닫힌 원순서 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 닫힌 원순서 집합
- 2.2. λ-닫힌 원순서 집합
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

닫힌 원순서 집합은 원순서 집합의 한 종류로, 사슬이 상계를 가질 때 닫힌다고 정의된다. 특히, 사슬이 정렬 전순서 집합일 경우, 닫힌 원순서 집합은 상계를 가지며, 순서수 λ에 대해 λ-닫힌 원순서 집합으로 일반화할 수 있다. 닫힌 원순서 집합은 초른 보조정리, 부르바키-비트 정리 등과 관련이 있으며, 강제법과 같은 수학적 개념에서도 중요한 역할을 한다. 부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 부르바키와 비트에 의해 증명되었다.

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닫힌 원순서 집합
닫힌 원순서 집합
영어 명칭	Closed preordered set
수학적 성질
유형	순서론
정의	원순서 집합 (X, ≤)에서, 모든 아래닫힘 부분집합이 최소 상계를 가지면 닫힌 원순서 집합이라고 한다. 즉, 모든 Y ⊆ X에 대해, (∀y ∈ Y: y ≤ x)를 만족하는 x ∈ X가 존재하면, sup(Y)가 존재한다.
관련 개념	완비 격자 체인 완비 부분 순서 집합 (chain-complete partial order)
예시
완비 격자	모든 완비 격자는 닫힌 원순서 집합이다.
멱집합	집합 X의 멱집합 P(X)는 포함 관계(⊆)에 대해 완비 격자이므로, 닫힌 원순서 집합이다.
실수 집합	실수 집합 ℝ은 일반적인 순서(≤)에 대해 닫힌 원순서 집합이다.
참고 문헌
서적	(영어) G. Gierz, K.H. Hofmann, K. Keimel, J.D. Lawson, M. Mislove, D.S. Scott, Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003
관련 링크
참고 사이트	nLab: closed preordered set (영어)

2. 정의

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 에서, 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬을 '''정렬 사슬'''이라고 한다. $X$ 의 정렬 사슬들의 집합은 $\operatorname{woChain}(X)$ 로 표기할 수 있다.

이 개념을 바탕으로 다음과 같은 종류의 원순서 집합을 정의한다.

'''닫힌 원순서 집합'''(closed proset^영어): 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 내의 모든 정렬 사슬 $C\subseteq X$ 가 $X$ 안에서 상계를 가질 때, $(X,\lesssim)$ 를 닫힌 원순서 집합이라고 한다.
''' $\lambda$ -닫힌 원순서 집합'''( $\lambda$ -closed proset^영어): 순서수 $\lambda$ 에 대하여, 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 내의 모든 정렬 사슬 $C\subseteq X$ 중에서 그 순서형이 $\lambda$ 보다 작은 것들이 항상 $X$ 안에서 상계를 가질 때, $(X,\lesssim)$ 를 $\lambda$ -닫힌 원순서 집합이라고 한다.^[1]

2. 1. 닫힌 원순서 집합

원순서 집합

(X,\lesssim)

에서 정렬 사슬(well-ordered chain)은 그 자체로 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬을 의미한다.

X

에 속한 모든 정렬 사슬의 집합은

\operatorname{woChain}(X)

와 같이 표기할 수 있다.

원순서 집합

(X,\lesssim)

가 다음 조건을 만족할 때, 이를 닫힌 원순서 집합(closed proset^영어)이라고 부른다.

:

X

에 포함된 임의의 사슬

C

가 정렬 전순서 집합이라면, 이 사슬

C

는

X

안에서 상계

x

를 가진다.

모든 전순서 집합은 공종인 정렬 전순서 집합을 부분집합으로 가지기 때문에, 위의 정의에서 '정렬 사슬'이라는 조건을 '모든 사슬'로 바꾸어도 동일한 정의가 된다.

더 일반적으로, 순서수

\lambda

에 대해, 원순서 집합

(X,\lesssim)

가 다음 조건을 만족하면 $\lambda$ -닫힌 원순서 집합(

\lambda

-closed proset^영어)이라고 한다.^[1]

:

X

에 포함된 임의의 사슬

C

가 정렬 전순서 집합이고 그 순서형이

\lambda

보다 작다면, 이 사슬

C

는

X

안에서 상계

x

를 가진다.

만약 순서수

\lambda

가 집합

X

의 크기

|X|

보다 크다면 (

\lambda>|X|

),

X

가

\lambda

-닫힌 원순서 집합이라는 조건은

X

가 닫힌 원순서 집합이라는 조건과 서로 동치이다.

2. 2. λ-닫힌 원순서 집합

순서수

\lambda\in\operatorname{Ord}

에 대하여, 원순서 집합

(X,\lesssim)

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''

\lambda

-닫힌 원순서 집합'''(

\lambda

-closed proset^영어)이라고 한다.^[1]

:임의의 사슬

C\subseteq X

에 대하여, 만약

C

가 정렬 전순서 집합이며 그 순서형이

\lambda

미만이라면,

C

는 상계

x\in X

를 갖는다.

만약

\lambda>|X|

라면,

X

가

\lambda

-닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 동치이다.

3. 성질

닫힌 원순서 집합은 몇 가지 중요한 수학적 성질을 가진다.

초른 보조정리에 따르면, 닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 의 모든 원소는 어떤 극대 원소보다 작거나 같다 ( $X=\downarrow\max X$ ). 즉, 집합 내의 임의의 원소 위에는 항상 극대 원소가 존재한다.

또한, 닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 위에서 정의된 증가 자기 함수( $\forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x$ 인 자기 함수 $f\colon X\to X$ )는 항상 고정점( $f(y)=y$ )을 가진다는 '''부르바키-비트 정리'''(Bourbaki–Witt theorem^영어)가 성립한다.

집합론의 강제법에서도 닫힌 원순서 집합은 중요한 역할을 한다. 특정 크기 $\lambda$ 미만의 사슬들이 항상 상계를 갖는 성질( $\lambda$ -닫힘)을 만족하는 원순서 집합 $P$ 를 사용하여 강제법 모형 $M[G]$ 를 구성할 때, 원래 모형 $M$ 의 특정 함수 집합( $Y^X$ , 단 $|X| < \lambda$ )이나 $\lambda$ 이하의 기수 및 공종도 등이 보존된다.^[1] 이는 모형을 확장할 때 기존의 수학적 구조가 어떻게 유지되는지를 보여주는 중요한 결과이다.

3. 1. 초른 보조정리

'''초른 보조정리'''에 따르면, 닫힌 원순서 집합

(X,\lesssim)

에 대하여,

X=\downarrow\max X

이다. 여기서

\downarrow

는 하폐포이며,

\max X

는

X

의 극대 원소들의 집합이다.

3. 2. 부르바키-비트 정리

원순서 집합

(X,\lesssim)

가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, 자기 함수

f\colon X\to X

가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

:

\forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x

'''부르바키-비트 정리'''(Bourbaki-Witt定理, Bourbaki–Witt theorem^영어)에 따르면, 임의의

x\in X

에 대하여,

f

는

\uparrow x

에 속한, 하나 이상의 고정점을 갖는다.

:

\exists y\in X\colon f(y)=y\gtrsim x

3. 2. 1. 초른 보조정리를 사용한 증명

임의의

x\in X

에 대하여, 초른의 보조 정리를 사용하여

m\in\uparrow x\cap\max X

을 고를 수 있다. 그렇다면 극대 원소의 정의에 의하여

f(m)\sim m\gtrsim x

이다.

3. 2. 2. 직접 증명

x\in X

가 주어졌다고 하자. 함수

:

g\colon\operatorname{woChain}(X)\to X

가,

X

속의 정렬 사슬을 그 상계에 대응시킨다고 하자 (

g(\varnothing)=x

).

귀류법을 사용하여,

X

가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의

y\gtrsim x

에 대하여

f(y)\gtrsim y\not\gtrsim f(y)

라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수

\alpha\in\operatorname{Ord}

에 대하여 다음과 같은 점렬을 재귀적으로 정의하자.

:

x_\alpha=\begin{cases}f(x_\beta)&\exists \beta\colon\beta+1=\alpha\\g(\{x_\beta\colon\beta<\alpha\})&\nexists\beta\colon\beta+1=\alpha\end{cases}

귀류법 가정 아래

\{x_\beta\colon\beta<\alpha\}

는 정렬 전순서 집합이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수

x_\bullet\colon\operatorname{Ord}\to X

를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 고유 모임

\operatorname{Ord}

은 집합이 될 수 없으므로,

x_{\alpha+1}\sim f(x_\alpha)\sim x_\alpha

인

\alpha\in\operatorname{Ord}

가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다.

3. 3. 강제법

강제법에서는 특정 성질을 만족하는 원순서 집합을 사용하여 ZFC의 표준 추이적 모형을 확장한다. 이때 닫힌 원순서 집합은 중요한 역할을 한다.

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정해 보자.

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
모형 $M$ 에 속하는 두 집합 $X, Y \in M$
모형 $M$ 에서 기수인 순서수 $\lambda \in \operatorname{Card}^M$
모형 $M$ 에 속하는 원순서 집합 $P \in M$
$P$ 의 부분 집합 $G \subseteq M$

만약 다음 조건들이 모두 성립한다면,

$M$ 에서 $X$ 의 크기가 $\lambda$ 보다 작다 ( $M \models (|X| < \lambda)$ ).
$M$ 에서 $P$ 는 $\lambda$ -닫힌 원순서 집합이다 ( $M \models (P\text{는 } \lambda\text{-닫힌 원순서 집합이다})$ ).
$M$ 에서 $G$ 는 $P$ 의 포괄적 순서 아이디얼이다 ( $M \models (G\text{는 } P\text{의 포괄적 순서 아이디얼이다})$ ).

이 조건들 하에서,

X

에서

Y

로 가는 함수들의 집합은 원래 모형

M

과 강제법 모형

M[G]

사이에서 절대적이다. 즉, 확장된 모형

M[G]

에 존재하는

X

에서

Y

로 가는 모든 함수

f: X \to Y

는 이미 원래 모형

M

의 원소이다.^[1] 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

(Y^X)^{M[G]} = (Y^X)^M

특히, 이러한 경우 원래 모형

M

에서

\lambda

이하의 공종도와

\lambda

이하의 기수들은 확장된 모형

M[G]

에서도 그대로 보존된다.^[1]

4. 역사

부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 니콜라 부르바키^[2]와 에른스트 비트^[3]가 증명하였다.

참조

_[1] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs https://web.archive.[...] North-Holland 1980
_[2] 저널 Sur le théorème de Zorn 1949
_[3] 저널 Beweisstudien zum Satz von M. Zorn. Herrn Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag gewidmet 1951

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