교환자 (환론)
1. 개요
교환자(commutator)는 환 R의 두 원소 a, b에 대해 정의되는 연산으로, [a, b] = ab - ba로 나타낸다. 반교환자는 {a, b} = ab + ba로 정의되며, 환의 표수가 2 또는 1일 경우 교환자와 일치한다. 교환자는 리 대수 및 미분 대수 구조를 가지며, 선형성을 갖는다. 양자역학에서 연산자의 교환자는 두 관측가능량의 동시 측정 가능성을 판단하는 데 중요한 역할을 하며, 불확정성 원리와 관련된다.
| 정의 | 환의 두 원소 사이의 곱셈의 비가환성을 측정하는 이항연산 |
|---|---|
| 연산 대상 | 환의 두 원소 |
| 기호 | [a, b] = ab - ba |
| 관련 개념 | 교환 법칙, 환 (수학), 리 대수 |
| 교환자 (환론) | 환의 두 원소 a, b에 대하여, 교환자는 [a, b] = ab - ba로 정의된다. |
|---|---|
| 반교환자 | 환의 두 원소 a, b에 대하여, 반교환자는 {a, b} = ab + ba로 정의된다. |
| 교환자 | "[a, b] = -[b, a]" (반대칭성) [a, b + c] = [a, b] + [a, c] "[a, bc] = [a, b]c + b[a, c]" (라이프니츠 법칙) "야코비 항등식: [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0" |
|---|---|
| 반교환자 | "{a, b} = {b, a}" (대칭성) {a, b + c} = {a, b} + {a, c} {a, bc} = {a, b}c - b{a, c} |
2. 정의
환 의 두 원소 의 교환자(交換子, commutator)는 다음과 같이 정의된다.
:
이는 두 원소의 곱셈 순서를 바꿨을 때 발생하는 차이를 나타내는 연산이다.
2.1. 교환자
환 의 두 원소 의 교환자는 다음과 같다.
:
반교환자는 다음과 같다.
:
만약 의 표수가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신
:
가 사용되기도 한다.
2.2. 반교환자
환 의 두 원소 에 대해, 반교환자는 다음과 같이 정의된다.
:
표수가 2 또는 1인 환 에서 교환자와 반교환자는 일치한다. 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 다음 기호가 사용되기도 한다.
:
2.3. 등급 교환자
가환환 K 위의 자연수 등급 대수
:
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 등급 교환자(等級交換子, graded commutator영어)를 정의할 수 있다.
:
이 연산은 간혹 대신 로 표기되기도 한다.
3. 성질
교환자는 리 대수의 연산을 이루며, 다음이 성립한다.
* `[r,r] = 0\qquad\forall r\in R`
* `[r,s] = -[s,r]\qquad\forall r,s\in R`
* (야코비 항등식영어) `[r,[s,t]] + [s,[t,r]] + [t,[r,s]] = 0\qquad\forall r,s,t\in R`
이에 따라, 가환환 위의 -결합 대수에 곱 구조 대신 교환자를 부여하면, 이는 -리 대수를 이룬다.
반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.
또한, 교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
* (곱 규칙) `[r,st] = [r,s]t + s[r,t] \qquad \forall r,s,t \in R`
* (곱 규칙) `[rs,t] = r[s,t] + [r,t]s \qquad \forall r,s,t \in R`
이에 따라, 임의의 원소 에 대하여 (또는 )를 부여하면 는 미분 대수를 이룬다.
다음 항등식들이 성립한다.
* 모든 r, s, t ∈ R에 대하여, `[r, st] = [rs, t] + [ts, r]`이다.
* 모든 r, s, t, u ∈ R에 대하여, `[rst, u] = rs[t, u] + r[s, u]t + [r, u]st`이다.
* 모든 r, s, t, u ∈ R에 대하여, `[[[r, s], t], u] + [[[s, t], u], r] + [t, u], r], s] + [[[u, r], s], t] = [[r, t], [s, u]]`이다.
[[힐베르트 공간]] 위의 [[유계 작용소]]들의 환에서는 다음과 같은 [[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]이 성립한다.
:
3.1. 선형성
환 $K$ 위의 결합 대수 $R$ 위의 교환자와 반교환자는 $K$-겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은 $K$-가군 준동형을 정의한다.
:$[,]\colon R\otimes_KR\to R$
:$\{,\}\colon R\otimes_KR\to R$
특히, 임의의 $r\in R$에 대하여 $K$-가군 준동형
:$[a,-]\colon R\to R$
:$\{a,-\}\colon R\to R$
이 존재한다. 특히, $[a,-]$의 경우 이는 교환자로 정의되는 리 대수 구조의 딸림표현이다.
3.2. 리 대수 구조
교환자는 리 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
*
*
* (야코비 항등식)
이에 따라, 가환환 위의 -결합 대수가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는 -리 대수를 이룬다.
반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.
3.3. 미분 대수 구조
교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
* (곱 규칙)
* (곱 규칙)
이에 따라, 임의의 원소 에 대하여 (또는 )를 부여하면 는 미분 대수를 이룬다.
3.4. 기타 항등식
다음 항등식들이 성립한다.
* 모든 r, s, t ∈ R에 대하여, `[r, st] = [rs, t] + [ts, r]`이다.
* 모든 r, s, t, u ∈ R에 대하여, `[rst, u] = rs[t, u] + r[s, u]t + [r, u]st`이다.
* 모든 r, s, t, u ∈ R에 대하여, `[[[r, s], t], u] + [[[s, t], u], r] + [[[t, u], r], s] + [[[u, r], s], t] = r, t], [s, u`이다.