분배법칙

1. 개요

분배법칙은 집합 S와 S에 정의된 두 이항 연산 • 와 +에 대해, 연산 •이 +에 대해 좌분배법칙, 우분배법칙, 또는 분배법칙을 만족하는 것을 의미한다. 분배법칙은 괄호 밖의 연산을 괄호 안의 각 항에 적용하여 계산할 수 있게 하며, 덧셈과 곱셈 연산에서 널리 사용된다. 실수, 행렬, 집합, 논리 연산 등 다양한 수학적 구조에서 분배법칙이 성립하며, 명제 논리에서는 논리식의 동치 변환에 활용된다. 또한 반분배성, 일반화된 분배 법칙 등 다양한 변형이 존재하며, 부동 소수점 산술과 같은 근사 산술에서는 반올림으로 인해 분배법칙이 정확히 성립하지 않을 수 있다.

2. 정의

주어진 집합 S와 S에 정의된 두 이항연산 • 와 + 에 대해, 연산 • 이 + 에 대해 분배법칙을 만족한다는 것은 다음을 의미한다.

연산 • 에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙이 모두 성립하면 연산 •는 연산 +에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다. 만약 연산 •에 대해 교환법칙이 성립하면 좌분배법칙, 우분배법칙, 분배법칙의 세 조건은 모두 논리적으로 동일하다.

2.1. 좌분배법칙

집합 S의 임의의 원소 x, y, z에 대해, x • (y + z) = (x • y) + (x • z) 가 성립하면, 연산 •은 연산 +에 대해 좌분배법칙이 성립한다고 한다.

2.2. 우분배법칙

집합 S의 임의의 원소 x, y, z에 대해, (y + z) • x = (y • x) + (z • x)가 성립하면, 연산 •은 연산 +에 대해 우분배법칙(right-distributive)이 성립한다고 한다.

2.3. 분배법칙

주어진 집합 S와 S에 대한 두 이항연산 • 와 + 에 대해,

* S의 임의의 원소 x, y, z 에 대해
:: x • (y + z) = (x • y) + (x • z)
: 이 성립하면 연산 • 은 연산 +에 대해 좌분배법칙(left-distributive)이 성립한다고 한다.
* S의 임의의 원소 x, y, z 에 대해
:: (y + z) • x = (y • x) + (z • x)
: 이 성립하면 연산 • 은 연산 +에 대해 우분배법칙(right-distributive)이 성립한다고 한다.
* 연산 +에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙이 모두 성립하면 연산 • 는 연산 +에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다.

만약 연산 •에 대해 교환법칙이 성립하면 위의 세 조건은 모두 논리적으로 동일하다.

3. 의미

이 절에서 예시로 사용된 연산자는 일반적인 덧셈 `+`과 곱셈 `·` 연산자이다.

`·`로 표시되는 연산이 교환 법칙을 만족하지 않는 경우, 좌분배법칙과 우분배법칙을 구분한다.

:(a · (b ± c) = a · b ± a · c) (좌분배법칙)
:(a ± b) · c = a · c ± b · c) (우분배법칙)

어느 경우든, 분배법칙은 다음과 같이 설명할 수 있다.

합(또는 차)에 인수를 곱하려면, 각 피가산항(또는 피감수와 감수)에 이 인수를 곱하고, 그 결과로 얻은 곱들을 더한다(또는 뺀다).

괄호 밖의 연산(이 경우, 곱셈)이 교환 법칙을 만족하는 경우, 좌분배법칙은 우분배법칙을 함의하며, 그 반대도 성립하며, 단순히 분배법칙이라고 한다.

"오직" 우분배법칙만 적용되는 연산의 한 예는 나눗셈이며, 이는 교환 법칙을 만족하지 않는다.
:(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c.
이 경우, 좌분배법칙은 적용되지 않는다.
:a ÷ (b ± c) ≠ a ÷ b ± a ÷ c

분배 법칙은 환(예: 정수의 환) 및 체(예: 유리수의 체)의 공리 중 하나이다. 여기서 곱셈은 덧셈에 대해 분배되지만, 덧셈은 곱셈에 대해 분배되지 않는다. 두 연산이 서로에 대해 각각 분배되는 구조의 예로는 부울 대수(예: 집합 대수 또는 스위칭 대수)가 있다.

합의 곱셈은 다음과 같이 설명할 수 있다. 합에 합을 곱할 때, 한 합의 각 피가산항에 다른 합의 각 피가산항을 곱한 다음(부호를 유지하면서) 모든 결과 곱을 더한다.

4. 예시

* 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수의 곱셈(×)은 덧셈(+)에 대해 분배법칙이 성립한다.
* 집합에서 합집합(∪)은 교집합(∩)에 대해, 교집합(∩)은 합집합(∪)에 대해 분배법칙이 성립한다. 또한, 교집합은 대칭차 연산에 대해서도 분배법칙이 성립한다.
* 임의의 실수(또는 완전 순서 집합) a, b, c에 대해, 최댓값(max)은 최솟값(min)에 대해 분배법칙이 성립하고, 그 역 또한 참이다.
:: max(a, min(b, c)) = min(max(a, b),max(a, c))
:: min(a, max(b, c)) = max(min(a, b),min(a, c))
* 임의의 정수 a, b, c에 대해, 최대공약수(gcd)는 최소공배수(lcm)에 대해 분배법칙이 성립하고, 그 역 또한 참이다.
:: gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b),gcd(a, c))
:: lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b),lcm(a, c))
* 임의의 실수 a, b, c 에 대해, 덧셈(+)은 최댓값(max)과 최솟값(min)에 대해 분배법칙이 성립한다.
:: a + max(b, c) = max(a + b, a + c)
:: a + min(b, c) = min(a + b, a + c)

4.1. 실수

임의의 실수의 곱셈 ×은 덧셈 ＋에 대해 분배법칙이 성립한다. 대수학적 관점에서 실수는 체를 형성하며, 이는 분배 법칙의 타당성을 보장한다. 다음은 실수 집합에서의 분배 법칙 사용 예시이다.

* 첫 번째 예시 (암산 및 필산 곱셈): 암산 중에는 무의식적으로 분배 법칙이 자주 사용된다.
:: 6 · 16 = 6 · (10 + 6) = 6 · 10 + 6 · 6 = 60 + 36 = 96
:: 따라서 6 · 16을 암산으로 계산하려면 먼저 6 · 10과 6 · 6을 곱하고 중간 결과를 더한다. 필산 곱셈 또한 분배 법칙을 기반으로 한다.
* 두 번째 예시 (변수 사용):
:: 3a²b · (4a - 5b) = 3a²b · 4a - 3a²b · 5b = 12a³b - 15a²b²
* 세 번째 예시 (두 개의 합):
:: (a + b) · (a - b) = a · (a - b) + b · (a - b) = a² - ab + ba - b² = a² - b²
:: = (a + b) · a - (a + b) · b = a² + ba - ab - b² = a² - b²
:: 여기서 분배 법칙이 두 번 적용되었으며, 어떤 괄호를 먼저 곱해도 상관없다.
* 네 번째 예시: 여기서는 이전 예시와 반대 방향으로 분배 법칙이 적용된다. 다음을 고려해 보자.
:: 12a³b² - 30a⁴bc + 18a²b³c²
:: 인수 6a²b가 모든 피가산수에 나타나므로, 이를 묶어낼 수 있다. 즉, 분배 법칙에 의해 다음을 얻는다.
:: 12a³b² - 30a⁴bc + 18a²b³c² = 6a²b(2ab - 5a²c + 3b²c²)

4.2. 행렬

행렬 곱셈은 행렬 덧셈에 대해 분배법칙을 만족한다. 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로, 좌분배법칙과 우분배법칙은 서로 다른 법칙이다. 모든 $l\; \backslash times\; m$ 행렬 $A,\; B$와 $m\; \backslash times\; n$ 행렬 $C$에 대해 다음이 성립한다.
:$$(A\; +\; B)\; \backslash cdot\; C\; =\; A\; \backslash cdot\; C\; +\; B\; \backslash cdot\; C$$
모든 $l\; \backslash times\; m$ 행렬 $A$와 $m\; \backslash times\; n$ 행렬 $B,\; C$에 대해서도 다음이 성립한다.
:$$A\; \backslash cdot\; (B\; +\; C)\; =\; A\; \backslash cdot\; B\; +\; A\; \backslash cdot\; C$$

4.3. 집합

합집합 연산 ∪은 교집합 연산 ∩에 대해 분배법칙이 성립하고, 교집합 연산 ∩은 합집합 연산 ∪에 대해 분배법칙이 성립한다.

4.4. 논리 연산

논리합(또는)은 논리곱(그리고)에 대해 분배되고 그 반대도 성립한다.

4.5. 기타 예시

* 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수의 곱셈(×)은 덧셈(+)에 대해 분배법칙이 성립한다.
* 합집합(∪)은 교집합(∩)에 대해 분배법칙이 성립하고, 교집합(∩)은 합집합(∪)에 대해 분배법칙이 성립한다. 또한, 교집합은 대칭차 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
* 서수 곱셈은 왼쪽 분배 법칙만 성립하고 오른쪽 분배 법칙은 성립하지 않는다.
* 외적은 벡터 덧셈에 대해 왼쪽 및 오른쪽 분배 법칙이 성립하지만, 교환 법칙은 성립하지 않는다.
* 논리합("또는")은 논리곱("그리고")에 대해 분배되고 그 반대도 성립한다.
* 이항식 곱셈에서 분배는 때때로 FOIL 방법(First terms ac^영어, Outer ad^영어, Inner bc^영어, and Last bd^영어)과 같이 지칭된다.
* 복소수, 사원수, 다항식, 행렬을 포함하는 모든 반환에서 곱셈은 덧셈에 대해 분배된다.
* 옥토니언 및 기타 비결합 대수를 포함하는 모든 체 위의 대수에서 곱셈은 덧셈에 대해 분배된다.
* 임의의 실수(또는 임의의 완전 순서 집합) a, b, c에 대해, 최댓값 연산 max는 최솟값 연산 min에 대해 분배법칙이 성립하고, 그 역 또한 참이다.
:: max(a, min(b, c)) = min(max(a, b), max(a, c))
:: min(a, max(b, c)) = max(min(a, b), min(a, c))
* 임의의 정수 a, b, c에 대해, 최대공약수 연산 gcd는 최소공배수 연산 lcm에 대해 분배법칙이 성립하고, 그 역 또한 참이다.
:: gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))
:: lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))
* 임의의 실수 a, b, c에 대해, 덧셈(+)은 최댓값 연산 max와 최솟값 연산 min에 대해 분배법칙이 성립한다.
:: a + max(b, c) = max(a + b, a + c)
:: a + min(b, c) = min(a + b, a + c)

5. 명제 논리

명제 논리에서 분배는 특정 논리 연산자의 개별적인 발생을 주어진 논리식의 하위 공식에 걸쳐 해당 연산자를 별도로 적용한 것으로 확장하기 위해 두 개의 유효한 대체 규칙을 사용한다. 규칙은 다음과 같다.

:$$(P\; \backslash land\; (Q\; \backslash lor\; R))\; \backslash Leftrightarrow\; ((P\; \backslash land\; Q)\; \backslash lor\; (P\; \backslash land\; R))\; \backslash qquad\; \backslash text\{\; and\; \}\; \backslash qquad\; (P\; \backslash lor\; (Q\; \backslash land\; R))\; \backslash Leftrightarrow\; ((P\; \backslash lor\; Q)\; \backslash land\; (P\; \backslash lor\; R))$$

여기서 "$\backslash Leftrightarrow$"는 "논리적 동치이다"를 나타내는 메타논리 기호이다.

분배 법칙은 진리 함수적 명제 논리의 일부 논리적 연결사의 속성이다. 다음은 진리 함수적 항진 명제인 논리적 동치이다.

:$$\backslash begin\{alignat\}\{13\}$$
&(P &&\;\land &&(Q \lor R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \land Q) &&\;\lor (P \land R)) && \quad\text{ conjunction 의 } && \text{ disjunction 에 대한 } && \text{ 분배 } \\
&(P &&\;\lor &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\;\land (P \lor R)) && \quad\text{ disjunction 의 } && \text{ conjunction 에 대한 } && \text{ 분배 } \\
&(P &&\;\land &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \land Q) &&\;\land (P \land R)) && \quad\text{ conjunction 의 } && \text{ conjunction 에 대한 } && \text{ 분배 } \\
&(P &&\;\lor &&(Q \lor R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\;\lor (P \lor R)) && \quad\text{ disjunction 의 } && \text{ disjunction 에 대한 } && \text{ 분배 } \\
&(P &&\to &&(Q \to R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\to (P \to R)) && \quad\text{ implication 의 } && \text{ } && \text{ } && \text{ 분배 } \\
&(P &&\to &&(Q \leftrightarrow R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\leftrightarrow (P \to R)) && \quad\text{ implication 의 } && \text{ equivalence 에 대한 } && \text{ 분배 } \\
&(P &&\to &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\;\land (P \to R)) && \quad\text{ implication 의 } && \text{ conjunction 에 대한 } && \text{ 분배 } \\
&(P &&\;\lor &&(Q \leftrightarrow R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\leftrightarrow (P \lor R)) && \quad\text{ disjunction 의 } && \text{ equivalence 에 대한 } && \text{ 분배 } \\
\end{alignat}

이중 분배:

:$$\backslash begin\{alignat\}\{13\}$$
&((P \land Q) &&\;\lor (R \land S)) &&\;\Leftrightarrow\;&& (((P \lor R) \land (P \lor S)) &&\;\land ((Q \lor R) \land (Q \lor S))) && \\
&((P \lor Q) &&\;\land (R \lor S)) &&\;\Leftrightarrow\;&& (((P \land R) \lor (P \land S)) &&\;\lor ((Q \land R) \lor (Q \land S))) && \\
\end{alignat}

6. 반분배성

어떤 군에서 역원을 이항 연산과 관련시키는 보편적인 항등원인 $(x\; y)^\{-1\}\; =\; y^\{-1\}\; x^\{-1\},$는 더 일반적인 맥락인 대합을 갖는 반군에서 공리로 간주되며, 때때로 (역원을 단항 연산으로) 반분배적 성질이라고 불린다.

근환의 맥락에서, 가법적으로 표기된 군의 교환성을 제거하고 단측 분배성만 가정하면 (양측) 분배 요소뿐만 아니라 반분배 요소에 대해서도 말할 수 있다. 후자는 (비가환) 덧셈의 순서를 반대로 한다. 좌측 근환(즉, 모든 요소가 왼쪽에 곱해질 때 분배되는 것)을 가정하면, 반분배 요소 $a$는 오른쪽에 곱해질 때 덧셈의 순서를 반대로 한다: $(x\; +\; y)\; a\; =\; y\; a\; +\; x\; a.$

7. 일반화

몇몇 수학 분야에서는 일반화된 분배 법칙을 고려한다. 이는 조건 완화 또는 무한 연산으로의 확장을 포함할 수 있다. 특히 순서론에서는 무한 분배 법칙과 같이 무한 연산을 포함하는 분배성의 수많은 중요한 변형을 찾을 수 있으며, 분배성 (순서론) 문서에 정의된 내용 및 관계와 같이 하나의 이항 연산만 존재하는 경우에 정의되는 다른 변형도 있다. 여기에는 완전 분배 격자의 개념도 포함된다.

순서 관계가 있는 경우, $\backslash ,=\backslash ,$를 $\backslash ,\backslash leq\backslash ,$ 또는 $\backslash ,\backslash geq.$로 대체하여 위의 등식을 약화시킬 수도 있다. 이는 일부 상황에서만 의미 있는 개념으로 이어진다. 이 원리의 응용은 구간 산술 문서에서 설명하는 부분 분배의 개념이다.

범주론에서 $(S,\; \backslash mu,\; \backslash nu)$와 $\backslash left(S^\{\backslash prime\},\; \backslash mu^\{\backslash prime\},\; \backslash nu^\{\backslash prime\}\backslash right)$가 모나드이고 $C$가 범주인 경우, 분배 법칙 $S\; \backslash cdot\; S^\{\backslash prime\}\; \backslash to\; S^\{\backslash prime\}\; \backslash cdot\; S$는 $\backslash left(S^\{\backslash prime\},\; \backslash lambda\backslash right)$가 느슨한 모나드 맵 $S\; \backslash to\; S$이고 $(S,\; \backslash lambda)$가 콜락스 모나드 맵 $S^\{\backslash prime\}\; \backslash to\; S^\{\backslash prime\}$이 되도록 하는 자연 변환 $\backslash lambda\; :\; S\; \backslash cdot\; S^\{\backslash prime\}\; \backslash to\; S^\{\backslash prime\}\; \backslash cdot\; S$이다. 이는 $S^\{\backslash prime\}\; \backslash cdot\; S$에서 모나드 구조를 정의하는 데 필요한 정확한 데이터이다. 곱셈 맵은 $S^\{\backslash prime\}\; \backslash mu\; \backslash cdot\; \backslash mu^\{\backslash prime\}\; S^2\; \backslash cdot\; S^\{\backslash prime\}\; \backslash lambda\; S$이고 단위 맵은 $\backslash eta^\{\backslash prime\}\; S\; \backslash cdot\; \backslash eta.$이다. 더 자세한 내용은 모나드 간의 분배 법칙을 참조한다.

정보 이론 분야에서도 일반화된 분배 법칙이 제안되었다.

8. 분배법칙과 반올림

부동 소수점 산술과 같은 근사 산술에서는 산술 정밀도의 제약으로 인해 덧셈에 대한 곱셈 및 나눗셈의 분배 법칙이 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, $1/3\; +\; 1/3\; +\; 1/3\; =\; (1\; +\; 1\; +\; 1)\; /\; 3$ 항등식은 십진 산술에서 유효 숫자의 수에 관계없이 성립하지 않는다. 은행가 반올림과 같은 방법을 사용하거나, 사용되는 정밀도를 높여서 일부 경우에 오차를 줄일 수 있지만, 일부 계산 오류는 불가피하게 발생한다.