교환자 (환론)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
- 4.1. 양자역학
참조

1. 개요

교환자(commutator)는 환 R의 두 원소 a, b에 대해 정의되는 연산으로, [a, b] = ab - ba로 나타낸다. 반교환자는 {a, b} = ab + ba로 정의되며, 환의 표수가 2 또는 1일 경우 교환자와 일치한다. 교환자는 리 대수 및 미분 대수 구조를 가지며, 선형성을 갖는다. 양자역학에서 연산자의 교환자는 두 관측가능량의 동시 측정 가능성을 판단하는 데 중요한 역할을 하며, 불확정성 원리와 관련된다.

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교환자 (환론)
개요
정의	환의 두 원소 사이의 곱셈의 비가환성을 측정하는 이항연산
연산 대상	환의 두 원소
기호	[a, b] = ab - ba
관련 개념	교환 법칙, 환 (수학), 리 대수
정의
교환자 (환론)	환의 두 원소 a, b에 대하여, 교환자는 [a, b] = ab - ba로 정의된다.
반교환자	환의 두 원소 a, b에 대하여, 반교환자는 {a, b} = ab + ba로 정의된다.
성질
교환자	"[a, b] = -[b, a]" (반대칭성) [a, b + c] = [a, b] + [a, c] "[a, bc] = [a, b]c + b[a, c]" (라이프니츠 법칙) "야코비 항등식: [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0"
반교환자	"{a, b} = {b, a}" (대칭성) {a, b + c} = {a, b} + {a, c} {a, bc} = {a, b}c - b{a, c}

2. 정의

환 $R$ 의 두 원소 $a, b \in R$ 의 '''교환자'''(交換子, commutator)는 다음과 같이 정의된다.

: $[a, b] = ab - ba \in R$

이는 두 원소의 곱셈 순서를 바꿨을 때 발생하는 차이를 나타내는 연산이다.

2. 1. 교환자

환

R

의 두 원소

a,b\in R

의 '''교환자'''는 다음과 같다.

:

[ a,b ] = ab - ba\in R

'''반교환자'''는 다음과 같다.

:

\{ a,b \} = ab + ba\in R

만약

R

의 표수가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신

:

[a,b]_\pm=ab\pm ba

가 사용되기도 한다.

2. 2. 반교환자

환

R

의 두 원소

a,b\in R

에 대해, 반교환자는 다음과 같이 정의된다.

:

\{ a,b \} = ab + ba\in R

표수가 2 또는 1인 환

R

에서 교환자와 반교환자는 일치한다. 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 다음 기호가 사용되기도 한다.

:

[a,b]_\pm=ab\pm ba

2. 3. 등급 교환자

가환환 K 위의 자연수 등급 대수

:

A=\bigoplus_{i\in\mathbb N}A_i

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 '''등급 교환자'''(等級交換子, graded commutator^영어)를 정의할 수 있다.

:

[a,b]_{\text{gr}}=ab - (-1)^{\deg a\deg b}ba

이 연산은 간혹 대신

[-,-\}

로 표기되기도 한다.

3. 성질

교환자는 리 대수의 연산을 이루며, 다음이 성립한다.

`[r,r] = 0\qquad\forall r\in R`
`[r,s] = -[s,r]\qquad\forall r,s\in R`
(야코비 항등식^영어) `[r,[s,t]] + [s,[t,r]] + [t,[r,s]] = 0\qquad\forall r,s,t\in R`

이에 따라, 가환환

K

위의

K

-결합 대수에 곱 구조 대신 교환자를 부여하면, 이는

K

-리 대수를 이룬다.

반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.

또한, 교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

(곱 규칙) `[r,st] = [r,s]t + s[r,t] \qquad \forall r,s,t \in R`
(곱 규칙) `[rs,t] = r[s,t] + [r,t]s \qquad \forall r,s,t \in R`

이에 따라, 임의의 원소

r \in R

에 대하여

[r,-]

(또는

[-,r]

)를 부여하면

R

는 미분 대수를 이룬다.

다음 항등식들이 성립한다.

모든 r, s, t ∈ R에 대하여, `[r, st] = [rs, t] + [ts, r]`이다.
모든 r, s, t, u ∈ R에 대하여, `[rst, u] = rs[t, u] + r[s, u]t + [r, u]st`이다.
모든 r, s, t, u ∈ R에 대하여, `[r, s], t], u] + [s, t], u], r] + [[[t, u], r], s] + [[[u, r], s], t] = [[r, t], [s, u`이다.

힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 환에서는 다음과 같은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 성립한다.

:

\exp(A)B\exp(-A)=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots

3. 1. 선형성

환 $K$ 위의 결합 대수 $R$ 위의 교환자와 반교환자는 $K$-겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은 $K$-가군 준동형을 정의한다.

:$[,]\colon R\otimes_KR\to R$

:$\{,\}\colon R\otimes_KR\to R$

특히, 임의의 $r\in R$에 대하여 $K$-가군 준동형

:$[a,-]\colon R\to R$

:$\{a,-\}\colon R\to R$

이 존재한다. 특히, $[a,-]$의 경우 이는 교환자로 정의되는 리 대수 구조의 딸림표현이다.

3. 2. 리 대수 구조

교환자는 리 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

$[r,r] = 0\qquad\forall r\in R$
$[r,s] = -[s,r]\qquad\forall r,s\in R$
(야코비 항등식) $[r,[s,t]] + [s,[t,r]] + [t,[r,s]] = 0\qquad\forall r,s,t\in R$

이에 따라, 가환환

K

위의

K

-결합 대수가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는

K

-리 대수를 이룬다.

반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.

3. 3. 미분 대수 구조

교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

(곱 규칙) $[r,st] = [r,s]t + s[r,t] \qquad \forall r,s,t \in R$
(곱 규칙) $[rs,t] = r[s,t] + [r,t]s \qquad \forall r,s,t \in R$

이에 따라, 임의의 원소

r \in R

에 대하여

[r,-]

(또는

[-,r]

)를 부여하면

R

는 미분 대수를 이룬다.

3. 4. 기타 항등식

다음 항등식들이 성립한다.

모든 r, s, t ∈ R에 대하여, `[r, st] = [rs, t] + [ts, r]`이다.
모든 r, s, t, u ∈ R에 대하여, `[rst, u] = rs[t, u] + r[s, u]t + [r, u]st`이다.
모든 r, s, t, u ∈ R에 대하여, `[r, s], t], u] +
3. 5. 작용소의 경우
힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 환에서는 다음과 같은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 성립한다.

: $\exp(A)B\exp(-A)=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots$

4. 응용

힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념 중 하나로, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이다. 불확정성 원리는 이러한 교환자의 성질을 물리학적으로 해석한다.

4. 1. 양자역학

힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념 중 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 불확정성 원리는 이런 교환자에 대한 성질을 물리학적으로 해석한다.

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