곡선좌표계

2.3.2. 3차원에서 공변 기저 만들기

3차원 공간에서 곡선 좌표계의 공변 기저 벡터(b₁, b₂, b₃)는 직교 좌표계의 표준 기저 벡터(e₁, e₂, e₃)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\mathbf{b}_1 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 \\
\mathbf{b}_2 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} \mathbf{e}_3 \\
\mathbf{b}_3 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \mathbf{e}_3
\end{align}

여기서 x_i는 직교 좌표, qⁱ는 곡선 좌표를 나타낸다. 이 식은 표준 기저 {e₁, e₂, e₃}를 국소 기저 {b₁, b₂, b₃}로 변환하는 것을 의미한다.

2.3.3. 변환의 야코비안

2.4. n 차원으로의 일반화

실수 유클리드 n차원 공간(n차원) Rⁿ을 생각해 보자. Rⁿ은 R × R × ... × R (n번)으로 정의되며, 여기서 R은 실수의 집합이고 ×는 데카르트 곱을 나타내는 벡터 공간이다.

이 공간의 좌표는 x = (x₁, x₂,...,x_n)으로 나타낼 수 있다. 이는 벡터(벡터 공간의 원소)이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i\backslash mathbf\{e\}^i$

여기서 e¹ = (1,0,0...,0), e² = (0,1,0...,0), e³ = (0,0,1...,0),...,eⁿ = (0,0,0...,1)은 Rⁿ 공간의 표준 기저 벡터 집합이고, i = 1, 2,...n는 성분을 나타내는 인덱스이다. 각 벡터는 각 차원(또는 "축")에서 정확하게 하나의 성분을 가지며, 이들은 서로 직교(수직)하며 단위 크기를 갖는다(정규화).

보다 일반적으로, q = (q₁, q₂,...,q_n)에 의존하는 기저 벡터 b_i = b_i(q)를 정의할 수 있다. 즉, 기저 벡터들은 점마다 달라진다. 이 대안적 기저를 통해 동일한 점 x를 정의하는 경우, 이 기저에 대한 좌표 v_i는 필연적으로 x에 의존한다. 즉, v_i = v_i(x)이다. 그러면, 이러한 대안적 좌표들과 기저 벡터들에 대한, 이 공간에서의 벡터 v는 이러한 기저에서의 선형 결합으로 확장될 수 있다(각 기저 벡터 e_i 와 숫자(스칼라 곱셈) v_i를 곱하는 것을 의미한다).

:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash bar\{v\}^j\backslash mathbf\{b\}\_j\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash bar\{v\}^j(\backslash mathbf\{q\})\backslash mathbf\{b\}\_j(\backslash mathbf\{q\})$

새로운 기저에서 v를 기술하는 벡터 합은 그 합 자체는 동일하게 유지되더라도, 다른 벡터들로 구성된다.

3. 좌표들의 변환

보다 일반적인 관점에서, 곡선 좌표계는 n차원 유클리드 공간 Eⁿ 상의 미분 다양체에서, 데카르트 좌표 조각(coordinate patch)에 대해 미분동형적인 좌표 조각일 뿐이다. 두 미분동형적 좌표 조각은 미분가능하게 중첩될 필요는 없다.

변환 함수들은 "오래된" 좌표계와 "새로운" 좌표계에서 점들 사이에 일대일 관계, 즉 전단사 함수 관계가 되도록 구성되며, 정의역 내에서 다음 조건을 만족시킨다.

1. 이들은 매끄러운 함수들이다. 즉, qⁱ = qⁱ(x)이다.
2. 역 야코비안 행렬식은 0이 아니다.

:$J^\{-1\}=\backslash begin\{vmatrix\}$
\dfrac{\partial q^1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial q^1}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial q^1}{\partial x_n} \\
\dfrac{\partial q^2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial q^2}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial q^2}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial q^n}{\partial x_1} & \dfrac{\partial q^n}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial q^n}{\partial x_n}
\end{vmatrix} \neq 0

이는 변환이 가역적(x_i(q))임을 의미한다.

역함수 정리에 따르면, 야코비안 행렬식이 0이 아니라는 조건은 다른 패밀리들로부터의 세 표면들이 단 하나의 점에서 교차하고, 따라서 이 점의 위치는 유일하게 결정될 수 있음을 나타낸다.

4. 곡선 좌표계에서의 벡터 및 텐서 대수

곡선 좌표계에서의 기본적인 벡터 및 텐서 대수는 역학 및 물리학의 오래된 과학 문헌들에서 사용되며, 1900년대 초반 및 중반부터의 작업을 이해하는 데 필수적일 수 있다.

4.1. 곡선 좌표계에서의 텐서

2차 텐서는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$
\boldsymbol{S} = S^{ij}\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j = S^i{}_j\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}^j = S_i{}^j\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}_j = S_{ij}\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j

(아인슈타인 표기법 사용)

여기서 $\backslash scriptstyle\backslash otimes$는 텐서곱을 나타낸다. S^ij는 2차 텐서의 반변 성분이라 불리고, Sⁱ _j는 혼합된 우-공변 성분, S_i ^j는 혼합된 좌-공변 성분, S_ij는 공변 성분이라 불린다. 2차 텐서의 성분들은 아래의 식에 의해 관련지어진다.

:$S^\{ij\}\; =\; g^\{ik\}S\_k\{\}^j\; =\; g^\{jk\}S^i\{\}\_k\; =\; g^\{ik\}g^\{j\backslash ell\}S\_\{k\backslash ell\}$

4.2. 직교하는 곡선 좌표계에서 메트릭 텐서

작은 선 요소 $d\backslash mathbf\{x\}$의 길이의 제곱은 스칼라 곱 $d\backslash mathbf\{x\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{x\}$이며, 그 공간의 계량으로 불린다. 이 값은 다음과 같이 표현된다.

:$d\backslash mathbf\{x\}\backslash cdot\; d\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; q^k\}dq^jdq^k$.

위 식에서,

:$\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_k\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_k\}\{\backslash partial\; q^j\}\; =\; g\_\{ij\}(q^i,q^j)\; =\; \backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j$

부분은 곡선 좌표계에서 유클리드 공간의 근본(또는 계량 텐서) 텐서로 불리는 대칭 텐서이다.

인덱스들은 아래와 같이 위 메트릭을 이용하여 올리거나 내릴 수 있다.

:$v^i\; =\; g^\{ik\}v\_k$

스케일 인수 h_i를 다음과 같이 정의하면,

:$h\_ih\_j\; =\; g\_\{ij\}\; =\; \backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; h\_i\; =\backslash sqrt\{g\_\{ii\}\}=\; \backslash left|\backslash mathbf\{b\}\_i\backslash right|=\backslash left|\backslash cfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash right|$

라메 계수와의 관계를 얻을 수 있다. 또한,

:$g\_\{ij\}\; =\; \backslash cfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash cdot\backslash cfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^j\}$
= \left( h_{ki}\mathbf{e}_k\right)\cdot\left( h_{mj}\mathbf{e}_m\right)
= h_{ki}h_{kj}

여기서, h_ij는 라메 계수들이다. 이에 더하여, 직교 기저의 경우, 아래의 식을 얻을 수 있다.

:$g\; =\; g\_\{11\}g\_\{22\}g\_\{33\}\; =\; h\_1^2h\_2^2h\_3^2\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash sqrt\{g\}\; =\; h\_1h\_2h\_3\; =\; J$

예를 들어, R²에 대한 극좌표계를 고려하면,

:$(x,\; y)=(r\; \backslash cos\; \backslash theta,\; r\; \backslash sin\; \backslash theta)$

(r, θ)는 곡선 좌표이며, 변환 (r, θ) → (r cos θ, r sin θ)의 야코비 행렬식은 r이다.

직교 기저 벡터는 b_r = (cos θ, sin θ), b_θ = (−r sin θ, r cos θ)이다. 스케일 인자는 h_r = 1이고 h_θ= r이다. 따라서 이 경우의 기본 텐서는 g₁₁ = 1, g₂₂ = r², g₁₂ = g₂₁ = 0이다.

4.3. 얼터네이팅 텐서(alternating tensor)

3차원 유클리드 공간에서 얼터네이팅 텐서(alternating tensor)는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash epsilon\_\{ijk\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\; \backslash varepsilon\_\{ijk\}$

여기서,

* $\backslash varepsilon\_\{ijk\}$는 레비치비타 기호이다.
* $g$는 계량 텐서 $g\_\{ij\}$의 행렬식이다. 직교 좌표계에서는 $\backslash sqrt\{g\}\; =\; h\_1\; h\_2\; h\_3\; =\; J$이며, 여기서 J는 야코비안 행렬식이다.

얼터네이팅 텐서는 다음과 같은 성질을 갖는다.

:$\backslash epsilon\_\{ijk\}\; =\; \backslash epsilon\_\{jki\}\; =\; \backslash epsilon\_\{kij\}$
:$\backslash epsilon\_\{ijk\}\; =\; -\backslash epsilon\_\{jik\}\; =\; -\backslash epsilon\_\{ikj\}$

4.4. 크리스토펠 기호

크리스토펠 기호(Christoffel symbol)는 곡선좌표계에서 좌표 변환에 따른 기저 벡터의 변화를 나타내는 값이다. 제1종 크리스토펠 기호와 제2종 크리스토펠 기호 두 가지 종류가 있다.

제1종 크리스토펠 기호

제1종 크리스토펠 기호는 Γ_ijk로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbf\{b\}\_\{i,j\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{b\}\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}\; =\; \backslash Gamma\_\{ijk\}\backslash mathbf\{b\}^k\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad$
\mathbf{b}_{i,j} \cdot \mathbf{b}_k = \Gamma_{ijk}

여기서 콤마(,)는 편미분을 나타낸다. 제1종 크리스토펠 기호는 계량 텐서 g_ij를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash Gamma\_\{ijk\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(g\_\{ik,j\}\; +\; g\_\{jk,i\}\; -\; g\_\{ij,k\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}[(\backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_k)\_\{,j\}\; +\; (\backslash mathbf\{b\}\_j\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_k)\_\{,i\}\; -\; (\backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j)\_\{,k\}]$


제2종 크리스토펠 기호

제2종 크리스토펠 기호는 Γ_ij^k로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Gamma\_\{ij\}\{\}^k\; =\; \backslash Gamma\_\{ji\}\{\}^k,\backslash quad\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{b\}\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}\; =\; \backslash Gamma\_\{ij\}\{\}^k\backslash mathbf\{b\}\_k$

이는 다음을 의미한다.

:$\backslash Gamma\_\{ij\}\{\}^k\; =\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{b\}\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^k\; =\; -\backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash cfrac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{b\}^k\}\{\backslash partial\; q^j\}$

제2종 크리스토펠 기호는 기저 벡터의 편미분을 나타내며, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$$
\cfrac{\partial \mathbf{b}^i}{\partial q^j} = -\Gamma^i{}_{jk}\mathbf{b}^k,\quad
\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}_i = \Gamma_{ij}{}^k\mathbf{b}_k\otimes\mathbf{b}^j,\quad
\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}^i = -\Gamma_{jk}{}^i\mathbf{b}^k\otimes\mathbf{b}^j

4.5. 벡터 계산

3차원 공간에서 점 P의 위치 벡터 r은 데카르트 좌표 (x, y, z) 또는 곡선 좌표 (q¹, q², q³)로 나타낼 수 있다. 이때, 좌표 간에는 다음과 같은 가역적 변환 함수 관계가 존재한다.

:$x\; =\; f^1(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; y\; =\; f^2(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; z\; =\; f^3(q^1,\; q^2,\; q^3)$
:$q^1\; =\; g^1(x,y,z),\backslash ,\; q^2\; =\; g^2(x,y,z),\backslash ,\; q^3\; =\; g^3(x,y,z)$

곡선 좌표계에서 각 좌표 qⁱ가 상수로 주어지는 면들은 좌표면을 이루고, 이 좌표면들이 쌍으로 만나 형성되는 공간 곡선은 좌표 곡선이 된다. 그리고 세 좌표면이 한 점에서 만날 때, 각 좌표 곡선에 대한 접선이 좌표축을 결정한다.

5. 3차원 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산

3차원 공간의 점 P의 위치 벡터 r은 데카르트 좌표계 (x, y, z) 또는 (x¹, x², x³)를 사용하여 $\backslash mathbf\{r\}\; =\; x\; \backslash mathbf\{e\}\_x\; +\; y\backslash mathbf\{e\}\_y\; +\; z\backslash mathbf\{e\}\_z$로 나타낼 수 있다. 여기서 e_x, e_y, e_z는 표준 기저 벡터이다.

5.1. 기하학적 요소들

φ = φ(x)를 잘 정의된 스칼라장, v = v(x)를 잘 정의된 벡터장이라고 하고, λ₁, λ₂...를 좌표의 매개변수라고 하자.

1. 접선 벡터: x(λ)가 데카르트 좌표계에서 곡선 C를 매개변수화한다면,

:math>\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \lambda} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial q^i}\frac{\partial q^i}{\partial \lambda} = \left( h_{ki}\frac{\partial q^i}{\partial \lambda}\right)\mathbf{b}_k

는 곡선 좌표계에서 C의 접선 벡터이다 (연쇄 법칙 사용). 라메 계수의 정의와, 계량 g_ij = 0 (i ≠ j일 때)을 사용하면 크기는 다음과 같다.

:$\backslash left|\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\; \backslash right|\; =\; \backslash sqrt\{h\_\{ki\}h\_\{kj\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^j\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\; g\_\{ij\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^j\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\}\; =\; \backslash sqrt\{h\_\{i\}^2\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\backslash right)^2\}$
2. 접평면 요소: x(λ₁, λ₂)가 데카르트 좌표계에서 표면 S를 매개변수화한다면, 접선 벡터의 외적은 무한소 평면 요소의 크기를 가진 S의 법선 벡터가 곡선 좌표계에 있다. 위의 결과를 사용하여,

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash times\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_2\}\; =\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash right)\; \backslash times\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^j\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^j\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_2\}\backslash right)\; =\; \backslash mathcal\{E\}\_\{kmp\}\backslash left(\; h\_\{ki\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash right)\backslash left(h\_\{mj\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^j\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_2\}\backslash right)\; \backslash mathbf\{b\}\_p$

여기서 $\backslash mathcal\{E\}$는 순열 기호이다. 행렬식 형태로:

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash times\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_2\}$
=\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\
h_{1i} \dfrac{\partial q^i}{\partial \lambda_1} & h_{2i} \dfrac{\partial q^i}{\partial \lambda_1} & h_{3i} \dfrac{\partial q^i }{\partial \lambda_1} \\
h_{1j} \dfrac{\partial q^j}{\partial \lambda_2} & h_{2j} \dfrac{\partial q^j}{\partial \lambda_2} & h_{3j} \dfrac{\partial q^j }{\partial \lambda_2}
\end{vmatrix}

5.2. 적분

곡선 좌표계에서 기본적인 벡터 및 텐서 대수는 역학 및 물리학의 일부 오래된 과학 문헌에서 사용되었으며, 1900년대 초중반의 연구를 이해하는 데 필수적일 수 있다.

선 적분, 면 적분 및 체적분 계산 시 조정이 필요하다. 편의상 다음 내용은 3차원 및 직교 곡선 좌표로 제한한다. 그러나 동일한 논리가 n차원 공간에도 적용된다. 좌표계가 직교하지 않으면 식에 몇 가지 추가 항이 있다.

φ = φ(x)를 잘 정의된 스칼라장, v = v(x)를 잘 정의된 벡터장이라고 하고, λ₁, λ₂...를 좌표의 매개변수라고 하자.