리 대수 값 미분 형식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

리 대수 값 미분 형식은 매끄러운 다양체 M과 유한 차원 실수 리 대수 g에 대해 정의되는 미분 형식의 일종이다. 이 형식은 g 값 미분 형식, L∞-대수 값 1차 미분 형식 등으로 분류되며, 리 대수 준동형사상, 리 괄호, 외적 등의 연산을 통해 다른 형식으로 변환될 수 있다. 특히, 리 괄호는 g 값 미분 형식들의 실수 등급 대수를 정의하며, 외적은 리 대수 값을 갖는 미분 형식의 쌍에 리 괄호를 적용하여 새로운 형식을 생성한다. 또한, 보조 다발을 사용하여 정의되기도 한다.

리 대수 값 미분 형식

📚 더 읽어볼만한 페이지

미분 형식 - 스토크스의 정리
스토크스의 정리는 유향 다양체의 적분과 미분 형식의 외미분 사이의 관계를 나타내며, 켈빈-스토크스 정리, 그린 정리, 발산 정리를 포함하여 다양한 분야에 응용된다.
미분 형식 - 부피 형식
부피 형식은 다양체의 방향 결정, 측도 정의, 벡터장 발산 계산에 사용되는 미분 형식의 일종으로, 유향 다양체에서는 밀도와 관련되며, 리 군, 심플렉틱 다양체, 준-리만 다양체 등에서 자연스럽게 정의된다.
리 대수 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
리 대수 - 아핀 리 대수
아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특수한 경우로, 유한 차원 단순 리 대수에 대응하는 루프 대수의 중심 확장으로 구성되며, 딘킨 도표를 통해 분류되고, 끈 이론과 2차원 등각장론 등 다양한 분야에 응용된다.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. L∞-대수 값의 1차 미분 형식
3. 연산
4. 보조 다발에서의 형식 (Forms with values in an adjoint bundle)

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 과 유한 차원 실수 리 대수 $\mathfrak g$ 가 주어졌을 때, $\mathfrak g$ 값 미분 형식은 $M\times\mathfrak g\twoheadrightarrow M$ 으로 정의되는 자명한 벡터 다발의 벡터 값 미분 형식이다. 이는 다음과 같이 표현된다.

: $\alpha\in\Gamma\left(M;\mathfrak g\otimes_{\mathbb R}\bigvee^\bullet\mathrm T^*M\right)$

여기서 $\mathfrak{g}$ 는 리 대수, $T^*M$ 은 $M$ 의 여접다발, $\wedge^k$ 는 $k$ 차 외대수를 나타낸다. 다양체 $M$ 위의 리 대수 값 미분 $k$ -형식은 $(\mathfrak{g} \times M) \otimes \wedge^k T^*M$ 번들의 매끄러운 단면이다. 이는 일반적인 미분 형식을 리 대수 값으로 확장한 개념이다.

2.1. L∞-대수 값의 1차 미분 형식

1차 미분 형식은 L∞-대수로 일반화될 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수와 베유 대수를 통해 정의된다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 $M$
* 유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수 $\mathfrak g$ . 이는 코쥘 쌍대성에 따라 가환 미분 등급 대수 $\operatorname{CE}(\mathfrak g)$ 로 여겨질 수 있다.

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.

* $M$ 위의 미분 형식들의 공간은 가환 미분 등급 대수 $\Omega(M)$ 를 이룬다.
* $\mathfrak g$ 의 베유 대수 $\operatorname W(\mathfrak g)$ 역시 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

그렇다면, $M$ 위의 $\mathfrak g$ 값의 미분 형식은 미분 등급 대수의 준동형

: $\alpha \colon \operatorname W(\mathfrak g) \to \Omega(M)$

이다.

만약 $\mathfrak g$ 가 리 대수일 경우 (즉, $\mathfrak g$ 의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로 $\operatorname{CE}(\mathfrak g)$ 의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는 $\mathfrak g$ 값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다.

리 대수 $\mathfrak g$ 의 기저가 $(t_i)_{i\in I}$ 라고 하고, 그 베유 대수 $(\operatorname W(\mathfrak g),\mathrm d)$ 의 등급 1의 생성원이 $(t^i)_{i\in I}$ , 등급 2의 생성원이 $(\delta t^i)_{i\in I}$ 라고 하자. 즉, 다음과 같다.

: $\delta \mathrm d_{\operatorname{CE}(\mathfrak g)} + \mathrm d_{\operatorname{CE}(\mathfrak g)} \delta = 0$
: $\delta^2 = 0$
: $\mathrm d_{\operatorname{CE}}t^i(t_j,t_k) = -\frac12 t^i([t_j,t_k])$

그렇다면, 준동형

: $\phi\colon\operatorname W(\mathfrak g)\to\Omega(M)$

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* $\mathfrak g$ 값의 1차 미분 형식 $\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i) \in \Omega^1(M;\mathfrak g)$
* $\mathfrak g$ 값의 2차 미분 형식 $\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i) \in \Omega^2(M;\mathfrak g)$

그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.

: $\begin{aligned}\mathrm d\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)& = \mathrm d\sum_{i\in I}t_i\left(\phi(\delta t^i)+\phi(\mathrm d_{\operatorname{CE}}t^i)\right) \\&= \sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i) -\frac12\sum_{j,k\in I}[t_j,t_k]\phi(t^j)\wedge\phi(t^k) \\&=\sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i)- \left[\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)\wedge\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)\right]\end{aligned}$

즉, 이는 임의의 $\mathfrak g$ 값의 1차 미분 형식 $\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)$ 만으로 완전히 결정된다.

3. 연산

리 대수 값 미분 형식에는 다음과 같은 연산들이 정의된다.

* 리 괄호: 매끄러운 다양체 $M$ 위의 실수 리 대수 $\mathfrak g$ 값의 미분 형식들에 대해 정의되는 연산이다.
* 준동형: 실수 리 대수의 준동형 $\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h$ 가 주어졌을 때, $\mathfrak g$ 값 미분 형식을 $\mathfrak h$ 값 미분 형식으로 변환하는 연산이다.
* 외적: 일반적인 실수 값 미분 형식의 외적과 유사하게 정의되지만, 리 대수의 리 괄호를 사용하여 정의된다.

이 연산들은 하위 섹션에서 더 자세히 설명된다.

3.1. 리 괄호

매끄러운 다양체 $M$ 위의, 실수 리 대수 $\mathfrak g$ 값의, $m$ 차 미분 형식 $\alpha$ 와 $n$ 차 미분 형식 $\beta$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 리 괄호는 다음과 같은, $\mathfrak g$ 값의 $m+n$ 차 미분 형식이다.
: $[\alpha\wedge\beta](v_1,\dotsc,v_{m+n}) = \frac1{(m+n)!}\sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(m+n)}(-)^\sigma[\alpha(v_1,\dotsc,v_m),\beta(v_{m+1},\dotsc,v_{m+n})]\qquad\forall x\in M,\;v_1,\dotsc,v_{m+n}\in\mathrm T_xM$

이에 따라, $M$ 위의 $\mathfrak g$ 값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다.

일반적인 실수 값 미분 형식의 외적은 실수의 곱셈을 사용하여 정의된다. 리 대수 값을 갖는 미분 형식의 쌍에 대해, 외적은 유사하게 정의될 수 있지만, 다른 리 대수 값 형식을 얻기 위해 쌍선형 리 괄호 연산을 대입한다. $\mathfrak{g}$ 값을 갖는 $p$ -형식 $\omega$ 와 $\mathfrak{g}$ 값을 갖는 $q$ -형식 $\eta$ 에 대해, 이들의 외적 $[\omega\wedge\eta]$ 는 다음과 같다.
: $[\omega\wedge\eta](v_1, \dotsc, v_{p+q}) = {1 \over p!q!}\sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) [\omega(v_{\sigma(1)}, \dotsc, v_{\sigma(p)}), \eta(v_{\sigma(p+1)}, \dotsc, v_{\sigma(p+q)})],$
여기서 $v_i$ 는 접선 벡터이다. 이 표기법은 관련된 두 연산을 모두 나타내기 위한 것이다. 예를 들어, $\omega$ 와 $\eta$ 가 리 대수 값을 갖는 1-형식인 경우, 다음을 얻는다.
: $[\omega\wedge\eta](v_1,v_2) = [\omega(v_1), \eta(v_2)] - [\omega(v_2),\eta(v_1)].$

연산 $[\omega\wedge\eta]$ 는 또한 모든 $g, h \in \mathfrak{g}$ 및 $\alpha, \beta \in \Omega(M, \mathbb R)$ 에 대해 다음을 만족하는 $\Omega(M, \mathfrak{g})$ 상의 쌍선형 연산으로 정의될 수 있다.
: $[(g \otimes \alpha) \wedge (h \otimes \beta)] = [g, h] \otimes (\alpha \wedge \beta)$

일부 저자는 $[\omega\wedge\eta]$ 대신 $[\omega, \eta]$ 표기법을 사용했다. 교환자와 유사한 $[\omega, \eta]$ 표기법은 리 대수 $\mathfrak g$ 가 행렬 대수일 경우 $[\omega\wedge\eta]$ 가 $\omega$ 와 $\eta$ 의 등급 교환자와 다름없다는 사실로 정당화된다. 즉, $\omega \in \Omega^p(M, \mathfrak g)$ 이고 $\eta \in \Omega^q(M, \mathfrak g)$ 인 경우
: $[\omega\wedge\eta] = \omega\wedge\eta - (-1)^{pq}\eta\wedge\omega,$
여기서 $\omega \wedge \eta,\ \eta \wedge \omega \in \Omega^{p+q}(M, \mathfrak g)$ 는 $\mathfrak g$ 상의 행렬 곱셈을 사용하여 형성된 외적이다.

3.2. 준동형

실수 리 대수의 준동형 $\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h$ 및 $\mathfrak g$ 값의 $m$ 차 미분 형식 $\alpha$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의한다.

: $\phi(\alpha)(v_1,\dotsc,v_m) = \phi(\alpha(v_1,\dotsc,v_m))\qquad\forall x\in M,\;v_1,\dotsc,v_m \in \mathrm T_xM$

그러면 $\phi(\alpha)$ 는 $M$ 위의 $\mathfrak h$ 값의 $m$ 차 미분 형식을 이룬다.

$f : \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$ 가 리 대수 준동형사상일 때, 다양체 위의 $\mathfrak{g}$ 값 형식 $\varphi$ 에 대해 $f(\varphi)$ 는 $\varphi$ 의 값에 $f$ 를 적용하여 얻은, 동일한 다양체 위의 $\mathfrak{h}$ 값 형식이다.

: $f(\varphi)(v_1, \dotsc, v_k) = f(\varphi(v_1, \dotsc, v_k))$ .

마찬가지로, $f$ 가 $\textstyle \prod_1^k \mathfrak{g}$ 에 대한 다중 선형 함수라면, 다음과 같이 정의한다.

: $f(\varphi_1, \dotsc, \varphi_k)(v_1, \dotsc, v_q) = {1 \over q!} \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) f(\varphi_1(v_{\sigma(1)}, \dotsc, v_{\sigma(q_1)}), \dotsc, \varphi_k(v_{\sigma(q - q_k + 1)}, \dotsc, v_{\sigma(q)}))$

여기서 $q = q_1 + \ldots + q_k$ 이고 $\varphi_i$ 는 $\mathfrak{g}$ 값 $q_i$ 형식이다.

벡터 공간 $V$ 와 다중 선형 사상 $f: \mathfrak{g} \times V \to V$ 가 주어지고, $\varphi$ 가 $\mathfrak{g}$ 값 형식, $\eta$ 가 $V$ 값 형식일 때, 위와 동일한 공식을 사용하여 $V$ 값 형식 $f(\varphi, \eta)$ 를 정의할 수 있다.

$f([x, y], z) = f(x, f(y, z)) - f(y, f(x, z)) {,} \qquad (*)$

를 만족하는 $f$ 는 $\mathfrak{g}$ 의 $V$ 에 대한 작용을 제공한다. 즉, $f$ 는 표현

: $\rho: \mathfrak{g} \to V, \rho(x)y = f(x, y)$

를 결정하고, 반대로 모든 표현 $\rho$ 는 조건 $(*)$ 으로 $f$ 를 결정한다.

예를 들어 $f(x, y) = [x, y]$ ( $\mathfrak{g}$ 의 괄호)인 경우, $[\cdot \wedge \cdot]$ 의 정의가 복구되며, $\rho = \operatorname{ad}$ (수반 표현)을 사용한다. ( $f$ 와 $\rho$ 간의 관계는 괄호와 $\operatorname{ad}$ 간의 관계와 같다.)

일반적으로 $\alpha$ 가 $\mathfrak{gl}(V)$ 값 $p$ 형식이고 $\varphi$ 가 $V$ 값 $q$ 형식일 때, $f(T, x) = T x$ 이면 $\alpha \cdot \varphi = f(\alpha, \varphi)$ 로 쓴다. 이를 명시적으로 표현하면 다음과 같다.

: $(\alpha \cdot \phi)(v_1, \dotsc, v_{p+q}) = {1 \over (p+q)!} \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) \alpha(v_{\sigma(1)}, \dotsc, v_{\sigma(p)}) \phi(v_{\sigma(p+1)}, \dotsc, v_{\sigma(p+q)}).$

이 표기법을 사용하면 $\operatorname{ad}(\alpha) \cdot \phi = [\alpha \wedge \phi]$ 를 얻는다.

예를 들어 $\omega$ 가 $\mathfrak{g}$ 값 1-형식(예: 접속 형식)이고, $\rho$ 가 벡터 공간 $V$ 에 대한 $\mathfrak{g}$ 의 표현이며, $\varphi$ 가 $V$ 값 0-형식인 경우, 다음이 성립한다.

: $\rho([\omega \wedge \omega]) \cdot \varphi = 2 \rho(\omega) \cdot (\rho(\omega) \cdot \varphi).$

3.3. 외적 (Wedge Product)

일반적인 실수 값 미분 형식의 외적은 실수의 곱셈을 사용하여 정의된다. 리 대수 값을 갖는 미분 형식의 쌍에 대해, 외적은 유사하게 정의될 수 있지만, 다른 리 대수 값 형식을 얻기 위해 쌍선형 리 괄호 연산을 대입한다. g^영어 값을 갖는 p-형식 ω^영어와 g^영어 값을 갖는 q-형식 η^영어에 대해, 이들의 외적 [ω^영어∧η^영어]는 다음과 같다.

:[ω^영어∧η^영어](v₁, …, v_p+q) = Σ_σ^영어 sgn(σ^영어) [ω^영어(v_σ^영어(1), …, v_σ^영어(p)), η^영어(v_{σ^영어(p+1)}, …, v_{σ^영어(p+q)})]

여기서 v_i는 접선 벡터이다. 이 표기법은 관련된 두 연산을 모두 나타내기 위한 것이다. 예를 들어, ω^영어와 η^영어가 리 대수 값을 갖는 1-형식인 경우, 다음을 얻는다.

:[ω^영어∧η^영어](v₁,v₂) = [ω^영어(v₁), η^영어(v₂)] - [ω^영어(v₂),η^영어(v₁)].

연산 [ω^영어∧η^영어]는 또한 모든 g, h ∈ g^영어 및 α^영어, β^영어 ∈ Ω(M, ℝ)에 대해 다음을 만족하는 Ω(M, g^영어) 상의 쌍선형 연산으로 정의될 수 있다.

:[( g ⊗ α^영어) ∧ (h ⊗ β^영어)] = [g, h] ⊗ (α^영어 ∧ β^영어)

일부 저자는 [ω^영어∧η^영어] 대신 [ω^영어, η^영어] 표기법을 사용했다. 교환자와 유사한 [ω^영어, η^영어] 표기법은 리 대수 g^영어가 행렬 대수일 경우 [ω^영어∧η^영어]가 ω^영어와 η^영어의 등급 교환자와 다름없다는 사실로 정당화된다. 즉, ω^영어 ∈ Ω^p(M, g^영어)이고 η^영어 ∈ Ω^q(M, g^영어)인 경우

:[ω^영어∧η^영어] = ω^영어∧η^영어 - (-1)^pqη^영어∧ω^영어

여기서 ω^영어 ∧ η^영어, η^영어 ∧ ω^영어 ∈ Ω^p+q(M, g^영어)는 g^영어 상의 행렬 곱셈을 사용하여 형성된 외적이다.

4. 보조 다발에서의 형식 (Forms with values in an adjoint bundle)

보조 다발도 참조

$P$ 를 구조군이 $G$ 이고 $\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)$ 인 매끄러운 주다발이라고 하자. $G$ 는 수반 표현을 통해 $\mathfrak{g}$ 에 작용하며, 따라서 다음과 같은 연관된 다발을 구성할 수 있다.

: $\mathfrak{g}_P = P \times_{\operatorname{Ad}} \mathfrak{g}.$

$P$ 의 기저 공간에 대한 모든 $\mathfrak{g}_P$ 값 형식은 수반 형식을 갖는 모든 텐서 형식과 자연스럽게 일대일 대응을 이룬다.