angular momentum: II. Analysis based on the requirement that the eigenfunction of the third component of the operator of the angular momentum must be a single valued periodic function 2020
_[19] 논문 Fermion quasi-spherical harmonics 1999
_[20] 간행물 Explicit Spin Coordinates 2008
_[21] 논문 Rigid Particle and its Spin Revisited 2007
_[22] 서적 Quantum Mechanics: A Modern Development World Scientific Publishing 1998
_[23] 웹사이트 On common eigenbases of commuting operators https://ocw.mit.edu/[...] 2021-08-14
_[24] 논문 Remark Concerning the Eigenvalues of Orbital Angular Momentum 1962
_[25] 웹사이트 Spin Angular Momentum https://pasayteninst[...] 2022-07-29
_[26] 웹사이트 Lecture notes on rotations in quantum mechanics http://bohr.physics.[...] 2012-01-13
_[27] 서적 Quantum Mechanics Springer Berlin Heidelberg
_[28] 문서 Compare and contrast with the contragredient Spherical coordinate system#Kinematics|classical '''''L'''''.
_[29] 서적 Modern Quantum Mechanics (2nd edition) Pearson 2010
_[30] 서적 On Angular Momentum http://www.ifi.unica[...] U.S. Atomic Energy Commission 1952
_[31] 서적 Introductory Quantum Mechanics

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