다항식 전개

1. 개요

다항식 전개는 다항식의 곱셈을 분배 법칙을 이용하여 전개하고 동류항끼리 계산하여 정리하는 과정을 의미한다. 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈 공식을 활용하며, 특히 이항 정리와 파스칼의 삼각형을 통해 일반적인 다항식 전개가 가능하다. 2차, 3차, 4차식 곱셈 공식과 곱셈 공식의 변형이 존재하며, 멱급수로 확장하여 멱급수 전개 또한 다룰 수 있다.

2. 다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 계산하여 정리한다.

2.1. 다항식 연산의 예시

다항식들의 동류항끼리 덧셈과 뺄셈을 하는 것은 다항식의 연산의 핵심이다.

예를 들어, 다항식 f(x)^영어 = 2x³ - 5x + 9 와 g(x)^영어 = x³ + 2x² + 8x - 1 에 대하여, 2f(x) - g(x) 를 계산하면 다음과 같다.

: 2f(x) - g(x) = 2(2x³ - 5x + 9) - (x³ + 2x² + 8x - 1)
: = 4x³ - 10x + 18 - x³ - 2x² - 8x + 1
: = 3x³ - 2x² - 18x + 19

3. 곱셈 공식

다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개한 후, 동류항끼리 계산하여 정리한다.

두 인수를 곱하려면 첫 번째 인수의 각 항을 다른 인수의 각 항과 곱해야 한다. 예를 들어, $(x+2)(2x-5)\backslash ,$를 전개하면 $2x^2-5x+4x-10\; =\; 2x^2-x-10$이 된다.

3개 이상의 다항식의 곱도 마찬가지이다. 각 인수에서 하나씩 항을 선택하고, 그 모든 조합에 대해 곱을 취하고, 그 합이 전개의 결과가 된다.

$(a\; +\; b\; +\; c)(x\; +\; y)$를 전개하면 $ax\; +\; ay\; +\; bx\; +\; by\; +\; cx\; +\; cy$가 된다. 전개 과정은 다음 표와 같이 나타낼 수 있다.



전개 후, 더 간단하게 만들 수 있는 경우도 있다. 예를 들어 $(a\; +\; b)(a\; -\; b)$를 전개하는 경우의 표는 다음과 같다.



$ab$와 $-ab$가 상쇄되므로 $a^2\; -\; b^2$가 된다.

자주 사용되는 곱셈 공식들은 하위 섹션에서 확인할 수 있다. 이 공식들은 좌변을 우변으로 변형하는 전개 공식인 동시에, 우변을 좌변으로 변형하는 인수분해 공식으로도 간주할 수 있다.

3.1. 2차식 곱셈 공식

모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

* $\backslash ,m(a\backslash pm\; b)\; =\; ma\backslash pm\; mb$
* $\backslash ,(a+b)(c+d)\; =\; ac+ad+bc+bd$
* $\backslash ,(a+\; b)^2\; =\; a^2+\; 2ab+b^2$
* $\backslash ,(a-\; b)^2\; =\; a^2-\; 2ab+b^2$
* $\backslash ,(a+b)(a-b)\; =\; a^2-b^2$
* $\backslash ,(x+a)(x+b)\; =\; x^2+(a+b)x+ab$
* $\backslash ,(ax+b)(cx+d)\; =\; acx^2+(ad+bc)x+b$
* $\backslash ,(a+b+c)^2=\; a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
* $\backslash ,(ax+by)(cx+dy)\; =\; acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2$
* $\backslash ,(ax+by+c)(dx+ey+f)\; =\; adx^2+(af+cd)x+(ae+bd)xy+bey^2+(bf+ce)y+cf$

아래 2차식들은 곱셈 공식의 변형의 일부이다.

* $\backslash ,\; a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left\backslash \{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\; \backslash right\backslash \}$
* $\backslash ,\; (a+b)^2\; =\; a^2+b^2+2ab\; ,\; (a+b)^2-2ab\; =\; a^2+b^2$
* $\backslash ,\; (a-b)^2\; =\; a^2+b^2-2ab,\; (a-b)^2+2ab\; =\; a^2+b^2$
* $(a-b)^2+2ab=\; (a+b)^2-2ab,\; (a-b)^2+4ab=\; (a+b)^2,(a-b)^2=\; (a+b)^2-4ab$

두 인수를 곱하려면 첫 번째 인수의 각 항을 다른 인수의 각 항과 곱해야 한다. 두 인수가 모두 이항식이면, 곱해지는 항들을 나타내는 "First Outer Inner Last"를 의미하는 FOIL 규칙을 사용할 수 있다. 예를 들어, $(x+2)(2x-5)\backslash ,$를 전개하면 $2x^2-5x+4x-10\; =\; 2x^2-x-10.$이 된다.

$(a\; +\; b\; +\; c)(x\; +\; y)$를 전개하면 $ax\; +\; ay\; +\; bx\; +\; by\; +\; cx\; +\; cy$가 된다. 전개 과정은 다음 표와 같이 나타낼 수 있다.



전개 후, 더 간단하게 만들 수 있는 경우도 있다. 예를 들어 $(a\; +\; b)(a\; -\; b)$를 전개하는 경우의 표는 다음과 같다.



$ab$와 $-ab$가 상쇄되므로 $a^2\; -\; b^2$가 된다. 일반적으로 이러한 계산을 포함하여 "다항식 전개"라고 부른다. 수학 교육에서는 이와 같은 경우의 전개식, 예를 들어 다음과 같은 식을 공식으로 가르치는 경우가 많다.

* $(a\; +\; b)(a\; -\; b)\; =\; a^2\; -\; b^2$
* $(a\; +\; b)(a^2\; -\; ab\; +\; b^2)\; =\; a^3\; +\; b^3$
* $(a\; +\; b)^2\; =\; a^2\; +\; 2ab\; +\; b^2$

우변을 좌변으로 변형하는 것은 인수분해이므로, 이들은 전개의 공식인 동시에 인수분해의 공식으로도 간주할 수 있다.

3.2. 3차식 곱셈 공식

다음은 고등학교 1학년 과정에서 배우는 3차식 곱셈 공식이다. 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

* $(x\; \backslash pm\; a)(x\; \backslash pm\; b)(x\; \backslash pm\; c)\; =\; x^3\; \backslash pm\; (a+b+c)x^2\; +\; (ab+bc+ca)x\; \backslash pm\; abc$
* $(a\; \backslash pm\; b)^3\; =\; a^3\; \backslash pm\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; \backslash pm\; b^3$
* $(a\; \backslash pm\; b)(a^2\; \backslash mp\; ab\; +\; b^2)\; =\; a^3\; \backslash pm\; b^3$
* $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\; =\; a^3+b^3+c^3-3abc$
* $\backslash frac\{1\}\{2\}(a+b+c)\backslash \{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\backslash \}\; =\; a^3+b^3+c^3-3abc$
* $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$

3.3. 4차식 곱셈 공식

* $(a\; \backslash pm\; b)^4\; =\; a^4\; \backslash pm\; 4a^3b\; +\; 6a^2b^2\; \backslash pm\; 4ab^3\; +\; b^4$ (복부호 동순)
* $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\; =\; a^4+a^2b^2+b^4$

$(a+b)^n$ ($n$은 자연수)을 구할 때, 각 항의 계수는 파스칼의 삼각형으로 구한다. 우선 이항 전개를 하면 다음과 같다. (계수는 생략)

:$(a+b)^n\; =\; a^n+a^\{(n-1)\}b+a^\{(n-2)\}b^2+a^\{(n-3)\}b^3+$···$+a^3b^\{(n-3)\}+a^2b^\{(n-2)\}+ab^\{(n-1)\}+b^n$

위 식에서 $a$의 지수는 점점 작아지고, $b$의 지수는 점점 커진다. 전개한 후에는 모든 항이 $n$차식이 된다. 생략된 각 계수는 파스칼의 삼각형을 이용해서 구하는데, 제곱은 3번째 줄, 세제곱은 4번째 줄, 네제곱은 5번째 줄($n$제곱은 $(n+1)$번째 줄)의 숫자들을 하나씩 각 항의 앞에 계수로 사용하면 된다.

3.4. 일반적인 다항식의 전개

$\backslash ,\; (a+b)^n$ (단, $\backslash ,\; n$은 자연수) 형태의 다항식은 이항 정리를 이용하여 전개할 수 있다. 우선 각 항의 계수를 생략하고 지수만 고려하면 다음과 같다.

:$\backslash ,\; (a+b)^n\; =\; a^n+a^\{(n-1)\}b+a^\{(n-2)\}b^2+a^\{(n-3)\}b^3+$···$\backslash ,+a^3b^\{(n-3)\}+a^2b^\{(n-2)\}+ab^\{(n-1)\}+b^n$

위 식에서 $\backslash ,\; a$의 지수는 점점 작아지고, $\backslash ,\; b$의 지수는 점점 커지며, 전개된 모든 항은 $\backslash ,\; n$차식이 된다.

각 항의 계수는 파스칼의 삼각형을 이용하여 구할 수 있다. $\backslash ,\; n$제곱은 파스칼의 삼각형에서 $\backslash ,\; (n+1)$번째 줄의 숫자들을 계수로 사용한다. 예를 들어, 제곱은 3번째 줄, 세제곱은 4번째 줄, 네제곱은 5번째 줄의 숫자를 계수로 사용한다.

$(x+y)^n$을 전개할 때, x의 내림차순과 y의 오름차순으로 정리된 항들의 계수는 파스칼의 삼각형의 (n + 1)번째 행에 있는 숫자들과 같다. (파스칼의 삼각형은 행과 열 번호가 0부터 시작)

예를 들어, $(x+y)^6$을 전개하면 다음과 같다.

:$\{\backslash color\{red\}1\}x^6+\{\backslash color\{red\}6\}x^5y+\{\backslash color\{red\}\{15\}\}x^4y^2+\{\backslash color\{red\}\{20\}\}x^3y^3+\{\backslash color\{red\}\{15\}\}x^2y^4+\{\backslash color\{red\}\{6\}\}xy^5+\{\backslash color\{red\}1\}y^6\; \backslash ,$

4. 곱셈 공식의 변형

복부호 동순이 모든 공식에 적용된다.

대한민국의 2015년 개정 교육과정에서 쓰이는 고등학교 1학년 수준의 곱셈 공식의 변형을 다룬다. (단, 2차식 내용의 일부는 중학교 3학년 과정이다.)

4.1. 2차식 곱셈 공식의 변형

대한민국의 2015년 개정 교육과정에서 쓰이는 고등학교 1학년 수준의 곱셈 공식의 변형이다. (단, 2차식 내용의 일부는 중학교 3학년 과정이다.) 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

* $\backslash ,\; a^2\; +\; b^2\; =\; (a\; \backslash pm\; b)^2\; \backslash mp\; 2ab$
* $\backslash ,\; (a+b)^2\; =\; (a-b)^2\; +\; 4ab$
* $\backslash ,\; x^2\; +\; \{1\; \backslash over\; x^2\}\; =\; \backslash left(\; x\; \backslash pm\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)^2\; \backslash mp\; 2$
* $\backslash ,\; \backslash left(\; x\; +\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)^2\; -\; \backslash left(\; x\; -\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)^2\; =\; 4$
* $\backslash ,\; a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; =\; (a+b+c)^2\; -\; 2(ab+bc+ca)$
* $\backslash ,\; a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; \backslash pm\; ab\; \backslash pm\; bc\; \backslash pm\; ca\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; \backslash left\backslash \{\; (a\; \backslash pm\; b)^2\; +\; (b\; \backslash pm\; c)^2\; +\; (c\; \backslash pm\; a)^2\; \backslash right\backslash \}$

4.2. 3차식 곱셈 공식의 변형

다음은 대한민국의 2015년 개정 교육과정에서 쓰이는 고등학교 1학년 수준의 곱셈 공식의 변형이다. 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

* $\backslash ,\; a^3\backslash pm\; b^3\; =\; (a\backslash pm\; b)^3\backslash mp\; 3ab(a\backslash pm\; b)$
* $\backslash ,\; x^3\; \backslash pm\; \{1\; \backslash over\; x^3\}\; =\; \backslash left(\; x\backslash pm\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)\; ^3\; \backslash mp\; 3\; \backslash left(\; x\backslash pm\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash right)$
* $\backslash ,\; a^3+b^3+c^3\; =\; (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$

4.3. 고차식 곱셈 공식의 변형

복부호 동순이 적용된다.

* $\backslash ,\; a^5+b^5\; =\; (a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)$

자연수 $\backslash ,\; n$에 대하여, $\backslash ,\; a^n+b^n$은 다음과 같이 구할 수 있다. (단, $\backslash ,\; k\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}n$, $\backslash ,\; p\; =\; k-0.5$ , $\backslash ,\; q\; =\; k+0.5$이다.)
* $\backslash ,\; n$이 짝수일 때, $\backslash ,\; a^n+b^n\; =\; (a^k+b^k)^2-2a^kb^k$
* $\backslash ,\; n$이 홀수일 때, $\backslash ,\; a^n+b^n\; =\; (a^p+b^p)(a^q+b^q)-a^pb^p(a+b)$

5. 다항식 전개의 확장: 멱급수

분배 법칙을 사용하면 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 나타낼 수 있다. 무한 개의 항을 가지는 멱급수의 곱셈도 정의할 수 있으며, 이는 다항식 전개의 확장으로 간주될 수 있다.

두 멱급수의 곱은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Bigl(\; \backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a\_i\; x^i\; \backslash Bigr)\; \backslash Bigl(\; \backslash sum\_\{j=0\}^\backslash infty\; b\_j\; x^j\; \backslash Bigr)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash Bigl(\; \backslash sum\_\{i+j=k\}a\_i\; b\_j\; \backslash Bigr)\; x^k$

이 곱은 코시 곱이라고 불린다. 멱급수를 그 수렴 영역에 대한 함수로 간주했을 경우, 이것은 함수의 곱에 대응한다.

5.1. 멱급수 전개의 예시

지수 함수의 테일러 전개는 다음과 같다.

:$e^x=1+x+\backslash frac\{x^2\}\{2\}+\backslash frac\{x^3\}\{6\}+\backslash dotsb$

위 식의 우변을 제곱하면 다음과 같다.

:$\backslash biggl(\; 1+x+\backslash frac\{x^2\}\{2\}+\backslash frac\{x^3\}\{6\}+\backslash dotsb\; \backslash biggr)^\{\backslash !2\}=1+2x+2x^2+\backslash frac\{4\}\{3\}x^3+\backslash dotsb$

이 결과는 e^x영어의 제곱, 즉 e^2x영어의 테일러 전개와 일치한다. 이 멱급수들은 에 어떤 복소수를 대입해도 수렴하지만, 수렴 영역이 제한되는 경우도 있다. 예를 들어 다음 식이 성립한다.

:$(1-x)(1+x+x^2+x^3+\backslash dotsb)=1$

그러나 는 범위에서만 수렴한다. 다시 말해, 복소함수 의 해석적 연속은 이며, 이는 에서만 1차 극점을 갖고, 그 외의 점에서는 정칙이다.