프레셰 도함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 프레셰 도함수
- 2.2. 가토 도함수와의 관계
3. 성질
- 3.1. 연속성
- 3.2. 연쇄 법칙
4. 유한 차원에서의 프레셰 미분
- 4.1. 방향 미분과의 관계
- 4.2. 편미분과의 관계
5. 무한 차원에서의 프레셰 미분
- 5.1. 힐베르트 공간에서의 예시
6. 고계 도함수
7. 위상 벡터 공간으로의 일반화
8. 한국 사회에의 응용
참조

1. 개요

프레셰 도함수는 두 바나흐 공간 사이의 함수에 대한 미분 개념으로, 유계 작용소를 사용하여 정의된다. 함수 f가 한 점 v에서 프레셰 미분 가능하다는 것은 특정 극한을 만족하는 유계 작용소 D_vf가 존재함을 의미하며, D_vf를 f의 프레셰 도함수라고 한다. 프레셰 미분은 가토 미분보다 강한 조건이며, 유한 차원 공간에서는 야코비 행렬로 표현된다. 프레셰 미분은 선형 연산이며 연쇄 법칙이 성립하며, 고계 도함수로 확장될 수 있다. 또한, 일반적인 위상 벡터 공간으로 일반화될 수 있으며, 불평등 연구, 노동 시장 분석, 사회 이동성 연구 등 한국 사회 현상 분석에도 응용될 수 있다.

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프레셰 도함수
정의
분야	함수해석학
설명	노름 공간 사이의 함수에 대한 도함수의 일반화
관련 개념
상위 개념	미분
하위 개념	가토 미분
관련 항목	미분가능성

2. 정의

두 바나흐 공간 $V,W$ 사이의 함수 $f\colon V\to W$ 및 $v\in V$ 에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 유계 작용소 $D_vf\colon V\to W$ 가 존재한다면, $f$ 를 $v$ 에서 '''프레셰 미분 가능'''하다고 하고, $D_vf$ 를 $f$ 의 $v$ 에서의 '''프레셰 도함수'''라고 한다.

: $\lim_{\epsilon\to0}\frac{\Vert f(v+\epsilon)-f(v)-D_vf(\epsilon)\Vert}{\Vert\epsilon\Vert}=0$

즉, 함수

: $g\colon V\setminus\{0\}\to\mathbb R$

: $g\colon\epsilon\mapsto\frac{\Vert f(v+\epsilon)-f(v)-D_vf(\epsilon)\Vert}{\Vert\epsilon\Vert}$

가 $\epsilon=0$ 에서 극한 0을 가져야 한다.

$V$ 와 $W$ 를 노름 벡터 공간으로, $U\subseteq V$ 를 $V$ 의 열린 집합이라고 할 때, 함수 $f : U \to W$ 는 만약 유계 선형 연산자 $A:V\to W$ 가 존재하여 다음을 만족하면 $x \in U$ 에서 ''프레셰 미분 가능''하다고 한다.

$\lim_{\|h\|_{V} \to 0} \frac{\| f(x + h) - f(x) - Ah\|_W}{\|h\|_V} = 0.$

여기서의 극한은 두 개의 거리 공간으로 $V$ 와 $W$ 를 사용하고 위의 식을 $V$ 에서 $h$ 를 인수로 하는 함수로 사용하여, 거리 공간에서 정의된 함수의 극한의 일반적인 의미로 해석된다. 결과적으로, 영벡터 $h_n \to 0$ 으로 수렴하는 $V$ 의 영이 아닌 원소의 모든 수열 $\langle h_n\rangle_{n=1}^{\infty}$ 에 대해 존재해야 한다. 동등하게, 1차 전개는 란다우 표기법으로 성립한다.

$f(x + h) = f(x) + Ah +o(h).$

이러한 연산자 $A$ 가 존재한다면, 유일하므로, $Df(x) = A$ 로 쓰고 이를 $x$ 에서의 $f$ 의 ''프레셰 도함수''라고 부른다.

$U$ 의 모든 점에서 프레셰 미분 가능한 함수 $f$ 는 만약 함수

$Df : U \to B(V,W) ; x \mapsto Df(x)$

가 연속이면 C¹이라고 한다( $B(V,W)$ 는 $V$ 에서 $W$ 로의 모든 유계 선형 연산자의 공간을 나타낸다). 이는 각 $x$ 값에 대해 맵 $Df(x) : V \to W$ 가 연속일 것을 요구하는 것과 같지 않음에 유의해야 한다 (이는 가정된 사항이며, 유계와 연속은 동일하다).

이 도함수의 개념은 $f : \R \to \R$ 와 같은 실수에 대한 함수의 일반적인 도함수의 일반화인데, 왜냐하면 $\R$ 에서 $\R$ 로의 선형 맵은 단지 실수 곱셈이기 때문이다. 이 경우, $D f(x)$ 는 함수 $t \mapsto f'(x)t$ 이다.

2. 1. 프레셰 도함수

두 바나흐 공간

V,W

사이의 함수

f\colon V\to W

및

v\in V

에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 유계 작용소

D_vf\colon V\to W

가 존재한다면,

f

를

v

에서 '''프레셰 미분 가능'''하다고 하고,

D_vf

를

f

의

v

에서의 '''프레셰 도함수'''라고 한다.

:

\lim_{\epsilon\to0}\frac{\Vert f(v+\epsilon)-f(v)-D_vf(\epsilon)\Vert}{\Vert\epsilon\Vert}=0

즉, 함수

:

g\colon V\setminus\{0\}\to\mathbb R

:

g\colon\epsilon\mapsto\frac{\Vert f(v+\epsilon)-f(v)-D_vf(\epsilon)\Vert}{\Vert\epsilon\Vert}

가

\epsilon=0

에서 극한 0을 가져야 한다.

V

와

W

를 노름 벡터 공간으로,

U\subseteq V

를

V

의 열린 집합이라고 할때, 함수

f : U \to W

는 만약 유계 선형 연산자

A:V\to W

가 존재하여 다음을 만족하면

x \in U

에서 ''프레셰 미분 가능''하다고 한다.

\lim_{\|h\|_{V} \to 0} \frac{\| f(x + h) - f(x) - Ah\|_W}{\|h\|_V} = 0.

여기서의 극한은 두 개의 거리 공간으로

V

와

W

를 사용하고 위의 식을

V

에서

h

를 인수로 하는 함수로 사용하여, 거리 공간에서 정의된 함수의 극한의 일반적인 의미로 해석된다. 결과적으로, 영벡터

h_n \to 0

으로 수렴하는

V

의 영이 아닌 원소의 모든 수열

\langle h_n\rangle_{n=1}^{\infty}

에 대해 존재해야 한다. 동등하게, 1차 전개는 란다우 표기법으로 성립한다.

f(x + h) = f(x) + Ah +o(h).

이러한 연산자

A

가 존재한다면, 유일하므로,

Df(x) = A

로 쓰고 이를

x

에서의

f

의 ''프레셰 도함수''라고 부른다.

U

의 모든 점에서 프레셰 미분 가능한 함수

f

는 만약 함수

Df : U \to B(V,W) ; x \mapsto Df(x)

가 연속이면 C¹이라고 한다(

B(V,W)

는

V

에서

W

로의 모든 유계 선형 연산자의 공간을 나타낸다). 이는 각

x

값에 대해 맵

Df(x) : V \to W

가 연속일 것을 요구하는 것과 같지 않음에 유의해야 한다 (이는 가정된 사항이며, 유계와 연속은 동일하다).

이 도함수의 개념은

f : \R \to \R

와 같은 실수에 대한 함수의 일반적인 도함수의 일반화인데, 왜냐하면

\R

에서

\R

로의 선형 맵은 단지 실수 곱셈이기 때문이다. 이 경우,

D f(x)

는 함수

t \mapsto f'(x)t

이다.

2. 2. 가토 도함수와의 관계

함수

f\colon V\to W

가

v\in V

에서 프레셰 미분 가능하다면,

f

는

v

에서 가토 미분 가능하다.^[1] 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[1] 만약

f\colon V\to W

의

v\in V

에서의 프레셰 도함수가

D_vf

라면,

v

에서의,

u\in V

방향의 가토 도함수는

D_vf(u)

이다.

f : U \subseteq V \to W

가

x \in U

에서 가토 미분 가능하다는 것은,

f

가

x

에서 모든 방향에 대해 방향 도함수를 갖는다는 것을 의미하며, 다음과 같은 함수

g : V \to W

가 존재한다는 것을 의미한다.^[1]

:

g(v) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}

여기서 임의의 벡터

v \in V

를 선택하고,

t

는

V

와 관련된 스칼라 필드(일반적으로

t

는 실수)에서 가져온다.^[1]

f

가

x

에서 프레셰 미분 가능하다면, 그 지점에서 가토 미분 가능하며,

g

는 선형 연산자

A = D f(x)

이다. 하지만, 모든 가토 미분 가능 함수가 프레셰 미분 가능한 것은 아니다. 이는 한 점에서 모든 방향 도함수의 존재가 그 점에서 전체 미분 가능성(또는 심지어 연속성)을 보장하지 않는다는 사실과 유사하다.

예를 들어, 다음과 같이 정의된 두 개의 실수 변수

x

,

y

의 실수 값 함수

f

를 생각해 보자.

:

f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2} & (x, y) \neq (0, 0)\\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

이 함수는 원점

(0, 0)

에서 연속적이고 가토 미분 가능하며, 원점에서의 도함수는 다음과 같다.

:

g(a, b) = \begin{cases} \frac{a^3}{a^2+b^2}& (a, b) \neq (0, 0)\\ 0 & (a, b) = (0, 0) \end{cases}

함수

g

는 선형 연산자가 아니므로, 이 함수는 프레셰 미분 가능하지 않다.

더 일반적으로,

f(x, y) = g(r) h(\phi)

형태의 함수는, 여기서

r

과

\phi

는

(x, y)

의 극좌표이고,

g

가

0

에서 미분 가능하고

h(\phi + \pi) = -h(\phi)

이면,

(0, 0)

에서 연속적이고 가토 미분 가능하지만, 가토 도함수는 선형적일 뿐이고 프레셰 도함수는

h

가 정현파일 때만 존재한다.

다른 상황에서, 다음과 같이 주어진 함수

f

는

:

f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3y}{x^6+y^2} & (x, y) \neq (0, 0)\\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

(0, 0)

에서 가토 미분 가능하며, 그 지점에서의 도함수는 모든

(a, b)

에 대해

g(a, b) = 0

인데, 이는 선형 연산자이다. 하지만,

f

는

(0, 0)

에서 연속적이지 않다(곡선

\left(t, t^3\right)

을 따라 원점에 접근함으로써 알 수 있다). 따라서

f

는 원점에서 프레셰 미분 가능할 수 없다.

더 미묘한 예는 다음과 같다.

:

f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4+y^2}\sqrt{x^2+y^2} & (x, y) \neq (0, 0)\\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

이 함수는 연속 함수이며,

(0, 0)

에서 가토 미분 가능하고, 이 지점에서의 도함수는

g(a, b) = 0

인데, 이는 다시 선형적이다. 하지만,

f

는 프레셰 미분 가능하지 않다. 만약 프레셰 미분 가능하다면, 프레셰 도함수는 가토 도함수와 일치하며, 따라서 영 연산자

A = 0

이 될 것이다. 따라서 다음 극한

:

\lim_{\|h\|_2 \to 0} \frac

{\|h\|_2} = \lim_{h = (x,y) \to (0,0)} \left|\frac{x^2y}{x^4+y^2}\right|

는 0이어야 하지만, 곡선

\left(t, t^2\right)

을 따라 원점에 접근하면 이 극한이 존재하지 않음을 알 수 있다.

이러한 경우는 가토 도함수의 정의가 서로 다른 방향에 대한 수렴 속도에 대한 요구 없이 각 방향을 따라 개별적으로 차분 몫이 수렴하기만 하면 되기 때문에 발생할 수 있다. 주어진 ε에 대해 각 방향에 대해 차분 몫이 주어진 점의 어떤 근방에서 그 극한의 ε 이내에 있더라도, 이러한 근방은 서로 다른 방향에 대해 다를 수 있으며, 이러한 근방이 임의로 작아지는 방향의 수열이 있을 수 있다. 만약 이러한 방향을 따라 점의 수열을 선택하면, 모든 방향을 한 번에 고려하는 프레셰 도함수의 정의에 있는 몫은 수렴하지 않을 수 있다. 따라서, 선형 가토 도함수가 프레셰 도함수의 존재를 의미하기 위해서는, 차분 몫이 모든 방향에 대해 균등 수렴해야 한다.

무한 차원에서만 작동하는 예시로는

X

를 바나흐 공간이라고 하고,

\varphi

를

X

에 대한

x = 0

에서 불연속인 선형 범함수(불연속 선형 범함수)라고 하자.

:

f(x) = \|x\| \varphi(x).

그러면

f(x)

는

x = 0

에서 도함수가

0

인 가토 미분 가능하다. 하지만,

f(x)

는 프레셰 미분 가능하지 않은데, 그 이유는

:

\lim_{x \to 0} \varphi(x)

라는 극한이 존재하지 않기 때문이다.

3. 성질

프레셰 미분을 취하는 연산은 선형 연산이다. 두 사상 ''f'', ''g'': ''V'' → ''W''가 ''x''에서 미분 가능하고, ''r'', ''s''가 두 스칼라(실수 또는 복소수)라면, ''rf'' + ''sg''는 ''x''에서 미분 가능하며 ''D''(''rf'' + ''sg'')(''x'') = ''rDf''(''x'') + ''sDg''(''x'')를 만족한다.

만약 함수 $f\colon V\to W$ 가 $v\in V$ 에서 프레셰 미분 가능하다면, $f$ 는 $v$ 에서 가토 미분 가능하다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 만약 $f\colon V\to W$ 의 $v\in V$ 에서의 프레셰 도함수가 $D_vf$ 라면, $v$ 에서의, $u\in V$ 방향의 가토 도함수는 $D_vf(u)$ 이다.

어떤 점에서 미분가능한 함수는 그 점에서 연속이다.

미분은 다음 의미에서 선형 연산이다. 만약 $f$ 와 $g$ 가 $V \to W$ 인 두 개의 함수가 $x$ 에서 미분가능하고, $c$ 가 스칼라(실수 또는 복소수)이면, 프레셰 도함수는 다음 속성을 따른다.

$D(cf)(x) = cDf(x)$

$D(f+g)(x) = Df(x) + Dg(x).$

연쇄 법칙 또한 이 맥락에서 유효하다: 만약 $f : U \to Y$ 가 $x \in U$ 에서 미분가능하고, $g : Y \to W$ 가 $y = f(x)$ 에서 미분가능하면, 합성 함수 $g \circ f$ 는 $x$ 에서 미분가능하며, 도함수는 도함수의 합성이다:

$D(g \circ f)(x) = Dg(f(x)) \circ Df(x).$

3. 1. 연속성

함수

f\colon V\to W

가

v\in V

에서 프레셰 미분 가능하다면,

f

는

v

에서 연속이다. 어떤 점에서 미분가능한 함수는 그 점에서 연속이기 때문이다.

3. 2. 연쇄 법칙

두 함수 f : U → Y 와 g : Y → W 에 대하여, 만약 f가 점 x ∈ U에서 미분가능하고, g가 점 y = f(x)에서 미분가능하면, 이들의 합성함수 g ∘ f는 점 x에서 미분가능하며, 그 도함수는 각 도함수의 합성이다.:

D(g \circ f)(x) = Dg(f(x))\circ Df(x)

4. 유한 차원에서의 프레셰 미분

유한 차원 공간에서의 프레셰 도함수는 일반적인 도함수와 같다. 특히, 좌표계에서는 야코비 행렬로 표현된다.

사상 ''f''를 '''R'''^''n''의 열린 집합 ''U'' 상의 함수 ''f'': ''U'' → '''R'''^''m''이라고 할 때, ''f''가 한 점 ''a'' ∈ ''U''에서 프레셰 미분가능하다면, 그 도함수는

: $Df(a): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m;\; v\mapsto Df(a)(v) := J_f(a)v$

가 된다. 단, ''J''_''f''(''a'')는 ''f''의 ''a''에서의 야코비 행렬이다.

더 나아가, {''e''_''i''}를 '''R'''^''n''의 표준 기저로 하고, ''f''의 각 편도함수가

: $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = Df(a)(e_i) = J_f(a)e_i$

로 주어진다. 이 도함수는 선형 사상이므로, 임의의 벡터 ''h'' ∈ '''R'''^''n''에 대해, ''f''의 ''h'' 방향의 방향 미분이

: $Df(a)(h) = \sum_{i=1}^{n} h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$

로 주어진다.

''f''의 모든 편도함수가 존재하고 연속이라면, ''f''는 프레셰 미분가능(사실 ''C''¹-급)하다. 역은 성립하지 않는다(함수가 프레셰 미분가능해도, 연속인 편도함수를 갖지 않는 경우가 있을 수 있다).

4. 1. 방향 미분과의 관계

유한 차원 공간에서 프레셰 도함수는 일반적인 도함수와 같으며, 야코비 행렬로 표현될 수 있다. 사상

f : U \subseteq \R^n \to \R^m

(

U

는 열린 집합)가 점

a \in U

에서 프레셰 미분 가능하다면, 그 도함수는

Df(a)(v) = J_f(a) v

이다. 여기서

J_f(a)

는

a

에서의

f

의 야코비 행렬이다.

\R^n

의 표준 기저를

\left\{ e_i \right\}

라고 하면,

f

의 편도함수는

\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = Df(a)(e_i) = J_f(a) e_i

와 같이 주어진다. 도함수가 선형 함수이므로, 모든 벡터

h \in \R^n

에 대해

h

방향으로의

f

의 방향 미분은

Df(a)(h) = \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)

로 계산할 수 있다.

만약

f

의 모든 편도함수가 존재하고 연속이라면,

f

는 프레셰 미분 가능하다. 그러나 역은 성립하지 않는데, 함수가 프레셰 미분 가능하더라도 연속인 편도함수를 갖지 않는 경우가 존재하기 때문이다.

4. 2. 편미분과의 관계

유한 차원 공간에서 프레셰 도함수는 일반적인 도함수와 같으며, 좌표계에서는 야코비 행렬로 표현된다. 만약

f : U \subseteq \R^n \to \R^m

(

U

는 열린 집합)가 점

a \in U

에서 프레셰 미분 가능하다면, 그 도함수는

Df(a)(v) = J_f(a) v

이다. 여기서

J_f(a)

는

a

에서의

f

의 야코비 행렬이다.

f

의 편도함수는

\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = Df(a)(e_i) = J_f(a) e_i

로 주어지며, 여기서

\left\{ e_i \right\}

는

\R^n

의 표준 기저이다. 도함수가 선형 함수이므로, 모든 벡터

h \in \R^n

에 대해

h

방향으로의

f

의 방향 미분은

Df(a)(h) = \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)

와 같이 나타낼 수 있다.

만약

f

의 모든 편도함수가 존재하고 연속이라면,

f

는 프레셰 미분 가능하다. 그러나 역은 성립하지 않는데, 함수가 프레셰 미분 가능하지만

(0, 0)

에서 연속적인 편도함수를 갖지 못하는 경우가 존재한다.

일반적으로,

V_1, \ldots, V_n

및

W

를 바나흐 공간(동일한 스칼라 필드)이라고 하고,

f : \prod_{i=1}^n V_i \to W

를 주어진 함수로 하고, 점

a = \left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \prod_{i=1}^n V_i

를 고정했을 때, 함수

\varphi_i : V_i \to W

가

\varphi_i(x) = f(a_1, \ldots, a_{i-1}, x, a_{i+1}, \ldots a_n)

에 의해 정의될 때, 점

a_i

에서 프레셰 미분 가능하면

f

가 점

a

에서 i번째 편미분을 가진다고 정의한다.

5. 무한 차원에서의 프레셰 미분

힐베르트 공간에서 정의된 노름 함수의 프레셰 도함수는 내적을 통해 표현될 수 있다.

$x \neq 0$ 인 경우, $x$ 에서 노름 $\|\,\cdot\,\| : H \to \R$ 의 프레셰 도함수 $D$ 는 다음과 같이 정의되는 선형 범함수이다.

: $Dv := \left\langle \frac{x}{\|x\|}, v\right\rangle.$

이때,

$\begin{align}\frac$

{\|h\|} &=\frac

{\|x\|\|h\|} = \cdots \\&= \frac{\langle x,x \rangle \langle h,h \rangle-\langle x,h \rangle^2}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle|)}\end{align}

노름과 내적의 연속성, 그리고 코시-슈바르츠 부등식을 이용하면

\|h\|\to 0

일 때 위 식이 0으로 수렴함을 보일 수 있다.

반면,

x=0

에서는 노름이 미분 가능하지 않다. 임의의 선형 범함수

D

에 대해 리스 표현 정리를 이용하면,

Dv = \langle a, v\rangle

(

a \in H

)로 표현할 수 있다. 이때,

A(h) = \frac

{\|h\|} = \left|1-\left\langle a, \frac{h}{\|h\|}\right\rangle\right|

이고,

h

가 0으로 접근할 때

A(h)

의 극한값이 0이 되지 않음을 보일 수 있다. 즉,

a

의 값에 따라 극한값이 달라지거나 존재하지 않는다.

5. 1. 힐베르트 공간에서의 예시

힐베르트 공간에서 정의된 노름 함수의 프레셰 도함수는 내적을 통해 표현될 수 있다.

x \neq 0

인 경우,

x

에서 노름

\|\,\cdot\,\| : H \to \R

의 프레셰 도함수

D

는 다음과 같이 정의되는 선형 범함수이다.

:

Dv := \left\langle \frac{x}{\|x\|}, v\right\rangle.

이때,

\begin{align}\frac

{\|h\|} &=\frac

{\|x\|\|h\|} = \cdots \\&= \frac{\langle x,x \rangle \langle h,h \rangle-\langle x,h \rangle^2}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle|)}\end{align}

노름과 내적의 연속성, 그리고 코시-슈바르츠 부등식을 이용하면

\|h\|\to 0

일 때 위 식이 0으로 수렴함을 보일 수 있다.

반면,

x=0

에서는 노름이 미분 가능하지 않다. 임의의 선형 범함수

D

에 대해 리스 표현 정리를 이용하면,

Dv = \langle a, v\rangle

(

a \in H

)로 표현할 수 있다. 이때,

A(h) = \frac

{\|h\|} = \left|1-\left\langle a, \frac{h}{\|h\|}\right\rangle\right|

이고,

h

가 0으로 접근할 때

A(h)

의 극한값이 0이 되지 않음을 보일 수 있다. 즉,

a

의 값에 따라 극한값이 달라지거나 존재하지 않는다.

6. 고계 도함수

프레셰 미분은 고계 도함수로 확장될 수 있으며, 각 고계 도함수는 다중선형 사상으로 표현된다. 만약 $f : U \to W$ 가 $V$ 의 열린 부분 집합 $U$ 의 모든 점에서 미분 가능한 함수라면, 그 도함수

: $Df\colon U \to L(V, W)$

는 $U$ 에서, $V$ 에서 $W$ 로 가는 모든 유계 선형 연산자의 공간 $L(V, W)$ 으로 가는 함수가 된다. 이 함수는 또한 도함수를 가질 수 있는데, 이는 $f$ 의 ''2차 도함수''이며, 도함수의 정의에 의해, 다음과 같은 맵이 된다.

: $D^2f\colon U \to L(V, L(V, W))$

2차 도함수를 다루기 쉽게 하기 위해, 오른쪽에 있는 공간은 $V$ 에서 $W$ 로 가는 모든 연속 쌍선형 맵의 바나흐 공간 $L^2(V \times V, W)$ 로 식별된다. $L(V, L(V, W))$ 의 원소 $\varphi$ 는 모든 $x, y \in V$ 에 대해

: $\varphi(x)(y) = \psi(x, y).$

인 $L^2(V \times V, W)$ 의 $\psi$ 와 동일하게 식별된다.

다시

: $D^2 f : U \to L^2(V\times V, W)$

를 미분하여, 각 점에서 ''3중 선형 맵''이 되는 ''3차 도함수''를 얻을 수 있으며, 이는 계속된다. $n$ 차 도함수는 다음과 같은 함수가 된다.

: $D^n f : U \to L^n(V \times V \times \cdots \times V, W),$

$V$ 에서 $W$ 로 가는 $n$ 개의 인수를 갖는 연속 다중선형 맵의 바나흐 공간의 값을 취한다. 재귀적으로, 함수 $f$ 는 $U$ 에서 $n$ 번 미분 가능하고 각 $x \in U$ 에 대해 다음 극한이 존재하도록 $n+1$ 번 미분 가능하며,

: $\lim_{h_{n+1} \to 0} \frac{ \left\| D^nf \left(x + h_{n+1} \right)(h_1, h_2, \ldots, h_n) - D^nf(x)(h_1, h_2, \ldots, h_n) - A \left(h_1, h_2, \ldots, h_n, h_{n+1} \right) \right\| }{\left\|h_{n+1}\right\|} = 0$

이는 $V$ 의 유계 집합에 있는 $h_1, h_2, \ldots, h_n$ 에 대해 균등 수렴한다. 그 경우, $A$ 는 $x$ 에서 $f$ 의 $(n+1)$ 차 도함수이다.

7. 위상 벡터 공간으로의 일반화

프레셰 도함수는 임의의 위상 벡터 공간 $X$ 와 $Y$ 로 일반화될 수 있다. $U$ 를 원점을 포함하는 $X$ 의 열린 부분 집합이라 하고, 함수 $f: U \to Y$ 가 $f(0) = 0$ 을 만족한다고 가정하자. 이때 함수 $f$ 가 0에 접한다는 것은 0의 모든 열린 근방 $W \subseteq Y$ 에 대해 0의 열린 근방 $V\subseteq X$ 와 다음 조건을 만족하는 함수 $o: \R \to \R$ 가 존재함을 의미한다.

$\lim_{t\to 0} \frac{o(t)}{t} = 0,$

그리고 원점의 어떤 근방에 있는 모든 $t$ 에 대해 $f(tV) \subseteq o(t) W$ 가 성립한다.

일반적으로 $x_0 \in U$ 에서 $f$ 가 프레셰 미분 가능하다는 것은 연속 선형 연산자 $\lambda : X \to Y$ 가 존재하여 $f(x_0 + h) - f(x_0) - \lambda h$ 가 $h$ 의 함수로서 0에 접하는 경우를 말한다.

프레셰 도함수가 존재한다면 유일하며, 게토 도함수도 존재하여 모든 $v \in X$ 에 대해 다음과 같이 프레셰 도함수와 같아야 한다.

$\lim_{\tau \to 0}\frac{f(x_0 + \tau v) - f(x_0)}{\tau} = f'(x_0) v,$

여기서 $f'(x_0)$ 는 프레셰 도함수이다. 프레셰 미분 가능한 함수는 그 점에서 연속이며, 합과 스칼라 배수는 미분 가능하므로, 어떤 점에서 프레셰 미분 가능한 함수들의 공간은 그 점에서 연속인 함수들의 부분 공간을 형성한다. $Y$ 가 곱셈이 연속적인 대수이자 TVS인 경우, 연쇄 법칙과 라이프니츠 규칙도 성립한다.

8. 한국 사회에의 응용

8. 1. 불평등 연구

8. 2. 노동 시장 분석

8. 3. 사회 이동성 연구

참조

_[1] 문서
_[2] 문서

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