데카르트 부호 법칙

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1. 개요
2. 데카르트 부호 법칙
3. 증명
4. 복소수 근
- 4.1. 예시
5. 특수한 경우
6. 일반화
7. 역사
참조

1. 개요

데카르트 부호 법칙은 0이 아닌 실수 계수를 갖는 다항식의 양의 실근과 음의 실근의 개수에 대한 규칙이다. 이 법칙에 따르면, 다항식 p(x)의 양의 실근의 개수는 p(x)의 계수 부호 변화 횟수보다 적거나 같으며, 그 차이는 짝수이다. 음의 실근의 경우, p(-x)에 데카르트 부호 법칙을 적용하여 계산한다. 이 법칙은 다항식의 실근 개수를 제한하는 데 사용되며, 다항식의 복소수 근의 개수를 추정하는 데에도 활용된다. 르네 데카르트가 처음 언급했으며, 야노시 언드라시 셰그네르가 처음으로 증명했다.

2. 데카르트 부호 법칙

데카르트 부호 법칙(데카르트의 부호 법칙)은 실수 계수를 가지는 일변수 다항식의 양의 실근과 음의 실근의 개수에 대한 정보를 제공하는 정리이다. 다항식의 항들이 변수 지수의 내림차순으로 정렬되어 있다고 가정한다.

이 법칙에 따르면, 0이 아닌 계수들을 순서대로 나열했을 때 연속하는 두 계수 사이의 부호가 바뀌는 횟수는 다항식의 양의 실근 개수의 상한이 된다. 더 정확하게는, 다항식의 양의 실근의 개수(중근은 그 중복도만큼 센다)는 이 부호 변화 횟수와 같거나, 그 횟수보다 짝수만큼 작다. 예를 들어, 부호 변화 횟수가 3번이라면 양의 실근은 3개 또는 1개 존재한다. 만약 부호 변화 횟수가 0 또는 1이라면, 양의 실근의 개수는 정확히 그 횟수와 같다.

음의 실근의 개수를 추정하려면, 원래 다항식 $p(x)$ 에서 변수 $x$ 대신 $-x$ 를 대입하여 새로운 다항식 $p(-x)$ 를 만든다. 이는 원래 다항식의 홀수 차수 항의 계수 부호만 바꾸는 것과 같다. 이렇게 얻은 다항식 $p(-x)$ 의 계수 부호 변화 횟수를 센다. 원래 다항식 $p(x)$ 의 음의 실근 개수는 $p(-x)$ 의 계수 부호 변화 횟수와 같거나, 그 횟수보다 짝수만큼 작다.

예를 들어, 다항식 $f(x) = x^3 + x^2 - x - 1$ 을 생각해보자. 계수의 부호는 $(+, +, -, -)$ 순서이다. 부호 변화는 두 번째 항(+)에서 세 번째 항(-)으로 넘어갈 때 한 번 일어나므로, 이 다항식은 정확히 1개의 양의 실근을 가진다. 음의 실근 개수를 알기 위해 $f(-x) = -x^3 + x^2 + x - 1$ 을 본다. 계수 부호는 $(-, +, +, -)$ 순서이고, 부호 변화는 첫 번째 항(-)에서 두 번째 항(+)으로, 세 번째 항(+)에서 네 번째 항(-)으로 넘어갈 때 총 2번 발생한다. 따라서 이 다항식의 음의 실근 개수는 2개이거나 0개이다. (실제로 이 다항식의 근은 $x=1$ 과 $x=-1$ (중근)이므로, 양의 근 1개와 음의 근 2개를 가진다.)

대수학의 기본 정리에 따라 $n$ 차 다항식은 복소수 범위에서 중복도를 포함하여 정확히 $n$ 개의 근을 가진다. 데카르트 부호 법칙을 이용하여 양의 근의 최대 개수 $p$ 와 음의 근의 최대 개수 $q$ 를 구하면, 만약 다항식이 0을 근으로 갖지 않는 경우(즉, 상수항이 0이 아닌 경우), 실수가 아닌 복소수 근(허수 근)의 최소 개수는 $n - (p + q)$ 임을 알 수 있다.

2. 1. 정의

0이 아닌 실수 계수를 가지는 다항식

:

p(x)=a_0x^{d_0}+a_1x^{d_1}+\cdots+a_nx^{d_n}\in\mathbb R[x]

(여기서

a_i\in\mathbb R

,

a_i\ne 0

,

d_i\in\{0,1,2,\dots\}

,

d_0, n\in\{0,1,2,\dots\})

에 대하여, 0이 아닌 계수들을 차수가 낮은 항부터 높은 항 순서대로 나열했을 때, 연속하는 두 계수의 부호가 바뀌는 횟수를

v(p)

라고 정의한다. 즉,

v(p)

는

i\in\{0,1,\dots,n-1\}

중에서

a_ia_{i+1}<0

을 만족하는

i

의 개수이다.

'''데카르트 부호 법칙'''은 0이 아닌 실수 계수 다항식

p(x)

의 양의 실수 근 및 음의 실수 근의 개수에 대한 정보를 계수의 부호 변화 횟수로부터 얻는 방법이다. 법칙의 내용은 다음과 같다.^[7]

$p(x)$ 의 양의 실수 근의 개수(중근은 중복도만큼 센다)는 $v(p)$ 와 같거나, $v(p)$ 보다 짝수만큼 작다.
$p(x)$ 의 음의 실수 근의 개수(중근은 중복도만큼 센다)는 $v(p(-x))$ 와 같거나, $v(p(-x))$ 보다 짝수만큼 작다. 여기서 $p(-x)$ 는 원래 다항식 $p(x)$ 의 $x$ 자리에 $-x$ 를 대입하여 얻은 새로운 다항식이다. 이는 $p(x)$ 의 홀수 차수 항의 계수 부호만 바꾸는 것과 같다.

특히, 만약 계수의 부호 변화 횟수(

v(p)

또는

v(p(-x))

)가 0 또는 1이라면, 해당 부호(양 또는 음)의 근의 개수는 정확히 그 부호 변화 횟수와 같다.

예를 들어, 다항식

f(x) = x^3 + x^2 - x - 1

의 계수 부호는 (+, +, -, -) 순서이다. 부호 변화는 두 번째 항(+)에서 세 번째 항(-)으로 넘어갈 때 한 번 발생하므로,

v(f(x)) = 1

이다. 따라서 데카르트 부호 법칙에 의해 이 다항식은 정확히 1개의 양의 실수 근을 가진다.

음의 근의 개수를 알기 위해

f(-x)

를 계산하면,

:

f(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 - (-x) - 1 = -x^3 + x^2 + x - 1

이다.

f(-x)

의 계수 부호는 (-, +, +, -) 순서이다. 부호 변화는 첫 번째 항(-)에서 두 번째 항(+)으로 넘어갈 때, 그리고 세 번째 항(+)에서 네 번째 항(-)으로 넘어갈 때 발생하여 총 2번이다. 즉,

v(f(-x)) = 2

이다. 따라서 데카르트 부호 법칙에 의해 이 다항식의 음의 실수 근의 개수는 2개이거나 0개이다.

2. 2. 양의 실근

0이 아닌 실수 계수를 가지는 다항식

p(x)=a_0x^{d_0}+a_1x^{d_1}+\cdots+a_nx^{d_n}

(단,

a_i

는 0이 아닌 실수이고,

d_0 < d_1 < \cdots < d_n

는 음이 아닌 정수)가 주어졌다고 하자. 이 다항식의 계수를 낮은 차수 항부터 순서대로 나열했을 때

(a_0, a_1, \dots, a_n)

, 이웃한 두 계수의 부호가 달라지는 횟수를

v(p)

라고 한다. 예를 들어, 다항식

p(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 + x - 1

의 계수열은

(-1, 1, 2, 0, -3, 1)

이다. 0이 아닌 계수만 보면

(-1, 1, 2, -3, 1)

이고, 부호 변화는

-1 \to 1

,

2 \to -3

,

-3 \to 1

로 총 3번 일어나므로

v(p)=3

이다.

데카르트 부호 법칙에 따르면, 다항식

p(x)

의 양의 실수 근의 개수(각 근의 중복도를 포함하여 센 개수)는 계수의 부호 변화 횟수인

v(p)

보다 클 수 없다.^[7] 즉, 양의 실수 근의 개수를

z_{pos}(p)

라고 하면, 항상

z_{pos}(p) \le v(p)

가 성립한다.

더 나아가, 양의 실수 근의 개수

z_{pos}(p)

는

v(p)

와 같거나,

v(p)

보다 짝수만큼 작다. 다시 말해,

v(p) - z_{pos}(p)

의 값은 항상 0 또는 양의 짝수이다. 이는 카를 프리드리히 가우스가 증명한 내용으로, 양의 근의 개수와 부호 변화 횟수의 홀짝성이 일치함을 의미한다.

특히, 만약 계수의 부호 변화 횟수

v(p)

가 0 또는 1이라면, 양의 실수 근의 개수는 정확히

v(p)

와 같다. 예를 들어, 부호 변화가 한 번도 없다면 (

v(p)=0

), 양의 실수 근은 존재하지 않는다. 부호 변화가 단 한 번 있다면 (

v(p)=1

), 정확히 하나의 양의 실수 근이 존재한다.

2. 3. 음의 실근

데카르트 부호 법칙은 다항식

p(x)

의 음의 실수 근의 개수에 대한 정보도 제공한다.

다항식

p(x)

의 음의 실수 근은

x < 0

인 해를 의미한다. 만약

x_0

가

p(x)

의 음의 근이라면,

x_0 < 0

이고

p(x_0) = 0

이다. 이때

y_0 = -x_0

라고 하면

y_0 > 0

이 된다.

p(x)

에

x = -y_0

를 대입하면

p(-y_0) = p(x_0) = 0

이므로,

y_0

는 새로운 다항식

p(-x)

의 양의 실수 근이 된다. 즉,

p(x)

의 음의 실수 근의 개수는

p(-x)

의 양의 실수 근의 개수와 같다.

따라서, 데카르트 부호 법칙을

p(-x)

에 적용하면 원래 다항식

p(x)

의 음의 실수 근의 개수를 추정할 수 있다. 구체적으로,

p(-x)

의 계수 부호가 바뀌는 횟수를

v(p(-x))

라고 할 때,

p(x)

의 음의 실수 근의 개수는

v(p(-x))

와 같거나, 그보다 짝수만큼 작다.^[7]

예를 들어, 다항식

p(x) = ax^3+bx^2+cx+d

의 음의 근의 개수를 알고 싶다고 하자. 먼저

p(-x)

를 계산한다.

:

p(-x) = a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d = -ax^3+bx^2-cx+d

이제 이 새로운 다항식

p(-x)

의 계수

(-a, b, -c, d)

사이의 부호 변화 횟수를 센다. 이 횟수가

v(p(-x))

이다. 데카르트 부호 법칙에 따라, 원래 다항식

p(x)

의 음의 근의 개수는

v(p(-x))

이거나 이 값보다 짝수만큼 적은 개수가 된다.

요약하면, 실수 계수 다항식

f(x)

의 음의 근의 개수는

f(-x)

의 계수 부호 변화 횟수를

T_{f(-x)}

라고 할 때,

T_{f(-x)}

이거나

T_{f(-x)} - 2

,

T_{f(-x)} - 4

, ... 와 같이 짝수만큼 작은 음이 아닌 정수 중 하나이다.

2. 4. 예시

다음은 데카르트 부호 법칙을 적용하는 몇 가지 예시이다.

5차 다항식 예시:

다항식

p(x)=ax^5+bx+c

(

a,b,c

는 실수,

a\ne 0

)를 생각해보자. 이 다항식은 0이 아닌 항이 최대 3개이므로, 계수의 부호는 최대 2번 바뀔 수 있다. 데카르트 부호 법칙에 따르면, 이 다항식은 중복도를 고려했을 때 양의 실수 근을 2개 갖거나 갖지 않는다.

음의 실수 근의 개수를 알기 위해

p(-x) = a(-x)^5 + b(-x) + c = -ax^5 - bx + c

를 본다. 이 식의 계수 부호 변화 횟수도 최대 2번이므로, 음의 실수 근 역시 2개 또는 0개이다.

중간값 정리에 따라 이 다항식은 적어도 하나의 실수 근을 가진다. 만약

c\ne 0

이라면 0은 근이 아니므로, 이 실수 근은 양수이거나 음수이다. 따라서 실수 근의 총 개수는 2개 또는 4개가 된다. 대수학의 기본 정리에 따르면 이 다항식은 복소수 범위에서 총 5개의 근을 가지므로, 실수가 아닌 허수 근의 개수는 3개 또는 1개이다.

`f(x) = x^3 - 1` 예시:

다항식

f(x) = x^3-1

을 보자. 계수는

(1, 0, 0, -1)

이고, 0이 아닌 항의 계수 부호는

(+, -)

이다. 부호 변화는 한 번 있으므로, 양의 실근은 정확히 1개이다.

음의 실근 개수를 찾기 위해

f(-x) = (-x)^3 - 1 = -x^3 - 1

을 본다. 0이 아닌 항의 계수 부호는

(-, -)

로, 부호 변화가 없다. 따라서 음의 실근은 존재하지 않는다.

이 다항식은 3차 다항식이므로 총 3개의 근을 가진다. 양의 실근이 1개이고 음의 실근이 없으므로, 나머지

3 - (1+0) = 2

개의 근은 실수가 아닌 복소수(허수) 근이다. 실계수 다항식의 비실근은 항상 켤레쌍으로 존재하므로,

x^3-1

은 정확히 1개의 양의 실근과 2개의 허수 근을 갖는다. 실제 근은

1, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}

이다.

`f(x) = x^3 + x^2 + x + 1` 예시:

다항식

f(x) = x^3 + x^2 + x + 1

을 생각해보자. (실제 실근은

x = -1

이다.)

계수 부호는

(+, +, +, +)

로, 부호 변화가 전혀 없다. 따라서 양의 실근은 존재하지 않는다.

음의 실근 개수를 조사하기 위해

f(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 + (-x) + 1 = -x^3 + x^2 - x + 1

을 본다. 계수 부호는

(-, +, -, +)

이다. 부호 변화는

(- \to +)

,

(+ \to -)

,

(- \to +)

로 총 3번 있다. 따라서 음의 실근은 3개 또는 1개이다.

실제로 이 다항식은

f(x)=(x+1)(x^2+1)

로 인수분해되므로, 실근은

x=-1

하나뿐이다. 즉, 음의 실근은 1개이다.

2. 4. 1. 등호가 성립하지 않는 경우

데카르트 부호 법칙은 양의 실수 근의 개수의 상한을 알려주지만, 실제 근의 개수와 정확히 일치하지 않을 수 있다. 즉, 부호 변화 횟수와 실제 양의 근 개수의 차이는 항상 짝수이다. 음의 근의 경우도 마찬가지이다.

예를 들어, 다항식

:

p(x)=x^6-x^4+x^2-3x+5

을 생각해보자. 계수의 부호는 (+, −, +, −, +) 순서로 총 4번 변화한다. 데카르트 부호 법칙에 따르면 이 다항식의 양의 실수 근의 개수(중복도를 포함하여)는 4, 2, 또는 0개이다.

또한,

x

대신

-x

를 대입하면

:

p(-x)=(-x)^6-(-x)^4+(-x)^2-3(-x)+5 = x^6-x^4+x^2+3x+5

가 된다. 이 다항식

p(-x)

의 계수 부호는 (+, −, +, +, +) 순서로 총 2번 변화한다. 따라서 원래 다항식

p(x)

의 음의 실수 근의 개수(중복도를 포함하여)는 2 또는 0개이다.

그러나 실제 이 다항식

p(x)

는 실수 근을 갖지 않는다. 이 경우, 양의 근의 개수(0)는 예측값(4, 2, 0) 중 하나와 일치하며, 음의 근의 개수(0)도 예측값(2, 0) 중 하나와 일치한다. 하지만 법칙이 제시하는 최대 개수(양의 근 4개, 음의 근 2개)와는 다르다.

다른 예로 다항식

:

f(x) = x^3 + x^2 - x - 1

을 보자. 계수의 부호는 (+, +, −, −) 순서로, 두 번째 항(

+x^2

)과 세 번째 항(

-x

) 사이에서 부호 변화가 한 번 있다. 따라서 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식은 정확히 하나의 양의 근을 갖는다.

음의 근의 수를 찾기 위해

f(-x)

를 계산하면

:

f(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 - (-x) - 1 = -x^3 + x^2 + x - 1

이다. 이 다항식의 계수 부호는 (−, +, +, −) 순서로, 부호 변화가 두 번 발생한다. 이는

f(-x)

가 두 개 또는 0개의 양의 근을 가짐을 의미하며, 따라서 원래 다항식

f(x)

는 두 개 또는 0개의 음의 근을 갖는다.

실제로

f(x)

를 인수분해하면 다음과 같다.

:

f(x)=(x + 1)^{2}(x - 1)

따라서 근은 −1 (중복도 2)과 +1 (중복도 1)이다. 즉, 양의 근은 1개이고 음의 근은 2개이다. 이 경우, 양의 근의 개수(1)는 법칙의 예측(1)과 정확히 일치하고, 음의 근의 개수(2)는 법칙의 예측(2 또는 0) 중 하나와 일치한다.

참고로

f(-x)

의 인수분해는 다음과 같다.

:

f(-x)=-(x - 1)^{2}(x + 1)

여기서 근은 +1 (중복도 2)과 −1 (중복도 1)이며, 이는 원래 다항식

f(x)

의 근에 −1을 곱한 값과 같다.

2. 4. 2. 등호가 성립하는 경우

데카르트 부호 법칙에서 제시하는 양의 실근 개수의 상한(

v(p)

)과 음의 실근 개수의 상한(

v(p(-x))

)이 실제 근의 개수와 정확히 일치하는 경우가 존재한다. 즉, 어떤 조건들을 만족하는 다항식이라도, 데카르트 부호 법칙에서 예상하는 근의 개수와 실제 근의 개수가 정확히 일치하도록 만들 수 있다.

구체적으로, 임의의 음이 아닌 정수

n

과

0 \le d_0 < d_1 < \dots < d_n

을 만족하는 정수들

d_0, d_1, \dots, d_n

에 대하여, 다음 두 조건을 동시에 만족하는 다항식

p(x)

를 항상 구성할 수 있다.^[8]

:

p(x)=a_0x^{d_0}+a_1x^{d_1}+\cdots+a_nx^{d_n}

(여기서

a_i

는 0이 아닌 실수)

:

z(p)=v(p)

(양의 실근 개수와 계수 부호 변화 횟수가 같음)

:

z(p(-x))=v(p(-x))

(음의 실근 개수와

p(-x)

계수 부호 변화 횟수가 같음)

예를 들어, 다항식

p(x)=x^2-2x+1

을 살펴보자.

계수는

(1, -2, 1)

이고, 부호는

(+, -, +)

이다. 부호 변화는

(+, -)

에서 한 번,

(-, +)

에서 또 한 번 일어나므로, 부호 변화 횟수

v(p)=2

이다.

p(x)=(x-1)^2

이므로 양의 실근은

x=1

(중근) 하나뿐이지만, 데카르트 부호 법칙에서는 근의 중복도를 포함하여 개수를 세므로, 양의 실근 개수

z(p)=2

로 간주한다. 따라서

z(p)=v(p)=2

가 성립한다.

또한,

p(-x)=(-x)^2-2(-x)+1 = x^2+2x+1

이다.

계수는

(1, 2, 1)

이고, 부호는

(+, +, +)

이다. 부호 변화가 없으므로

v(p(-x))=0

이다.

원래 다항식

p(x)

는 음의 실근을 갖지 않으므로, 음의 실근 개수

z(p(-x))=0

이다. 따라서

z(p(-x))=v(p(-x))=0

이 성립한다.

2. 4. 3. 삼차 다항식 예시 (영어 문서)

다항식

f(x) = + x^3 + x^2 - x - 1

을 예로 들 수 있다.

이 다항식의 계수 부호는 순서대로

(+, +, -, -)

이다. 부호는 두 번째 항(

+x^2

)과 세 번째 항(

-x

) 사이에서 한 번 바뀐다 (+에서 -로). 따라서 데카르트 부호 법칙에 따라 이 다항식은 정확히 하나의 양의 근을 가진다.

음의 근의 개수를 찾기 위해서는, 홀수 차수 항의 계수 부호를 바꾸어

f(-x)

를 구한 뒤 데카르트 부호 법칙을 적용한다.

f(-x) = - x^3 + x^2 + x - 1

이 다항식의 계수 부호는 순서대로

( -, +, +, -)

이다. 부호는 첫 번째 항(

-x^3

)과 두 번째 항(

+x^2

) 사이에서 한 번(-에서 +로), 그리고 세 번째 항(

+x

)과 네 번째 항(

-1

) 사이에서 또 한 번(+에서 -로) 바뀐다. 총 두 번의 부호 변화가 있으므로,

f(-x)

는 두 개 또는 영 개의 양의 근을 가진다. 이는 원래 다항식

f(x)

가 두 개 또는 영 개의 음의 근을 가짐을 의미한다.

실제로 다항식

f(x)

를 인수분해하면 다음과 같다.

f(x)=(x + 1)^{2}(x - 1)

따라서 근은 -1 (중근, 두 번)과 +1 (단근, 한 번)이다. 양의 근은 1개이고 음의 근은 2개이므로, 데카르트 부호 법칙의 예측과 일치한다.

참고로

f(-x)

의 인수분해는 다음과 같다.

f(-x)=-(x - 1)^{2}(x + 1)

여기서 근은 +1 (중근, 두 번)과 -1 (단근, 한 번)이며, 이는 원래 다항식

f(x)

의 근들의 부호를 바꾼 것과 같다.

3. 증명

0이 아닌 실수 계수 다항식 $p(x)$ 에 대하여, $z(p)$ 를 $p(x)$ 의 양의 실수 근의 수(중복된 근을 포함)라고 하고, $v(p)$ 를 계수의 부호 변화 횟수라고 하자. 데카르트 부호 법칙은 다음 두 가지를 말한다.

$p(x)$ 의 양의 실수 근의 개수 $z(p)$ 는 계수 부호 변화 횟수 $v(p)$ 보다 많지 않다. 즉, $z(p) \le v(p)$ 이다.
$v(p)$ 와 $z(p)$ 의 차이 $v(p) - z(p)$ 는 항상 0 또는 양의 짝수이다. 즉, $z(p) \equiv v(p) \pmod 2$ 이다.

음의 실수 근에 대한 명제(

p(x)

의 음의 근 개수는

v(p(-x))

보다 작거나 같고, 그 차는 짝수)는 다항식

q(x) = p(-x)

에 대해 위 법칙을 적용하면 증명된다.

q(x)

의 양의 근은

p(x)

의 음의 근과 일치하고,

q(x)

의 계수 부호 변화 횟수는

v(p(-x))

이기 때문이다. 따라서 여기서는 양의 실수 근에 대한 법칙만 증명한다.^[7]

먼저, 다항식

p(x) = a_n x^{d_n} + \dots + a_1 x^{d_1} + a_0 x^{d_0}

(단,

d_0 < d_1 < \dots < d_n

이고 모든 계수

a_i \ne 0

) 에서 상수항

a_0

이 0이 아니라고 가정할 수 있다. 만약 가장 낮은 차수의 항

a_0 x^{d_0}

에서

d_0 > 0

이면,

p(x)

를

x^{d_0}

으로 나눈

q(x) = p(x)/x^{d_0} = a_n x^{d_n-d_0} + \dots + a_1 x^{d_1-d_0} + a_0

를 생각하자.

q(x)

는 0이 아닌 상수항

a_0

를 가지며,

q(x)

의 양의 근의 수와 계수 부호 변화 횟수는

p(x)

와 동일하다. 따라서 증명 과정에서

d_0 = 0

(즉, 상수항이 0이 아님)이라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다.
보조 정리: 상수항

a_0

과 최고차항 계수

a_n

의 부호가 같으면 (

a_0 a_n > 0

), 양의 근의 개수

z(p)

는 짝수이다. 부호가 다르면 (

a_0 a_n < 0

),

z(p)

는 홀수이다.

증명: 만약 $a_0 > 0, a_n > 0$ 이면, $p(0) = a_0 > 0$ 이고 $x \to \infty$ 일 때 $p(x) \to \infty$ (양수) 이다. 다항함수의 그래프는 연속적이므로, $y=p(x)$ 의 그래프는 양의 y축( $x=0$ 일 때)에서 시작하여 $x$ 가 커짐에 따라 결국 양의 무한대로 향한다. 양의 근은 그래프가 양의 x축과 만나는 점인데, 그래프가 양수에서 시작하여 양수로 끝나려면 x축을 통과하는 횟수(홀수 중복도의 근에 해당)는 짝수 번이어야 한다. x축에 접하는 경우(짝수 중복도의 근)는 근의 개수에 짝수만큼 기여하므로, 전체 양의 근의 개수 $z(p)$ 는 짝수가 된다. 만약 $a_0 a_n < 0$ 이면, $p(0)$ 과 $\lim_{x\to\infty} p(x)$ 의 부호가 다르므로 그래프는 양의 x축을 홀수 번 통과해야 하고, 따라서 $z(p)$ 는 홀수이다. 다른 경우( $a_0 < 0, a_n < 0$ 또는 $a_0 < 0, a_n > 0$ )도 비슷한 논리로 설명할 수 있다.^[1] 이 보조 정리는 $z(p)$ 와 $v(p)$ 의 짝수성이 같다는 것을 함의한다. 왜냐하면 $v(p)$ 가 짝수(홀수)인 것은 $a_0 a_n > 0$ ( $a_0 a_n < 0$ )인 것과 동치이기 때문이다.

이제 롤의 정리를 이용하여

p(x)

와 그 도함수

p'(x)

의 양의 근 사이의 관계를 살펴보자. 만약

p(x)

가 서로 다른

k

개의 양의 실수 근

x_1 < x_2 < \dots < x_k

를 가지고 각 근

x_i

의 중복도가

m_i

라면, 총 양의 근의 수는

z(p) = m_1 + \dots + m_k

이다.

다항식의 근의 성질에 의해, $p(x)$ 가 $x_i$ 를 $m_i$ -중근으로 가지면, 그 도함수 $p'(x)$ 는 $x_i$ 를 최소 $(m_i - 1)$ -중근으로 가진다.
롤의 정리에 따르면, 미분 가능한 함수 $p(x)$ 에 대해 $p(x_i) = p(x_{i+1}) = 0$ 이면, 두 근 사이 $(x_i, x_{i+1})$ 안에 $p'(c) = 0$ 인 $c$ 가 적어도 하나 존재한다. 즉, 각 $k-1$ 개의 열린 구간 $(x_i, x_{i+1})$ ( $i=1, \dots, k-1$ ) 안에는 $p'(x)$ 의 근이 적어도 하나씩 존재한다.

따라서

p'(x)

의 양의 근의 수

z(p')

는

p(x)

의 근들로부터 유도되는 근

\sum (m_i - 1)

개와 각 근 사이 구간에서 나오는 근

(k - 1)

개를 합한 것보다 크거나 같다.

z(p') \ge \sum_{i=1}^k (m_i - 1) + (k - 1) = (m_1 + \dots + m_k) - k + (k - 1) = z(p) - 1

결론적으로

z(p') \ge z(p) - 1

, 또는

z(p) \le z(p') + 1

이라는 중요한 관계를 얻는다.

이제 수학적 귀납법을 사용하여

z(p) \le v(p)

와

z(p) \equiv v(p) \pmod 2

임을 증명한다. 귀납법은 0이 아닌 항의 개수

n+1

(즉,

a_0, \dots, a_n

의 개수)에 대해 적용한다. 소스에서는

n

을 사용하는데, 이는 0이 아닌 항의 개수를

n+1

개로 볼 때 최고차항 인덱스

n

에 대한 귀납법으로 해석할 수 있다.

기저 단계: $n=0$ 일 때, $p(x) = a_0$ (0이 아닌 상수함수) 이다. 근이 없으므로 $z(p) = 0$ 이고, 계수 부호 변화도 없으므로 $v(p) = 0$ 이다. 따라서 $z(p) = 0 \le v(p) = 0$ 이고 $z(p) \equiv v(p) \pmod 2$ (0은 짝수) 가 성립한다.

귀납 단계: 0이 아닌 항의 개수가 $n$ 개 이하인 모든 다항식에 대해 법칙이 성립한다고 가정하자. 즉, 그러한 다항식 $q(x)$ 에 대해 $z(q) \le v(q)$ 이고 $z(q) \equiv v(q) \pmod 2$ 라고 가정한다. 이제 0이 아닌 항의 개수가 $n+1$ 개인 다항식 $p(x) = a_n x^{d_n} + \dots + a_1 x^{d_1} + a_0$ 에 대해 증명하자.

그 도함수

p'(x) = d_n a_n x^{d_n-1} + \dots + d_1 a_1 x^{d_1-1}

는 0이 아닌 항의 개수가

n

개 또는

n-1

개이다 (

d_1=1

이면 항이 하나 줄어들 수 있음). 어쨌든

p'(x)

는 항의 개수가

n

개 이하이므로 귀납 가설을 적용할 수 있다:

z(p') \le v(p')

이고

z(p') \equiv v(p') \pmod 2

.

p(x)

의 첫 두 항의 계수

a_0, a_1

의 부호 관계에 따라 두 가지 경우로 나눈다.

1. $a_0 a_1 < 0$ (부호가 다른 경우):

p(x)

의 계수열

(a_0, a_1, \dots, a_n)

에서

a_0

와

a_1

사이에 부호 변화가 1회 발생한다.

p'(x)

의 계수열은

(d_1 a_1, \dots, d_n a_n)

인데,

d_i > 0

이므로 각 항의 부호는

(a_1, \dots, a_n)

의 부호와 같다. 따라서

p'(x)

의 부호 변화 횟수

v(p')

는

p(x)

에서

a_1

부터 시작하는 부분의 부호 변화 횟수와 같으므로,

v(p') = v(p) - 1

이다.

위에서 얻은 관계식

z(p) \le z(p') + 1

과 귀납 가설

z(p') \le v(p')

을 이용하면,

z(p) \le z(p') + 1 \le v(p') + 1 = (v(p) - 1) + 1 = v(p)

따라서

z(p) \le v(p)

가 성립한다.

이제 짝수성을 확인한다. 귀납 가설에 의해

z(p') \equiv v(p') \pmod 2

이다. 그리고

v(p') = v(p) - 1

이므로

v(p')

와

v(p)

는 짝수성이 다르다 (

v(p') \not\equiv v(p) \pmod 2

). 또한, 보조 정리에서

z(p)

와

v(p)

의 짝수성이 같다는 것을 확인했다.

종합하면,

z(p) \equiv v(p) \pmod 2

이다. (상세 설명:

z(p) \le z(p') + 1

이고,

z(p') \equiv v(p') \pmod 2

,

v(p') = v(p) - 1

이다. 만약

z(p) = z(p') + 1

이면,

z(p) \equiv z(p') + 1 \equiv v(p') + 1 = (v(p) - 1) + 1 = v(p) \pmod 2

. 만약

z(p) < z(p') + 1

, 즉

z(p) \le z(p')

이면,

z(p)

와

z(p')

는 짝수성이 같거나 다를 수 있다. 하지만 이미 보조정리에서

z(p) \equiv v(p) \pmod 2

임을 알았으므로, 이 관계는 항상 성립한다.)

2. $a_0 a_1 > 0$ (부호가 같은 경우):

p(x)

의 계수열에서

a_0

와

a_1

사이에는 부호 변화가 없다. 따라서

p(x)

의 전체 부호 변화 횟수

v(p)

는

a_1

부터 시작하는 부분의 부호 변화 횟수와 같고, 이는

p'(x)

의 부호 변화 횟수

v(p')

와 같다. 즉,

v(p') = v(p)

이다.

관계식

z(p) \le z(p') + 1

과 귀납 가설

z(p') \le v(p')

을 이용하면,

z(p) \le z(p') + 1 \le v(p') + 1 = v(p) + 1

이제

z(p) \le v(p)

임을 보여야 한다. 보조 정리에서

z(p)

와

v(p)

는 짝수성이 같다고 했다 (

z(p) \equiv v(p) \pmod 2

). 만약

z(p) = v(p) + 1

이라면

z(p)

와

v(p)

의 짝수성이 달라져 모순이다. 따라서

z(p) \ne v(p) + 1

이어야 하고,

z(p) \le v(p) + 1

이었으므로

z(p) \le v(p)

가 성립한다.

짝수성 관계

z(p) \equiv v(p) \pmod 2

는 보조 정리에서 이미 확인되었다.

두 경우 모두

z(p) \le v(p)

와

z(p) \equiv v(p) \pmod 2

가 성립하므로, 수학적 귀납법에 의해 데카르트 부호 법칙이 증명되었다.

4. 복소수 근

대수학의 기본 정리에 따르면, 실수 계수를 갖는 ''n''차 다항식은 복소 평면에서 중복도를 포함하여 정확히 ''n''개의 근을 가진다. 이 근들은 실수이거나 혹은 실수가 아닌 복소수(비실수 근)이다. 데카르트 부호 법칙은 이 근들 중 양의 실수 근과 음의 실수 근의 최대 개수를 추정하는 방법을 제공한다.

다항식 $p(x)$ 에 대해 데카르트 부호 법칙을 적용하여 얻은 양의 실수 근의 최대 개수를 ''p'', $p(-x)$ 에 적용하여 얻은 음의 실수 근의 최대 개수를 ''q''라고 하자. 만약 다항식 $p(x)$ 가 0을 근으로 갖지 않는다면 (즉, 상수항이 0이 아니라면), 모든 근은 양의 실수 근, 음의 실수 근, 또는 비실수 근 중 하나이다.

총 근의 개수는 ''n''개이고, 실수 근의 최대 개수는 ''p'' + ''q''개이다. 따라서 비실수 근의 개수는 최소한 $n - (p + q)$ 개가 된다. 실수 계수 다항식의 비실수 근은 항상 켤레 복소수로 존재하기 때문에, 비실수 근의 개수는 항상 짝수이다.

예를 들어, 5차 다항식 $p(x)=ax^5+bx+c$ (단, $a, b, c \in \mathbb{R}, a \ne 0$ )를 생각해보자. 0이 아닌 항이 최대 3개이므로, 계수 부호 변화는 최대 2번 일어날 수 있다. 따라서 데카르트 부호 법칙에 의해 양의 실수 근은 최대 2개이다 (즉, ''p'' ≤ 2). 마찬가지로 $p(-x) = -ax^5 - bx + c$ 의 계수 부호 변화도 최대 2번이므로, 음의 실수 근도 최대 2개이다 (즉, ''q'' ≤ 2). 만약 $c \ne 0$ 이라서 0이 근이 아니라면, 이 다항식의 비실수 근은 최소 $5 - (p + q)$ 개이다. 예를 들어 데카르트 부호 법칙으로 ''p''의 최댓값이 2, ''q''의 최댓값이 1로 나왔다면, 비실수 근은 최소 $5 - (2 + 1) = 2$ 개 존재한다고 추론할 수 있다. 실제 실수 근의 개수와 비실수 근의 개수의 합은 대수학의 기본 정리에 따라 항상 5가 된다.

4. 1. 예시

임의의 ''n''차 다항식은 중복도를 고려했을 때 복소 평면에서 정확히 ''n''개의 근을 갖는다 (대수학의 기본 정리). 실수 계수를 갖는 다항식 ''f''(''x'')가 0에서 근을 갖지 않는 경우(즉, 0이 아닌 상수항을 갖는 다항식), 데카르트 부호 법칙을 이용하여 양의 근의 최대 개수 ''p''와 음의 근의 최대 개수 ''q''를 구할 수 있다. 이때 최소 비실근(허수 근)의 개수는 다음과 같이 주어진다.

:

n - (p + q)

여기서 ''n''은 다항식의 차수이다. 실계수 다항식의 비실근은 항상 켤레쌍으로 존재하므로, 비실근의 개수는 항상 짝수이다.

예시 1: 다항식 $f(x) = x^3 - 1$

: 계수의 부호는 (+, -)로 부호 변화가 한 번 있다. 따라서 양의 실근의 최대 개수 ''p'' = 1이다. 데카르트 부호 법칙에 따르면 양의 실근의 개수는 1개이다.

:

f(-x) = (-x)^3 - 1 = -x^3 - 1

:

f(-x)

의 계수의 부호는 (-, -)로 부호 변화가 없다. 따라서 음의 실근의 최대 개수 ''q'' = 0이다. 즉, 음의 실근은 없다.

: 다항식의 차수는 ''n'' = 3이고, 0은 근이 아니므로, 비실근의 최소 개수는 다음과 같다.

:

n - (p + q) = 3 - (1 + 0) = 2

: 따라서

x^3 - 1 = 0

은 1개의 양의 실근과 2개의 비실근(서로 켤레 복소수)을 갖는다.

예시 2: 다항식 $f(x) = x^4 - 1$

: 실제 근은

x = 1, -1, i, -i

이다.

: 계수의 부호는 (+, 0, 0, 0, -)이다. 0이 아닌 항만 고려하면 (+, -)로 부호 변화가 1회이다. 따라서 양의 근의 최대 개수 ''p'' = 1이다. 즉, 양의 근은 정확히 1개이다.

:

f(-x) = (-x)^4 - 1 = x^4 - 1

:

f(-x)

의 계수 부호 역시 (+, -)로 부호 변화가 1회이다. 따라서 음의 근의 최대 개수 ''q'' = 1이다. 즉, 음의 근은 정확히 1개이다.

: 다항식의 차수는 ''n'' = 4이고, 0은 근이 아니므로, 비실근의 개수는 최소

n - (p + q) = 4 - (1 + 1) = 2

개가 된다.

: 이 경우, 양의 근과 음의 근의 개수가 각각 1개로 정확히 결정되므로, 비실근의 개수도 정확히 2개라고 결론 내릴 수 있다.

예시 3: 다항식 $f(x) = x^5 + x^4 + x + 1$

: 실제 근은

x = -1, \frac{\pm \sqrt{2} \pm \sqrt{2}i}{2}

(복부호는 임의의 조합) 이다.

: 계수의 부호는 (+, +, 0, 0, +, +)이다. 0이 아닌 항만 고려하면 (+, +, +, +)로 부호 변화가 없다. 따라서 양의 근의 최대 개수 ''p'' = 0이다. 즉, 양의 근은 없다.

:

f(-x) = (-x)^5 + (-x)^4 + (-x) + 1 = -x^5 + x^4 - x + 1

:

f(-x)

의 계수 부호는 (-, +, 0, 0, -, +)이다. 0이 아닌 항만 고려하면 (-, +, -, +)로 부호 변화가 (−+) → (+−) → (−+) 와 같이 3회이다. 따라서 음의 근의 최대 개수 ''q'' = 3이다. 데카르트 부호 법칙에 따르면 음의 근의 개수는 3개 또는 1개이다.

: 다항식의 차수는 ''n'' = 5이고, 0은 근이 아니므로, 비실근의 개수는 최소

n - (p + q) = 5 - (0 + 3) = 2

개가 된다.

: 음의 근이 3개일 경우 비실근은 2개이고, 음의 근이 1개일 경우 비실근은 4개이다. (실제로는 음의 근 1개, 비실근 4개)

5. 특수한 경우

데카르트 부호 법칙에서 양의 실근의 최대 개수가 부호 변화 횟수와 같거나 그 횟수에서 짝수만큼 작은 이유는 다항식의 계수가 실수일 때 허근은 항상 켤레로 존재하기 때문이다. 즉, 허근은 $a+bi$ 와 $a-bi$ ( $b \neq 0$ )처럼 쌍으로 나타나므로, 실제 양의 실근의 개수는 부호 변화 횟수보다 2, 4, 6, ... 만큼 작을 수 있다.

따라서 만약 어떤 다항식이 모든 근을 실근으로 갖는다는 것이 알려져 있다면, 즉 허근이 존재하지 않는다면, 데카르트 부호 법칙을 사용하여 양의 실근의 개수를 정확하게 알 수 있다. 부호 변화 횟수가 바로 양의 실근의 개수가 되기 때문이다. 마찬가지로 $p(-x)$ 의 부호 변화 횟수는 음의 실근의 개수와 정확히 일치하게 된다.

또한, 0을 근으로 갖는 경우는 다항식의 인수분해를 통해 그 중복도를 쉽게 파악할 수 있으므로, 모든 근이 실근이라는 조건 하에서는 데카르트 부호 법칙을 이용하여 모든 실근의 부호(양수, 음수, 0)와 개수를 정확히 결정할 수 있다.

6. 일반화

실수 다항식 P가 중복을 포함하여 ''k''개의 양의 실근을 갖는다면, 모든 ''a'' > 0에 대해 함수 ''e''^''ax''''P''(''x'')의 테일러 급수 계열에서 최소 ''k''개의 부호 변화가 나타난다. 충분히 큰 ''a''에 대해서는 정확히 ''k''개의 부호 변화가 나타난다.^[2]^[3]

1970년대에 아스콜드 호반스키는 데카르트 부호 법칙을 일반화한 퓌노미얼 이론을 개발했다.^[4] 부호 법칙은 다항식의 실근 개수가 다항식의 복잡성에 의존하며, 이 복잡성은 다항식의 차수가 아닌 항의 개수에 비례한다고 볼 수 있다. 호반스키는 이러한 관계가 다항식뿐만 아니라 많은 초월 함수의 대수적 결합인 소위 파프 함수에도 적용됨을 보였다.

무한 급수나 다변수 다항식에 응용이 존재한다.

7. 역사

1637년 르네 데카르트가 증명 없이 처음 기술하였다. 이후 1728년 야노시 언드라시 셰그네르(János András Segner^hun)가 처음으로 증명하였고, 1756년에는 다른 방법으로 다시 증명하였다.^[9]

참조

_[1] 학술지 A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs http://dx.doi.org/10[...] 2004-06
_[2] 문서 Recent extensions of Descartes' rule of signs 1918
_[3] 문서 A mapping defined by the Schur–Szegő composition 2010
_[4] 서적 Fewnomials American Mathematical Society
_[5] 학술지
_[6] 학술지 Recent extensions of Descartes' rule of signs 1918-06
_[7] 저널 A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs 2004
_[8] 저널 Multivariate descartes rule of signs and sturmfels’s challenge problem https://archive.org/[...] 1997
_[9] 저널 Another Short Proof of Descartes's Rule of Signs https://archive.org/[...] 2006

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