늘린 삼각뿔

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1. 개요
2. 구성
3. 성질
- 3.1. 공식
- 3.2. 쌍대다면체
4. 관련 다면체 및 벌집
참조

1. 개요

늘린 삼각뿔은 삼각기둥의 한 밑면에 정사면체를 붙여서 만들 수 있는 다면체이다. 4개의 정삼각형과 3개의 정사각형을 면으로 가지며, 존슨의 다면체 중 하나로 J7으로 분류된다. 변의 길이를 a라고 할 때, 높이는 (1 + √6/3)a, 표면적은 (3+√3)a², 부피는 (1/12(√2+3√3))a³로 계산할 수 있다. 늘린 삼각뿔은 3차원 대칭군 C3v을 가지며, 위상적으로 쌍대다면체가 자기 자신이다. 또한, 사각뿔 및 정팔면체와 함께 공간 테셀레이션을 만들 수 있다.

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늘린 삼각뿔
개요
늘린 삼각뿔
종류	존슨의 다면체 J – J – J
면	삼각형 4개 정사각형 3개
모서리	12개
꼭짓점	7개
대칭군	, [3], (*33)}}
회전군	, [3], (33)}}
꼭짓점 배열	) 3(3.4) 3(3.4)}}
쌍대	자기 자신
성질	볼록
전개도

2. 구성

늘린 삼각뿔은 삼각기둥의 한 밑면에 정사면체를 붙여서 만드는데, 이 과정을 늘림이라고 한다.^[1] 정사면체는 정삼각형을 덮어 다른 세 개의 정삼각형으로 대체하여, 결과적으로 4개의 정삼각형과 3개의 정사각형을 면으로 갖는 다면체를 만든다.^[2] 모든 면이 정다각형으로 이루어진 볼록 다면체를 존슨의 다면체라고 하며, 늘린 삼각뿔은 그 중 하나로, 일곱 번째 존슨의 다면체 $J_7$ 로 분류된다.^[3]

변 구성은 다음과 같다.

종류	개수
정삼각형끼리 접함	3
정삼각형과 정사각형	3+3
정사각형끼리	3

겉넓이: 한 변의 길이를 $a$ 라고 하면 $S=(3+\sqrt{3})a^2$ 이다.
부피: 한 변의 길이를 $a$ 라고 하면 $V=\over{12}}a^3$ 이다.

3. 성질

늘린 삼각뿔은 삼각기둥의 한 밑면에 정사면체를 붙여서 만들 수 있으며, 이러한 과정을 늘림이라고 한다. 정사면체는 정삼각형을 덮고 다른 세 개의 정삼각형으로 대체하여, 결과적으로 4개의 정삼각형과 3개의 정사각형을 면으로 갖는 다면체를 만든다.^[7] 모든 면이 정다각형으로 이루어진 볼록 다면체를 존슨의 다면체라고 하며, 늘린 삼각뿔은 그 중 하나로, J7으로 분류된다.^[7]

변 구성: 정삼각형끼리 접함: 3, 정삼각형과 정사각형: 3+3, 정사각형끼리: 3

3. 1. 공식

한 변의 길이를 ''a''라고 할 때, 부피(V)와 겉넓이(A)는 다음 공식으로 계산할 수 있다.^[7]

:

V=(\frac{1}{12}(\sqrt{2}+3\sqrt{3}))a^3\approx0.550864...a^3

:

A=(3+\sqrt{3})a^2\approx4.73205...a^2

모서리의 길이가 같지 않으면, 정사면체와 삼각기둥의 공식을 따로 사용하고 더하면 된다.

늘린 삼각뿔의 높이는 변의 길이가

a

일 때 정사면체와 삼각 기둥의 높이를 더하여 구할 수 있다.

:

\left( 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right)a \approx 1.816a.

겉넓이는 8개의 정삼각형과 3개의 정사각형의 면적을 모두 더하여 계산할 수 있다.

:

\left(3+\sqrt{3}\right)a^2 \approx 4.732a^2,

부피는 정사면체와 각기둥으로 잘라서 부피를 더하여 계산할 수 있다.

:

\left(\frac{1}{12}\left(\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)\right)a^3 \approx 0.551a^3.

늘린 삼각뿔은 3차원 대칭군, 즉 6차 순환군

C_{3\mathrm{v}}

을 갖는다. 이면각은 정사면체와 삼각 기둥의 각도를 더하여 계산할 수 있다.

인접한 두 개의 삼각 면 사이의 정사면체의 이면각은 $\arccos \left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.5^\circ$ 이다.
밑면에 대한 정사각형 사이의 삼각 기둥의 이면각은 $\frac{\pi}{2} = 90^\circ$ 이고, 정사면체와 삼각 기둥이 연결된 모서리에서 정사각형에서 삼각형까지의 이면각은 $\arccos \left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi}{2} \approx 160.5^\circ$ 이다.
인접한 두 개의 정사각형 면 사이의 삼각 기둥의 이면각은 정삼각형의 내부 각도 $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$ 이다.

3. 2. 쌍대다면체

위상적으로, 늘린 삼각뿔은 그 쌍대다면체가 자기 자신이다. 기하학적으로, 쌍대다면체는 불균일한 면 일곱 개를 가지는데, 정삼각형 하나, 이등변삼각형 셋, 등변사다리꼴 셋으로 구성된다.

늘린 삼각뿔의 쌍대	쌍대다면체의 전개도

4. 관련 다면체 및 벌집

늘린 삼각뿔은 사각뿔 및 정팔면체와 함께 공간 테셀레이션을 만들 수 있다.^[8]

정삼각기둥	정사면체	정사각뿔기둥	정오각뿔기둥	쌍삼각뿔기둥
-- 정사면체를 제거	정삼각기둥을 제거	-- 뿔의 각의 수를 증가	-- 뿔의 각의 수를 더 증가	-- 정사면체 추가

참조

_[1] 논문 Regular-faced convex polyhedra
_[2] 논문 Convex polyhedra with regular faces
_[3] 논문 Area and volume of the Johnson solid $J_{8}$ https://www.problema[...] 2020-09-09
_[4] 서적 Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem https://books.google[...] Hindustan Book Agency
_[5] 서적 Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry https://books.google[...] Springer
_[6] 인용 Convex polyhedra with regular faces
_[7] 웹사이트 Elongated triangular pyramid http://www.wolframal[...] 2010-07-21
_[8] 웹사이트 http://woodenpolyhed[...]

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