닫힌 원순서 집합

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1. 개요

닫힌 원순서 집합은 원순서 집합의 한 종류로, 사슬이 상계를 가질 때 닫힌다고 정의된다. 특히, 사슬이 정렬 전순서 집합일 경우, 닫힌 원순서 집합은 상계를 가지며, 순서수 λ에 대해 λ-닫힌 원순서 집합으로 일반화할 수 있다. 닫힌 원순서 집합은 초른 보조정리, 부르바키-비트 정리 등과 관련이 있으며, 강제법과 같은 수학적 개념에서도 중요한 역할을 한다. 부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 부르바키와 비트에 의해 증명되었다.

닫힌 원순서 집합

영어 명칭	Closed preordered set

수학적 성질

유형	순서론
정의	원순서 집합 (X, ≤)에서, 모든 아래닫힘 부분집합이 최소 상계를 가지면 닫힌 원순서 집합이라고 한다. 즉, 모든 Y ⊆ X에 대해, (∀y ∈ Y: y ≤ x)를 만족하는 x ∈ X가 존재하면, sup(Y)가 존재한다.
관련 개념	완비 격자 체인 완비 부분 순서 집합 (chain-complete partial order)

예시

완비 격자	모든 완비 격자는 닫힌 원순서 집합이다.
멱집합	집합 X의 멱집합 P(X)는 포함 관계(⊆)에 대해 완비 격자이므로, 닫힌 원순서 집합이다.
실수 집합	실수 집합 ℝ은 일반적인 순서(≤)에 대해 닫힌 원순서 집합이다.

참고 문헌

서적	(영어) G. Gierz, K.H. Hofmann, K. Keimel, J.D. Lawson, M. Mislove, D.S. Scott, Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003

참고 사이트	nLab: closed preordered set (영어)

2. 정의

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 에서, 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬을 정렬 사슬이라고 한다. $X$ 의 정렬 사슬들의 집합은 $\operatorname{woChain}(X)$ 로 표기할 수 있다.

이 개념을 바탕으로 다음과 같은 종류의 원순서 집합을 정의한다.

* 닫힌 원순서 집합(closed proset^영어): 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 내의 모든 정렬 사슬 $C\subseteq X$ 가 $X$ 안에서 상계를 가질 때, $(X,\lesssim)$ 를 닫힌 원순서 집합이라고 한다.
* $\lambda$ -닫힌 원순서 집합( $\lambda$ -closed proset^영어): 순서수 $\lambda$ 에 대하여, 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 내의 모든 정렬 사슬 $C\subseteq X$ 중에서 그 순서형이 $\lambda$ 보다 작은 것들이 항상 $X$ 안에서 상계를 가질 때, $(X,\lesssim)$ 를 $\lambda$ -닫힌 원순서 집합이라고 한다.

2.1. 닫힌 원순서 집합

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 에서 정렬 사슬(well-ordered chain)은 그 자체로 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬을 의미한다. $X$ 에 속한 모든 정렬 사슬의 집합은 $\operatorname{woChain}(X)$ 와 같이 표기할 수 있다.

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 가 다음 조건을 만족할 때, 이를 닫힌 원순서 집합(closed proset^영어)이라고 부른다.
: $X$ 에 포함된 임의의 사슬 $C$ 가 정렬 전순서 집합이라면, 이 사슬 $C$ 는 $X$ 안에서 상계 $x$ 를 가진다.
모든 전순서 집합은 공종인 정렬 전순서 집합을 부분집합으로 가지기 때문에, 위의 정의에서 '정렬 사슬'이라는 조건을 '모든 사슬'로 바꾸어도 동일한 정의가 된다.

더 일반적으로, 순서수 $\lambda$ 에 대해, 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 가 다음 조건을 만족하면 $\lambda$ -닫힌 원순서 집합( $\lambda$ -closed proset^영어)이라고 한다.
: $X$ 에 포함된 임의의 사슬 $C$ 가 정렬 전순서 집합이고 그 순서형이 $\lambda$ 보다 작다면, 이 사슬 $C$ 는 $X$ 안에서 상계 $x$ 를 가진다.
만약 순서수 $\lambda$ 가 집합 $X$ 의 크기 $|X|$ 보다 크다면 ( $\lambda>|X|$ ), $X$ 가 $\lambda$ -닫힌 원순서 집합이라는 조건은 $X$ 가 닫힌 원순서 집합이라는 조건과 서로 동치이다.

2.2. λ-닫힌 원순서 집합

순서수 $\lambda\in\operatorname{Ord}$ 에 대하여, 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $\lambda$ -닫힌 원순서 집합( $\lambda$ -closed proset^영어)이라고 한다.
:임의의 사슬 $C\subseteq X$ 에 대하여, 만약 $C$ 가 정렬 전순서 집합이며 그 순서형이 $\lambda$ 미만이라면, $C$ 는 상계 $x\in X$ 를 갖는다.
만약 $\lambda>|X|$ 라면, $X$ 가 $\lambda$ -닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 동치이다.

3. 성질

닫힌 원순서 집합은 몇 가지 중요한 수학적 성질을 가진다.

초른 보조정리에 따르면, 닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 의 모든 원소는 어떤 극대 원소보다 작거나 같다 ( $X=\downarrow\max X$ ). 즉, 집합 내의 임의의 원소 위에는 항상 극대 원소가 존재한다.

또한, 닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 위에서 정의된 증가 자기 함수( $\forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x$ 인 자기 함수 $f\colon X\to X$ )는 항상 고정점( $f(y)=y$ )을 가진다는 부르바키-비트 정리(Bourbaki–Witt theorem^영어)가 성립한다.

집합론의 강제법에서도 닫힌 원순서 집합은 중요한 역할을 한다. 특정 크기 $\lambda$ 미만의 사슬들이 항상 상계를 갖는 성질( $\lambda$ -닫힘)을 만족하는 원순서 집합 $P$ 를 사용하여 강제법 모형 $M[G]$ 를 구성할 때, 원래 모형 $M$ 의 특정 함수 집합( $Y^X$ , 단 $|X| < \lambda$ )이나 $\lambda$ 이하의 기수 및 공종도 등이 보존된다. 이는 모형을 확장할 때 기존의 수학적 구조가 어떻게 유지되는지를 보여주는 중요한 결과이다.

3.1. 초른 보조정리

초른 보조정리에 따르면, 닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 에 대하여, $X=\downarrow\max X$ 이다. 여기서 $\downarrow$ 는 하폐포이며, $\max X$ 는 $X$ 의 극대 원소들의 집합이다.

3.2. 부르바키-비트 정리

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, 자기 함수 $f\colon X\to X$ 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
: $\forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x$
부르바키-비트 정리(Bourbaki-Witt定理, Bourbaki–Witt theorem^영어)에 따르면, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $f$ 는 $\uparrow x$ 에 속한, 하나 이상의 고정점을 갖는다.
: $\exists y\in X\colon f(y)=y\gtrsim x$

3.2.1. 초른 보조정리를 사용한 증명

임의의 $x\in X$ 에 대하여, 초른의 보조 정리를 사용하여 $m\in\uparrow x\cap\max X$ 을 고를 수 있다. 그렇다면 극대 원소의 정의에 의하여 $f(m)\sim m\gtrsim x$ 이다.

3.2.2. 직접 증명

$x\in X$ 가 주어졌다고 하자. 함수
: $g\colon\operatorname{woChain}(X)\to X$
가, $X$ 속의 정렬 사슬을 그 상계에 대응시킨다고 하자 ( $g(\varnothing)=x$ ).

귀류법을 사용하여, $X$ 가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의 $y\gtrsim x$ 에 대하여 $f(y)\gtrsim y\not\gtrsim f(y)$ 라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 에 대하여 다음과 같은 점렬을 재귀적으로 정의하자.
: $x_\alpha=\begin{cases}f(x_\beta)&\exists \beta\colon\beta+1=\alpha\\g(\{x_\beta\colon\beta<\alpha\})&\nexists\beta\colon\beta+1=\alpha\end{cases}$
귀류법 가정 아래 $\{x_\beta\colon\beta<\alpha\}$ 는 정렬 전순서 집합이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수 $x_\bullet\colon\operatorname{Ord}\to X$ 를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 고유 모임 $\operatorname{Ord}$ 은 집합이 될 수 없으므로, $x_{\alpha+1}\sim f(x_\alpha)\sim x_\alpha$ 인 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다.

3.3. 강제법

강제법에서는 특정 성질을 만족하는 원순서 집합을 사용하여 ZFC의 표준 추이적 모형을 확장한다. 이때 닫힌 원순서 집합은 중요한 역할을 한다.

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정해 보자.
* ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
* 모형 $M$ 에 속하는 두 집합 $X, Y \in M$
* 모형 $M$ 에서 기수인 순서수 $\lambda \in \operatorname{Card}^M$
* 모형 $M$ 에 속하는 원순서 집합 $P \in M$
* $P$ 의 부분 집합 $G \subseteq M$

만약 다음 조건들이 모두 성립한다면,
* $M$ 에서 $X$ 의 크기가 $\lambda$ 보다 작다 ( $M \models (|X| < \lambda)$ ).
* $M$ 에서 $P$ 는 $\lambda$ -닫힌 원순서 집합이다 ( $M \models (P\text{는 } \lambda\text{-닫힌 원순서 집합이다})$ ).
* $M$ 에서 $G$ 는 $P$ 의 포괄적 순서 아이디얼이다 ( $M \models (G\text{는 } P\text{의 포괄적 순서 아이디얼이다})$ ).

이 조건들 하에서, $X$ 에서 $Y$ 로 가는 함수들의 집합은 원래 모형 $M$ 과 강제법 모형 $M[G]$ 사이에서 절대적이다. 즉, 확장된 모형 $M[G]$ 에 존재하는 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 모든 함수 $f: X \to Y$ 는 이미 원래 모형 $M$ 의 원소이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
: $(Y^X)^{M[G]} = (Y^X)^M$

특히, 이러한 경우 원래 모형 $M$ 에서 $\lambda$ 이하의 공종도와 $\lambda$ 이하의 기수들은 확장된 모형 $M[G]$ 에서도 그대로 보존된다.

4. 역사

부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 니콜라 부르바키와 에른스트 비트가 증명하였다.