리하르트 브라우어

1. 개요

리하르트 브라우어는 1901년 베를린에서 태어난 독일계 미국인 수학자이다. 그는 베를린 대학교에서 박사 학위를 받았으며, 나치 정권의 박해를 피해 미국으로 망명하여 프린스턴 고등연구소, 토론토 대학교, 미시간 대학교, 하버드 대학교 등에서 교수로 재직했다. 브라우어는 군 표현론, 특히 모듈러 표현론 분야의 선구자로서, 브라우어 유도 지표 정리, 브라우어-파울러 정리, 브라우어-스즈키 정리 등 다양한 정리를 증명하고, 브라우어 높이 0 추측과 브라우어 k(B) 추측과 같은 중요한 문제들을 제시했다. 또한 초복소수 연구에도 기여했으며, 1970년에는 국가 과학 훈장을 수여받았다.

2. 생애

1901년 베를린의 유대인 가정에서 태어났다. 1919년 2월 베를린 공과대학교에 입학하였고, 곧 베를린 훔볼트 대학교로 전학하여 1926년 3월 16일에 박사 학위를 받았다. 1925년 9월 17일에 일제 카르거(Ilse Karger^독일어)와 결혼하여 두 아들을 두었는데, 훗날 모두 수학자가 되었다.

1933년 나치당이 독일의 정권을 잡고 반유대주의 정책을 펴자, 유대인이었던 브라우어는 미국으로 망명하였다. 1934년 미국 프린스턴 고등연구소에서 강의하였고, 이후 에미 뇌터를 통해 캐나다 토론토 대학교 교수가 되었다. 1948년 미국 미시간 대학교로 옮겼고 1952년 다시 하버드 대학교로 자리를 옮겼다. 1971년 은퇴하였고, 1977년 사망하였다.

2.1. 초기 생애와 교육

1901년 베를린의 유대인 가정에서 태어났다. 7년 연상의 형 알프레트 브라우어(Alfred Brauer^독일어, 1894~1985) 역시 수학자였다. 1919년 2월에 베를린 공과대학교에 입학하였고, 곧 베를린 훔볼트 대학교로 전학하였다. 1926년 3월 16일에 이사 슈어의 지도 아래 박사 학위를 받았다. 이사 슈어는 세미나를 열고 1921년에 알프레트와 리하르트가 함께 연구하고 결과를 발표한 문제를 제기했다. 이 문제는 하인츠 호프도 동시에 풀었다. 리하르트는 슈어 밑에서 논문을 썼으며, 실수 직교(회전) 군의 기약 연속 유한 차원 군 표현에 대한 대수적 접근법을 제시했다.

1925년 9월 17일에 수학자 일제 카르거(Ilse Karger^독일어)와 결혼하였고, 두 아들을 두었다. 두 아들 게오르그 울리히(1927년생)와 프레드 귄터(1932년생) 모두 훗날 수학자가 되었다.

2.2. 결혼과 가족

1925년 9월 17일, 리하르트 브라우어는 베를린 대학교에서 함께 수학을 공부한 일제 카르거(Ilse Karger^독일어)와 결혼했다. 슬하에 아들 게오르그 울리히(Georg Ulrich, 1927년생)와 프레드 귄터(Fred Günther, 1932년생)를 두었으며, 이들은 모두 훗날 수학자가 되었다.

2.3. 망명과 북미에서의 활동

1933년 나치당이 독일의 정권을 잡고 반유대주의 정책을 펴자, 유대인이었던 브라우어는 미국으로 망명하였다. 1934년 헤르만 바일의 초청으로 프린스턴 고등연구소에서 그를 도왔다. 에미 뇌터의 주선으로 토론토 대학교에서 교직을 맡았다. 1937년 대학원생 세실 J. 네스빗과 함께 모듈러 표현론을 개발했다. 로버트 스타인버그, 스티븐 아서 제닝스, 랠프 고든 스탠턴도 토론토에서 브라우어의 제자였다. 브라우어는 나카야마 타다시와 함께 대수의 표현에 대한 국제 연구를 수행하기도 했다.

1948년 미시간 대학교로 이직하여 로버트 M. 스랄과 함께 추상대수학 프로그램에 기여했다. 1952년에는 하버드 대학교 교수가 되었고 1971년에 은퇴했다.

2.4. 은퇴와 죽음

1971년에 은퇴하였고, 1977년에 사망하였다.

3. 학문적 업적

몇몇 정리들은 그의 이름을 따서 명명되었는데, 여기에는 브라우어의 유도 지표 정리가 포함된다. 이 정리는 정수론과 유한군론에 모두 적용되며, 이 정리의 따름정리인 브라우어의 지표 특성은 군 지표 이론의 핵심이다. 1975년에는 "분해 차수"라는 개념을 도입했다.

에두아르트 슈투디는 1898년 클라인 백과사전을 위해 초복소수에 관한 논문을 썼고, 1908년 앙리 카르탕이 프랑스어판으로 확장했다. 1930년대에 이 논문을 업데이트할 필요성이 제기되어 브라우어가 이 주제에 대한 글을 의뢰받았다. 1936년 토론토에서 원고를 준비하여 출판이 승인되었으나, 정치와 전쟁으로 인해 지연되었다. 브라우어는 1940년대, 1950년대, 1960년대에도 원고를 보관했고, 1979년 오카야마 대학교에서 일본에서 출판했다. 그의 논문 "Algebra der hyperkomplexen Zahlensysteme (Algebren)"은 현대 추상 대수학 교과서처럼 읽힌다.

19세기 초, 복소수는 수학자들에게 일반적인 도구가 되었다. 유사한 "초복소수"를 n차원 공간의 점을 사용하여 정의할 수 있는지에 대한 의문이 제기되었다. 실수 체계의 확장은 몇 가지 일반적인 공리 (바이어슈트라스 1863)의 양보를 필요로 한다. 초복소수에서 계산 규칙의 선택은 약간의 자유를 허용하지만, 결과적으로 얻어진 수 체계는 구조적 속성과 분류와 관련하여 고유한 이론을 허용하며, 다른 분야와 밀접한 관련을 맺어 응용 가능성을 가진다.

1929년 쾨니히스베르크에 있던 브라우어는 수학회지에 "Über Systeme hyperkomplexer Zahlen"라는 논문을 발표했는데, 이 논문은 주로 정역 (Nullteilerfrei systeme)과 체론에 관한 것이었다.

1970년에 그는 국가 과학 훈장을 수여받았다.

3.1. 군 표현론과 브라우어 군

브라우어의 유도 지표 정리는 정수론과 유한군론에 모두 적용되며, 이 정리의 따름정리인 브라우어의 지표 특성은 군 지표 이론의 핵심이다. 1956년에 발표된 브라우어-파울러 정리는 이후 유한 단순군의 분류에 중요한 동기를 부여했는데, 이는 어떤 대합(order 2인 원소)의 중앙화 부분군이 특정한 구조를 가지는 유한 단순군은 유한 개밖에 없을 것임을 암시했기 때문이다.

브라우어는 모듈러 표현론을 적용하여, 특히 그의 세 가지 주요 정리를 통해, 군 지표에 대한 미묘한 정보를 얻었다. 이러한 방법들은 낮은 랭크의 쉴로 2-부분군을 갖는 유한 단순군의 분류에 특히 유용했다. 브라우어-스즈키 정리는 유한 단순군이 일반화된 사원수 쉴로 2-부분군을 가질 수 없음을 보였고, 알퍼린-브라우어-고렌스타인 정리는 꼬인 곱 또는 준이면체 쉴로 2-부분군을 갖는 유한군을 분류했다. 브라우어가 개발한 방법들은 또한 다른 사람들이 분류 프로그램에 기여하는 데 중요한 역할을 했다. 예를 들어, 고렌스타인-월터 정리는 이산면체 쉴로 2-부분군을 갖는 유한군을 분류했고, 글라우버만의 Z* 정리도 마찬가지였다.

블록의 이론은, 브라우어가 주 블록이 p 차수의 결함군을 갖는 경우에 처음으로 연구했고, 나중에 E. C. 데이드에 의해 일반적인 형태로 완성되었는데, 이는 또한 군론에 여러 응용을 가졌다. 브라우어 트리는 순환 결함군을 갖는 블록과 관련된 조합론적 객체로, 블록의 구조에 대한 많은 정보를 인코딩한다. 브라우어는 모듈러 표현론에 대한 수많은 영향력 있는 문제들을 공식화했는데, 그중에는 브라우어 높이 0 추측과 k(B) 추측이 있다.

3.2. 모듈러 표현론

브라우어의 유도 지표 정리는 정수론과 유한군론에 모두 적용되며, 이 정리의 따름정리인 브라우어의 지표 특성은 군 지표 이론의 핵심이다.

1956년에 발표된 브라우어-파울러 정리는 이후 유한 단순군의 분류에 중요한 동기를 부여했는데, 이는 어떤 대합(order 2인 원소)의 중앙화 부분군이 특정한 구조를 가지는 유한 단순군은 유한 개밖에 없을 것임을 암시했기 때문이다.

브라우어는 모듈러 표현론을 적용하여, 특히 그의 세 가지 주요 정리를 통해, 군 지표에 대한 미묘한 정보를 얻었다. 이러한 방법들은 낮은 랭크의 쉴로 2-부분군을 갖는 유한 단순군의 분류에 특히 유용했다. 브라우어-스즈키 정리는 유한 단순군이 일반화된 사원수 쉴로 2-부분군을 가질 수 없음을 보였고, 알퍼린-브라우어-고렌스타인 정리는 꼬인 곱 또는 준이면체 쉴로 2-부분군을 갖는 유한군을 분류했다. 브라우어가 개발한 방법들은 또한 다른 사람들이 분류 프로그램에 기여하는 데 중요한 역할을 했다. 예를 들어, 고렌스타인-월터 정리는 이산면체 쉴로 2-부분군을 갖는 유한군을 분류했고, 글라우버만의 Z* 정리도 마찬가지였다. 브라우어가 주 블록이 p 차수의 결함군을 갖는 경우에 처음으로 연구했고, 나중에 E. C. 데이드에 의해 일반적인 형태로 완성된 블록 이론은 군론에 여러 응용을 가졌다. 예를 들어, 작은 차원에서 복소수 위에서 정의된 행렬의 유한군에 적용되었다. 브라우어 트리는 순환 결함군을 갖는 블록과 관련된 조합론적 객체로, 블록의 구조에 대한 많은 정보를 담고 있다.

브라우어는 모듈러 표현론에 대한 수많은 영향력 있는 문제들을 공식화했는데, 그중에는 브라우어 높이 0 추측과 k(B) 추측이 있다.

3.3. 초복소수 연구

에두아르트 슈투디는 1898년 클라인 백과사전을 위해 초복소수에 관한 논문을 썼는데, 이 논문은 1908년 앙리 카르탕에 의해 프랑스어판으로 확장되었다. 1930년대에 슈투디의 논문을 업데이트해야 할 필요성이 커져 브라우어는 이 주제에 대한 글을 써달라는 요청을 받았다. 브라우어가 1936년 토론토에서 원고를 준비했을 때 출판이 승인되었지만, 정치와 전쟁이 개입되었다. 그럼에도 브라우어는 1940년대, 1950년대, 1960년대에도 원고를 보관했고, 1979년 오카야마 대학교에서 일본에서 출판했다. 그의 사후에 그의 수집된 논문 제1권의 논문 22번으로도 출판되었다. 그의 제목은 "Algebra der hyperkomplexen Zahlensysteme (Algebren)"이었다. 탐구적인 슈투디와 카르탕의 논문과는 달리, 브라우어의 논문은 보편적인 내용을 담은 현대 추상 대수학 교과서처럼 읽힌다.

19세기 초, 평면상의 수 쌍 또는 점을 이용한 계산을 통해 도입된 일반적인 복소수는 수학자들에게 일반적인 도구가 되었다. 자연스럽게 유사한 "초복소수"를 n차원 공간의 점을 사용하여 정의할 수 있는지에 대한 의문이 제기되었다. 결과적으로, 실수 체계의 이러한 확장은 몇 가지 일반적인 공리 (바이어슈트라스 1863)의 양보를 필요로 한다. 초복소수에서 피할 수 없는 계산 규칙의 선택은 자연스럽게 약간의 선택을 허용한다. 그러나 어떤 경우에도 결과적으로 얻어진 수 체계는 구조적 속성과 분류와 관련하여 고유한 이론을 허용한다. 더 나아가, 이러한 이론들이 수학의 다른 분야와 밀접한 관련을 맺어 그들의 응용 가능성을 부여하기를 바란다.

1929년 쾨니히스베르크에 있던 브라우어는 수학회지에 "Über Systeme hyperkomplexer Zahlen"라는 논문을 발표했는데, 이 논문은 주로 정역 (Nullteilerfrei systeme)과 그가 나중에 토론토에서 사용한 체론에 관한 것이었다.