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로스비 파동

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목차

1. 개요

로스비 파동은 포텐셜 와도의 보존으로 인해 발생하며 코리올리 힘과 압력 경도의 영향을 받는 대규모 파동이다. 대기 로스비 파동은 제트 기류의 사행을 통해 관찰되며, 극 방향 전파 대기 로스비 파동은 열대 지역의 대류 강화로 생성되어 기후 변동성에 영향을 미친다. 해양 로스비 파동은 해양 분지 내에서 수개월에 걸쳐 이동하며, 바트로픽 및 바클리닉 파동으로 분류되며 위성 관측을 통해 확인된다. 또한, 로스비 파동은 금성의 구름 특징이나 천체물리학적 강착 원반에서도 발견되며, 대기 순환 패턴 정체와 관련된 기상 이변의 증폭에 기여할 수 있다. 로스비 파동의 수학적 정의는 조날 흐름 하의 자유 바트로픽 로스비 파의 선형화된 와도 방정식, 분산 관계, 위상 속도 및 군 속도를 통해 설명된다.

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로스비 파동
일반 정보
이름로스비 파동
유형관성파
관련 위치회전하는 유체
특징행성 규모의 파동, 코리올리 효과의 영향, 대기 및 해양에서 관찰됨
특성
원인대규모 유체의 압력 구배와 코리올리 효과의 상호 작용
복원력잠재적 소용돌이도
방향일반적으로 서쪽으로 이동
속도느림 (하루에 몇 도)
영향
대기날씨 패턴에 영향
제트 기류의 위치에 영향
고기압 및 저기압 시스템의 형성에 영향
해양해류에 영향
해수면 온도 분포에 영향
해양 생태계에 영향
발견 및 연구
이름의 유래칼 구스타프 로스비
연구 분야기상학, 해양학
추가 정보
중요성지구 대기와 해양의 역학을 이해하는 데 중요
응용장기적인 날씨 예측
기후 모델링

2. 로스비 파의 종류

로스비 파는 크게 대기 로스비 파와 해양 로스비 파, 그리고 천체물리학적 로스비 파로 나눌 수 있다.

대기 로스비 파는 포텐셜 와도 보존과 코리올리 힘, 압력 경도의 영향을 받아 발생한다.[3] 이는 각운동량 보존과 유사하며, 위도에 따른 코리올리 효과 변화로 인해 발생한다. 지구 대기에서 로스비 파는 주로 제트 기류의 대규모 사행(蛇行)으로 나타나며, 중위도 지역의 일상적인 기상 패턴을 유발한다. 엘니뇨와 같이 열대 지역의 해수면 온도가 높아지면 대기 로스비 파동이 발생하여 저위도와 고위도 기후 간의 여러 통계적 연관성을 설명하며,[8] 성층권 급격 온난화 현상도 그중 하나이다.

해양 로스비 파는 해수면 높이 변화를 일으키지만, 파장이 길어 위성 고도계 등장 이전에는 관측이 어려웠다. 위성 관측으로 그 존재가 확인되었다.[13] 해양 로스비 파는 해양 분지 내의 대규모 파동으로, 해양 표층의 풍응력으로부터 운동량을 얻으며, 풍력과 부력에 의한 조화 진동자의 강제 진동 변동으로 인한 기후 변화를 전달하는 것으로 여겨진다.[12]

로스비 파동 불안정성은 새롭게 형성되는 별 주위와 같은 천체물리학적 강착 원반에서도 발견된다고 생각된다.[16][17]

2. 1. 대기 로스비 파



대기 로스비 파동은 포텐셜 와도 보존과 코리올리 힘, 압력 경도의 영향을 받아 발생한다.[3] 이는 각운동량 보존과 유사하며, 위도에 따른 코리올리 효과 변화로 인해 발생한다.

지구 대기에서 로스비 파동은 주로 제트 기류의 대규모 사행(蛇行)으로 나타난다. 이 사행이 뚜렷해지면 찬 공기나 따뜻한 공기가 분리되어 사이클론과 반사이클론을 형성하며, 이는 중위도 지역의 일상적인 기상 패턴을 유발한다. 이러한 로스비 파동은 북반구 동부 대륙(미국 북동부, 캐나다 동부 등)이 같은 위도의 서유럽보다 추운 이유,[6] 여름철 지중해가 건조한 이유(로드웰-호스킨스 메커니즘)를 부분적으로 설명한다.[7]

엘니뇨와 같이 열대 지역의 해수면 온도가 높아지면 대류가 활발해지고, 이는 북쪽과 동쪽으로 이동하는 대기 로스비 파동을 만든다.

북쪽으로 향하는 로스비 파동은 저위도와 고위도 기후 간의 여러 통계적 연관성을 설명하며,[8] 성층권 급격 온난화 현상도 그중 하나이다. 이러한 파동은 태평양-북아메리카 패턴에서 볼 수 있듯 북반구 변동성의 중요한 부분이다. 남반구에서도 유사한 메커니즘이 작용하여 아문젠해 지역의 변동성을 설명한다.[9] 2011년 네이처 지오사이언스 연구에서는 일반 순환 모델을 통해 중부 열대 태평양 온도 상승으로 발생한 태평양 로스비 파동이 대류를 증가시켜 서남극 엘즈워스 랜드와 메리 버드 랜드의 겨울, 봄철 온난화를 유발하고, 이것이 아문젠해 지역 온난화와 연결됨을 밝혔다.[10]

2. 1. 1. 발생 원리



대기 로스비 파동은 포텐셜 와도의 보존으로 인해 발생하며 코리올리 힘과 압력 경도의 영향을 받는다.[3] 유체가 북반구에서 이동할 때 오른쪽으로, 남반구에서 왼쪽으로 회전하는 현상에 의해 발생한다. 예를 들어, 적도에서 북극으로 이동하는 유체는 동쪽으로 편향되고, 북쪽에서 적도로 이동하는 유체는 서쪽으로 편향된다. 이러한 편향은 코리올리 힘과 상대 와도의 변화를 유발하는 포텐셜 와도의 보존에 의해 발생하며, 이는 역학의 각운동량 보존과 유사하다. 지구를 포함한 행성 대기에서 로스비 파동은 위도에 따른 코리올리 효과의 변화로 인해 발생한다.

로스비 파동은 그 위상 속도로 식별할 수 있으며, 이는 파동 마루로 표시되며 항상 서쪽 성분을 갖는다.[1][4] 그러나 로스비 파동의 집합은 군 속도로 알려진 방향으로 이동하는 것처럼 보일 수 있다. 일반적으로, 더 짧은 파동은 동쪽 군 속도를 갖고, 긴 파동은 서쪽 군 속도를 갖는다.

"바트로픽"과 "바클리닉"이라는 용어는 로스비 파동의 수직 구조를 구별하는 데 사용된다. 바트로픽 로스비 파동은 수직으로 변하지 않으며, 가장 빠른 전파 속도를 갖는다. 반면에 바클리닉 파동 모드는 수직으로 변하며, 초당 몇 센티미터 이하의 속도로 더 느리다.[5]

지구 대기의 로스비 파동은 (보통 4~6개) 제트 기류의 대규모 사행으로 관찰하기 쉽다. 이러한 편차가 매우 두드러지면, 찬 공기나 따뜻한 공기의 덩어리가 분리되어 각각 약한 사이클론과 반사이클론이 되며, 중위도에서 일상적인 기상 패턴의 원인이 된다. 로스비 파동의 작용은 북반구의 동부 대륙 가장자리, 예를 들어 미국 북동부 및 캐나다 동부가 같은 위도에서 서유럽보다 더 추운 이유를 부분적으로 설명한다.[6]

2. 1. 2. 특징

대기 로스비 파동은 포텐셜 와도의 보존으로 인해 발생하며 코리올리 힘과 압력 경도의 영향을 받는다.[3] 자전은 유체가 북반구에서 이동할 때 오른쪽으로, 남반구에서 왼쪽으로 회전하게 한다. 예를 들어, 적도에서 북극으로 이동하는 유체는 동쪽으로 편향되고, 북쪽에서 적도로 이동하는 유체는 서쪽으로 편향된다. 이러한 편향은 코리올리 힘과 상대 와도의 변화를 유발하는 포텐셜 와도의 보존에 의해 발생한다. 이는 역학의 각운동량 보존과 유사하다. 지구를 포함한 행성 대기에서 로스비 파동은 위도에 따른 코리올리 효과의 변화로 인해 발생한다.

지상의 로스비 파동은 그 위상 속도로 식별할 수 있으며, 이는 파동 마루로 표시되며 항상 서쪽 성분을 갖는다.[1][4] 그러나 로스비 파동의 집합은 군 속도로 알려진 방향으로 이동하는 것처럼 보일 수 있다. 일반적으로, 더 짧은 파동은 동쪽 군 속도를 갖고, 긴 파동은 서쪽 군 속도를 갖는다.

"바트로픽"과 "바클리닉"이라는 용어는 로스비 파동의 수직 구조를 구별하는 데 사용된다. 바트로픽 로스비 파동은 수직으로 변하지 않으며, 가장 빠른 전파 속도를 갖는다. 반면에 바클리닉 파동 모드는 수직으로 변한다. 또한 초당 몇 센티미터 이하의 속도로 더 느리다.[5]

로스비 파동에 대한 대부분의 연구는 지구 대기에서 수행되었다. 지구 대기의 로스비 파동은 (보통 4~6개) 제트 기류의 대규모 사행으로 관찰하기 쉽다. 이러한 편차가 매우 두드러지면, 찬 공기나 따뜻한 공기의 덩어리가 분리되어 각각 약한 사이클론과 반사이클론이 되며, 중위도에서 일상적인 기상 패턴의 원인이 된다. 로스비 파동의 작용은 북반구의 동부 대륙 가장자리, 예를 들어 미국 북동부 및 캐나다 동부가 같은 위도에서 서유럽보다 더 추운 이유를 부분적으로 설명하며,[6] 지중해가 여름에 건조한 이유(로드웰-호스킨스 메커니즘)를 설명한다.[7]

2. 1. 3. 영향



대기 로스비 파동은 포텐셜 와도의 보존으로 인해 발생하며 코리올리 힘과 압력 경도의 영향을 받는다.[3] 지구를 포함한 행성 대기에서 로스비 파동은 위도에 따른 코리올리 효과의 변화로 인해 발생한다.

지상의 로스비 파동은 파동 마루로 표시되는 위상 속도로 식별할 수 있으며, 항상 서쪽 성분을 갖는다.[1][4] 반면 로스비 파동의 집합은 군 속도로 알려진 방향으로 이동하는 것처럼 보일 수 있다. 일반적으로 더 짧은 파동은 동쪽 군 속도를, 긴 파동은 서쪽 군 속도를 갖는다.

로스비 파동의 수직 구조는 "바트로픽"과 "바클리닉"이라는 용어로 구별된다. 바트로픽 로스비 파동은 수직으로 변하지 않고 가장 빠른 전파 속도를 갖는 반면, 바클리닉 파동 모드는 수직으로 변하며 초당 몇 센티미터 이하의 속도로 더 느리다.[5]

대부분의 로스비 파동 연구는 지구 대기에서 수행되었다. 지구 대기의 로스비 파동은 (보통 4~6개) 제트 기류의 대규모 사행으로 관찰하기 쉽다. 이러한 편차가 매우 두드러지면 찬 공기나 따뜻한 공기의 덩어리가 분리되어 각각 약한 사이클론과 반사이클론이 되고, 이는 중위도에서 일상적인 기상 패턴의 원인이 된다. 로스비 파동의 작용은 북반구 동부 대륙 가장자리(예: 미국 북동부 및 캐나다 동부)가 같은 위도의 서유럽보다 더 추운 이유[6]와 지중해가 여름에 건조한 이유(로드웰-호스킨스 메커니즘)를 부분적으로 설명한다.[7]

엘니뇨 현상과 같이 열대 지역의 매우 따뜻한 해수면 위에서는 대류(열전달)가 강화된다. 이러한 열대성 강제력은 북쪽과 동쪽으로 이동하는 대기 로스비 파동을 생성한다.

북쪽으로 전파되는 로스비 파동은 저위도와 고위도 기후 사이에서 관측된 많은 통계적 연관성을 설명한다.[8] 성층권 급격 온난화는 이러한 현상 중 하나이다. 북쪽으로 전파되는 로스비 파동은 태평양-북아메리카 패턴으로 표현되는 바와 같이 북반구 변동성의 중요하고 명확한 부분이다. 유사한 메커니즘이 남반구에도 적용되어 아문젠해 지역의 강한 변동성을 부분적으로 설명한다.[9] 2011년 네이처 지오사이언스의 한 연구는 일반 순환 모델을 사용하여 증가하는 중부 열대 태평양 온도로 인해 생성된 태평양 로스비 파동이 대류 증가를 통해 서남극 엘즈워스 랜드와 메리 버드 랜드의 겨울 및 봄철 대륙 온난화를 유발하여 아문젠해 지역의 온난화와 연결됨을 밝혔다.[10]

2. 1. 4. 극 방향 전파 대기 로스비 파



열대 지역의 매우 따뜻한 해수면 위에서는 대류가 강화되는데, 이는 엘니뇨 현상 동안과 같다. 이러한 열대성 강제력은 북쪽과 동쪽으로 이동하는 대기 로스비 파동을 생성한다.

북쪽으로 전파되는 로스비 파동은 저위도와 고위도 기후 사이에서 관측된 많은 통계적 연관성을 설명한다.[8] 이러한 현상 중 하나는 성층권 급격 온난화이다. 북쪽으로 전파되는 로스비 파동은 태평양-북아메리카 패턴으로 표현되는 바와 같이 북반구 변동성의 중요하고 명확한 부분이다. 유사한 메커니즘은 남반구에도 적용되며 아문젠해 지역의 강한 변동성을 부분적으로 설명한다.[9] 2011년, 일반 순환 모델을 사용한 ''네이처 지오사이언스'' 연구는 증가하는 중부 열대 태평양 온도로 인해 생성된 태평양 로스비 파동이 대류 증가를 통해 서남극의 엘즈워스 랜드와 메리 버드 랜드의 겨울 및 봄철 대륙 온난화를 유발하여 아문젠해 지역의 온난화와 연결되어 있음을 밝혔다.[10]

2. 2. 해양 로스비 파

해양 로스비 파는 해수면 높이 변화를 일으키지만, 파장이 길어 위성 고도계 등장 이전에는 관측이 어려웠다. 위성 관측으로 그 존재가 확인되었다.[13] 베타 평면 효과로 이동 시간은 위도에 따라 증가한다. 태평양 같은 분지에서 적도를 따라 이동하는 파동은 수개월이 걸리지만, 극에 가까울수록 수십 년이 걸릴 수 있다.[14] 로스비 파는 목성의 위성 유로파 해양을 가열하는 중요 메커니즘으로 제안되었다.[15]

2. 2. 1. 특징

해양 로스비 파동은 해양 분지 내의 대규모 파동이다. 대기 로스비 파동이 수백 킬로미터에 달하는 것에 비해 진폭이 낮아 표면에서는 센티미터 단위, 수온약층에서는 미터 단위이다. 해양 분지를 가로지르는 데 수개월이 걸릴 수 있다. 해양 표층의 풍응력으로부터 운동량을 얻으며, 풍력과 부력에 의한 조화 진동자의 강제 진동 변동으로 인한 기후 변화를 전달하는 것으로 여겨진다. 적도 밖의 로스비 파동은 동쪽으로 전파되는 켈빈파를 통해 해류에 맞서 용승하는 것으로 생각되며, 반면 적도 켈빈파는 서안 경계류에 대한 로스비 파동의 반사로부터 일부 에너지를 얻는 것으로 여겨진다.[12]

바트로픽 파동과 바클리닉 파동 모두 해수면 높이의 변화를 일으키지만, 파동의 길이가 길어 위성 고도계가 등장하기 전까지는 감지하기 어려웠다. 위성 관측을 통해 해양 로스비 파동의 존재가 확인되었다.[13]

바클리닉 파동은 또한 종종 수십 미터에 달하는 해양 수온약층의 상당한 변위를 생성한다. 위성 관측은 특히 저위도 및 중위도에서 모든 해양 분지를 가로지르는 로스비 파동의 웅장한 진행을 보여주었다. 베타 평면 효과로 인해 로스비 파동의 이동 시간은 위도에 따라 증가한다. 태평양과 같은 분지에서 적도를 따라 이동하는 파동은 수개월이 걸릴 수 있지만, 극에 가까울수록 수십 년이 걸릴 수 있다.[14]

로스비 파동은 목성의 위성인 유로파의 해양을 가열하는 중요한 메커니즘으로 제안되었다.[15]

2. 2. 2. 역할

해양 로스비 파동은 해양 분지 내의 대규모 파동이다. 대기 로스비 파동에 비해 진폭이 낮아 표면에서는 센티미터 단위, 수온약층에서는 미터 단위로 나타난다. 해양 분지를 가로지르는 데 수개월이 걸릴 수 있다. 해양 표층의 풍응력으로부터 운동량을 얻으며, 풍력과 부력에 의한 조화 진동자의 강제 진동 변동으로 인한 기후 변화를 전달하는 것으로 여겨진다.[12] 적도 밖의 로스비 파동은 동쪽으로 전파되는 켈빈파를 통해 해류에 맞서 용승하는 것으로 생각되며, 반면 적도 켈빈파는 서안 경계류에 대한 로스비 파동의 반사로부터 일부 에너지를 얻는 것으로 여겨진다.[12]

바트로픽 파동과 바클리닉 파동 모두 해수면 높이의 변화를 일으키지만, 파동의 길이가 길어 위성 고도계가 등장하기 전까지는 감지하기 어려웠다. 위성 관측을 통해 해양 로스비 파동의 존재가 확인되었다.[13]

바클리닉 파동은 종종 수십 미터에 달하는 해양 수온약층의 상당한 변위를 생성한다. 위성 관측은 특히 저위도 및 중위도에서 모든 해양 분지를 가로지르는 로스비 파동의 진행을 보여주었다. 베타 평면 효과로 인해 로스비 파동의 이동 시간은 위도에 따라 증가한다. 태평양과 같은 분지에서 적도를 따라 이동하는 파동은 수개월이 걸릴 수 있지만, 극에 가까울수록 수십 년이 걸릴 수 있다.[14]

로스비 파동은 목성의 위성인 유로파의 해양을 가열하는 중요한 메커니즘으로 제안되었다.[15]

2. 3. 천체물리학적 로스비 파

로스비 파동 불안정성은 새롭게 형성되는 별 주위와 같은 천체물리학적 강착 원반에서도 발견된다고 생각된다.[16][17]

3. 로스비 파의 증폭

로스비 파가 증폭되는 특정 상황에서, 행성 규모의 파동은 "준공명" 현상으로 인해 지형, 열원, 열 싱크 등에 이례적으로 강하게 반응할 수 있다.[18]

3. 1. 준공명 증폭

대기 순환 패턴의 정체와 관련된 북반구의 여러 지역 기상 이변이 '준공명 증폭'에 의해 발생했을 수 있다는 주장이 제기되었다. 그 예로는 2013년 유럽 홍수, 2012년 중국 홍수, 2010년 러시아 열파, 2010년 파키스탄 홍수, 2003년 유럽 열파가 있다. 지구 온난화를 고려하더라도, 2003년 열파는 그러한 메커니즘 없이는 발생하기 어려웠을 것이다.

일반적으로 자유롭게 이동하는 종관 규모 로스비 파와 준정상파 행성 규모 로스비 파는 중위도에 존재하며, 상호 작용은 약하게 일어난다. 블라디미르 페투코프, 슈테판 라암스토르프, 슈테판 페트리, 한스 요아힘 쉘른후버가 제안한 가설에 따르면, 특정 상황에서 이러한 파동이 상호 작용하여 정적인 패턴을 생성한다. 그들이 제안하기를, 이 현상이 발생하려면 두 유형의 파동의 조날 (동서) 파수가 6–8 범위 내에 있어야 하고, 종관파는 대류권 내에 정지되어야 한다 (에너지가 성층권으로 빠져나가지 않도록). 또한 중위도 도파관은 종관파의 준정상파 성분을 가두어야 한다. 이 경우, 행성 규모의 파동은 "준공명" 때문에 지형 및 열원과 열 싱크에 이례적으로 강하게 반응할 수 있다.[18]

마이클 E. 만과 라암스토르프 등의 2017년 연구는 인위적인 북극 증폭 현상을 행성파 공명 및 이상 기후 현상과 연결시켰다.[19]

3. 2. 기후변화와의 연관성

대기 순환 패턴의 정체와 관련된 북반구의 여러 지역 기상 이변이 '준공명 증폭'에 의해 발생했을 수 있다는 주장이 제기되었다. 그 예로는 2013년 유럽 홍수, 2012년 중국 홍수, 2010년 러시아 열파, 2010년 파키스탄 홍수, 2003년 유럽 열파가 있다. 지구 온난화를 고려하더라도, 2003년 열파는 그러한 메커니즘 없이는 발생하기 어려웠을 것이다.

일반적으로 자유롭게 이동하는 종관 규모 로스비 파와 준정상파 행성 규모 로스비 파는 중위도에 존재하며, 상호 작용은 약하게 일어난다. 블라디미르 페투코프, 슈테판 라암스토르프, 슈테판 페트리, 한스 요아힘 쉘른후버가 제안한 가설에 따르면, 특정 상황에서 이러한 파동이 상호 작용하여 정적인 패턴을 생성한다. 그들이 제안하기를, 이 현상이 발생하려면 두 유형의 파동의 조날 (동서) 파수가 6–8 범위 내에 있어야 하고, 종관파는 대류권 내에 정지되어야 한다 (에너지가 성층권으로 빠져나가지 않도록). 또한 중위도 도파관은 종관파의 준정상파 성분을 가두어야 한다. 이 경우, 행성 규모의 파동은 "준공명" 때문에 지형 및 열원과 열 싱크에 이례적으로 강하게 반응할 수 있다.[18]

마이클 E. 만과 라암스토르프 등의 2017년 연구는 인위적인 북극 증폭 현상을 행성파 공명 및 이상 기후 현상과 연결시켰다.[19]

4. 로스비 파의 수학적 정의

로스비 파는 로스비 매개변수(β)를 사용하여 수학적으로 정의할 수 있다.


  • '''로스비 매개변수(β)'''는 경도 방향을 따라 코리올리 진동수의 변화율로 정의된다.

:\beta = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac 1 a \frac d {d\varphi} (2 \omega \sin\varphi) = \frac{2\omega \cos\varphi} a,

: 여기서 \varphi는 위도, ''ω''는 지구 자전의 각속도, ''a''는 평균 지구 반지름이다.

로스비 파동은 \beta = 0이면 존재하지 않으며, 행성 자전의 접선 속도 기울기(행성 와도)에서 기인한다. "원통" 행성에는 로스비 파동이 없다. 지구를 포함한 구형 행성의 적도에서는 f = 0임에도 불구하고 \beta > 0이기 때문에 로스비 파동이 존재하는데, 이를 적도 로스비파라고 한다.

4. 1. 조날 흐름 하의 자유 바트로픽 로스비 파 (선형화된 와도 방정식)

시간과 공간에서 일정하다고 간주되는 조간 평균 흐름 ''U''가 섭동될 수 있다고 가정한다. 전체 수평 바람장 \vec{u} = \langle u, v\rangle에서 ''u''와 ''v''는 각각 동서 방향(x) 및 남북 방향(y)의 바람 성분이다. 전체 바람장은 평균 흐름 ''U''에 작은 섭동 ''u′''와 ''v′''을 더한 것으로 나타낼 수 있다.

: u = U + u'(t,x,y)\!

: v = v'(t,x,y)\!

섭동은 평균 조간 흐름보다 훨씬 작다고 가정한다. ( U \gg u',v'\!)

4. 1. 1. 분산 관계

유선 함수 \psi로 표현되는 상대 와도 \eta와 섭동 u' 및 v'는 다음과 같이 표현할 수 있다(발산이 없는 흐름, 즉 유선 함수가 흐름을 완전히 설명하는 경우를 가정).

:

\begin{align}

u' & = \frac{\partial \psi}{\partial y} \\[5pt]

v' & = -\frac{\partial \psi}{\partial x} \\[5pt]

\eta & = \nabla \times (u' \mathbf{\hat{\boldsymbol{\imath}}} + v' \mathbf{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}) = -\nabla^2 \psi

\end{align}



섭동 전에 상대 와도가 없는 공기 덩어리(균일한 ''U''는 와도가 없음)를 고려하지만, 위도에 대한 함수로서 행성 와도 ''f''를 갖는 경우, 섭동은 위도의 약간의 변화를 유발하므로, 포텐셜 와도 보존을 위해 섭동된 상대 와도는 변화해야 한다. 또한, ''U'' >> ''u'''는 섭동 흐름이 상대 와도를 이송하지 않도록 한다.

:\frac{d (\eta + f) }{dt} = 0 = \frac{\partial \eta}{\partial t} + U \frac{\partial \eta}{\partial x} + \beta v'

여기서 \beta = \frac{\partial f}{\partial y} 이다. 유선 함수의 정의를 대입하면 다음을 얻는다.

: 0 = \frac{\partial \nabla^2 \psi}{\partial t} + U \frac{\partial \nabla^2 \psi}{\partial x} + \beta \frac{\partial \psi}{\partial x}

미정 계수법을 사용하여, 각각 조간 및 자오선 파수 ''k''와 ''ℓ'', 그리고 진동수 \omega를 갖는 진행파 해를 고려할 수 있다.

:\psi = \psi_0 e^{i(kx+\ell y-\omega t)}\!

이것은 다음 분산 관계를 생성한다.

: \omega = Uk - \beta \frac k {k^2+\ell^2}

로스비 파의 조간(''x'' 방향) 위상 속도와 군 속도는 다음과 같다.

:

\begin{align}

c & \equiv \frac \omega k = U - \frac \beta {k^2+\ell^2}, \\[5pt]

c_g & \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}\ = U - \frac{\beta (\ell^2-k^2)}{(k^2+\ell^2)^2},

\end{align}



여기서 ''c''는 위상 속도, ''c''''g''는 군 속도, ''U''는 평균 서풍 흐름, \beta는 로스비 매개변수, ''k''는 조간 파수, ''ℓ''은 자오선 파수이다. 로스비 파의 조간 위상 속도는 항상 평균 흐름 ''U''에 대해 서쪽(동쪽에서 서쪽으로 이동)이지만, 로스비 파의 조간 군 속도는 파수에 따라 동쪽 또는 서쪽이 될 수 있다.

4. 1. 2. 위상 속도 및 군 속도

유선 함수 (\psi)로 표현되는 상대 와도 \eta와 섭동 u' 및 v'는 다음과 같이 표현할 수 있다(발산이 없는 흐름, 즉 유선 함수가 흐름을 완전히 설명하는 경우를 가정).

:

\begin{align}

u' & = \frac{\partial \psi}{\partial y} \\[5pt]

v' & = -\frac{\partial \psi}{\partial x} \\[5pt]

\eta & = \nabla \times (u' \mathbf{\hat{\boldsymbol{\imath}}} + v' \mathbf{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}) = -\nabla^2 \psi

\end{align}



포텐셜 와도를 보존하면, 섭동된 상대 와도는 다음과 같이 변화해야 한다.

:\frac{d (\eta + f) }{dt} = 0 = \frac{\partial \eta}{\partial t} + U \frac{\partial \eta}{\partial x} + \beta v'

여기서 \beta = \frac{\partial f}{\partial y} 이다. 유선 함수의 정의를 대입하면 다음을 얻는다.

: 0 = \frac{\partial \nabla^2 \psi}{\partial t} + U \frac{\partial \nabla^2 \psi}{\partial x} + \beta \frac{\partial \psi}{\partial x}

미정 계수법을 사용하여, 조간 및 자오선 파수 ''k''와 ''ℓ'', 그리고 진동수 \omega를 갖는 진행파 해를 고려할 수 있다.

:\psi = \psi_0 e^{i(kx+\ell y-\omega t)}\!

이것은 다음 분산 관계를 생성한다.

: \omega = Uk - \beta \frac k {k^2+\ell^2}

로스비 파의 조간(''x'' 방향) 위상 속도와 군 속도는 다음과 같다.

:

\begin{align}

c & \equiv \frac \omega k = U - \frac \beta {k^2+\ell^2}, \\[5pt]

c_g & \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}\ = U - \frac{\beta (\ell^2-k^2)}{(k^2+\ell^2)^2},

\end{align}



여기서 ''c''는 위상 속도, ''c''''g''는 군 속도, ''U''는 평균 서풍 흐름, \beta는 로스비 매개변수, ''k''는 조간 파수, ''ℓ''은 자오선 파수이다. 로스비 파의 조간 위상 속도는 항상 평균 흐름 ''U''에 대해 서쪽(동쪽에서 서쪽으로 이동)이지만, 로스비 파의 조간 군 속도는 파수에 따라 동쪽 또는 서쪽이 될 수 있다.

4. 2. 로스비 매개변수

로스비 매개변수는 경도 방향을 따라 코리올리 진동수의 변화율로 정의된다.

:\beta = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac 1 a \frac d {d\varphi} (2 \omega \sin\varphi) = \frac{2\omega \cos\varphi} a,

여기서 \varphi는 위도, ''ω''는 지구 자전의 각속도, ''a''는 평균 지구 반지름이다.

\beta = 0이면 로스비 파동이 존재하지 않는다. 로스비 파동은 행성 자전의 접선 속도 기울기(행성 와도)에서 기인한다. "원통" 행성에는 로스비 파동이 없다. 또한 지구를 포함한 구형 행성의 적도에서는 f = 0임에도 불구하고 \beta > 0이기 때문에 로스비 파동이 존재한다. 이것을 적도 로스비파라고 한다.

참조

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