군속도

1. 개요

군속도는 파동의 위상 속도와 구별되는 개념으로, 파동 묶음의 포락선이 이동하는 속도를 의미한다. 1839년 윌리엄 로언 해밀턴에 의해 처음 제안되었으며, 각진동수를 각파수로 미분하여 정의된다. 분산 관계에 따라 군속도는 위상 속도와 같거나 다를 수 있으며, 파동의 왜곡을 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 3차원 공간에서의 파동, 손실 또는 이득 매질, 물질파, 광학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 광학에서는 군속도 분산(GVD)이 펄스 파형 변화에 영향을 미친다.

2. 역사

군속도에 대한 아이디어는 1839년 윌리엄 로언 해밀턴이 처음 제안했으며, 위상 속도와 구별되는 개념으로서의 완전한 처리는 1877년 제3대 레일리 남작 존 윌리엄 스트럿의 "소리 이론"에서 이루어졌다.

3. 정의 및 해석

군속도는 다음 방정식으로 정의된다.

:$v\_\{\backslash rm\; g\}\; \backslash \; \backslash equiv\backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega\}\{\backslash partial\; k\}\backslash ,$

여기서 ω는 파동의 각진동수(일반적으로 초당 라디안)이고, k는 각파수(일반적으로 미터당 라디안)이다. 위상 속도는 $v\_p\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\}\{k\}$로 표현된다.

ω(k)는 k의 함수로 ω를 제공하는 함수이며, 이를 분산 관계라고 한다.

* ω가 k에 직접 비례한다면, 군속도는 정확히 위상 속도와 같다. 어떤 모양의 파동이라도 이 속도로 왜곡 없이 이동한다.
* ω가 k의 선형 함수이지만 직접 비례하지 않는다면 (ω = ak + b), 군속도와 위상 속도는 다르다.
* ω가 k의 선형 함수가 아니라면, 파동 묶음의 포락선은 이동하면서 왜곡된다. 파동 묶음은 다양한 주파수 범위(따라서 다양한 k 값)를 포함하므로, 군속도 ∂ω/∂k는 서로 다른 k 값에 대해 다를 것이다. 따라서 포락선은 단일 속도로 이동하지 않고, 파수 성분(k)이 서로 다른 속도로 이동하여 포락선을 왜곡시킨다.

아인슈타인은 1905년에 파동과 입자의 이중성에 대해 처음으로 설명했다. 드 브로이는 모든 입자가 그 이중성을 가지고 있다는 가설을 제안했다. 그는 입자의 속도가 항상 물질 내 물질파의 군속도와 일치해야 한다고 결론지었다. 하지만 현재까지도 의문이 제기되고 있다. 드 브로이는 이미 알려진 빛의 이중성에 대한 방정식처럼 다른 입자에 대해서도 동일하다면 그의 가설이 성립한다고 추측했다.

이는 다음을 의미한다.

:$v\_\backslash mathrm\{g\}=\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega\}\{\backslash partial\; k\}=\backslash frac\{\backslash partial(E/\backslash hbar)\}\{\backslash partial(p/\backslash hbar)\}=\backslash frac\{\backslash partial\; E\}\{\backslash partial\; p\}$

* E는 입자의 전체 에너지
* p는 입자의 운동량
* $\backslash hbar$는 환산 플랑크 상수

비상대론적인 경우와 상대론적인 경우의 자유 입자에 대한 군속도는 다음과 같이 계산될 수 있다.

예를 들어 전자에 대해 군속도(전자의 속도)와 위상 속도(전자의 물질파 속도)는 구별할 수 있다.

비선형 광 펄스를 다룰 때, 광학 재료를 통과할 때 분산 효과와 비선형 광학 효과(주로 자기 위상 변조)에 의해 광 펄스의 파형이 변화한다. 광 펄스에는 시간 위상과 스펙트럼 위상의 두 가지 위상이 있다. 스펙트럼 위상에 관해서는, 빛이 매질을 통과할 때 군속도 분산이 발생한다(엄밀히 말하면, 분산이 발생하지 않는 매질은 진공뿐이다).

군속도 분산이 없는 경우(겹쳐진 파의 파수와 주파수가 비례할 때, 즉, $\backslash frac\{\backslash omega\}\{k\}$가 모두 같을 때), 군속도는 위상 속도와 일치한다.

3.1. 유도

위치 와 시간 의 함수인 파동 묶음 를 생각해 보자.

시간 에서의 파동 묶음의 푸리에 변환을 라고 하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.
:$\backslash alpha(x,\; 0)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dk\; \backslash ,\; A(k)\; e^\{ikx\}.$

중첩의 원리에 따라, 임의의 시간 에서의 파동 묶음은 다음과 같다.
:$\backslash alpha(x,\; t)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dk\; \backslash ,\; A(k)\; e^\{i(kx\; -\; \backslash omega\; t)\},$
여기서 는 의 함수이다.

파동 묶음 가 거의 단색광에 가깝다고 가정하면, 는 중심 파수 에서 급격하게 커지는 형태를 가진다.

이때, 선형화를 통해 다음 근사식을 얻을 수 있다.
:$\backslash omega(k)\; \backslash approx\; \backslash omega\_0\; +\; \backslash left(k\; -\; k\_0\backslash right)\backslash omega\text{'}\_0$
여기서 이고 $\backslash omega\text{'}\_0\; =\; \backslash left.\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega(k)\}\{\backslash partial\; k\}\backslash right|\_\{k=k\_0\}$이다.

이를 정리하면,
:$\backslash alpha(x,t)\; =\; e^\{i\backslash left(k\_0\; x\; -\; \backslash omega\_0\; t\backslash right)\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dk\; \backslash ,\; A(k)\; e^\{i(k\; -\; k\_0)\backslash left(x\; -\; \backslash omega\text{'}\_0\; t\backslash right)\}.$
로 나타낼 수 있다.

이 식은 두 부분으로 나눌 수 있다.
* : 위상 속도 로 움직이는 파수 의 단색파를 나타낸다.
* : 파동 묶음의 외피(envelope)를 나타내며, 이 외피는 에 의해서만 결정된다.

따라서 파동 묶음의 외피는 다음 속도로 이동한다.
:$\backslash omega\text{'}\_0\; =\; \backslash left.\backslash frac\{d\backslash omega\}\{dk\}\backslash right|\_\{k=k\_0\}~,$
이것이 바로 군속도 공식이다.

1차원 파동의 경우, 분산 관계가 로 주어지는 파동

에서, 가 에서 멀어질수록 빠르게 감소하는 파동 묶음이라고 가정한다.

이 경우,

에서 고차항을 무시하면,

와 같이 나타낼 수 있다. (단, , 는 적분 결과의 함수)

진동을 제거하면 이 되는데, 이는 파형 가 속도 로 전파됨을 의미한다.

만약 분산이 강해서 고차항을 무시할 수 없다면, "군속도가 파동 묶음의 속도"라는 물리적 의미는 더 이상 성립하지 않는다.

3.2. 다른 표현

파동 묶음의 포락선(그림 참조)은 군속도로 이동하는 반면, 포락선 내의 개별 봉우리와 골은 위상 속도로 이동한다.

4. 3차원 군속도

빛, 소리, 물질파와 같이 3차원을 통과하는 파동의 경우, 위상 속도와 군속도 공식은 다음과 같이 일반화된다.

* 1차원:
* 3차원:

여기서 는 파수 벡터 의 함수인 각진동수 의 기울기를 의미하며, 는 k 방향의 단위 벡터이다.

만약 파동이 결정과 같이 비등방성(회전 대칭이 아닌) 매질을 통과하는 경우, 위상 속도 벡터와 군속도 벡터는 서로 다른 방향을 가리킬 수 있다.

5. 손실 또는 이득 매질에서의 군속도

군속도는 종종 에너지 또는 정보가 파동을 따라 전달되는 속도로 여겨진다. 대부분의 경우 이는 정확하며, 군속도는 신호 속도로 간주될 수 있다. 그러나 파동이 흡수성 또는 이득 매체를 통과하는 경우, 이것이 항상 성립하는 것은 아니다. 이러한 경우 군속도는 제대로 정의되지 않거나 의미가 없는 양이 될 수 있다.

브릴루앙은 그의 저서 "주기 구조의 파동 전파"에서 손실 매체에서 군속도가 명확한 물리적 의미를 갖지 못하게 된다고 주장했다. 원자 기체를 통한 전자기파 전달에 관한 예시는 Loudon에 의해 제시되었다. 또 다른 예시는 태양 광구의 기계적 파동이다. 파동은 감쇠되고(봉우리에서 골까지 복사열 흐름에 의해), 이와 관련하여 에너지 속도는 종종 파동의 군속도보다 실질적으로 낮다.

이러한 모호성에도 불구하고, 군속도의 개념을 복잡한 매체로 확장하는 일반적인 방법은 매체 내에서 공간적으로 감쇠된 평면파 해를 고려하는 것이다. 이는 복소수 파동 벡터로 특징지어진다. 그런 다음, 파동 벡터의 허수 부분은 임의로 버려지고 군속도에 대한 일반적인 공식이 파동 벡터의 실수 부분에 적용된다. 즉,

:$v\_\{\backslash rm\; g\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash left(\backslash operatorname\{Re\}\; k\backslash right)\}\{\backslash partial\; \backslash omega\}\backslash right)^\{-1\}\; .$

또는, 복소수 굴절률의 실수 부분을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{c\}\{v\_\{\backslash rm\; g\}\}\; =\; n\; +\; \backslash omega\; \backslash frac\{\backslash partial\; n\}\{\backslash partial\; \backslash omega\}\; .$

이러한 군속도의 일반화가 파동 묶음의 봉우리 겉보기 속도와 계속 관련되어 있음을 보일 수 있다. 그러나 위의 정의는 보편적이지 않다. 또는, 정상파의 시간 감쇠(실수 k, 복소수 ω)를 고려하거나, 군속도를 복소수 값으로 허용할 수 있다. 다른 고려 사항은 서로 다른 속도를 생성하지만, 모든 정의는 손실이 없고 이득이 없는 매체의 경우에 일치한다.

복소 매체에 대한 위에서 언급한 군속도의 일반화는 이상하게 동작할 수 있으며, 이상 분산의 예시는 이를 잘 보여준다. 이상 분산 영역의 가장자리에서 $v\_\{\backslash rm\; g\}$는 무한대가 되고 (진공에서의 광속보다 빠르며), $v\_\{\backslash rm\; g\}$는 이상 분산 대역 내에서 쉽게 음수가 될 수 있다(부호는 Re k와 반대이다).

6. 초광속 군속도

군속도는 종종 에너지 또는 정보가 파동을 따라 전달되는 속도로 여겨진다. 대부분의 경우 군속도는 신호 속도로 간주될 수 있지만, 파동이 흡수성 또는 이득 매체를 통과하는 경우에는 군속도가 제대로 정의되지 않거나 의미가 없는 양이 될 수 있다.

브릴루앙은 손실 매체에서 군속도가 명확한 물리적 의미를 갖지 못한다고 주장했다. 태양 광구의 기계적 파동과 같이 파동이 감쇠되는 경우, 에너지 속도는 종종 파동의 군속도보다 실질적으로 낮다.

이러한 모호성에도 불구하고, 군속도의 개념을 복잡한 매체로 확장하는 일반적인 방법은 매체 내에서 공간적으로 감쇠된 평면파 해를 고려하는 것이다. 이는 복소수 파동 벡터로 특징지어진다. 파동 벡터의 허수 부분은 임의로 버려지고 군속도에 대한 일반적인 공식이 파동 벡터의 실수 부분에 적용된다.

:$v\_\{\backslash rm\; g\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash left(\backslash operatorname\{Re\}\; k\backslash right)\}\{\backslash partial\; \backslash omega\}\backslash right)^\{-1\}\; .$

복소수 굴절률의 실수 부분을 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{c\}\{v\_\{\backslash rm\; g\}\}\; =\; n\; +\; \backslash omega\; \backslash frac\{\backslash partial\; n\}\{\backslash partial\; \backslash omega\}\; .$

이러한 군속도의 일반화는 파동 묶음의 봉우리 겉보기 속도와 관련되어 있음을 보일 수 있다.

복소 매체에 대한 군속도의 일반화는 이상하게 동작할 수 있으며, 이상 분산의 예시가 이를 잘 보여준다. 이상 분산 영역의 가장자리에서 $v\_\{\backslash rm\; g\}$는 무한대가 되고 (진공에서의 광속보다 빠르며), 이상 분산 대역 내에서 쉽게 음수가 될 수 있다.

1980년대 이후, 다양한 실험을 통해 손실 물질 또는 이득 물질을 통과하는 레이저 빛 펄스의 군속도가 진공에서의 광속을 상당히 초과할 수 있다는 것이 확인되었다. 파동 묶음의 피크도 보다 빠르게 이동하는 것이 관찰되었다.

그러나 이러한 모든 경우에, 신호가 진공에서의 광속보다 빠르게 전달될 가능성은 없다. $v\_\{\backslash rm\; g\}$의 높은 값은 실제 신호의 시작 부분에서 발생하는 날카로운 파면의 실제 이동을 가속하는 데 도움이 되지 않기 때문이다. 본질적으로 초광속으로 보이는 전송은 군속도를 정의하기 위해 사용된 협대역 근사의 인공물이며, 중간 매질에서의 공명 현상 때문에 발생한다. 광대역 분석에서 신호 봉투의 겉보기에 역설적인 전파 속도는 실제로 많은 사이클에 걸쳐 더 넓은 주파수 대역의 국부적인 간섭의 결과이며, 이 모든 것은 완벽하게 인과적으로 그리고 위상 속도로 전파된다. 그 결과는 그림자가 빛보다 빠르게 이동할 수 있다는 사실과 유사하다. 빛이 항상 광속으로 전파되더라도 측정되는 현상이 인과 관계와 느슨하게 연결되어 있기 때문에, 정상적인 상황에서는 인과적 전파의 규칙을 준수하고 일반적인 직관으로 이어지더라도 반드시 인과적 전파의 규칙을 준수하지는 않는다.

7. 물질파의 군속도

아인슈타인은 1905년에 파동과 입자의 이중성에 대해 처음으로 설명했다. 드 브로이는 모든 입자가 그 이중성을 가지고 있다는 가설을 제안했다. 입자의 속도에 관해 그는 항상 물질 내 물질파의 속도와 일치해야 한다고 결론지었다. 하지만 현재까지도 의문이 제기되고 있다. 드 브로이는 이미 알려진 빛의 이중성에 대한 방정식처럼 다른 입자에 대해서도 동일하다면 그의 가설이 성립한다고 추측했다.

이는 다음을 의미한다.

:$v\_\backslash mathrm\{g\}=\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega\}\{\backslash partial\; k\}=\backslash frac\{\backslash partial(E/\backslash hbar)\}\{\backslash partial(p/\backslash hbar)\}=\backslash frac\{\backslash partial\; E\}\{\backslash partial\; p\}$

* E는 입자의 전체 에너지
* p는 입자의 운동량
* $\backslash hbar$는 환산 플랑크 상수

비상대론적인 경우의 자유 입자에 대해

:$\backslash begin\{align\}$
v_\mathrm g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{1}{2}\frac{p^2}{m} \right)\\
&= \frac{p}{m}\\
&= v.
\end{align}

여기서 m^영어은 입자의 질량, v^영어는 그 속도이다.

또한, 상대론적인 자유 입자에 대해서는

:$\backslash begin\{align\}$
v_{\mathrm g} &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} \right)\\
&= \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}}\\
&= \frac{p}{m\sqrt{(p/(mc))^2+1}}\\
&= \frac{p}{m\gamma}\\
&= \frac{mv\gamma}{m\gamma}\\
&= v.
\end{align}

m^영어은 입자의 정지 질량, c^영어는 진공 중의 광속, γ^영어는 로렌츠 인자, v^영어는 파동의 거동에 관계없는 속도이다.

예를 들어 전자에 대해 군속도(전자의 속도)와 위상 속도(전자의 물질파 속도)는 구별할 수 있다.

8. 광학에서의 군속도

빛의 경우, 굴절률 , 진공 파장 , 매질 내 파장 는 다음과 같은 관계를 갖는다.
:$\backslash lambda\_0\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\; c\}\{\backslash omega\},\; \backslash ;\backslash ;\; \backslash lambda\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{k\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\; v\_\{\backslash rm\; p\}\}\{\backslash omega\},\; \backslash ;\backslash ;\; n\; =\; \backslash frac\{c\}\{v\_\{\backslash rm\; p\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda\_0\}\{\backslash lambda\},$
여기서 는 위상 속도이다.

따라서 군속도는 다음 공식 중 하나를 사용하여 계산할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
v_{\rm g} &= \frac{c}{n + \omega \frac{\partial n}{\partial \omega}}
= \frac{c}{n - \lambda_0 \frac{\partial n}{\partial \lambda_0}}\\
&= v_{\rm p} \left(1 + \frac{\lambda}{n} \frac{\partial n}{\partial \lambda}\right)
= v_{\rm p} - \lambda \frac{\partial v_{\rm p}}{\partial \lambda} = v_{\rm p} + k \frac{\partial v_{\rm p}}{\partial k}.
\end{align}

비선형 광 펄스를 다룰 때, 광학 재료를 통과할 때 분산 효과와 비선형 광학 효과(주로 자기 위상 변조)에 의해 광 펄스의 파형이 변화한다. 광 펄스에는 시간 위상과 스펙트럼 위상의 두 가지 위상이 있다. 스펙트럼 위상에 관해서는, 빛이 매질을 통과할 때 군속도 분산이 발생한다(엄밀히 말하면, 분산이 발생하지 않는 매질은 진공뿐이다).

군속도 분산이 없는 경우(겹쳐진 파의 파수와 주파수가 비례할 때, 즉, 가 모두 같을 때), 군속도는 위상 속도와 일치한다.

분산이 있으면, 파수 벡터 를 중심 주파수 주위에서 전개할 수 있다. 라고 하면, 스펙트럼 위상 $k(\backslash omega)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
k(\omega)&=k(\omega_0)+\frac{\mathrm dk}{\mathrm d\omega}\Delta\omega+\frac{1}{2}\frac{\mathrm d^2k}{\mathrm d\omega^2}\Delta\omega^2+...\\
&=\frac{\omega_0}{v_\mathrm p}+\frac{1}{v_\mathrm g}\Delta\omega+\frac{1}{2}k_2\Delta\omega^2+...
\end{align}
이 때, 제1항이 중심 주파수에서의 위상 속도이고, 제2항의 가 군속도에 해당한다. 또한, 광속을 , 군 굴절률을 라고 하면,
:$\backslash frac\{1\}\{v\_\backslash mathrm\; g\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\; dk\}\{\backslash mathrm\; d\backslash omega\}=\backslash frac\{1\}\{c\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; d(\backslash omega\; n)\}\{\backslash mathrm\; d\backslash omega\}=\backslash frac\{n\_\backslash mathrm\; g\}\{c\}$
군 굴절률 를 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
:$n\_\backslash mathrm\; g=\backslash frac\{\backslash mathrm\; d(\backslash omega\; n)\}\{\backslash mathrm\; d\backslash omega\}=n+\backslash omega\backslash frac\{\backslash mathrm\; dn\}\{\backslash mathrm\; d\backslash omega\}=n-\backslash lambda\backslash frac\{\backslash mathrm\; dn\}\{\backslash mathrm\; d\backslash lambda\}$

8.1. 군속도 분산 (GVD)

군속도 는 다음 방정식으로 정의된다.
:$v\_\{\backslash rm\; g\}\; \backslash \; \backslash equiv\backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega\}\{\backslash partial\; k\}\backslash ,$

여기서 는 파동의 각진동수(일반적으로 초당 라디안)이고, 는 각파수(일반적으로 미터당 라디안)이다. 위상 속도는 이다.

는 의 함수로 를 제공하는 함수이며, 이를 분산 관계라고 한다.

* 만약 가 에 직접 비례한다면, 군속도는 정확히 위상 속도와 같다. 어떤 모양의 파동이라도 이 속도로 왜곡 없이 이동한다.
* 만약 ω가 k의 선형 함수이지만 직접 비례하지 않는다면 , 군속도와 위상 속도는 다르다. 파동 묶음의 포락선 (오른쪽 그림 참조)은 군속도로 이동하는 반면, 포락선 내의 개별 봉우리와 골은 위상 속도로 이동한다.
* 만약 가 k의 선형 함수가 아니라면, 파동 묶음의 포락선은 이동하면서 왜곡된다. 파동 묶음은 다양한 주파수 범위 (따라서 다양한 값)를 포함하므로, 군속도 는 서로 다른 값에 대해 다를 것이다. 따라서 포락선은 단일 속도로 이동하지 않고, 파수 성분 ()이 서로 다른 속도로 이동하여 포락선을 왜곡시킨다. 파동 묶음이 좁은 주파수 범위를 가지고 있고, 가 그 좁은 범위에서 대략 선형이라면, 펄스 왜곡은 작은 비선형성과 관련하여 작을 것이다. 예를 들어, 깊은 물 중력파의 경우, $\backslash omega\; =\; \backslash sqrt\{gk\}$이므로 이다. 이것은 모든 선박과 수영하는 물체의 선수파에 대한 켈빈 파 패턴의 기초가 된다. 속도가 일정하기만 하다면, 그들이 얼마나 빨리 움직이든, 각 측면의 파는 이동선과 19.47° = arcsin(1/3)의 각도를 이룬다.

군속도 공식의 유도는 다음과 같다.

위치 와 시간 : 의 함수로 파동 묶음을 고려해 보자.

를 시간 에서의 푸리에 변환이라고 하자.
:$\backslash alpha(x,\; 0)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dk\; \backslash ,\; A(k)\; e^\{ikx\}.$

중첩의 원리에 따라, 시간 에서의 파동 묶음은 다음과 같다.
:$\backslash alpha(x,\; t)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dk\; \backslash ,\; A(k)\; e^\{i(kx\; -\; \backslash omega\; t)\},$
여기서 는 암묵적으로 의 함수이다.

파동 묶음 가 거의 단색광이라고 가정하면, 는 중심 파수 를 중심으로 급격하게 솟아 있다.

그러면, 선형화를 통해 다음을 얻는다.
:$\backslash omega(k)\; \backslash approx\; \backslash omega\_0\; +\; \backslash left(k\; -\; k\_0\backslash right)\backslash omega\text{'}\_0$
여기서
:$\backslash omega\_0\; =\; \backslash omega(k\_0)$이고 $\backslash omega\text{'}\_0\; =\; \backslash left.\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega(k)\}\{\backslash partial\; k\}\backslash right|\_\{k=k\_0\}$이다. 그런 다음, 약간의 대수 계산을 거치면,
:$\backslash alpha(x,t)\; =\; e^\{i\backslash left(k\_0\; x\; -\; \backslash omega\_0\; t\backslash right)\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dk\; \backslash ,\; A(k)\; e^\{i(k\; -\; k\_0)\backslash left(x\; -\; \backslash omega\text{'}\_0\; t\backslash right)\}.$

이 식에는 두 가지 요소가 있다. 첫 번째 요소인 $e^\{i\backslash left(k\_0\; x\; -\; \backslash omega\_0\; t\backslash right)\}$는 위상 속도 $\backslash omega\_0/k\_0$로 파동 묶음의 외피 내에서 이동하는 봉우리와 골이 있는 파수 를 가진 완벽한 단색파를 설명한다.

다른 요소는,
:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dk\; \backslash ,\; A(k)\; e^\{i(k\; -\; k\_0)\backslash left(x\; -\; \backslash omega\text{'}\_0\; t\backslash right)\}$,
파동 묶음의 외피를 제공한다. 이 외피 함수는 $(x\; -\; \backslash omega\text{'}\_0\; t)$의 조합을 통해서만 위치와 시간에 의존한다.

따라서, 파동 묶음의 외피는 다음 속도로 이동한다.
:$\backslash omega\text{'}\_0\; =\; \backslash left.\backslash frac\{d\backslash omega\}\{dk\}\backslash right|\_\{k=k\_0\}~,$
이는 군속도 공식을 설명한다.

이전 유도의 일부는 다음의 테일러 급수 근사이다.
:$\backslash omega(k)\; \backslash approx\; \backslash omega\_0\; +\; (k\; -\; k\_0)\backslash omega\text{'}\_0(k\_0)$

파동 패킷의 주파수 확산이 비교적 크거나, 분산 가 급격한 변화를 보이거나(공명 등), 또는 패킷이 매우 먼 거리를 이동하는 경우, 이 가정이 유효하지 않으며 테일러 전개의 고차 항이 중요해진다.

그 결과 파동 패킷의 봉투는 이동할 뿐만 아니라, 물질의 군속도 분산에 의해 설명될 수 있는 방식으로 왜곡된다. 대략적으로 말해서 파동 패킷의 서로 다른 주파수 성분은 서로 다른 속도로 이동하며, 더 빠른 성분은 파동 패킷의 앞쪽으로 이동하고 느린 성분은 뒤쪽으로 이동한다. 결국 파동 패킷은 늘어난다. 이것은 광섬유를 통한 신호 전파와 고출력, 단펄스 레이저의 설계에서 중요한 효과이다.