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비례

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1. 개요

비례는 두 변수 사이의 관계를 나타내는 수학적 개념으로, 한 변수가 다른 변수의 상수 배로 변하는 경우를 정비례, 한 변수가 다른 변수의 역수의 상수 배로 변하는 경우를 반비례라고 한다. 정비례는 y = kx로 표현되며, 여기서 k는 비례상수이다. 반비례는 y = k/x로 표현된다. 비례 관계는 다양한 물리적 현상과 수학적 상황에서 나타나며, 그래프로 표현될 수 있다. 정비례 관계는 원점을 지나는 직선으로, 반비례 관계는 직각 쌍곡선으로 나타난다.

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비례
지도 정보
수학적 정의
정의두 변량 사이의 관계에서, 하나의 변량이 증가하거나 감소할 때 다른 변량이 일정한 비율로 증가하거나 감소하는 관계
상수 비율= = ⋯ = k
상수k
비례 관계의 종류
정비례두 변량이 같은 비율로 증가하거나 감소하는 관계 (직접 비례)
반비례두 변량 중 하나의 변량이 증가하면 다른 변량은 감소하고, 그 반대도 성립하는 관계 (반비례)
활용
응용 분야다양한 과학 및 수학 분야, 실생활 문제 해결 등
비율 계산두 양 사이의 상대적인 크기 비교, 여러 양을 균등하게 배분 등
관련 개념
두 수량의 크기를 비교하는 방법
비례식두 비율이 같음을 나타내는 식
참고 자료
추가 정보MathWorld의 비례 항목

2. 정의

두 변수 x와 y 사이에 y = kx (k는 0이 아닌 상수) 관계가 성립하면 y는 x에 정비례한다고 한다. 이때 k를 비례상수라고 한다. 변수 x와 y 사이에 y = k/x (k는 0이 아닌 상수) 관계가 성립하면 y는 x에 반비례한다고 한다. 이때 k를 비례상수라고 한다.[1][2][3]

정비례는 x값이 m배 변하면 y값도 m배 변하는 관계이다. 비례식으로는 x:y=mx:my로 나타낼 수 있다. 분수는 정비례와 매우 밀접한 관계가 있다.

반비례는 정비례식에서 변수 x, y를 분모로 보내어 \frac{1}{x}:\frac{1}{y} = \frac{mk}{x}: \,\frac{m}{y}로 나타낸다.

y가 x에 정비례하면 x도 y에 비례하며, 그 비례상수는 역수 관계이다. 따라서 x와 y는 비례한다고 말한다.

정비례는 선형 방정식으로 볼 수 있으며, y절편은 0, 기울기는 k > 0으로 선형 증가에 해당한다.

직교 좌표 평면에서 역비례하는 두 변수의 그래프는 직각 쌍곡선이다. 각 점의 x값과 y값의 곱은 비례 상수 k와 같고, k가 0이 아니므로 그래프는 어떤 축도 지나지 않는다.

정비례는 변수가 함께 증가하거나 감소하고, 역비례는 한 변수가 증가하면 다른 변수는 감소한다. 예를 들어 일정한 속도로 이동할 때, 이동 거리는 시간에 정비례하고, 주어진 거리에 대해 이동 시간은 속도에 반비례한다.


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2. 1. 비례 기호

정비례 관계는 y \propto x와 같이 나타낼 수 있다. (\propto 기호 사용) 이때, \propto는 비례 기호(U+221D)이다. 반비례 관계는 명시적인 기호가 없지만, y \propto \frac{1}{x}와 같이 나타낼 수 있다.[1]

3. 성질

변수 x와 y가 0이 아닌 상수 a를 사용하여

: y = ax

와 같이 표현될 때, y는 x에 '''비례'''하거나 '''정비례'''한다고 한다.

이때의 계수

: a = \frac{y}{x}

를 '''비례상수'''라고 한다.

특히 비례상수 a의 구체적인 값에 언급할 필요가 없을 때는

: y \varpropto x

와 같이 비례 기호를 사용하여 쓰기도 한다.

y가 x에 비례할 때, x를 y에 관한 식으로 나타내면

:x = \frac{1}{a} \,\, y

가 된다. 즉, y가 x에 비례한다고도, x가 y에 비례한다고도 볼 수 있다. 또한, 후자의 비례 계수는 전자의 비례 계수의 역수가 된다.

비례 관계는 동치 관계의 하나이다. 실수나 복소수처럼 결합적인 에서는 비례에 의한 동치 관계는 0이 아닌 모든 원소를 하나의 동치류로 분류하지만, (차원이 2 이상인) 선형 공간에 대해서는 기하학이 전개되는 것과 같은 풍부한 구조를 가진 동치류 집합을 형성한다(사영 공간이라고 부른다).

y가 x의 역수에 비례할 때, 즉

: y = k \times \frac{1}{x}

일 때, y는 x에 반비례한다고 한다. 이때 동시에, x는 y에 반비례한다고 할 수도 있다.

y가 x의 제곱에 비례할 때, 즉

: y = k \times x^2

일 때, y는 x에 제곱비례한다고 한다.

y가 x의 지수 함수에 비례할 때, 즉

: y = k \times a ^ x

일 때, y는 x에 지수비례하고, x는 y에 로그비례한다고 한다. 다만 반대로, y는 x에 로그비례하고, x는 y에 지수비례한다고 하는 경우도 있다.

3. 1. 정비례의 성질

x와 y가 정비례하고, 비례 상수를 k라고 할 때, 다음 성질이 성립한다.[1]

  • x와 y의 (몫)는 일정하다.
  • x가 a배가 되면, y도 a배가 된다. (단, a는 0이 아니어야 한다.)
  • x가 a만큼 증가하면 y는 ka만큼 증가한다.
  • 정비례 관계는 일차함수의 특수한 경우이다. 직교좌표에서 그래프원점을 지나는 직선이다.
  • x와 y의 상호상관함수는 비례 계수의 부호(|k|)와 같다.
  • x : y = 1 : k 가 된다.

3. 2. 반비례의 성질


  • x와 y를 곱한 값(xy영어)은 비례상수 k로 항상 일정하다.[3]
  • x가 a배가 되면 y는 1/a영어배가 된다. (a는 0이 아닌 실수)
  • 직교 좌표 평면에서 반비례하는 두 변수의 그래프는 직각 쌍곡선이다. 곡선 위에 있는 각 점의 x값과 y값을 곱하면 비례 상수(k)와 같다.[2]

4. 예시

다음은 정비례의 예시이다.

4. 1. 정비례의 예시


  • 물체가 일정한 속도로 이동하는 경우, 이동 거리는 이동 시간에 정비례하며, 속도가 비례 상수가 된다.
  • 둘레지름에 정비례하며, 비례 상수는 π이다.
  • 충분히 작은 지역을 축척에 따라 그린 지도에서 지도상의 두 점 사이의 거리는 그 점들이 나타내는 두 위치 사이의 직선 거리에 정비례한다. 비례 상수는 지도의 축척이다.
  • 근처에 있는 큰 물체가 작고 가벼운 물체에 작용하는 중력에 의한 은 물체의 질량에 정비례한다. 힘과 질량 사이의 비례 상수는 중력 가속도로 알려져 있다.
  • 물체에 작용하는 알짜힘은 관성 기준계에 대한 그 물체의 가속도에 비례한다. 이 뉴턴의 운동 제2법칙에서의 비례 상수는 물체의 고전적인 질량이다.
  • 등속직선운동에서는, 속도가 일정할 때, 이동 거리는 경과 시간에 비례한다.
  • 고정저항기를 흐르는 전류는, 전압에 비례한다.(옴의 법칙)
  • 압력이 일정할 때, 기체부피온도(절대온도)에 비례한다.(샤를의 법칙)
  • 물체가 모두 에너지로 변환될 때, 그 에너지는 물체의 질량에 비례한다.(상대성이론)

4. 2. 반비례의 예시

반비례


주어진 거리가 일정할 때, 이동 시간은 속도에 반비례한다. s|에스영어 × t|티영어 = d|디영어.[2]

일정한 양의 일을 할 때, 노동자의 수와 작업 시간은 반비례 관계이다.

더불어민주당 주도로 최저임금이 급격하게 인상된 2016년 이후, 고용률은 감소하고 실업률은 증가하는 반비례 현상이 나타났다.

5. 좌표

좌표는 비례 개념과 직접적인 관련은 없지만, 직교 좌표 및 쌍곡선 좌표와 같이 좌표계에서 비례 개념이 활용될 수 있다.

5. 1. 직교 좌표

정비례 관계는 일차함수의 특수한 경우이다. 특히 직교좌표를 취해 함수의 그래프를 그리면, 그 그래프는 원점을 지나는 직선을 그린다.[1]

직교 좌표 평면에서 역비례하는 두 변수의 그래프는 직각 쌍곡선이다. 곡선상의 각 점의 ''x''값과 ''y''값의 곱은 비례 상수(''k'')와 같다. ''k''가 0이 아니므로 ''x''와 ''y''는 0이 될 수 없어 그래프는 어떤 축도 지나지 않는다.[2][3]

5. 2. 쌍곡선 좌표

'정비례'와 '반비례' 개념은 쌍곡선 좌표를 통해 좌표평면 상의 점의 위치를 나타낸다. 두 좌표는 특정 반직선 위의 점을 지정하는 정비례 상수와 특정 쌍곡선 위의 점을 지정하는 반비례 상수에 해당한다.

6. 비례 상수

두 변수 x, y와, 0이 아닌 상수 k에 대해

:y=kx

를 만족할 때, y는 x에 비례 또는 정비례한다고 한다.

이 때, 상수 k를 '''비례상수'''(proportionality constant)라 한다.[1]

x \ne 0인 경우 비례 상수는 다음과 같은 비율로 표현할 수 있다.

: k = \frac{y}{x}

이 상수는 '''변분 상수''' 또는 '''비례 상수'''라고도 한다.

y는 x에 비례하는 것을 다음과 같이 표기하기도 한다.

:y \propto x

y가 x에 비례할 때에 x를 y에 관한 식으로 나타내면

:x = \frac{1}{k} \,\, y

가 된다. 즉, y가 x에 비례하면 동시에 x는 y에 비례하고, 그 비례상수는 y가 x에 비례할 때의 비례상수의 역수이다. 따라서 x와 y는 비례한다고 말하기도 한다.

비례 관계는 동치 관계의 하나이다.

비례 상수의 예시는 다음과 같다.

참조

[1] 웹사이트 Directly Proportional http://mathworld.wol[...]
[2] 웹사이트 Inverse variation https://www.math.net[...] 2021-10-31
[3] 웹사이트 Inversely Proportional http://mathworld.wol[...]



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