부분 정의 함수

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1. 개요

부분 정의 함수는 집합 X에서 집합 Y로 가는 함수로, 정의역이 X의 부분 집합이고 공역이 Y인 함수이다. 부분 정의 함수는 점을 가진 집합을 이용하여 정의하거나, 전체 집합에 대해 정의되지 않을 수 있는 두 집합 간의 사상으로 생각할 수 있다. 부분 정의 함수는 함수 공간, 범주론, 추상대수학 등 다양한 분야에서 활용되며, 자연 로그 함수, 자연수의 뺄셈과 같은 예시가 있다. 또한, 다양체와 올다발의 구조를 정의하는 차트와 아틀라스에서도 부분 함수가 사용된다.

부분 정의 함수

개요

유형	수학적 함수
분야	수학, 컴퓨터 과학
반대 개념	전역 함수

정의

정의	함수는 정의역의 모든 원소에 대해 정의될 필요는 없음

예시

예시 1	실수에서 실수를 반환하는 함수 f(x) = 1/x는 x = 0에서 정의되지 않으므로 부분 함수임
예시 2	제곱근 함수는 음수에 대해 정의되지 않으므로 부분 함수임
예시 3	프로그래밍 언어에서 부분 함수는 특정 입력에 대해 정의되지 않은 값을 반환할 수 있음

속성

속성	부분 함수는 정의역의 일부에서만 정의됨

같이 보기

관련 개념	전사 함수, 전단사 함수

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2. 정의

집합 $X$ 에서 집합 $Y$ 로 가는 부분 정의 함수는 $X$ 의 부분 집합을 정의역으로 갖고, 공역이 $Y$ 인 함수 $f$ 이다. $X$ 에서 $Y$ 로 가는 부분 정의 함수들의 집합을 $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 로 표기한다.

: $\operatorname{Pfn}(X,Y)=\bigsqcup_{A\subseteq X}Y^A$

부분 정의 함수는 점을 가진 집합을 이용하여 다르게 정의할 수도 있다. 점을 가진 집합은 다음과 같이 정의한다.

: $X_\bullet=X\sqcup\{\bullet_X\}$
: $Y_\bullet=X\sqcup\{\bullet_Y\}$

그러면 다음 세 개념은 동치이다.
* 부분 정의 함수 $f\colon X\to Y$
* 점을 보존하는 함수 $f_\bullet\colon X_\bullet\to Y_\bullet$
* 함수 $f_\bullet|_X\colon X\to Y_\bullet$

이때,
: $\operatorname{dom}f=f_\bullet^{-1}(Y)=f_\bullet^{-1}(Y_\bullet\setminus\{\bullet_Y\})$
이다. 특히, $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 는 지수 집합 $Y_\bullet^X$ 와 표준적으로 일대일 대응한다.

--
--

부분 함수는 전체 집합 $X$ 에 대해 정의되지 않을 수 있는 두 집합 $X$ 와 $Y$ 사이의 관계를 나타낼 때 유용하다. 예를 들어, 실수 $\mathbb{R}$ 에 대한 제곱근 연산은 음의 실수가 실수 제곱근을 갖지 않으므로, $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로의 부분 함수로 볼 수 있다. 이때, 부분 함수의 "정의역"은 부분 함수가 정의된 $X$ 의 부분 집합 $S$ 가 된다. 제곱근 연산에서 집합 $S$ 는 음이 아닌 실수 $[0, +\infty)$ 로 구성된다.

부분 함수의 개념은 정확한 정의역을 알 수 없거나 알 수 없는 경우에 편리하다. 정의역 $S$ 가 전체 집합 $X$ 와 같을 경우, 부분 함수는 "전체"라고 하며, $X$ 에서 $Y$ 로의 전체 부분 함수는 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수와 같다.

함수의 여러 성질은 부분 함수의 적절한 의미로 확장될 수 있다. 부분 함수는 정의역으로 제한된 함수가 단사, 전사, 전단사일 때 각각 단사, 전사, 전단사라고 한다.

부분 전단사 함수는 단사인 부분 함수를 나타낸다. 단사 부분 함수는 단사 부분 함수로 역변환될 수 있으며, 단사이면서 전사인 부분 함수는 역함수로 단사 함수를 갖는다. 또한, 단사 함수는 전단사 부분 함수로 역변환될 수 있다.

변환의 개념도 부분 함수로 일반화할 수 있다. 부분 변환은 $f : A \rightharpoonup B,$ 함수이며, 여기서 $A$ 와 $B$ 는 모두 어떤 집합 $X$ 의 부분 집합이다.

2.1. 부분 순서

partial order^영어를 줄 수 있다.

: $f\le g\iff \left(\operatorname{dom}f\subseteq\operatorname{dom}g\land g|_{\operatorname{dom}f}=f\right)$

그렇다면 $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 $\kappa$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 는 정의역의 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.

: $\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)\colon|\operatorname{dom}f|<\kappa\}=\bigsqcup_{A\subseteq X}^{|A|<\kappa}Y^A$

이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

3. 성질

부분 정의 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 조합론적 성질: $\operatorname{Pfn}(X,Y)$의 크기는 $(|Y|+1)^

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$이다. 이는 X와 Y가 무한 집합일 경우에도 성립한다.
* 순서론적 성질:
* $\operatorname{Pfn}(X,Y)$의 최소 원소는 정의역이 공집합인 함수이다.
* $\operatorname{Pfn}(X,Y)$의 극대 원소는 정의역이 X 전체인 함수이다. 즉, $\operatorname{dom}f=X$인 함수 $f\in Y^X\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y)$이다.
* Y가 가산 집합이면, $\operatorname{Pfn}(X,Y;ℵ₀)$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.
* 임의의 집합 X, Y 및 기수 κ에 대해, $\lambda=(|Y|^{<\kappa})^+=\left(\sup_{\kappa'<\kappa}|Y|^\kappa\right)^+$일 때, $\operatorname{Pfn}(X,Y;κ)$는 λ-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

이러한 성질들은 강제법과 같은 수학 분야에서 중요하게 사용된다.

3.1. 조합론적 성질

$\operatorname{Pfn}(X,Y)$의 크기는 다음과 같다.

: $|\operatorname{Pfn}(X,Y)|=(|Y|+1)^$

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=\sum_{A\in\mathcal P(X)}|Y|^

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=\sum_{0\le\kappa\le|X|}|Y|^\kappa\binom

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\kappa

(이는

X

Y

가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

$\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)$의 크기는 다음과 같다.

:

|\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)|=\sum_{0\le\kappa<\lambda}|Y|^\kappa\binom

👆

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\kappa

3.2. 순서론적 성질

$\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 의 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이며, $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 의 극대 원소는 $\operatorname{dom}f=X$ 인 함수 $f\in Y^X\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 이다.

Y^영어가 가산 집합이면, Pfn(X,Y;ℵ₀)^영어는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. 이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.

임의의 집합 X^영어, Y^영어 및 기수 κ^영어에 대해,
: $\lambda=(|Y|^{<\kappa})^+=\left(\sup_{\kappa'<\kappa}|Y|^\kappa\right)^+$
일 때, Pfn(X,Y;κ)^영어는 λ^영어-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

임의의 기수 $\kappa\ge\aleph_0$ 및 $\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 가 주어졌을 때, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 $\sup G\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 가 항상 존재하며, 다음이 성립한다.

* $\aleph_0\le\kappa$ 라면, $\operatorname{dom}\sup G=X$ 이다. 즉, $\sup G\in Y^X$ 는 ( $X$ 전체에 정의된) 함수이다.
* $\aleph_0\le\kappa\le|X|$ 라면, $\operatorname{im}\sup G=Y$ 이다. 즉, $\sup G\in Y^X$ 는 전사 함수이다.

3.2.1. 극대·극소 원소

$\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 의 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다. $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 의 극대 원소는 $\operatorname{dom}f=X$ 인 함수 $f\in Y^X\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 이다.

3.2.2. 반사슬 조건

Y^영어가 가산 집합이면, Pfn(X,Y;ℵ₀)^영어는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. 이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.

임의의 집합 X^영어, Y^영어 및 기수 κ^영어가 주어졌다고 하고,
: $\lambda=(|Y|^{<\kappa})^+=\left(\sup_{\kappa'<\kappa}|Y|^\kappa\right)^+$
라고 하자. 그렇다면, Pfn(X,Y;κ)^영어는 λ^영어-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

3.2.3. 포괄적 순서 아이디얼

임의의 기수 $\kappa\ge\aleph_0$ 및 $\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼은 상향 원순서 집합이므로 상한 $\sup G\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.

* 만약 $\aleph_0\le\kappa$ 라면, $\operatorname{dom}\sup G=X$ 이다. 즉, $\sup G\in Y^X$ 는 ( $X$ 전체에 정의된) 함수이다.
* 증명: 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $x$ 에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 $D_x=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)\colon x\in\operatorname{dom}f\}$ 는 $\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 의 공종 집합이다. 따라서 $f\in G\cap D_x$ 가 존재하며, 특히 $f\le\sup G$ 이자 $x\in\operatorname{dom}f\subseteq\operatorname{dom}\sup G$ 이다.
* 만약 $\aleph_0\le\kappa\le|X|$ 라면, $\operatorname{im}\sup G=Y$ 이다. 즉, $\sup G\in Y^X$ 는 전사 함수이다.
* 증명: 임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $y$ 가 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 $D_y=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)\colon y\in\operatorname{im}f\}$ 는 $\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 의 공종 집합이다. 따라서 $f\in G\cap D_y$ 가 존재하며, 특히 $f\le\sup G$ 이자 $y\in\operatorname{im}f\subseteq\operatorname{im}\sup G$ 이다.

3.3. 범주론적 성질

다음과 같은 범주 $\operatorname{Set_{part}}$ 를 생각하자.

* $\operatorname{Set_{part}}$ 의 대상은 집합이다.
* 두 집합 $X$ , $Y$ 사이의 사상 $f\colon X\to Y$ 은 부분 정의 함수 $f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 이다.

그렇다면, $\operatorname{Set_{part}}$ 는 점을 가진 집합의 범주 $\operatorname{Set}_\bullet$ 와 동치이다.
: $\operatorname{Set_{part}}\simeq\operatorname{Set}_\bullet$

다음과 같은 범주 $\operatorname{Set_{part,inj}}$ 를 생각하자.

* $\operatorname{Set_{part,inj}}$ 의 대상은 집합이다.
* 두 집합 $X$ , $Y$ 사이의 사상 $f\colon X\to Y$ 은 단사 부분 정의 함수 $f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 이다. (즉, 이는 $X$ 의 부분 집합과 $Y$ 의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

그렇다면 $\operatorname{Set_{part,inj}}$ 는 스스로의 반대 범주와 동치이다.
: $\operatorname{Set_{part,inj}}\simeq\operatorname{Set_{part,inj}}^{\operatorname{op}}$

집합과 부분 사상의 범주는 기점 있는 집합과 기점을 보존하는 사상의 범주에 범주 동치이다.

집합과 부분 전단사 함수의 범주는 자신의 쌍대에 동치이다. 이것은 가역 범주의 원형적인 예이다.

3.4. 강제법적 성질

ZFC의 가산 표준 추이적 모형 $M$ 및 $X,Y\in M$ 과 $\kappa\in\operatorname{Card}^M$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 $M$ 속에서 $\operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M\in M$ 을 구성할 수 있다. 그렇다면, $M$ 에 $\operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M$ 의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M$ 를 추가한 강제법 모형 $M[G]$ 를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(Cohen forcing^영어)이라고 한다.

구체적으로, $S\in M$ 에 대하여 $X=S\times\mathbb N$ 이자 $Y=\{0,1\}$ , $\kappa=\aleph_0$ 이라고 놓자. ( $\aleph_0=\mathbb N=\omega$ 는 절대적이다.) 또한
: $M\models|S|\ge\aleph_2$
라고 하자. 즉,
: $|S|\ge\omega_2^M$
이라고 하자. (여기서 $\omega_1^M\in\operatorname{Ord}^M=\operatorname{Ord}\cap M$ 은 서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면
: $M[G]\models\lnot\mathsf{CH}$
임을 보일 수 있다. ( $\mathsf{CH}$ 는 연속체 가설).

4. 기본 개념

부분 정의 함수는 정의역이 주어진 집합 $X$ 의 부분 집합이고, 공역이 $Y$ 인 함수 $f$ 를 의미한다. $X$ 에서 $Y$ 로 가는 부분 정의 함수들의 집합은 $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 로 표기한다.

부분 정의 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\operatorname{Pfn}(X,Y)=\bigsqcup_{A\subseteq X}Y^A$

부분 정의 함수는 점을 가진 집합을 사용하여 표현할 수도 있다.
: $X_\bullet=X\sqcup\{\bullet_X\}$
: $Y_\bullet=X\sqcup\{\bullet_Y\}$
* 부분 정의 함수 $f\colon X\to Y$
* 점을 보존하는 함수 $f_\bullet\colon X_\bullet\to Y_\bullet$
* 함수 $f_\bullet|_X\colon X\to Y_\bullet$
이 경우
: $\operatorname{dom}f=f_\bullet^{-1}(Y)=f_\bullet^{-1}(Y_\bullet\setminus\{\bullet_Y\})$
이다. 특히, $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 는 지수 집합 $Y_\bullet^X$ 와 표준적으로 일대일 대응한다.

--
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부분 함수는 전체 집합에 대해 정의되지 않을 수 있는 두 집합 사이의 관계를 고려할 때 사용된다. 예를 들어, 실수의 제곱근 연산은 음의 실수가 실수 제곱근을 갖지 않으므로, $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 로의 부분 함수로 볼 수 있다. 이때 부분 함수의 정의역은 $[0, +\infty)$ 이다.

부분 함수의 개념은 정확한 정의역을 알 수 없거나 알 수 없는 경우에 유용하다. 컴퓨터 과학에서 정지 문제가 그 예시이다.

정의역이 전체 집합과 같을 경우, 부분 함수는 "전체"라고 불린다. 즉, $X$ 에서 $Y$ 로의 전체 부분 함수는 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수와 같다.

부분 함수는 정의역으로 제한된 함수가 단사, 전사, 전단사일 때 각각 단사, 전사, 전단사라고 한다.

부분 사상 $f$ 에 대해 $f(x)$ 가 정의되는 값 $x$ 전체로 이루어진 집합을 $f$ 의 정의역이라고 하며, $D(f)$ 나 $Def(f)$ 와 같이 나타낸다. 집합 $X$ 는 $f$ 의 시역이라고 불린다.

시역 $X$ , 공역 $Y$ 의 부분 사상은 $f: X ⇸ Y$ 와 같이 세로줄이 있는 화살표로 나타내는 경우가 있다. 또는
: $f\colon X\rightsquigarrow Y,\quad f\colon {}_\subseteq X \to Y, \quad f\colon X \underset{p} Y, \quad f\colon X\rightarrowtail Y$
등으로도 나타낸다.

변환의 개념도 부분 사상에 의해 일반화할 수 있다. 즉, 집합 $X$ 위의 부분 변환이란 사상 $f: A → B$ 이며, $A, B$ 가 모두 $X$ 의 부분 집합이 되는 것을 말한다.

5. Function spaces (함수 공간)

집합 $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, $X$ 에서 $Y$ 로 가는 부분 정의 함수는 정의역 $\operatorname{dom}f$ 이 $X$ 의 부분 집합이며, 공역이 $Y$ 인 함수 $f$ 이다. 이들의 집합은 $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 또는 $[X \rightharpoonup Y]$ 로 표기한다.

: $\operatorname{Pfn}(X,Y) = [X \rightharpoonup Y] = \bigsqcup_{A\subseteq X}Y^A = \bigcup_{D \subseteq X} [D \to Y]$

이는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합
: $X_\bullet=X\sqcup\{\bullet_X\}$
: $Y_\bullet=X\sqcup\{\bullet_Y\}$
를 정의한다. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.
* 부분 정의 함수 $f\colon X\to Y$
* 점을 보존하는 함수 $f_\bullet\colon X_\bullet\to Y_\bullet$
* 함수 $f_\bullet|_X\colon X\to Y_\bullet$

이 경우
: $\operatorname{dom}f=f_\bullet^{-1}(Y)=f_\bullet^{-1}(Y_\bullet\setminus\{\bullet_Y\})$
이다. 특히, $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 는 지수 집합 $Y_\bullet^X$ 와 표준적으로 일대일 대응한다.

$X\to Y$ 부분 정의 함수들의 집합 $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.
: $f\le g\iff \left(\operatorname{dom}f\subseteq\operatorname{dom}g\land g|_{\operatorname{dom}f}=f\right)$
그렇다면 $\operatorname{Pfn}(X,Y)$ 는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 $\kappa$ 가 주어졌을 때, $\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)$ 는 정의역의 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.
: $\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)\colon|\operatorname{dom}f|<\kappa\}=\bigsqcup_{A\subseteq X}^$

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|Y|^\kappa\binom

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\kappa
(이는

X

Y

가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)

의 크기는 다음과 같다.
:

|\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)|=\sum_{0\le\kappa<\lambda}|Y|^\kappa\binom

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\kappa

유한한 경우,

[X \rightharpoonup Y]

의 기수는 다음과 같다.
:

|[X \rightharpoonup Y]| = (|Y| + 1)^

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어떤 부분 함수든

Y

에 포함되지 않은 고정된 값

c

에 의해 함수로 확장될 수 있기 때문이다. 따라서 공역은

Y \cup \{ c \}

가 되며, 이 연산은 단사 함수(제약에 의해 고유하고 역변환 가능)이다.

6. Discussion and examples (논의 및 예시)

집합 $X$ 와 $Y$ 가 주어졌을 때, $X$ 에서 $Y$ 로 가는 부분 정의 함수는 정의역 $\operatorname{dom}f$ 이 $X$ 의 부분 집합이고, 공역이 $Y$ 인 함수 $f$ 이다. 부분 정의 함수는 점을 가진 집합
: $X_\bullet=X\sqcup\{\bullet_X\}$
: $Y_\bullet=X\sqcup\{\bullet_Y\}$
를 이용하여 정의할 수 있다. 이 경우 다음 세 개념은 동치이다.
* 부분 정의 함수 $f\colon X\to Y$
* 점을 보존하는 함수 $f_\bullet\colon X_\bullet\to Y_\bullet$
* 함수 $f_\bullet|_X\colon X\to Y_\bullet$
이때,
: $\operatorname{dom}f=f_\bullet^{-1}(Y)=f_\bullet^{-1}(Y_\bullet\setminus\{\bullet_Y\})$
이다.

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위 다이어그램에서 첫 번째 그림은 왼쪽 집합의 요소 1이 오른쪽 집합의 어떤 것과도 연결되어 있지 않으므로 부분 함수를 나타낸다. 반면 두 번째 그림은 왼쪽 집합의 모든 요소가 오른쪽 집합의 정확히 하나의 요소와 연결되어 있으므로 함수를 나타낸다.

6.1. Natural logarithm (자연 로그)

실수를 자신에게 매핑하는 자연 로그 함수를 생각해보자. 0 이하의 실수의 로그는 실수가 아니므로, 자연 로그 함수는 공역의 어떤 실수도 정의역의 0 이하의 실수에 연결하지 않는다. 따라서 자연 로그 함수는 실수를 자신에게 매핑하는 함수로 볼 때는 함수가 아니지만, 부분 함수이다. 정의역을 양의 실수만 포함하도록 제한하면 (즉, 자연 로그 함수를 양의 실수를 실수에 매핑하는 함수로 보면), 자연 로그는 함수가 된다.

6.2. Subtraction of natural numbers (자연수의 뺄셈)

자연수의 뺄셈(여기서 N^영어는 음이 아닌 정수를 나타냄)은 부분 함수이다.

: $f : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightharpoonup \mathbb{N}$

: $f(x,y) = x - y.$

이는 $x \geq y.$ 일 때만 정의된다.

6.3. Bottom element (바닥 요소)

지시적 의미론에서 부분 함수는 정의되지 않은 경우 바닥 요소를 반환하는 것으로 간주된다.

컴퓨터 과학에서 부분 함수는 예외를 발생시키거나 영원히 루프를 도는 서브루틴에 해당한다. IEEE 부동 소수점 표준은 부동 소수점 연산이 정의되지 않고 예외가 억제될 때, 예를 들어 음수의 제곱근을 요청할 때 반환되는 NaN(not-a-number, 숫자가 아님) 값을 정의한다.

프로그래밍 언어에서 함수 매개변수가 정적으로 형식화되는 경우, 함수의 정확한 정의역을 언어의 형식 시스템으로 표현할 수 없기 때문에 함수를 부분 함수로 정의할 수 있다. 따라서 프로그래머는 대신 함수 정의의 정의역을 포함하고 형식으로 표현할 수 있는 가장 작은 정의역을 제공한다.

6.4. In category theory (범주론에서)

범주론에서, 구체적 범주의 사상 합성을 고려할 때, 합성 연산 $\circ \;:\; \hom(C) \times \hom(C) \to \hom(C)$ 는 $\operatorname{ob}(C)$ 가 하나의 원소를 가질 때만 전사 함수가 된다. 이는 두 사상 $f : X \to Y$ 와 $g : U \to V$ 가 $g \circ f$ 로 합성될 수 있는 것은 $Y = U,$ 즉, $f$ 의 공역이 $g$ 의 정의역과 같아야 하기 때문이다.

6.5. In abstract algebra (추상대수학에서)

추상대수학에서 Partial algebra^영어는 부분 사상으로 되어 있는 연산(부분 연산)을 허용하는 대수계의 일반화이다. 예를 들어 체는 영(0)으로 나누기가 정의되지 않으므로 나눗셈이 진정한 부분 연산이다.

주어진 밑집합 $X$ 상의 부분 사상의 전체를 이루는 집합은, $X$ 상의 전부분 변환 반군이라고 불리는 정규 반군을 이루며, 전형적으로 $\mathcal{PT}_X$ 와 같이 표기된다. 또한 $X$ 상의 부분 전단사 전체를 이루는 집합은 대칭 역반군을 이룬다.

7. 性質等 (성질 등)

부분 정의 함수는 범주론과 추상대수학 등에서 중요하게 다루어지는 특정한 성질들을 가지고 있다.

범주론에서 구체적 범주의 사상 합성 연산은, 첫 번째 사상의 공역이 두 번째 사상의 정의역과 같아야 한다는 조건 하에서만 전사 함수가 된다. 집합과 부분 함수의 범주는 범주의 동치이지만 범주의 동형은 아니며, '부적절한', '무한' 원소를 추가하여 위상수학(일점 컴팩트화) 및 이론 컴퓨터 과학 등에서 여러 번 재발명되었다. 집합과 부분 전단사 함수의 범주는 그 쌍대 범주와 동치이고, 전형적인 역 범주이다. 집합과 부분 사상의 범주는 점 있는 집합과 기점을 보존하는 사상의 범주에 범주 동치이지만 범주의 동형은 아니다. 또한 집합과 부분 전단사 함수의 범주는 자신의 쌍대에 동치이며, 가역 범주의 원형적인 예이다.

추상대수학에서 Partial algebra^영어는 부분 사상으로 표현되는 연산(편연산)을 허용하는 대수계의 일반화이다. 예를 들어 체에서 영(0)으로 나누기는 정의되지 않으므로 나눗셈은 부분 연산이다. 주어진 밑집합 $X$ 위의 부분 사상 전체 집합은 $X$ 위의 전부분 변환 반군(regular semigroup^영어)을 이루며, $\mathcal{PT}_X$ 로 표기된다. $X$ 위의 부분 전단사 전체 집합은 symmetric inverse semigroup^영어을 이룬다.

7.1. 圏論 (범주론)

범주론에서, 구체적 범주의 사상 합성 연산 $\circ \;:\; \hom(C) \times \hom(C) \to \hom(C)$ 는 $\operatorname{ob}(C)$ 가 하나의 원소를 가질 때만 전사 함수가 된다. 이는 두 사상 $f : X \to Y$ 와 $g : U \to V$ 가 $g \circ f$ 로 합성되려면 $Y = U,$ 즉, $f$ 의 공역이 $g$ 의 정의역과 같아야 하기 때문이다.

집합과 부분 함수의 범주는 범주의 동치이지만, 범주의 동형은 아니다. 한 교재에서는 "이러한 집합과 부분 맵의 형식적 완결은 '부적절한', '무한' 원소를 추가하여 여러 번 재발명되었으며, 특히 위상수학(일점 컴팩트화) 및 이론 컴퓨터 과학에서 재발명되었다."라고 언급한다.

집합과 부분 전단사 함수의 범주는 그 쌍대 범주와 동치이다. 이는 전형적인 역 범주이다. 집합과 부분 사상의 범주는 기점 있는 집합과 기점을 보존하는 사상의 범주에 범주 동치이지만 범주 동형은 아니다.

집합과 부분 전단사 함수의 범주는 자신의 쌍대에 동치이다. 이것은 가역 범주의 원형적인 예이다.

7.2. 抽象代数学 (추상대수학)

추상대수학에서 Partial algebra^영어는 부분 사상으로 되어 있는 연산(편연산)을 허용하는 대수계의 일반화이다. 예를 들어 체는 영(0)으로 나누기가 정의되지 않으므로 나눗셈이 진정한 편연산이다.

주어진 밑집합 $X$ 상의 부분 사상의 전체를 이루는 집합은, $X$ 상의 전부분 변환 반군이라고 불리는 regular semigroup^영어을 이루며, 전형적으로 $\mathcal{PT}_X$ 와 같이 표기된다. 또한 $X$ 상의 부분 전단사 전체를 이루는 집합은 symmetric inverse semigroup^영어을 이룬다.

8. Charts and atlases for manifolds and fiber bundles (다양체와 올다발의 차트와 아틀라스)

아틀라스 내의 다양체와 올다발의 구조를 지정하는 차트는 부분 함수이다. 다양체의 경우, 정의역은 다양체의 점 집합이고, 올다발의 경우 정의역은 올다발의 공간이다. 이러한 응용 분야에서 가장 중요한 구성 요소는 한 차트와 다른 차트의 역함수의 합성인 전이 사상이다. 다양체와 올다발의 초기 분류는 이러한 전이 사상에 대한 제약 조건으로 광범위하게 표현된다.

함수 대신 부분 함수를 사용하는 이유는 일반적인 전역 위상을 로컬 패치를 함께 연결하여 전역 구조를 설명할 수 있도록 하기 위함이다. 여기서 "패치"는 차트가 정의된 정의역을 의미한다.

유형	수학적 함수
분야	수학, 컴퓨터 과학
반대 개념	전역 함수

정의

정의	함수는 정의역의 모든 원소에 대해 정의될 필요는 없음

예시

예시 1	실수에서 실수를 반환하는 함수 f(x) = 1/x는 x = 0에서 정의되지 않으므로 부분 함수임
예시 2	제곱근 함수는 음수에 대해 정의되지 않으므로 부분 함수임
예시 3	프로그래밍 언어에서 부분 함수는 특정 입력에 대해 정의되지 않은 값을 반환할 수 있음

속성

속성	부분 함수는 정의역의 일부에서만 정의됨

같이 보기

관련 개념	전사 함수, 전단사 함수