네프 가역층

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1. 개요

네프 가역층은 체 K 위의 완비 대수다양체 X의 가역층 L이 모든 기약 완비 대수 곡선 C에 대해 적분 값이 0 이상일 때를 말한다. 네프 가역층에 대응하는 카르티에 인자를 네프 인자라고 한다. 사영 scheme X 위의 선형 다발 L이 X의 모든 곡선에서 비음의 차수를 가지면 네프라고 하며, 네프라는 용어는 마일스 리드가 "산술적으로 유효", "수치적으로 유효", "수치적으로 결국 자유"라는 용어를 대체하기 위해 도입했다. 모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이며, 네프 R-제수는 네프 원뿔을 형성한다. 클라이만의 기준에 따르면, 체 위의 사영 스킴 X에 대해 선형 다발은 그 클래스가 네프 원뿔의 내부에 있을 경우에만 충분하다. 네프 원뿔의 면과 축약 사이에는 일대일 대응이 존재하며, 플래그 다양체나 아벨 다양체의 모든 유효 제수는 네프이다.

네프 가역층

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 네프 원뿔
5. 축약과 네프 원뿔
6. 예시
7. 계량 정의
8. 역사

2. 정의

체 $K$ 위의 완비 대수다양체 $X$ 위의 가역층 $\mathcal L$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, 네프 가역층이라고 한다.
:모든 기약 완비 대수 곡선 $C\subset X$ 에 대하여, $\textstyle\int_X\operatorname c_1(\mathcal L)\ge0$
여기서 $\operatorname c_1(\mathcal L)\in\operatorname A^1(X)$ 는 1차 천 특성류이다.

네프 가역층에 대응하는 카르티에 인자를 네프 인자(nef divisor^영어)라고 한다.

더 일반적으로, 체 k 위의 사영 scheme $X$ 에 대한 선형 다발(또는 가역층) $L$ 은 $X$ 의 모든 (닫힌 기약) 곡선 $C$ 위에서 $L$ 의 차수가 비음일 때 네프(nef)라고 한다. 여기서 k 위의 사영 곡선 $C$ 위의 선형 다발 $L$ 의 차수는 $L$ 의 모든 0이 아닌 유리 단면 $s$ 의 약수 $(s)$ 의 차수를 의미한다.

체 위의 사영 scheme $X$ 위의 카르티에 약수 $D$ 는 연관된 선형 다발 $\mathcal O(D)$ 가 $X$ 에서 네프일 때 네프라고 한다. 이는 $X$ 의 모든 곡선 $C$ 에 대해 교차수 $D\cdot C$ 가 비음인 것과 동등하다.

k 위의 사영 곡선 $C$ 위의 모든 선형 다발 $L$ 은 항등적으로 0이 아닌 전역 단면을 가지며, 이는 $L$ 이 비음 차수를 가짐을 의미한다. 결과적으로, k 위의 사영 scheme $X$ 위의 기저점-자유 선형 다발은 $X$ 의 모든 곡선에서 비음 차수를 가지므로 네프이다. 더 일반적으로, 선형 다발 $L$ 은 어떤 양의 정수 $a$ 에 대해 텐서 거듭제곱 $L^{\otimes a}$ 가 기저점-자유일 때 반-충분(semi-ample)이라고 한다. 따라서 반-충분 선형 다발은 항상 네프이다. 반-충분 선형 다발은 네프 선형 다발의 중요한 기하학적 예시이지만, 모든 네프 선형 다발이 반-충분인 것은 아니다.

선형 다발과 약수 사이의 관계는 첫 번째 천 특성류를 통해 설명될 수 있다. 이는 다양체 $X$ 위의 선형 다발들의 피카르 군에서 선형 동치 관계를 기준으로 한 카르티에 약수들의 군으로 가는 동형사상이다. 구체적으로, 선형 다발 $L$ 의 첫 번째 천 특성류 $c_1(L)$ 은 $L$ 의 임의의 0이 아닌 유리 단면 $s$ 의 약수 $(s)$ 이다.

"네프"라는 용어는 마일스 리드가 이전의 "산술적으로 유효"(arithmetically effective), "수치적으로 유효"(numerically effective), "수치적으로 결국 자유"(numerically eventually free)와 같은 용어들이 특정 상황에서 오해의 소지가 있을 수 있어 이를 대체하기 위해 도입했다.

3. 성질

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다.

일반적으로, 사영 스킴 X 위의 체 k에 대한 선형 다발 L은 X의 모든 (닫힌 기약) 곡선에서 비음의 차수를 가지면 네프(nef)라고 한다. (k 위의 사영 곡선 C 위의 선형 다발 L의 차수는 L의 모든 비영 유리 단면(rational section) s의 약수 (s)의 차수이다.) 선형 다발은 가역층이라고도 불린다. "네프"라는 용어는 마일스 리드가 이전에 사용되던 "산술적으로 유효"(arithmetically effective) 및 "수치적으로 유효"(numerically effective), "수치적으로 결국 자유"(numerically eventually free) 등의 용어를 대체하기 위해 도입했다.

k 위의 사영 곡선 C 위의 모든 선형 다발 L은 전역 단면을 가지며, 이 전역 단면이 항등적으로 0이 아니라면 비음의 차수를 가진다. 결과적으로, k 위의 사영 스킴 X 위의 기저점-자유 선형 다발은 X의 모든 곡선에서 비음의 차수를 가지므로 네프이다. 더 일반적으로, 선형 다발 L은 어떤 양의 텐서 거듭제곱 $L^{\otimes a}$ 가 기저점-자유일 때 반-충분(semi-ample)이라고 한다. 따라서 반-충분 선형 다발은 네프이다. 그러나 모든 네프 선형 다발이 반-충분인 것은 아니다.

체 위의 사영 스킴 X 위의 카르티에 약수 D는 연관된 선형 다발 O(D)가 X에서 네프일 때 네프 약수라고 한다. 이는 D가 X의 모든 곡선 C에 대해 교차수 $D\cdot C$ 가 비음( $\ge 0$ )이라는 조건과 동등하다.

선형 다발과 약수 사이의 관계를 보기 위해, 첫 번째 천 특성류 $c_1(L)$ 는 다양체 X 위의 선형 다발의 피카르 군에서 선형 동치를 기준으로 한 카르티에 약수 군으로 가는 동형사상으로 정의할 수 있다. 구체적으로, $c_1(L)$ 는 L의 임의의 비영 유리 단면 s의 약수 (s)이다.

부등식을 다룰 때는 실수 계수를 갖는 카르티에 약수의 유한 선형 결합인 R-약수(ℝ-divisor)를 고려하는 것이 편리하다. R-약수는 수치적 동치 관계 아래에서 유한 차원의 실수 벡터 공간 $N^1(X)$ 를 형성하는데, 이는 네론-세베리 군을 실수로 텐서곱한 공간이다. (명시적으로: 두 R-약수는 X의 모든 곡선과 동일한 교차수를 가지면 수치적으로 동등하다고 한다.) R-약수는 모든 곡선에 대해 음수가 아닌 교차수를 가질 때 네프라고 하며, 이러한 네프 R-약수들은 $N^1(X)$ 안에서 닫힌 볼록 원뿔인 네프 원뿔 Nef(X)을 형성한다.

곡선의 원뿔은 수치적 동치까지 고려한 1-사이클(1-cycle)의 실수 벡터 공간 $N_1(X)$ 에서, 음이 아닌 실수 계수를 갖는 곡선들의 선형 결합으로 이루어진 볼록 원뿔로 정의된다. 벡터 공간 $N^1(X)$ 와 $N_1(X)$ 는 교차수 계산을 통해 서로 쌍대 관계에 있으며, 네프 원뿔은 정의에 따라 곡선의 원뿔의 쌍대 원뿔이다.

대수기하학에서 중요한 문제 중 하나는 어떤 선형 다발이 충분한지 분석하는 것인데, 이는 다양체를 사영 공간에 매립하는 다양한 방법을 이해하는 것과 관련된다. 이에 대한 한 가지 답이 클라이만의 기준(Kleiman's criterion, 1966)이다. 즉, 체 위의 사영 스킴 X에 대해 선형 다발 (또는 R-약수)이 충분할 필요충분조건은 $N^1(X)$ 에서 그 클래스가 네프 원뿔의 내부에 속하는 것이다. (R-약수는 충분한 카르티에 약수의 양의 선형 결합으로 표현될 수 있을 때 충분하다고 한다.) 클라이만의 기준에 따르면, X가 사영적일 때, X의 모든 네프 R-약수는 $N^1(X)$ 에서 충분한 R-약수의 극한으로 볼 수 있다. 실제로, D가 네프이고 A가 충분하면, 모든 양의 실수 c > 0에 대해 D + cA는 충분하다.

4. 네프 원뿔

부등식으로 작업하려면 R - 제수를 고려하는 것이 편리하다. 이는 실수 계수를 갖는 카르티에 제수의 유한한 선형 결합을 의미한다. R - 제수는 수치적 동치를 제외하면 유한 차원의 실수 벡터 공간 $N^1(X)$ 을 형성하며, 이는 실수로 텐서곱된 네론-세베리 군이다. 두 R - 제수는 X의 모든 곡선과 동일한 교차수를 가지면 수치적으로 동등하다고 정의한다.

R - 제수는 모든 곡선에 대해 음수가 아닌 차수를 가지면 네프라고 한다. 네프 R - 제수는 $N^1(X)$ 에서 닫힌 볼록 원뿔인 네프 원뿔 Nef(X)을 형성한다.

곡선의 원뿔은 수치적 동치에 따른 1-사이클의 실수 벡터 공간 $N_1(X)$ 에서, 음수가 아닌 실수 계수를 갖는 곡선의 선형 결합으로 이루어진 볼록 원뿔로 정의된다. 벡터 공간 $N^1(X)$ 와 $N_1(X)$ 는 교차 쌍을 통해 서로 쌍대이며, 네프 원뿔은 정의에 따라 곡선의 원뿔의 쌍대 원뿔이다.

대수 기하학에서 중요한 문제 중 하나는 어떤 선형 다발이 충분한지를 분석하는 것이다. 이는 다양체를 사영 공간에 포함시키는 다양한 방법을 설명하는 것과 같기 때문이다. 이에 대한 한 가지 답은 클라이만의 기준 (1966)이다. 즉, 체 위의 사영 스킴 X에 대해 선형 다발 (또는 R - 제수)은 $N^1(X)$ 에서 그 클래스가 네프 원뿔의 내부에 있을 경우에만 충분하다. R - 제수는 충분한 카르티에 제수의 양의 선형 결합으로 표현할 수 있을 때 충분하다고 정의한다. 클라이만의 기준에 따르면, X가 사영적일 때, X의 모든 네프 R - 제수는 $N^1(X)$ 에서 충분한 R - 제수의 극한으로 볼 수 있다. 실제로, D가 네프이고 A가 충분하면, 모든 양의 실수 c > 0에 대해 D + cA는 충분하다.

5. 축약과 네프 원뿔

k 체 상의 정규 스킴인 사영 대수다양체 X의 축약(contraction)은 Y가 k 체 위의 정규 사영 대수다양체이고 $f_*O_X=O_Y$ 를 만족하는 전사 사상 $f\colon X\to Y$ 이다. 여기서 $f_*O_X=O_Y$ 조건은 사상 f가 연결된 올(fiber)을 갖는다는 것을 의미한다. 만약 k가 표수 0을 갖는다면, 이 조건은 f가 연결된 올을 갖는다는 것과 동치이다.

축약 $f\colon X\to Y$ 에서 목표 공간 Y의 차원이 원래 공간 X의 차원보다 작을 때, 즉 dim(Y) < dim(X)일 경우, 이 축약을 특별히 섬유화(fibration)라고 부른다. 반면, dim(Y) = dim(X)인 축약은 자동으로 유리 사상(birational map)이 된다. 예를 들어, X가 매끄러운 사영 곡면 Y의 한 점을 블로우업한 다양체일 경우, 블로우다운 사상 $X \to Y$ 는 유리 사상인 축약의 한 예이다.

볼록 콘 N의 면(face) F는 다음과 같은 성질을 만족하는 볼록 부분 콘을 의미한다: 만약 N에 속하는 두 점의 합이 F 안에 있다면, 그 두 점 각각도 반드시 F 안에 속해야 한다.

대수다양체 X의 축약은 X의 네프 원뿔 Nef(X)의 특정 면 F와 밀접하게 연관된다. 구체적으로, 축약 $f\colon X\to Y$ 가 주어지면, 이에 해당하는 네프 콘의 면 F는 Nef(X)와 당김 사상으로 얻어지는 부분 공간 $f^*(N^1(Y))\subset N^1(X)$ 의 교집합으로 정의된다.

반대로, 대수다양체 X와 그 네프 콘 Nef(X)의 면 F가 주어지면, 이 면 F는 동형 사상을 제외하고 유일하게 축약 $f\colon X\to Y$ 를 결정한다. 실제로, $N^1(X)$ 에서 그 클래스가 면 F의 내부에 놓이는 반쌍대 선형 다발(semi-ample line bundle) L을 찾을 수 있다. (예를 들어, Y 위의 임의의 풍부한 선형 다발(ample line bundle)을 X로 당겨온 것을 L로 선택할 수 있다.) 이러한 선형 다발 L은 Proj 구성을 통해 목표 공간 Y를 다음과 같이 구성한다.
: $Y=\text{Proj }\bigoplus_{a\geq 0}H^0(X,L^{\otimes a}).$
기하학적인 관점에서 보면, X 위의 곡선 C는 선형 다발 L이 C 위에서 차수(degree) 0을 가질 때, 그리고 오직 그럴 때만 Y의 한 점으로 사상된다.

결론적으로, 대수다양체 X의 축약들과 X의 네프 콘의 특정 면들 사이에는 일대일 대응 관계가 존재한다. (이 대응 관계는 곡선의 원뿔의 면을 이용하여 쌍대적으로 기술될 수도 있다.) 따라서 어떤 네프 선형 다발이 반쌍대인지 판별하는 것은 네프 콘의 어떤 면이 축약에 해당하는지를 결정하는 중요한 문제가 된다. 콘 정리는 축약에 해당하는 중요한 종류의 면들을 설명해주며, 풍부성 추측은 이와 관련하여 더 많은 정보를 제공할 것으로 기대된다.

예를 들어, X를 복소 사영 평면 $\mathbb{P}^2$ 의 한 점 p에서 블로우업한 곡면이라고 하자. H를 $\mathbb{P}^2$ 상의 직선을 X로 당겨온 것이라 하고, E를 블로우업 사상 $\pi\colon X\to\mathbb{P}^2$ 의 예외 곡선(exceptional curve)이라고 하자. 그러면 X의 피카르 수는 2이며, 이는 실수 벡터 공간 $N^1(X)$ 의 차원이 2임을 의미한다. 2차원 볼록 콘의 기하학적 구조에 따라, 네프 콘 Nef(X)는 두 개의 반직선(ray)에 의해 생성되어야 한다. 구체적으로 이 반직선들은 H와 H − E에 의해 생성된다. 이 예시에서 두 반직선은 각각 X의 축약에 해당한다. 반직선 H는 원래의 블로우다운 사상인 유리 사상 $X\to\mathbb{P}^2$ 을 정의하고, 반직선 H − E는 $\mathbb{P}^1$ 에 동형인 올을 갖는 섬유화 $X\to\mathbb{P}^1$ 을 정의한다 (이는 점 p를 지나는 $\mathbb{P}^2$ 상의 직선들에 해당한다). X의 네프 콘에는 이 두 반직선 외에 다른 자명하지 않은 면이 없으므로, 이 두 가지가 X의 유일한 자명하지 않은 축약이다. 이처럼 네프 콘과 축약 사이의 관계를 이용하면 다양체의 기하학적 구조를 더 명확하게 파악할 수 있다.

6. 예시

* 만약 X가 매끄러운 사영 곡면이고, C가 자기 교차수 $C^2\geq 0$ 을 갖는 X의 (기약) 곡선이라면, C는 X상에서 네프이다. 이는 곡면 위의 서로 "다른" 두 곡선은 음이 아닌 교차수를 가지기 때문이다. 만약 $C^2<0$ 이면, C는 유효하지만 X상에서 네프가 아니다. 예를 들어, X가 어떤 점에서의 매끄러운 사영 곡면 Y의 블로업일 때, 블로업 $\pi\colon X\to Y$ 의 예외 곡선 E는 $E^2=-1$ 을 가지므로 네프가 아니다.
* 플래그 다양체나 아벨 다양체의 모든 유효 제수는 네프이다. 왜냐하면 이 다양체들은 연결된 대수적 군의 추이적 작용을 가지기 때문이다.
* 매끄러운 복소 사영 곡선 X 위의 차수 0인 모든 선형 다발 L은 네프이다. 그러나 L이 비틀림인 경우에만 L은 반-충분하다. X의 종수 g가 1 이상인 경우, 차수 0인 대부분의 선형 다발은 비틀림이 아닌데, 그 이유는 X의 야코비 다양체가 차원 g의 아벨 다양체이기 때문이다.
* 모든 반-충분한 선형 다발은 네프이지만, 모든 네프 선형 다발이 반-충분한 선형 다발과 수치적으로 동치인 것은 아니다. 예를 들어, 데이비드 멈포드는 적절한 유리 곡면 X상에서 모든 곡선에 대해 양의 차수를 갖지만 교차수 $c_1(L)^2=0$ 인 선형 다발 L을 구성했다. 따라서, L은 네프이지만, $c_1(L)$ 의 어떤 양의 배수도 유효 제수와 수치적으로 동치이지 않다. 특히, 전역 단면 공간 $H^0(X,L^{\otimes a})$ 는 모든 양의 정수 a에 대해 0이다.

7. 계량 정의

X를 고정된 에르미트 계량을 가진 콤팩트 복소다양체로 하고, 양의 (1,1)-형식 $\omega$ 로 간주하자. 장-피에르 드메이(Jean-Pierre Demailly), 토마스 페테르넬(Thomas Peternell) 및 미하엘 슈나이더(Michael Schneider)에 따르면, X 위의 정칙 선다발 L이 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 매끄러운 에르미트 계량 $h_\epsilon$ 이 존재하여 그 곡률이 다음 조건을 만족하면 네프라고 한다.
$\Theta_{h_\epsilon}(L)\geq -\epsilon\omega$ .

X가 C 위에서 사영적일 때, 이 계량 기반 정의는 대수 기하학에서의 정의(즉, L이 X의 모든 곡선에서 음수가 아닌 차수를 가짐)와 동등하다.

그러나 C 위에서 X가 사영적일 때조차, 네프 선다발 L이 반드시 곡률 $\Theta_h(L)\geq 0$ 을 갖는 에르미트 계량 h를 가질 필요는 없다. 이는 위에서 제시된 계량 정의가 더 복잡하게 보이는 이유를 설명해 준다.

8. 역사

“네프”(nef^영어)라는 용어는 마일스 앤서니 리드(Miles Anthony Reid^영어)가 도입하였으며, “수치 효과적”(numerically effective^영어) 또는 “수치적 결과적 자유”(numerically eventually free^영어)의 머리글자이다.