부분 정의 함수

3. 성질

부분 정의 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 조합론적 성질: $\operatorname{Pfn}(X,Y)$의 크기는 $(|Y|+1)^
  $이다.^[1] 이는 X와 Y가 무한 집합일 경우에도 성립한다.

  순서론적 성질:

  $\operatorname{Pfn}(X,Y)$의 최소 원소는 정의역이 공집합인 함수이다.

  $\operatorname{Pfn}(X,Y)$의 극대 원소는 정의역이 X 전체인 함수이다. 즉, $\operatorname{dom}f=X$인 함수 $f\in Y^X\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y)$이다.

  Y가 가산 집합이면, $\operatorname{Pfn}(X,Y;ℵ₀)$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.^[1]

  임의의 집합 X, Y 및 기수 κ에 대해, $\lambda=(|Y|^{<\kappa})^+=\left(\sup_{\kappa'<\kappa}|Y|^\kappa\right)^+$일 때, $\operatorname{Pfn}(X,Y;κ)$는 λ-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.^[1]

  
  
  이러한 성질들은 강제법과 같은 수학 분야에서 중요하게 사용된다.^[1]
  

  3. 1. 조합론적 성질

  $\operatorname{Pfn}(X,Y)$의 크기는 다음과 같다.^[1]
  
  :$|\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)|=(|Y|+1)^$

  =\sum_{A\in\mathcal P(X)}|Y|^

  
  
  =\sum_{0\le\kappa\le|X|}|Y|^\kappa\binom

  \kappa
  
  
  
  (이는 $X$, $Y$가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)
  
  $\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)$의 크기는 다음과 같다.^[1]
  
  :

  \kappa
  
  
  

  3. 2. 순서론적 성질

  $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$의 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이며, $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$의 극대 원소는 $\backslash operatorname\{dom\}f=X$인 함수$f\backslash in\; Y^X\backslash subseteq\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$이다.
  
  Y^영어가 가산 집합이면, Pfn(X,Y;ℵ₀)^영어는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.^[1] 이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.^[1]
  
  임의의 집합 X^영어, Y^영어 및 기수 κ^영어에 대해,
  
  :
  
  일 때, Pfn(X,Y;κ)^영어는 λ^영어-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.^[1]
  
  임의의 기수$\backslash kappa\backslash ge\backslash aleph\_0$ 및 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$의 포괄적 순서 아이디얼 $G\backslash subseteq\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$가 주어졌을 때, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 $\backslash sup\; G\backslash in\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$가 항상 존재하며, 다음이 성립한다.^[21]

  
  
  • $\backslash aleph\_0\backslash le\backslash kappa$라면, $\backslash operatorname\{dom\}\backslash sup\; G=X$이다. 즉, $\backslash sup\; G\backslash in\; Y^X$는 ($X$ 전체에 정의된) 함수이다.
  • $\backslash aleph\_0\backslash le\backslash kappa\backslash le|X|$라면, $\backslash operatorname\{im\}\backslash sup\; G=Y$이다. 즉, $\backslash sup\; G\backslash in\; Y^X$는 전사 함수이다.

  3. 2. 1. 극대·극소 원소

  $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$의 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다. $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$의 극대 원소는 $\backslash operatorname\{dom\}f=X$인 함수$f\backslash in\; Y^X\backslash subseteq\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$이다.
  

  3. 2. 2. 반사슬 조건

  Y^영어가 가산 집합이면, Pfn(X,Y;ℵ₀)^영어는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.^[1] 이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.^[1]
  
  임의의 집합 X^영어, Y^영어 및 기수 κ^영어가 주어졌다고 하고,
  
  :
  
  라고 하자. 그렇다면, Pfn(X,Y;κ)^영어는 λ^영어-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.^[1]
  

  3. 2. 3. 포괄적 순서 아이디얼

  임의의 기수$\backslash kappa\backslash ge\backslash aleph\_0$ 및 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$의 포괄적 순서 아이디얼 $G\backslash subseteq\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 $\backslash sup\; G\backslash in\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.^[21]

  
  
  • 만약 $\backslash aleph\_0\backslash le\backslash kappa$라면, $\backslash operatorname\{dom\}\backslash sup\; G=X$이다. 즉, $\backslash sup\; G\backslash in\; Y^X$는 ($X$ 전체에 정의된) 함수이다.
  • 증명: 임의의 $x\backslash in\; X$에 대하여, $x$에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 $D\_x=\backslash \{f\backslash in\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)\backslash colon\; x\backslash in\backslash operatorname\{dom\}f\backslash \}$는 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$의 공종 집합이다. 따라서 $f\backslash in\; G\backslash cap\; D\_x$가 존재하며, 특히 $f\backslash le\backslash sup\; G$이자 $x\backslash in\backslash operatorname\{dom\}f\backslash subseteq\backslash operatorname\{dom\}\backslash sup\; G$이다.
  • 만약 $\backslash aleph\_0\backslash le\backslash kappa\backslash le|X|$라면, $\backslash operatorname\{im\}\backslash sup\; G=Y$이다. 즉, $\backslash sup\; G\backslash in\; Y^X$는 전사 함수이다.
  • 증명: 임의의 $y\backslash in\; Y$에 대하여, $y$가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 $D\_y=\backslash \{f\backslash in\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)\backslash colon\; y\backslash in\backslash operatorname\{im\}f\backslash \}$는 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$의 공종 집합이다. 따라서 $f\backslash in\; G\backslash cap\; D\_y$가 존재하며, 특히 $f\backslash le\backslash sup\; G$이자 $y\backslash in\backslash operatorname\{im\}f\backslash subseteq\backslash operatorname\{im\}\backslash sup\; G$이다.

  3. 3. 범주론적 성질

  다음과 같은 범주 $\backslash operatorname\{Set\_\{part\}\}$를 생각하자.

  
  
  • $\backslash operatorname\{Set\_\{part\}\}$의 대상은 집합이다.
  • 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 사상 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$은 부분 정의 함수 $f\backslash in\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$이다.

  
  
  그렇다면, $\backslash operatorname\{Set\_\{part\}\}$는 점을 가진 집합의 범주 $\backslash operatorname\{Set\}\_\backslash bullet$와 동치이다.^[19]
  
  :$\backslash operatorname\{Set\_\{part\}\}\backslash simeq\backslash operatorname\{Set\}\_\backslash bullet$
  
  다음과 같은 범주 $\backslash operatorname\{Set\_\{part,inj\}\}$를 생각하자.

  
  
  • $\backslash operatorname\{Set\_\{part,inj\}\}$의 대상은 집합이다.
  • 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 사상 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$은 단사 부분 정의 함수 $f\backslash in\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$이다. (즉, 이는 $X$의 부분 집합과 $Y$의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

  
  
  그렇다면 $\backslash operatorname\{Set\_\{part,inj\}\}$는 스스로의 반대 범주와 동치이다.^[20]
  
  :$\backslash operatorname\{Set\_\{part,inj\}\}\backslash simeq\backslash operatorname\{Set\_\{part,inj\}\}^\{\backslash operatorname\{op\}\}$
  
  집합과 부분 사상의 범주는 기점 있는 집합과 기점을 보존하는 사상의 범주에 범주 동치이다.^[12]
  
  집합과 부분 전단사 함수의 범주는 자신의 쌍대에 동치이다.^[13] 이것은 가역 범주의 원형적인 예이다.^[14]
  

  3. 4. 강제법적 성질

  ZFC의 가산 표준 추이적 모형 $M$ 및 $X,Y\backslash in\; M$과 $\backslash kappa\backslash in\backslash operatorname\{Card\}^M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 $M$ 속에서 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y,\backslash kappa)^M\backslash in\; M$을 구성할 수 있다. 그렇다면, $M$에 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y,\backslash kappa)^M$의 포괄적 순서 아이디얼 $G\backslash subseteq\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y,\backslash kappa)^M$를 추가한 강제법 모형 $M[G]$를 정의할 수 있다. 이를 '''코언 강제법'''(Cohen forcing^영어)이라고 한다.^[21]
  
  구체적으로, $S\backslash in\; M$에 대하여 $X=S\backslash times\backslash mathbb\; N$이자 $Y=\backslash \{0,1\backslash \}$, $\backslash kappa=\backslash aleph\_0$이라고 놓자. ($\backslash aleph\_0=\backslash mathbb\; N=\backslash omega$는 절대적이다.) 또한
  
  :$M\backslash models|S|\backslash ge\backslash aleph\_2$
  
  라고 하자. 즉,
  
  :$|S|\backslash ge\backslash omega\_2^M$
  
  이라고 하자. (여기서 $\backslash omega\_1^M\backslash in\backslash operatorname\{Ord\}^M=\backslash operatorname\{Ord\}\backslash cap\; M$은 서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면
  
  :$M[G]\backslash models\backslash lnot\backslash mathsf\{CH\}$
  
  임을 보일 수 있다.^[21] ($\backslash mathsf\{CH\}$는 연속체 가설).
  

  4. 기본 개념

  부분 정의 함수는 정의역이 주어진 집합 $X$의 부분 집합이고, 공역이 $Y$인 함수 $f$를 의미한다. $X$에서 $Y$로 가는 부분 정의 함수들의 집합은 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$로 표기한다.
  
  부분 정의 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
  
  :$\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)=\backslash bigsqcup\_\{A\backslash subseteq\; X\}Y^A$
  
  부분 정의 함수는 점을 가진 집합을 사용하여 표현할 수도 있다.
  
  :$X\_\backslash bullet=X\backslash sqcup\backslash \{\backslash bullet\_X\backslash \}$
  
  :$Y\_\backslash bullet=X\backslash sqcup\backslash \{\backslash bullet\_Y\backslash \}$

  
  
  • 부분 정의 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$
  • 점을 보존하는 함수 $f\_\backslash bullet\backslash colon\; X\_\backslash bullet\backslash to\; Y\_\backslash bullet$
  • 함수 $f\_\backslash bullet|\_X\backslash colon\; X\backslash to\; Y\_\backslash bullet$

  
  이 경우
  
  :$\backslash operatorname\{dom\}f=f\_\backslash bullet^\{-1\}(Y)=f\_\backslash bullet^\{-1\}(Y\_\backslash bullet\backslash setminus\backslash \{\backslash bullet\_Y\backslash \})$
  
  이다. 특히, $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$는 지수 집합 $Y\_\backslash bullet^X$와 표준적으로 일대일 대응한다.
  
  부분 함수는 전체 집합에 대해 정의되지 않을 수 있는 두 집합 사이의 관계를 고려할 때 사용된다. 예를 들어, 실수의 제곱근 연산은 음의 실수가 실수 제곱근을 갖지 않으므로, $\backslash mathbb\{R\}$에서 $\backslash mathbb\{R\}$로의 부분 함수로 볼 수 있다. 이때 부분 함수의 정의역은 $[0,\; +\backslash infty)$이다.
  
  부분 함수의 개념은 정확한 정의역을 알 수 없거나 알 수 없는 경우에 유용하다. 컴퓨터 과학에서 정지 문제가 그 예시이다.
  
  정의역이 전체 집합과 같을 경우, 부분 함수는 "전체"라고 불린다. 즉, $X$에서 $Y$로의 전체 부분 함수는 $X$에서 $Y$로의 함수와 같다.
  
  부분 함수는 정의역으로 제한된 함수가 단사, 전사, 전단사일 때 각각 단사, 전사, 전단사라고 한다.
  
  부분 사상 $f$에 대해 $f(x)$가 정의되는 값 $x$ 전체로 이루어진 집합을 $f$의 정의역이라고 하며, $D(f)$나 $Def(f)$와 같이 나타낸다. 집합 $X$는 $f$의 시역이라고 불린다.
  
  시역 $X$, 공역 $Y$의 부분 사상은 $f:\; X\; ⇸\; Y$와 같이 세로줄이 있는 화살표로 나타내는 경우가 있다. 또는
  
  :$f\backslash colon\; X\backslash rightsquigarrow\; Y,\backslash quad\; f\backslash colon\; \{\}\_\backslash subseteq\; X\; \backslash to\; Y,\; \backslash quad\; f\backslash colon\; X\; \backslash underset\{p\}\; Y,\; \backslash quad\; f\backslash colon\; X\backslash rightarrowtail\; Y$
  
  등으로도 나타낸다.
  
  변환의 개념도 부분 사상에 의해 일반화할 수 있다. 즉, 집합 $X$ 위의 부분 변환이란 사상 $f:\; A\; \to \; B$이며, $A,\; B$가 모두 $X$의 부분 집합이 되는 것을 말한다.^[11]
  

  5. Function spaces (함수 공간)

  집합 $X$와 $Y$가 주어졌을 때, $X$에서 $Y$로 가는 '''부분 정의 함수'''는 정의역 $\backslash operatorname\{dom\}f$이 $X$의 부분 집합이며, 공역이 $Y$인 함수 $f$이다. 이들의 집합은 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$ 또는 $[X\; \backslash rightharpoonup\; Y]$로 표기한다.
  
  :$\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)\; =\; [X\; \backslash rightharpoonup\; Y]\; =\; \backslash bigsqcup\_\{A\backslash subseteq\; X\}Y^A\; =\; \backslash bigcup\_\{D\; \backslash subseteq\; X\}\; [D\; \backslash to\; Y]$
  
  이는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합
  
  :$X\_\backslash bullet=X\backslash sqcup\backslash \{\backslash bullet\_X\backslash \}$
  
  :$Y\_\backslash bullet=X\backslash sqcup\backslash \{\backslash bullet\_Y\backslash \}$
  
  를 정의한다. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.

  
  
  • 부분 정의 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$
  • 점을 보존하는 함수 $f\_\backslash bullet\backslash colon\; X\_\backslash bullet\backslash to\; Y\_\backslash bullet$
  • 함수 $f\_\backslash bullet|\_X\backslash colon\; X\backslash to\; Y\_\backslash bullet$

  
  
  이 경우
  
  :$\backslash operatorname\{dom\}f=f\_\backslash bullet^\{-1\}(Y)=f\_\backslash bullet^\{-1\}(Y\_\backslash bullet\backslash setminus\backslash \{\backslash bullet\_Y\backslash \})$
  
  이다. 특히, $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$는 지수 집합 $Y\_\backslash bullet^X$와 표준적으로 일대일 대응한다.
  
  $X\backslash to\; Y$ 부분 정의 함수들의 집합 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$ 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.
  
  :$f\backslash le\; g\backslash iff\; \backslash left(\backslash operatorname\{dom\}f\backslash subseteq\backslash operatorname\{dom\}g\backslash land\; g|\_\{\backslash operatorname\{dom\}f\}=f\backslash right)$
  
  그렇다면 $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)$는 부분 순서 집합을 이룬다.
  
  기수 $\backslash kappa$가 주어졌을 때, $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash kappa)$는 정의역의 크기가 $\backslash kappa$ 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.^[21]
  
  :
  
  =\bigsqcup_{A\subseteq X}^{|A|<\kappa}Y^A
  
  이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.
  
  $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)\backslash cong\; Y\_\backslash bullet^X$의 크기는 다음과 같다.
  
  :$|\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y)|=(|Y|+1)^$

  =\sum_{A\in\mathcal P(X)}|Y|^

  
  
  =\sum_{0\le\kappa\le|X|}|Y|^\kappa\binom

  \kappa
  
  
  
  (이는 $X$, $Y$가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)
  
  $\backslash operatorname\{Pfn\}(X,Y;\backslash lambda)$의 크기는 다음과 같다.
  
  :

  \kappa
  
  
  
  유한한 경우, $[X\; \backslash rightharpoonup\; Y]$의 기수는 다음과 같다.
  
  :$|[X\; \backslash rightharpoonup\; Y]|\; =\; (|Y|\; +\; 1)^$

  
  
  어떤 부분 함수든 $Y$에 포함되지 않은 고정된 값 $c$에 의해 함수로 확장될 수 있기 때문이다. 따라서 공역은 $Y\; \backslash cup\; \backslash \{\; c\; \backslash \}$가 되며, 이 연산은 단사 함수(제약에 의해 고유하고 역변환 가능)이다.
  

  6. Discussion and examples (논의 및 예시)

  집합 $X$와 $Y$가 주어졌을 때, $X$에서 $Y$로 가는 '''부분 정의 함수'''는 정의역 $\backslash operatorname\{dom\}f$이 $X$의 부분 집합이고, 공역이 $Y$인 함수 $f$이다. 부분 정의 함수는 점을 가진 집합
  
  :$X\_\backslash bullet=X\backslash sqcup\backslash \{\backslash bullet\_X\backslash \}$
  
  :$Y\_\backslash bullet=X\backslash sqcup\backslash \{\backslash bullet\_Y\backslash \}$
  
  를 이용하여 정의할 수 있다. 이 경우 다음 세 개념은 동치이다.

  
  
  • 부분 정의 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$
  • 점을 보존하는 함수 $f\_\backslash bullet\backslash colon\; X\_\backslash bullet\backslash to\; Y\_\backslash bullet$
  • 함수 $f\_\backslash bullet|\_X\backslash colon\; X\backslash to\; Y\_\backslash bullet$

  
  이때,
  
  :$\backslash operatorname\{dom\}f=f\_\backslash bullet^\{-1\}(Y)=f\_\backslash bullet^\{-1\}(Y\_\backslash bullet\backslash setminus\backslash \{\backslash bullet\_Y\backslash \})$
  
  이다.
  
  위 다이어그램에서 첫 번째 그림은 왼쪽 집합의 요소 1이 오른쪽 집합의 어떤 것과도 연결되어 있지 않으므로 부분 함수를 나타낸다. 반면 두 번째 그림은 왼쪽 집합의 모든 요소가 오른쪽 집합의 정확히 하나의 요소와 연결되어 있으므로 함수를 나타낸다.
  

  6. 1. Natural logarithm (자연 로그)

  실수를 자신에게 매핑하는 자연 로그 함수를 생각해보자. 0 이하의 실수의 로그는 실수가 아니므로, 자연 로그 함수는 공역의 어떤 실수도 정의역의 0 이하의 실수에 연결하지 않는다. 따라서 자연 로그 함수는 실수를 자신에게 매핑하는 함수로 볼 때는 함수가 아니지만, 부분 함수이다. 정의역을 양의 실수만 포함하도록 제한하면 (즉, 자연 로그 함수를 양의 실수를 실수에 매핑하는 함수로 보면), 자연 로그는 함수가 된다.
  

  6. 2. Subtraction of natural numbers (자연수의 뺄셈)

  자연수의 뺄셈(여기서 N|N^영어는 음이 아닌 정수를 나타냄)은 부분 함수이다.^[1]
  
  :$f\; :\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash times\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash rightharpoonup\; \backslash mathbb\{N\}$
  
  :$f(x,y)\; =\; x\; -\; y.$
  
  이는 $x\; \backslash geq\; y.$일 때만 정의된다.^[1]
  

  6. 3. Bottom element (바닥 요소)

  지시적 의미론에서 부분 함수는 정의되지 않은 경우 바닥 요소를 반환하는 것으로 간주된다.^[10]
  
  컴퓨터 과학에서 부분 함수는 예외를 발생시키거나 영원히 루프를 도는 서브루틴에 해당한다. IEEE 부동 소수점 표준은 부동 소수점 연산이 정의되지 않고 예외가 억제될 때, 예를 들어 음수의 제곱근을 요청할 때 반환되는 NaN(not-a-number, 숫자가 아님) 값을 정의한다.
  
  프로그래밍 언어에서 함수 매개변수가 정적으로 형식화되는 경우, 함수의 정확한 정의역을 언어의 형식 시스템으로 표현할 수 없기 때문에 함수를 부분 함수로 정의할 수 있다. 따라서 프로그래머는 대신 함수 정의의 정의역을 포함하고 형식으로 표현할 수 있는 가장 작은 정의역을 제공한다.
  

  6. 4. In category theory (범주론에서)

  범주론에서, 구체적 범주의 사상 합성을 고려할 때, 합성 연산 $\backslash circ\; \backslash ;:\backslash ;\; \backslash hom(C)\; \backslash times\; \backslash hom(C)\; \backslash to\; \backslash hom(C)$는 $\backslash operatorname\{ob\}(C)$가 하나의 원소를 가질 때만 전사 함수가 된다.^[2] 이는 두 사상 $f\; :\; X\; \backslash to\; Y$와 $g\; :\; U\; \backslash to\; V$가 $g\; \backslash circ\; f$로 합성될 수 있는 것은 $Y\; =\; U,$ 즉, $f$의 공역이 $g$의 정의역과 같아야 하기 때문이다.^[2]
  

  6. 5. In abstract algebra (추상대수학에서)

  추상대수학에서 Partial algebra^영어는 부분 사상으로 되어 있는 연산(부분 연산)을 허용하는 대수계의 일반화이다. 예를 들어 체는 영(0)으로 나누기가 정의되지 않으므로 나눗셈이 진정한 부분 연산이다.^[15]
  
  주어진 밑집합 $X$ 상의 부분 사상의 전체를 이루는 집합은, $X$ 상의 전부분 변환 반군이라고 불리는 정규 반군을 이루며, 전형적으로 $\backslash mathcal\{PT\}\_X$와 같이 표기된다.^[16][17][18] 또한 $X$ 상의 부분 전단사 전체를 이루는 집합은 대칭 역반군을 이룬다.^[16][17]
  

  7. 性質等 (성질 등)

  부분 정의 함수는 범주론과 추상대수학 등에서 중요하게 다루어지는 특정한 성질들을 가지고 있다.
  
  범주론에서 구체적 범주의 사상 합성 연산은, 첫 번째 사상의 공역이 두 번째 사상의 정의역과 같아야 한다는 조건 하에서만 전사 함수가 된다. 집합과 부분 함수의 범주는 범주의 동치이지만 범주의 동형은 아니며,^[2] '부적절한', '무한' 원소를 추가하여 위상수학(일점 컴팩트화) 및 이론 컴퓨터 과학 등에서 여러 번 재발명되었다.^[3] 집합과 부분 전단사 함수의 범주는 그 쌍대 범주와 동치이고,^[4] 전형적인 역 범주이다.^[5] 집합과 부분 사상의 범주는 점 있는 집합과 기점을 보존하는 사상의 범주에 범주 동치이지만 범주의 동형은 아니다.^[12] 또한 집합과 부분 전단사 함수의 범주는 자신의 쌍대에 동치이며,^[13] 가역 범주의 원형적인 예이다.^[14]
  
  추상대수학에서 Partial algebra|편대수^영어는 부분 사상으로 표현되는 연산(편연산)을 허용하는 대수계의 일반화이다. 예를 들어 체에서 영(0)으로 나누기는 정의되지 않으므로 나눗셈은 부분 연산이다.^[15] 주어진 밑집합 $X$ 위의 부분 사상 전체 집합은 $X$ 위의 전부분 변환 반군(regular semigroup|정규 반군^영어)을 이루며, $\backslash mathcal\{PT\}\_X$로 표기된다.^[16][17][18] $X$ 위의 부분 전단사 전체 집합은 symmetric inverse semigroup|대칭 역반군^영어을 이룬다.^[16][17]
  

  7. 1. 圏論 (범주론)

  범주론에서, 구체적 범주의 사상 합성 연산 $\backslash circ\; \backslash ;:\backslash ;\; \backslash hom(C)\; \backslash times\; \backslash hom(C)\; \backslash to\; \backslash hom(C)$는 $\backslash operatorname\{ob\}(C)$가 하나의 원소를 가질 때만 전사 함수가 된다. 이는 두 사상 $f\; :\; X\; \backslash to\; Y$와 $g\; :\; U\; \backslash to\; V$가 $g\; \backslash circ\; f$로 합성되려면 $Y\; =\; U,$ 즉, $f$의 공역이 $g$의 정의역과 같아야 하기 때문이다.
  
  집합과 부분 함수의 범주는 범주의 동치이지만, 범주의 동형은 아니다.^[2] 한 교재에서는 "이러한 집합과 부분 맵의 형식적 완결은 '부적절한', '무한' 원소를 추가하여 여러 번 재발명되었으며, 특히 위상수학(일점 컴팩트화) 및 이론 컴퓨터 과학에서 재발명되었다."라고 언급한다.^[3]
  
  집합과 부분 전단사 함수의 범주는 그 쌍대 범주와 동치이다.^[4] 이는 전형적인 역 범주이다.^[5] 집합과 부분 사상의 범주는 기점 있는 집합과 기점을 보존하는 사상의 범주에 범주 동치이지만 범주 동형은 아니다.^[12]
  
  집합과 부분 전단사 함수의 범주는 자신의 쌍대에 동치이다.^[13] 이것은 가역 범주의 원형적인 예이다.^[14]
  

  7. 2. 抽象代数学 (추상대수학)

  추상대수학에서 Partial algebra|편대수^영어는 부분 사상으로 되어 있는 연산(편연산)을 허용하는 대수계의 일반화이다. 예를 들어 체는 영(0)으로 나누기가 정의되지 않으므로 나눗셈이 진정한 편연산이다.^[15]
  
  주어진 밑집합 $X$ 상의 부분 사상의 전체를 이루는 집합은, $X$ 상의 전부분 변환 반군이라고 불리는 regular semigroup|정규 반군^영어을 이루며, 전형적으로 $\backslash mathcal\{PT\}\_X$와 같이 표기된다.^[16][17][18] 또한 $X$ 상의 부분 전단사 전체를 이루는 집합은 symmetric inverse semigroup|대칭 역반군^영어을 이룬다.^[16][17]
  

  8. Charts and atlases for manifolds and fiber bundles (다양체와 올다발의 차트와 아틀라스)

  아틀라스 내의 다양체와 올다발의 구조를 지정하는 차트는 부분 함수이다.^[1] 다양체의 경우, 정의역은 다양체의 점 집합이고, 올다발의 경우 정의역은 올다발의 공간이다.^[1] 이러한 응용 분야에서 가장 중요한 구성 요소는 한 차트와 다른 차트의 역함수의 합성인 전이 사상이다.^[1] 다양체와 올다발의 초기 분류는 이러한 전이 사상에 대한 제약 조건으로 광범위하게 표현된다.^[1]
  
  함수 대신 부분 함수를 사용하는 이유는 일반적인 전역 위상을 로컬 패치를 함께 연결하여 전역 구조를 설명할 수 있도록 하기 위함이다.^[1] 여기서 "패치"는 차트가 정의된 정의역을 의미한다.^[1]
  

  참조

  _[1] 서적 Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups https://books.google[...] American Mathematical Society
  _[2] 서적 Categorical Perspectives Springer Science & Business Media
  _[3] 서적 A Course in Mathematical Logic for Mathematicians Springer Science & Business Media
  _[4] 서적 Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures https://books.google[...] Cambridge University Press
  _[5] 서적 Homological Algebra: The Interplay of Homology with Distributive Lattices and Orthodox Semigroups https://books.google[...] World Scientific
  _[6] 서적 Algebras and Orders Springer Science & Business Media
  _[7] 서적 The Algebraic Theory of Semigroups. Volume II https://books.google[...] American Mathematical Soc.
  _[8] 서적 Techniques of semigroup theory Oxford University Press, Incorporated
  _[9] 서적 Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction https://archive.org/[...] Springer Science & Business Media
  _[10] 서적 Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups https://books.google[...] American Mathematical Society
  _[11] 서적 Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups https://books.google[...] American Mathematical Society
  _[12] 서적 Categorical Perspectives Springer Science & Business Media
  _[13] 서적 Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures https://books.google[...] Cambridge University Press
  _[14] 서적 Homological Algebra: The Interplay of Homology with Distributive Lattices and Orthodox Semigroups https://books.google[...] World Scientific
  _[15] 서적 Algebras and Orders Springer Science & Business Media
  _[16] 서적 The Algebraic Theory of Semigroups. Volume II https://books.google[...] American Mathematical Soc.
  _[17] 서적 Techniques of semigroup theory Oxford University Press, Incorporated
  _[18] 서적 Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction Springer Science & Business Media
  _[19] 서적 Categorical perspectives Birkhäuser 2001
  _[20] 서적 Handbook of categorical algebra. Volume 2: categories and structures Cambridge University Press 1994
  _[21] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs http://store.elsevie[...] North-Holland 1980
  

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