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양자역학의 수학 공식화

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목차

1. 개요

양자역학의 수학 공식화는 양자 현상을 설명하기 위한 수학적 틀을 다루며, 1920년대에 슈뢰딩거와 하이젠베르크에 의해 개발되었다. 이 공식화는 힐베르트 공간, 선형 연산자, 슈뢰딩거 방정식 등을 사용하며, 계의 상태를 힐베르트 공간의 벡터로, 관측 가능량을 자기 수반 연산자로 나타낸다. 폰 노이만 일의성 정리는 정준 교환 관계를 만족하는 연산자들의 표현이 유니타리 동치임을 보장하며, 시간 변화는 슈뢰딩거 방정식 또는 하이젠베르크 운동 방정식으로 기술된다. 이 틀은 겔판트 삼중항, 스펙트럼 이론, 네터 정리와 같은 수학적 구조를 포함하며, 양자역학의 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 설명한다.

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양자역학의 수학 공식화
양자역학의 수학적 공식화
유형과학 분야
하위 분야물리학
주요 개념
상태 벡터힐베르트 공간
관측가능량자기 수반 연산자
시간 진화유니타리 연산자
불확정성 원리교환 관계
양자화정준 양자화
경로 적분 공식화경로 적분
관련 주제
양자역학의 해석코펜하겐 해석
앙상블 해석다세계 해석
양자 정보 이론양자 컴퓨팅
양자 광학양자 화학
인물
폴 디랙존 폰 노이만
데이비드 힐베르트마셜 스톤
조지 매키아서 와일트먼
제임스 글림아르튀르 자페
핵심 텍스트
양자역학의 수학적 기초존 폰 노이만
힐베르트 공간의 선형 연산자아서 와일트먼
양자 물리학의 방법제임스 글림, 아르튀르 자페
양자역학의 기하학프리드리히 훈트

2. 역사적 배경

막스 플랑크는 1890년대에 흑체 복사 스펙트럼을 설명하기 위해 에너지 양자 개념을 도입하여 자외선 파탄 문제를 해결했다. 1905년 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하면서 이 에너지 양자가 실제 입자인 광자라고 제안했다.

보어의 원자 모형. 전자가 특정 궤도에서 다른 궤도로 이동할 때 빛(광자)을 방출하거나 흡수한다.


닐스 보어와 아르놀트 조머펠트는 고전역학을 수정하여 보어 모형을 만들었지만, 이 모형은 수소 원자 스펙트럼은 설명할 수 있었지만 헬륨 원자 스펙트럼은 예측하지 못했다. 1923년 루이 드 브로이는 물질파 가설을 제시하여 파동-입자 이중성이 모든 물리적 시스템에 적용된다고 주장했다.

1925년부터 1930년까지 에르빈 슈뢰딩거, 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단의 연구와 존 폰 노이만, 헤르만 바일, 폴 디랙의 연구를 통해 양자역학의 수학적 기반이 마련되었다. 하이젠베르크는 행렬 역학을, 슈뢰딩거는 파동 역학을 만들었으며, 1년 안에 두 이론이 동등하다는 것이 밝혀졌다. 막스 보른은 파동 함수의 절댓값 제곱을 ''점'' 입자의 위치에 대한 확률 분포로 해석했고, 이는 코펜하겐 해석으로 이어졌다.

폴 디랙은 브라-켓 표기법을 도입하고 힐베르트 공간을 기반으로 한 추상적인 공식을 제시하여 슈뢰딩거와 하이젠베르크의 접근 방식을 통합했다. 존 폰 노이만은 디랙-폰 노이만 공리를 제시하여 양자역학의 수학적 기초를 확립했다.

이후 양자장론이 발전하면서 경로 적분 공식화, 위상 공간 공식화, 굽은 시공간에서의 양자장론 등 양자역학의 더 정교한 공식화가 이루어졌다. 또한, 양자역학의 양자역학의 고전적 극한에 대한 연구와 양자화 문제도 중요한 분야로 다루어졌다.

2. 1. "옛 양자론"과 새로운 수학의 필요성

1890년대에 플랑크는 흑체 복사 스펙트럼을 설명하기 위해, 에너지가 이산적인 단위(양자)로만 교환될 수 있다는 가정을 도입했다. 이 가정을 통해 고전 물리학의 자외선 파탄 문제를 해결할 수 있었다. 플랑크는 복사 주파수와 에너지 양자 사이에 직접적인 비례 관계가 있다고 보았고, 이 비례 상수를 플랑크 상수()라고 한다.

1905년, 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해 플랑크의 에너지 양자가 실제 입자(광자)라고 제안했다.

이러한 초기 발전은 현상학적이었고, 당시 이론 물리학에 큰 과제를 제시했다. 보어와 조머펠트는 고전역학을 수정하여 보어 모형을 만들었다. 그들은 플랑크 상수의 배수인 면적을 둘러싸는 닫힌 고전적 궤도만 허용된다고 제안했다.( 조머펠트-윌슨-이시와라 양자화) 하지만, 이 모형은 수소 원자 스펙트럼은 설명할 수 있었지만, 헬륨 원자 스펙트럼(고전적으로 풀 수 없는 3체 문제)은 예측하지 못했다.

1923년, 드 브로이는 파동-입자 이중성이 광자뿐만 아니라 전자와 같은 모든 물리적 시스템에도 적용된다는 물질파 가설을 제시했다.

이러한 발견들은 양자역학의 수학적 기초를 확립하고, 이론의 물리적 해석을 명확하게 하는 데 중요한 역할을 했다.

2. 2. "새로운 양자 이론"

1925년부터 1930년까지 에르빈 슈뢰딩거, 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단의 획기적인 연구와 존 폰 노이만, 헤르만 바일, 폴 디랙의 기초적인 연구를 통해 양자역학의 수학적 기반이 마련되었고, 새로운 아이디어를 통해 여러 가지 접근 방식을 통합할 수 있게 되었다. 베르너 하이젠베르크가 불확정성 원리를 발견하고 닐스 보어가 상보성의 개념을 도입한 후, 이론의 물리적 해석도 명확해졌다.

베르너 하이젠베르크의 행렬 역학은 관찰된 원자 스펙트럼의 양자화를 재현하려는 최초의 성공적인 시도였다. 같은 해, 슈뢰딩거는 파동 역학을 만들었다. 슈뢰딩거의 공식은 미분 방정식으로 이어졌기 때문에 물리학자들이 이해하고, 시각화하고, 계산하기 더 쉬웠다. 1년 안에 두 이론이 동등하다는 것이 밝혀졌다.

슈뢰딩거는 처음에는 양자역학의 근본적인 확률적 본질을 이해하지 못했다. 그는 전자의 파동 함수의 절댓값 제곱이 공간에 퍼져 있는 물체의 전하 밀도로 해석되어야 한다고 생각했다. 막스 보른은 파동 함수의 절댓값 제곱을 ''점'' 입자의 위치에 대한 확률 분포로 해석했다. 보른의 아이디어는 곧 코펜하겐의 닐스 보어에 의해 받아들여졌고, 그는 양자역학의 코펜하겐 해석의 "아버지"가 되었다. 슈뢰딩거의 파동 함수는 고전적인 해밀턴-야코비 방정식과 밀접한 관련이 있는 것으로 볼 수 있다. 하이젠베르크의 행렬 역학에서는 고전 역학과의 대응 관계가 더 명확했지만, 다소 형식적이었다. 폴 디랙은 박사 학위 논문에서 하이젠베르크 표현에서 연산자에 대한 방정식이 푸아송 괄호를 통해 표현될 때, 고전 역학의 해밀턴 공식에서 특정 양의 역학에 대한 고전적 방정식과 밀접하게 변환된다는 것을 발견했다. 이 절차는 현재 정준 양자화로 알려져 있다.

슈뢰딩거 이전, 베르너 하이젠베르크는 행렬 역학을 발명했는데, 이것은 최초의 올바른 양자역학이었다. 하이젠베르크의 행렬 역학 공식은 무한 행렬의 대수를 기반으로 했는데, 고전 물리학의 수학에 비추어 볼 때 매우 급진적이었다. 그는 당시 실험가들의 지수 용어법에서 시작했고, 그의 "지수 방식"이 행렬이라는 것을 깨닫지도 못했다. 보른은 곧 그에게 지적했다. 이 초기 몇 년 동안 선형 대수는 현재 형태에서 물리학자들 사이에서 일반적으로 인기가 없었다.

슈뢰딩거는 1년 후 자신의 파동 역학과 하이젠베르크의 행렬 역학의 동등성을 증명했지만, 두 접근 방식의 조화와 힐베르트 공간에서의 움직임으로서의 현대적 추상화는 폴 디랙에게 기인한다. 그는 1930년 저서 『양자역학의 원리』에서 명확한 설명을 했다. 그는 이 분야의 세 번째 기둥이었다(그는 곧 이론의 상대론적 일반화를 발견한 유일한 사람이었다). 그는 브라-켓 표기법을 도입했으며, 함수 해석에서 사용되는 힐베르트 공간을 기반으로 한 추상적인 공식을 제시했다. 그는 슈뢰딩거와 하이젠베르크의 접근 방식이 동일한 이론의 두 가지 다른 표현이며, 시스템의 역학을 나타내는 세 번째, 가장 일반적인 접근 방식을 발견했다. 그의 연구는 이 분야의 많은 유형의 일반화에서 유익했다.

이 접근 방식의 첫 번째 완전한 수학적 공식, 즉 디랙-폰 노이만 공리는 존 폰 노이만의 1932년 저서 『양자역학의 수학적 기초』에 기인하지만, 헤르만 바일은 이미 1927년 논문과 저서에서 힐베르트 공간(그는 이를 ''단위 공간'')이라고 불렀다. 이는 다비트 힐베르트의 접근 방식이었던 이차 형식이 아닌 선형 연산자를 기반으로 한 수학적 스펙트럼 이론에 대한 새로운 접근 방식과 병행하여 개발되었다. 양자역학의 이론은 오늘날까지 계속 발전하고 있지만, 대부분의 접근 방식의 기초가 되는 양자역학의 수학적 공식에 대한 기본 프레임워크가 있으며, 이는 존 폰 노이만의 수학적 연구로 거슬러 올라갈 수 있다. 이론의 ''해석''에 대한 논의와 그에 대한 확장은 현재 수학적 기초에 대한 공유된 가정에 기초하여 수행된다.

2. 3. 후기 발전

양자장론은 1930년경부터 개발되어 양자역학의 더 정교한 공식화를 이끌어냈다. 여기서 제시된 것들은 간단한 특수한 경우들이다.

  • 경로 적분 공식화
  • 양자역학의 위상 공간 공식화 및 기하학적 양자화
  • 굽은 시공간에서의 양자장론
  • 공리적, 대수적 및 구성적 양자장론
  • C*-대수 형식론
  • 양자역학의 일반화된 통계 모델


고전역학과의 관계는 관련 주제이다. 모든 새로운 물리 이론은 어떤 근사에서 성공적인 기존 이론으로 환원되어야 한다. 양자역학의 경우, 이것은 소위 양자역학의 고전적 극한을 연구해야 할 필요성으로 이어진다. 또한, 보어(Bohr)가 강조했듯이, 인간의 인지 능력과 언어는 고전적 영역과 불가분의 관계를 가지므로, 고전적 설명이 양자적 설명보다 직관적으로 더 접근하기 쉽다. 특히, 주어진 고전 이론을 고전적 극한으로 갖는 양자 이론의 구성, 즉 양자화는 그 자체로 양자 물리학의 중요한 분야가 된다.

마지막으로, 양자론의 창시자 중 일부(특히 아인슈타인(Einstein)과 슈뢰딩거(Schrödinger))는 양자역학의 철학적 함축에 대해 불만을 가졌다. 특히, 아인슈타인은 양자역학이 불완전해야 한다는 입장을 취했으며, 이는 소위 은닉 변수 이론에 대한 연구를 촉진했다. 은닉 변수 문제는 양자 광학의 도움으로 부분적으로 실험적인 문제가 되었다.

3. 양자역학의 공준

브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 사용하여, 양자역학의 공준을 다음과 같이 요약할 수 있다.


  • 계의 상태는 힐베르트 공간으로 표현되며, 상태 벡터 또는 밀도 연산자로 나타낸다.
  • 관측 가능량은 힐베르트 공간의 자기 수반 연산자로 나타낸다.
  • 계와 관측가능량이 주어지면, 기댓값을 계산할 수 있다.
  • 해밀토니언이라는 특별한 관측가능량이 계의 시간 변화를 나타내며, 이는 슈뢰딩거 방정식으로 표현된다.


이러한 수학적 틀에서 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.

일반적으로 물리계는 상태, 관측 가능량, 동역학(시간 변화) 또는 물리적 대칭성으로 설명된다. 고전역학에서는 위상 공간 모델을 통해 상태는 심플렉틱 다양체의 점, 관측 가능량은 실수 값을 갖는 함수, 시간 변화는 심플렉틱 변환, 물리적 대칭성은 심플렉틱 변환으로 나타낸다. 양자역학에서는 상태는 힐베르트 공간, 관측 가능량은 자기 수반 연산자, 시간 변화는 유니타리 변환으로 나타낸다.

양자역학의 가정은 다음과 같다.

  • 양자역학에서 상태 공간은 복소 힐베르트 공간이다. 상태 공간의 단위 벡터는 상태 벡터라고 부르며, 각 상태 벡터는 어떠한 양자 상태에 대응한다.
  • 관측 가능한 물리량은 에르미트 행렬로 표현된다.
  • 측정 결과는 관측 가능량의 스펙트럼 중 하나로 나타나며, 각 고윳값이 나타날 확률은 보른 규칙에 따라 결정된다.
  • 계의 시간 변화는 슈뢰딩거 방정식에 따라 결정된다.

3. 1. 계의 상태

양자역학에서 계의 상태는 분해가능 복소 힐베르트 공간 \mathcal H의 1차원 부분공간 V\subset\mathcal H로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 |\psi\rangle\in V (정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 동치류)로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 '''상태 벡터'''(state vector영어)라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 앙상블은 양준정치이고, 대각합류 작용소이며, 대각합이 1인 에르미트 연산자 \rho로 나타낸다. 이 연산자를 밀도 연산자라고 부른다.

양자역학에서 '''상태 공간'''은 복소 힐베르트 공간이다.[1] 상태 공간의 단위 벡터를 '''상태 벡터'''라고 부르며, 각 상태 벡터는 어떠한 양자 상태에 대응한다. 또한 두 상태 벡터 \psi와 \varphi가 |a|=1을 만족하는 어떠한 복소수 a에 대해 \varphi = a\psi라는 관계를 만족할 때, \psi와 \varphi는 동일한 양자 상태를 나타낸다.[1]

3. 2. 관측 가능량

힐베르트 공간의 자기수반(self-adjoint영어) 선형 연산자로 관측가능량을 나타낸다. 이 연산자의 정의역은 힐베르트 공간의 조밀 선형 부분공간이다.

물리적 관측량은 힐베르트 공간 상의 에르미트 행렬로 표현된다. 에르미트 연산자는 고윳값이 항상 실수이며, 이는 해당 관측량을 측정했을 때 나올 수 있는 가능한 결과값들을 나타낸다. 관측량의 스펙트럼이 이산적이면, 가능한 결과는 ''양자화''된다.[1]

\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^d) 인 경우, [관측 가능량/가관측량]의 구체적인 예시는 다음과 같다.[2][2]

위 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 가측성으로부터 C^\infty_0(\mathbf{R}^d)\subset\mathrm{Dom}(M_f) 이므로 M_f는 조밀하게 정의된 연산자이며, 분명히 대칭 연산자이다. 또한 \phi\in\mathrm{Dom}(M_f{}^*) 라고 하면, 임의의 \psi\in\mathrm{Dom}(M_f) 에 대해 \langle \chi, \psi \rangle=\langle \phi, M_f(\psi) \rangle 를 만족하므로,

: \int_{\mathbf{R}^d}\chi(x)\psi(x) \mathrm{d}x

=\langle \chi, \psi \rangle=\langle \phi, M_f(\psi) \rangle = \int_{\mathbf{R}^d}f(x)\phi(x)\psi(x) \mathrm{d}x



이다. \psi\in\mathrm{Dom}(M_f) 의 임의성에 따라, 이는 \chi(x)=f(x) \phi(x) 거의 어디에서나를 의미한다. \chi의 제곱 적분 가능 함수와 \mathrm{Dom}(M_f)의 정의에 따라, \phi\in\mathrm{Dom}(M_f) 이다. 따라서 \mathrm{Dom}(M_f{}^*)=\mathrm{Dom}(M_f)이며, 곱셈 연산자 M_f는 자기 수반 연산자이다.[2][2][2]

() 형태의 미분 연산자 D가 자기 수반인 것의 증명은 생략하지만, D가 대칭 연산자인 것은 다음과 같이 나타낼 수 있다. \phi, \psi \in C_0^\infty(\mathbf{R}^d)에 대해 부분 적분 공식에서

: \langle -i {\partial_j}\phi, \psi \rangle

= \int_{\mathbf{R}^d} (-i {\partial_j}\phi(x))^*\psi(x) \mathrm{d} x

= i\partial_j \int_{\mathbf{R}^d}\phi(x)\psi(x)\mathrm{d} x

  • \int_{\mathbf{R}^d}\phi^*(x)(-i {\partial_j}\psi(x)) \mathrm{d} x

= \langle\phi,-i\partial_j\psi\rangle

이다. () 형태의 미분 연산자는 -i\partial_j의 실수 계수 다항식이므로,

: \langle D(\phi), \psi \rangle =\langle \phi, D(\psi) \rangle

가 성립한다. D의 정의역 C_0^\infty(\mathbf{R}^d)는 \mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^d)에서 조밀하므로, D는 대칭 연산자이다.[2]

양자역학에서는 시간에 의존할 수 있는 '''퍼텐셜'''이라고 불리는 실수값 국소 적분 가능 함수 V(x,t)를 고정하고, '''슈뢰딩거 연산자'''라고 불리는 연산자

: H=-\sum_{j=1}^n{\hbar \over 2m_j}\left({\partial^2 \over \partial x_{j,1}{}^2}+\cdot+{\partial^2 \over \partial x_{j,\ell}{}^2} \right)+ V(x,t)

를 생각한다. 여기서 m_j는 상수이며, 물리적으로 j번째 입자의 질량을 나타낸다. \ell은 차원이며, 물리학적 설정에서는 3이다. 각 시간 t에 대해 슈뢰딩거 연산자는 항상 대칭 연산자이지만, 본질적으로 자기 수반인지 여부는 퍼텐셜에 따라 다르다.[2][2]

여기서 L^p(\mathbb{R}^\ell) + L^\infty(\mathbb{R}^\ell)는 L^p(\mathbb{R}^\ell)의 원소와 L^\infty(\mathbb{R}^\ell)의 원소의 합으로 쓸 수 있는 함수의 집합이다.[2]

3. 3. 측정

계의 상태 벡터와 관측 가능량이 주어지면, 측정 결과의 기댓값을 계산할 수 있다. 측정 결과는 관측 가능량의 스펙트럼 (고윳값) 중 하나로 나타나며, 각 고윳값이 나타날 확률은 보른 규칙에 따라 결정된다. 측정 후 계의 상태는 측정된 고윳값에 해당하는 고유 부분공간으로 사영된다. (\파동 함수 붕괴)

단위 벡터 \psi ∈ ''H''로 표현되는 상태에 있는 시스템에 대한 관측량 A의 기댓값은 \langle\psi|A|\psi\rangle이다. 만약 \psi 상태를 A의 고유 벡터로 형성된 기저로 표현한다면, 주어진 고유 벡터에 연결된 성분의 절댓값 제곱은 해당 고유값을 관측할 확률이다.

혼합 상태 \rho의 경우, 상태 \rho에서의 A의 기댓값은 \operatorname{tr}(A\rho)이며, 해당 관측량 A의 이산, 비퇴화 스펙트럼에서 고유값 a_n 을 얻을 확률은 \mathbb P(a_n)=\operatorname{tr}(|a_n\rangle\langle a_n|\rho)=\langle a_n|\rho|a_n\rangle 에 의해 주어진다.

만약 고유값 a_n 이 퇴화된 직교 고유 벡터 \

3. 4. 시간 변화

계의 시간 변화는 슈뢰딩거 방정식에 따라 결정된다. 슈뢰딩거 묘사와 브라-켓 표기법을 사용하면, 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.

:i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle

여기서 \hbar는 플랑크 상수이고, H는 해밀토니언이라는 특별한 관측 가능량이다.

밀도 연산자 \rho를 사용하면, 그 시간 변화는 다음과 같다.

:i\hbar \frac{d}{dt}\rho(t)=[H(t),\rho(t)]

4. 수학적 구조

일반적으로 물리계는 상태, 관측 가능량, 동역학(또는 시간 진화 법칙)이라는 세 가지 기본 요소로 설명된다. 고전적 설명은 위상 공간 모델을 통해 이루어지는데, 상태는 심플렉틱 다양체로 공식화된 위상 공간의 점, 관측 가능량은 위상 공간의 실수 값을 갖는 함수, 시간 진화는 위상 공간의 심플렉틱 변환의 1-매개변수 군으로 주어진다. 양자적 설명은 일반적으로 상태의 힐베르트 공간, 관측 가능량은 상태 공간의 자기 수반 연산자, 시간 진화는 힐베르트 공간의 유니타리 변환의 1-매개변수 군으로 주어지며, 물리적 대칭성은 유니타리 변환으로 실현된다.

양자역학의 수학적 공식화는 디랙-폰 노이만 공리로 거슬러 올라가며, 다비트 힐베르트의 괴팅겐 대학교 강좌를 토대로 리처드 쿠랑이 집필한 수리물리 방법과 관련이 있다. 당시 물리학자들은 이 자료가 슈뢰딩거 방정식이 등장하기 전까지는 흥미롭지 않다고 일축했지만, 새로운 양자역학의 수학이 이미 그 안에 잘 정리되어 있다는 사실을 깨닫게 되었다. 베르너 하이젠베르크가 힐베르트에게 그의 행렬 역학에 대해 자문을 구했을 때, 힐베르트는 무한 차원 행렬에 대한 자신의 경험이 미분 방정식에서 파생되었다고 조언했지만, 하이젠베르크는 이 조언을 무시하여 이론을 통일할 기회를 놓쳤다고 한다.

양자역학의 수학적 구조의 주요 도구는 다음과 같다.



양자역학에서 '''상태 공간'''은 복소 힐베르트 공간이며, 상태 공간의 단위 벡터를 '''상태 벡터'''라고 부른다. 각 상태 벡터는 어떠한 양자 상태에 대응하며, 두 상태 벡터가 복소수 배 관계를 가지면 동일한 양자 상태를 나타낸다.

4. 1. 힐베르트 공간

분리 가능 복소수 힐베르트 공간와 내적으로 연관된다.

분리 가능성은 수학적으로 편리한 가설이며, 상태가 가산 개의 관찰에 의해 고유하게 결정된다는 물리적 해석을 갖는다. 양자 상태는 동치류로 식별될 수 있으며, 여기서 두 벡터(길이 1)는 단지 위상 인자만 다르다면 동일한 상태를 나타낸다. 따라서, 양자 상태는 ''벡터''가 아닌 사영 힐베르트 공간에서 '''광선'''을 형성한다.

양자역학에서 계의 (순수) 양자 상태는 '상태 벡터'라고 불리는 단위 벡터로 표현되며, 상태 벡터와 그 상수배가 이루는 벡터 공간을 '상태 공간'이라고 한다. 상태 공간은 '''힐베르트 공간'''이라는 수학적 개념으로 정식화된다.

힐베르트 공간 \mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2에 대해 전단사 선형 사상 \Phi~:~\mathcal{H}_1\to \mathcal{H}_2로

: \langle \Phi(\psi), \Phi(\chi) \rangle = \langle \psi, \chi \rangle

가 모든 \psi,\chi\in \mathcal{H}_1에 대해 성립하는 것이 존재할 때, \mathcal{H}_1와 \mathcal{H}_2는 '''동형'''이라고 한다.

가분 무한 차원 힐베르트 공간은 동형을 제외하고 하나만 존재한다.

이 항목에서는 힐베르트 공간으로 가분인 것만을 다룬다. 따라서 이 항목에서 등장하는 힐베르트 공간으로 차원이 무한인 것은 모두 동형이다.

양자역학에서는 다음과 같은 가정을 둔다.

힐베르트 공간 \mathcal{H}에서 사용되는 덧셈, (스칼라와의) 곱셈, 그리고 내적 \langle \cdot, \cdot\rangle 을 명시하여, \mathcal{H}를 (\mathcal{H},+,\cdot,\langle\cdot,\cdot\rangle)로 표기한다.

정의에 따라, 켤레 벡터 공간은 곱셈 외에는 원래 공간과 동일하다. 이하, 곱셈을 명시하지 않아도 켤레 벡터 공간을 구별할 수 있도록 하기 위해, \mathcal{H}의 켤레 벡터 공간을 \mathcal{H}^*로 표기한다. 또한 \psi가 \mathcal{H}^*의 원소임이 문맥상 명확한 경우에는, a\times \psi 를 생략하여 단순히 a\psi 로 표기한다.

4. 2. 유계 작용소

bounded operator|유계 작용소영어는 힐베르트 공간에서 정의되는 선형 연산자 중, 입력 벡터의 노름을 일정 비율 이상으로 증가시키지 않는 연산자이다.[1] 유니타리 작용소는 힐베르트 공간의 내적을 보존하는 유계 작용소이며, 양자역학에서 시간 변화를 나타내는 데 사용된다.

4. 3. 브라-켓 표기법

디랙이 도입한 브라-켓 표기법은 양자 상태와 연산자를 간결하게 표현하는 데 사용된다. 힐베르트 공간의 벡터를 나타내는 켓 벡터와 힐베르트 공간의 쌍대 공간의 벡터를 나타내는 브라 벡터가 있다. 브라 벡터와 켓 벡터의 내적은 복소수 값을 가지며, 이를 통해 확률 진폭을 계산할 수 있다.

브라 벡터 \psi\in\mathcal{H}^*에 대한 선형 작용소는 다음과 같다.

:\chi\in \mathcal{H} \mapsto \langle\psi,\chi\rangle \in \mathbf{C}

코시-슈바르츠 부등식에 의해

:\langle\psi,\chi\rangle \le \|\psi\|\|\chi\|

이 작용소는 유계 작용소이다. 복소수 값을 갖는 유계 선형 작용소는 이 형태의 작용소로 제한된다.

\mathcal{H}가 유한 차원인 경우는 위에 언급된 사실은 자명하지만, 무한 차원에서도 이 사실이 성립한다는 점에 이 정리의 주안점이 있다. 이상의 사실로부터 브라 벡터는 다음과 같이 특징지을 수 있다.

4. 4. 관측 가능량 (옵저버블)

양자역학에서 관측 가능량(옵저버블)은 에르미트 행렬, 즉 자기 수반 연산자로 표현된다.[2] 자기 수반 연산자는 자신의 켤레 연산자와 같은 연산자이다.[3] 에르미트 연산자의 고유값은 항상 실수이며, 이는 해당 관측 가능량을 측정했을 때 나올 수 있는 가능한 결과/값들을 나타낸다.

만약 관측량의 스펙트럼이 이산적이면, 가능한 결과는 ''양자화''된다.

단위 벡터 \psi ∈ ''H''로 표현되는 상태에 있는 시스템에 대한 관측량 A의 기댓값 (확률론적 의미에서)은 \langle\psi|A|\psi\rangle이다. 만약 \psi 상태를 A의 고유 벡터로 형성된 기저로 표현한다면, 주어진 고유 벡터에 연결된 성분의 절댓값 제곱은 해당 고유값을 관측할 확률이다.

혼합 상태 \rho의 경우, 상태 \rho에서의 A의 기댓값은 \operatorname{tr}(A\rho)이며, 해당 관측량 A의 이산, 비퇴화 스펙트럼에서 고유값 a_n 을 얻을 확률은 \mathbb P(a_n)=\operatorname{tr}(|a_n\rangle\langle a_n|\rho)=\langle a_n|\rho|a_n\rangle 에 의해 주어진다.

만약 고유값 a_n 이 퇴화된 직교 고유 벡터 \

4. 5. 스펙트럼

힐베르트 공간 상에 정의된 자기 수반 연산자의 스펙트럼은 양자역학에서 물리량을 관측할 때 얻을 수 있는 값의 집합을 나타낸다. 스펙트럼은 선형대수학의 고윳값 및 고유 벡터 이론을 무한 차원으로 확장한 개념이다.

복소수 에 대해 가 전단사가 아닐 때, 는 의 '''스펙트럼''' 에 속한다. 스펙트럼은 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

스펙트럼 종류정의추가 설명
점 스펙트럼
가 단사가 아닌 경우를 만족하는 0이 아닌 벡터 (고유 벡터)가 존재할 때, 는 의 고윳값이며 점 스펙트럼에 속한다.
연속 스펙트럼
가 단사이지만 전사는 아니고, 그 상(像)이 조밀한 경우고유 벡터는 존재하지 않지만, 고유 벡터에 "가까운" 벡터들의 열이 존재한다.
잉여 스펙트럼
가 단사이지만 전사가 아니고, 그 상이 조밀하지 않은 경우



자기 수반 연산자의 경우, 다음이 성립한다.[2]


  • 스펙트럼 는 실수 집합 의 닫힌 부분 집합이다.
  • 잉여 스펙트럼 은 공집합이다.
  • 스펙트럼 의 원소 에 대해, 에 속하는 단위 벡터의 열 이 존재하여 을 만족한다. 즉, 고유 벡터는 존재하지 않더라도, 고유 벡터에 "가까운" 벡터가 존재한다.


따라서 자기 수반 연산자의 스펙트럼은 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼의 합집합으로 나타낼 수 있다.

:\sigma(A)=\sigma_P(A) \sqcup \sigma_c(A)

4. 6. 스펙트럼 분해와 관측

스펙트럼 분해는 연산자를 고유 공간의 직합으로 분해하는 것을 의미한다. 스펙트럼 분해란 유한 차원 벡터 공간에서의 선형 연산자의 고유값 분해를 무한 차원으로 확장한 것이지만, 단순히 유한 차원의 고유값 분해를 무한 차원으로 확장할 수는 없다. 이는 무한 차원의 경우, 유한 차원과 달리 연속 스펙트럼이 존재하며, 연속 스펙트럼에는 점 스펙트럼(=고유값)과 달리 대응하는 고유 벡터가 존재하지 않기 때문이다.[4]

자기 수반 연산자를 스펙트럼 분해하는 방법으로는 다음 3가지가 있다.

  • 직접 적분에 의한 스펙트럼 분해
  • 스펙트럼 측도에 의한 스펙트럼 분해
  • 겔판트 삼중항에 의한 스펙트럼 분해


이 중 양자역학에서 일반적으로 사용되는 디랙 델타 함수를 사용한 스펙트럼 분해에 가장 가까운 것은 겔판트 삼중항에 의한 것이지만, 모든 자기 수반 연산자에 대해 적용할 수 없는 단점이 있어 수학적인 준비가 필요하다.

스펙트럼 측도는 보렐 집합에 대해 정사영 연산자를 대응시키는 함수이며, 이를 통해 연산자 값 적분을 정의할 수 있다. 스펙트럼 측도는 보렐 가측 부분 집합 B에 대해, \mathcal{H}의 닫힌 부분 선형 공간으로의 정사영 변환 μ(B)를 대응시킨다.

스펙트럼 측도에 의한 스펙트럼 분해 정리에 따르면, 힐베르트 공간 \mathcal{H}와 조밀하게 정의된 비유계 선형 연산자 A~:~\mathcal{H}\to\mathcal{H}에 대해, 스펙트럼 측도 μ가 유일하게 존재하여 다음이 성립한다.

:A=\int_{\mathbf{R}} \lambda \mathrm{d}\mu

또한 μ는 A의 레졸벤트 집합 상에서 0이 되므로, 위 적분을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:A=\int_{\sigma(A)} \lambda \mathrm{d}\mu

스펙트럼 분해를 통해 양자 상태의 관측 확률과 기댓값을 계산할 수 있다. A를 어떤 물리량을 나타내는 자기 수반 작용소, μ를 A의 스펙트럼 측도라고 할 때, 양자역학에서는 다음을 가정한다.

|가정|내용|

|---|---|

|물리량의 관측 확률| \psi\in\mathcal{H} 를 단위 벡터라고 할 때, 상태 ψ에 있는 계에서 A를 관측했을 때 관측값 λ가 보렐 집합 B\subset\mathbf{R} 에 속할 확률은 \|\mu(B)\psi\|^2 이다.|

|관측값의 기댓값| A를 관측한 관측값의 기댓값은 \langle \psi,A(\psi)\rangle 이다.|

|파동 함수 붕괴|물리량 A를 관측했을 때 관측값 λ가 A의 고유값이라면, 관측 직후의 상태 벡터는 A의 λ에 대한 고유 벡터가 된다.|

위의 가정 중 파동 함수 붕괴는 관측값이 고유값, 즉 점 스펙트럼에 속하는 경우에 대해 언급하고 있지만, '''관측값이 연속 스펙트럼에 속하는 경우에 대해서는 아무것도 규정하고 있지 않다'''는 점에 주의해야 한다.

4. 7. 겔판트 삼중항

겔판트 삼중항(Rigged Hilbert space)은 힐베르트 공간, 핵형 공간, 그리고 쌍대 공간으로 구성된 세 묶음 구조를 말한다. 이를 통해 연속 스펙트럼에 해당하는 일반화된 고유 벡터를 정의할 수 있다.[3]

일반적으로 힐베르트 공간에서는 연속 스펙트럼에 대응하는 고유 벡터가 존재하지 않는다. 그러나 겔판트 삼중항을 이용하면 힐베르트 공간보다 더 넓은 공간인 쌍대 공간에서 이러한 고유 벡터를 찾을 수 있다. 이 고유 벡터는 힐베르트 공간에는 속하지 않지만, 쌍대 공간의 원소로 정의된다.

겔판트 삼중항을 이용하면 스펙트럼 정리를 보다 일반적인 형태로 표현할 수 있다. 특히, 핵형 국소 볼록 공간의 경우, 자기 수반 연산자는 일반화 고유 벡터의 완전계를 가지며, 이를 통해 임의의 벡터를 일반화 고유 벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

겔판트 삼중항은 다음과 같이 정의된다.

: \mathcal{G}\overset{\iota}{\hookrightarrow}\mathcal{H}\overset{\iota^{\dagger}}{\hookrightarrow}\mathcal{G}'

여기서

  • \mathcal{H}는 힐베르트 공간
  • \mathcal{G}는 위상이 정의된 벡터 공간
  • \mathcal{G}'는 \mathcal{G}의 쌍대 공간
  • \iota는 연속인 단사
  • \iota^{\dagger}는 반선형 사상

이다.

\mathcal{G}가 핵형 프레셰 공간 또는 핵형 국소 볼록 위상 벡터 공간인 경우에 겔판트 삼중항에 대한 스펙트럼 정리가 성립한다.

5. 시간 변화와 대칭성

슈뢰딩거 방정식에 따르면, 계의 시간 변화는 해밀토니언에 의해 생성된다. 시간 발전에 따라 물리량이 보존되는 경우, 해당 물리량에 대응하는 연산자는 해밀토니언과 교환 가능하다. 하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터는 시간에 대해 불변이고, 관측 가능량이 시간에 따라 변화하며, 이를 하이젠베르크 운동 방정식이라고 한다. 이 방정식은 해밀토니언과의 교환자에 의해 결정된다.

해석역학에서의 네터 정리는 계의 대칭성의 무한소 변환이 운동의 불변량이 되고, 그 역도 성립한다는 것이다. 양자역학에서 네터 정리는 이와 유사하게 나타낼 수 있다.

5. 1. 슈뢰딩거 방정식

브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 사용하여, 양자역학에서 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식으로 나타낼 수 있다.

:i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H(t)|\psi(t)\rangle

여기서 \hbar는 플랑크 상수이며, H는 해밀토니언이라는 특별한 관측가능량이다. 이 방정식은 상태 벡터의 시간에 대한 미분 방정식이며, 해밀토니언에 의해 결정된다.

해밀토니언이 유계 작용소인 경우, 슈뢰딩거 방정식의 해는 다음과 같이 지수 함수를 사용하여 표현할 수 있다.

:\psi(t):=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) (\psi)

그러나 해밀토니언이 비유계 작용소인 경우에는 테일러 전개를 사용할 수 없다. 이 경우, 스톤의 정리를 통해 시간 변화를 나타내는 유니타리 연산자를 정의할 수 있다.

:U_t:=\mathrm{exp}(itH)

이 연산자를 사용하여, 슈뢰딩거 방정식의 해를 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\psi(t):=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) (\psi)

5. 2. 하이젠베르크 운동 방정식

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터는 시간에 대해 변하지 않고, 관측 가능량이 시간에 따라 변화한다. 하이젠베르크 운동 방정식은 관측 가능량의 시간에 대한 미분 방정식이며, 해밀토니언과의 교환자에 의해 결정된다.

슈뢰딩거 묘사에서 시간 종속적인 상태를 기술하는 것과 달리, 하이젠베르크 묘사에서는 상태를 고정하고 관측 가능량을 변화하는 것으로 간주한다. 슈뢰딩거 묘사에서 하이젠베르크 묘사로 이동하기 위해 시간 독립적인 상태와 시간 종속적인 연산자를 다음과 같이 정의한다.

:\left|\psi\right\rangle = \left|\psi(0)\right\rangle

:A(t) = U(-t)AU(t).

여기서 U(t) = \exp(-(i/\hbar)tH)는 시간 변화 연산자이고, H는 해밀토니안이다.

이때, 모든 관측 가능량의 기댓값은 두 묘사에서 동일하다.

:\langle\psi\mid A(t)\mid\psi\rangle=\langle\psi(t)\mid A\mid\psi(t)\rangle

시간 종속 하이젠베르크 연산자는 다음 방정식을 만족한다.

:\frac{d}{dt}A(t)=\frac{i}{\hbar}[H,A(t)]+\frac{\partial A(t)}{\partial t}

이는 시간에 종속적인 A(t)에 대해 참이다. 연산자 중 하나가 비유계인 경우 교환자 표현식은 순전히 형식적이다. 의미를 부여하기 위해 표현식에 대한 표현을 지정한다.

일반적으로 자기 수반 연산자의 족 \{B_t\}_{t\in\mathbf{R}} 와, \mathcal{H}의 원소 \psi에 대해,

:{\mathrm{d}B_t(\psi) \over \mathrm{d}t}=[H,B_t](\psi)

라는 형태의 \{B_t\}_{t\in\mathbf{R}} 에 관한 방정식을 '''하이젠베르크 운동 방정식'''이라고 한다.

5. 3. 네터 정리

해석역학에서의 네터 정리는 계의 대칭성의 무한소 변환이 운동의 불변량이 되고, 그 역도 성립한다는 것이었다. 양자역학에서 네터 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

상태 공간을 \mathcal{H}라고 하고, \mathcal{H} 위의 (유계가 아닌) 자기 수반 연산자 해밀토니안 를 H로 고정하면,

: U_t=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right)

이다.

\{V_s\}_{s\in\mathbf{R}} 를 강 연속 1 매개변수 유니타리 변환군으로 하고, 그 무한소 생성자를 A라고 하면, 다음 3개는 동치이다.

# 임의의 s\in\mathbf{R} 에 대해 V_{-s}HV_s=H

# 임의의 t\in\mathbf{R} 에 대해 U_{-t}AU_t=A

# 임의의 s,t\in\mathbf{R} 에 대해 U_tV_s=V_sU_t

첫 번째 조건 V_{-s}HV_s=H 는, 해밀토니안 H가 강 연속 1 매개변수 유니타리 변환군 \{V_s\}_{s\in\mathbf{R}} 에 대해 불변임을 나타낸다. 즉, H에 의해 기술되는 계는 '''대칭성''' \{V_s\}_{s\in\mathbf{R}} 을 가진다.

두 번째 조건 U_{-t}AU_t=A 의 좌변은 하이젠베르크 그림으로 봤을 때의 A의 시간 발전에 해당하므로, 이 조건은 대칭성 \{V_s\}_{s\in\mathbf{R}} 을 정의하는 무한소 생성자가 '''운동의 불변량'''임을 의미한다.

세 번째 조건은, 시간 발전을 한 다음 대칭성 V_s 로 계를 움직이는 행위와, 대칭성 V_s 로 계를 움직인 다음 시간 발전하는 것이 동일함을 의미한다.

\mathcal{H} 위의 유니타리 변환 전체의 집합을 \mathcal{U}(\mathcal{H})로 표기하면, 강 연속 1 매개변수 유니타리 변환군 \{V_s\}_{s\in\mathbf{R}} 은 실수에 유니타리 변환을 대응시키는 준동형 사상

: s\in\mathbf{R} \mapsto V_s \in \mathcal{U}(\mathcal{H})

으로 간주할 수 있다. 해석역학에서의 네터 정리는 이러한 실수로부터의 사상뿐만 아니라, 일반적인 유한 차원 리 군으로부터의 사상에 대해서도 성립하고 있었다.

유한 차원 리 군 G에서 \mathcal{U}(\mathcal{H})로의 사상

: \Pi ~:~G \to \mathcal{U}(\mathcal{H})

에서 준동형성

: \forall g,h\in G~:~\Pi(gh)=\Pi(g)\Pi(h)

과 '''강연속성'''

: \forall \{g_n\}_{n\in\mathbf{N}} \subset G ~\forall g \in g~:~ \lim_{n\to \infty}g_n= g \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\|\Pi(g_n)-\Pi(g)\|=0

을 만족하는 것을 G의 \mathcal{H} 위의 '''유니타리 표현'''이라고 한다.

\mathfrak{g}를 G의 리 대수로 하고, X를 \mathfrak{g}의 원소로 할 때,

: V_s:=\Pi(\mathrm{exp}(sX))

라고 하면, \{V_s\}_{s\in\mathbf{R}} 은 강 연속 1 매개변수 유니타리 변환군이 되므로, 스톤의 정리에 의해,

: \Pi(\mathrm{exp}(sX))=\mathrm{exp}(itA_X)

을 만족하는 자기 수반 작용소 A_X가 존재한다. 따라서 \mathfrak{g}의 원소에 자기 수반 작용소를 대응시키는 사상

: \pi ~:~ X\in\mathfrak{g} \mapsto A_X

이 정의 가능하다.

\mathcal{H} 위의 자기 수반 작용소 H를 해밀토니안으로 고정하고,

: U_t=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right)

라고 하면, 강 연속 1 매개변수 유니타리 변환군에 관한 네터 정리에 의해, 다음 3개는 동치이다.

# 임의의 s\in\mathbf{R} 에 대해 V_{-s}HV_s=H

# 임의의 t\in\mathbf{R} 에 대해 U_{-t}\pi(X)U_t=\pi(X)

# 임의의 s,t\in\mathbf{R} 에 대해 U_tV_s=V_sU_t

강 연속 1 매개변수 유니타리 변환군에 관한 네터 정리와 달리, \mathfrak{g}의 리 괄호에 관해서는 다음 성질을 추가로 확인할 수 있다.

: \forall X,Y\in\mathfrak{g}~:~\pi([X,Y])=i[\pi(X),\pi(Y)]

6. 폰 노이만 일의성 정리

가분 무한 차원 힐베르트 공간은 동형을 제외하고는 유일하다.

\mathcal{H} 위의 자기 수반 연산자 A_j,B_k\quad (j,k=1,\ldots,d)가 '''바일 표현으로서 기약'''이라는 것은, \mathrm{exp}(isA_j),\mathrm{exp}(itB_k)\quad (j,k=1,\ldots,d,~s,t\in\mathbf{R})

의 공통 불변 진부분 닫힌 공간이 \{0\} 뿐임을 말한다. 즉, 닫힌 부분 공간 \mathcal{K}\subsetneq \mathcal{H}가

: \forall j,k=1,\ldots,d~\forall s,t\in\mathbf{R}~:~\mathrm{exp}(is A_j)(\mathcal{K})\subset\mathcal{K}, \quad \mathrm{exp}(it B_k)(\mathcal{K})\subset\mathcal{K}

를 만족한다면

: \mathcal{K}=\{0\}

임을 말한다.

다음 사실을 '''폰 노이만 일치성 정리'''라고 한다.

폰 노이만의 일의성 정리는 양자역학에 중요한 리 군인 '''하이젠베르크 군'''을 사용하여 보다 간결하게 표현할 수 있다.

하이젠베르크 군은

: \mathbf{H}_d=\mathbf{R}^d\times \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}

에 다음과 같은 곱을 넣음으로써 정의된다:

: (\mathbf{p},\mathbf{q},c)\cdot(\mathbf{p}',\mathbf{q}',c'):=(\mathbf{p}+\mathbf{p}',\mathbf{q}+\mathbf{q}',c+c'+{1\over 2}(\mathbf{p}\mathbf{q}'-\mathbf{q}\mathbf{p}'))

여기서 \mathbf{p}\mathbf{q}', \mathbf{q}\mathbf{p}'는 \mathbf{R}^d상의 내적이다.

폰 노이만 일치성 정리에 대한 가정을 하이젠베르크 군을 사용하여 표현하면 다음과 같다. \mathcal{H} 를 힐베르트 공간으로 하고, \mathcal{U}(\mathcal{H}) 를 \mathcal{H} 상의 유니타리 연산자 전체의 집합으로 한다.

: \Pi ~:~\mathbf{H}_d \to \mathcal{U}(\mathcal{H})

를

: \Pi(\vec{I})=i\hbar I

를 만족하는 강한 연속 사상으로 하고,

: A_j:=\Pi(\vec{Q}_j),\quad B_j:=\Pi(\vec{P}_j)

로 정의한다. 그러면 폰 노이만 일치성 정리의 조건인 바일 관계식은 \Pi가 준동형임을 의미한다. 즉 바일 관계식을 만족하는 \Pi는 하이젠베르크 군의 강한 연속 유니타리 표현이다. 이와 같이 볼 때, 바일 표현에 관한 규약성의 조건은 이 바일 표현이 규약이라는 것과 동치이다. 하이젠베르크 군의 유니타리 표현을 '''슈뢰딩거 표현'''이라고 한다

폰 노이만 일치성 정리의 결론은 이 유니타리 표현이 동형을 제외하고는 유일하며, 그 유일한 유니타리 표현에 의한 \vec{Q}_j,~\vec{P}_k 의 상이 각각

요약하면, 다음 결론을 얻을 수 있다:

Mackey는 더 약한 조건 하에서 폰 노이만(von Neumann)의 유일성 정리를 제시했다:

6. 1. 정준 교환 관계

위치 연산자 와 운동량 연산자 는 상태 공간 의 조밀한 부분 집합 에서 정의된 연산자이다. 이들의 교환자는 의 조밀한 부분 집합 위에서 정의 가능하며, 다음 관계식 (정준 교환 관계)을 만족한다. 여기서 는 단위 행렬이며, 는 크로네커 델타이다.

:

또한 BLT 정리에 의해, 이 교환자는 의 전역으로 확장 가능하며, 상기 식은 의 전역에서 성립한다.

스톤-폰 노이만 정리[1][2]는 정준 교환 관계의 다소 강력한 버전인 "바일 관계식"을 만족하는 유한개의 "기약적인" 연산자 조합은 동형을 제외하고 위치 연산자와 운동량 연산자로 제한된다는 것이다.

폰 노이만 일의성 정리를 증명하려면, "바일 관계식"을 비롯한 정준 교환 관계보다 강한 가정을 부과하는 것이 필수적이며, '''정준 교환 관계를 만족하지만 폰 노이만 일의성 정리가 성립하지 않는 반례로, 물리적으로도 흥미로운 예가 존재한다'''.[1]

6. 2. 바일 관계식

\mathcal{H} 위의 자기 수반 연산자 A_j,B_k\quad (j,k=1,\ldots,d)에 대해, 정준 교환 관계를 지수 함수를 사용하여 표현한 다음 식을 '''바일 관계식'''이라고 한다:

:\forall j,k=1,\ldots,d,\forall s,t\in\mathbf{R}~:~

:\mathrm{exp}(-is A_j)

\mathrm{exp}(-it B_k)

\mathrm{exp}(is A_j)

\mathrm{exp}(it B_j)

=\mathrm{exp}(i\hbar\delta_{j,k}),

:\mathrm{exp}(-is A_j)

\mathrm{exp}(-it A_k)

\mathrm{exp}(is A_j)

\mathrm{exp}(it A_j)

=I,

:\mathrm{exp}(-is B_j)

\mathrm{exp}(-it B_k)

\mathrm{exp}(is B_j)

\mathrm{exp}(it B_j)

=I.

일반적인 정준 교환 관계의 경우, A_j,B_k의 정의역의 공통 부분이 \mathcal{H}에서 조밀하지 않으면 교환자를 정의할 수 없다는 문제가 있지만, 바일 관계식은 A_j,B_k를 지수 함수를 사용하여 만들어지는 유니타리 변환을 다루며, BLT 정리에 의해 이 유니타리 변환의 정의역은 \mathcal{H} 전체이므로 이러한 정의역 문제는 발생하지 않는다.

정준 교환 관계를 바일 관계식으로 나타내는 것을 정준 교환 관계의 '''바일 표현'''이라고 한다. 바일 관계식은 일반적인 정준 교환 관계보다 더 강한 제약 조건이며, 두 관계는 동치가 아니다.

6. 3. 폰 노이만 일의성 정리의 의미

1925년부터 1930년까지 에르빈 슈뢰딩거, 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단의 획기적인 연구와 존 폰 노이만, 헤르만 바일, 폴 디랙의 기초적인 연구를 통해 양자역학의 수학적 기반이 마련되었다. 이를 통해 새로운 아이디어를 바탕으로 여러 가지 접근 방식을 통합할 수 있게 되었다. 또한 베르너 하이젠베르크가 불확정성 관계를 발견하고 닐스 보어가 상보성의 개념을 도입한 후, 이 기간 동안 양자역학 이론의 물리적 해석도 명확해졌다.

참조

[1] 문서 F15에서는 \mathcal{H}상의 복소수값 유계선형작용소로서 브라 벡터를 정의하고 있지만, [[리스의 표현정리]]에 의하면, 이 정의는 본 항의 정의와 동치이다.
[2] 문서 예를 들면 [[#신정|신정]], [[#H13|H13]]에서 사용되고 있는 기법
[3] 문서 "[[#H13|H13]]{{Rp|page=56}}에서는 [[#신정|신정]]{{Rp|page=82-83}}과 달리, \phi\to \langle\psi \mid T(\phi)\rangle가 유계로 되는 것을 요청하고 있지만, 양자의 정의는 [[리스의 표현정리]]에 따라 동치가 된다."
[4] 문서 단, [[#H13|H13]]에서는 거꾸로 직적분에 의한 스펙트럼 정리로부터 곱셈 작용소에 의한 스펙트럼 정리를 도출하고 있기 때문에, 아래의 「증명」은 순환 논법이 된다.
[5] 서적 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik Springer-Verlag


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