늘린 삼각뿔

1. 개요

늘린 삼각뿔은 삼각기둥의 한 밑면에 정사면체를 붙여서 만들 수 있는 다면체이다. 4개의 정삼각형과 3개의 정사각형을 면으로 가지며, 존슨의 다면체 중 하나로 J7으로 분류된다. 변의 길이를 a라고 할 때, 높이는 (1 + √6/3)a, 표면적은 (3+√3)a², 부피는 (1/12(√2+3√3))a³로 계산할 수 있다. 늘린 삼각뿔은 3차원 대칭군 C3v을 가지며, 위상적으로 쌍대다면체가 자기 자신이다. 또한, 사각뿔 및 정팔면체와 함께 공간 테셀레이션을 만들 수 있다.

2. 구성

늘린 삼각뿔은 삼각기둥의 한 밑면에 정사면체를 붙여서 만드는데, 이 과정을 늘림이라고 한다. 정사면체는 정삼각형을 덮어 다른 세 개의 정삼각형으로 대체하여, 결과적으로 4개의 정삼각형과 3개의 정사각형을 면으로 갖는 다면체를 만든다. 모든 면이 정다각형으로 이루어진 볼록 다면체를 존슨의 다면체라고 하며, 늘린 삼각뿔은 그 중 하나로, 일곱 번째 존슨의 다면체 $J\_7$로 분류된다.

변 구성은 다음과 같다.

3. 성질

늘린 삼각뿔은 삼각기둥의 한 밑면에 정사면체를 붙여서 만들 수 있으며, 이러한 과정을 늘림이라고 한다. 정사면체는 정삼각형을 덮고 다른 세 개의 정삼각형으로 대체하여, 결과적으로 4개의 정삼각형과 3개의 정사각형을 면으로 갖는 다면체를 만든다. 모든 면이 정다각형으로 이루어진 볼록 다면체를 존슨의 다면체라고 하며, 늘린 삼각뿔은 그 중 하나로, J7으로 분류된다.

* 변 구성: 정삼각형끼리 접함: 3, 정삼각형과 정사각형: 3+3, 정사각형끼리: 3

3.1. 공식

한 변의 길이를 a라고 할 때, 부피(V)와 겉넓이(A)는 다음 공식으로 계산할 수 있다.

:$V=(\backslash frac\{1\}\{12\}(\backslash sqrt\{2\}+3\backslash sqrt\{3\}))a^3\backslash approx0.550864...a^3$
:$A=(3+\backslash sqrt\{3\})a^2\backslash approx4.73205...a^2$

모서리의 길이가 같지 않으면, 정사면체와 삼각기둥의 공식을 따로 사용하고 더하면 된다.

늘린 삼각뿔의 높이는 변의 길이가 $a$일 때 정사면체와 삼각 기둥의 높이를 더하여 구할 수 있다.
:$$\backslash left(\; 1\; +\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\}\{3\}\backslash right)a\; \backslash approx\; 1.816a.$$

겉넓이는 8개의 정삼각형과 3개의 정사각형의 면적을 모두 더하여 계산할 수 있다.
:$$\backslash left(3+\backslash sqrt\{3\}\backslash right)a^2\; \backslash approx\; 4.732a^2,$$

부피는 정사면체와 각기둥으로 잘라서 부피를 더하여 계산할 수 있다.
:$$\backslash left(\backslash frac\{1\}\{12\}\backslash left(\backslash sqrt\{2\}+3\backslash sqrt\{3\}\backslash right)\backslash right)a^3\; \backslash approx\; 0.551a^3.$$

늘린 삼각뿔은 3차원 대칭군, 즉 6차 순환군 $C\_\{3\backslash mathrm\{v\}\}$을 갖는다. 이면각은 정사면체와 삼각 기둥의 각도를 더하여 계산할 수 있다.
* 인접한 두 개의 삼각 면 사이의 정사면체의 이면각은 $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\; \backslash approx\; 70.5^\backslash circ$이다.
* 밑면에 대한 정사각형 사이의 삼각 기둥의 이면각은 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; =\; 90^\backslash circ$이고, 정사면체와 삼각 기둥이 연결된 모서리에서 정사각형에서 삼각형까지의 이면각은 $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash approx\; 160.5^\backslash circ$이다.
* 인접한 두 개의 정사각형 면 사이의 삼각 기둥의 이면각은 정삼각형의 내부 각도 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\; =\; 60^\backslash circ$이다.

3.2. 쌍대다면체

위상적으로, 늘린 삼각뿔은 그 쌍대다면체가 자기 자신이다. 기하학적으로, 쌍대다면체는 불균일한 면 일곱 개를 가지는데, 정삼각형 하나, 이등변삼각형 셋, 등변사다리꼴 셋으로 구성된다.

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📌 열 고정 해제

늘린 삼각뿔의 쌍대	쌍대다면체의 전개도

4. 관련 다면체 및 벌집

늘린 삼각뿔은 사각뿔 및 정팔면체와 함께 공간 테셀레이션을 만들 수 있다.

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📌 열 고정 해제

정삼각기둥	정사면체	정사각뿔기둥	정오각뿔기둥	쌍삼각뿔기둥
-- 정사면체를 제거	정삼각기둥을 제거	-- 뿔의 각의 수를 증가	-- 뿔의 각의 수를 더 증가	-- 정사면체 추가