교대군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예외적인 동형
5. 예시
6. 낮은 차수의 교대군
참조

1. 개요

교대군은 대칭군 Sn의 각 원소를 순열의 홀짝성에 따라 두 부류로 나눌 때 짝순열들의 부분군으로 정의된다. 교대군은 n > 1일 때 대칭군 Sn의 지수 2의 교환자군이며, n!/2 개의 원소를 가진다. 교대군은 n ≤ 3일 때 가환군이고, n = 3 또는 n ≥ 5일 때 단순군이다. A5는 위수 60을 가지는 최소의 비가환 단순군이자 최소의 비가해군이다. 교대군은 켤레류, 생성원과 관계식, 자기 동형 사상군 등의 성질을 가지며, 15 퍼즐과 같은 문제에도 적용될 수 있다. 또한, 몇몇 작은 교대군은 다른 군들과 예외적인 동형 관계를 갖는다.

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교대군

2. 정의

대칭군 $S_n$ 의 각 원소들은 순열의 홀짝성에 따라 두 부류로 나뉜다. 홀짝성 함수는 군 준동형 $p\colon S_n\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ 을 이룬다. '''교대군''' $A_n$ 은 이 준동형의 핵이다.

: $A_n\cong\ker p\triangleleft S_n$

즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

: $1\to A_n\hookrightarrow S_n\twoheadrightarrow\mathbb Z/2\mathbb Z\to1$

유한 대칭군은 유한 원소를 가진 집합의 모든 순열의 군이고, 교대군은 짝순열의 군이므로, 교대군은 유한 대칭군의 부분군이다.

3. 성질

n>1인 교대군 $A_n$ 은 $n!/2$ 개의 원소를 가지며, n<3인 경우 자명군이다. n>1인 교대군 $A_n$ 은 대칭군 $S_n$ 의 교환자 부분군이다.

교대군이 아벨 군일 필요충분조건은 $n \le 3$ 이다. 단순군일 필요충분조건은 $n = 3$ 이거나 $n \ge 5$ 이다. $A_5$ 는 가장 작은 비아벨 단순군으로, 차수는 60이며, 따라서 가장 작은 비가해군이다.^[5]

$A_4$ 는 클라인 4원군을 정규 부분군으로 가진다.

3. 1. 켤레류

대칭군과 마찬가지로, A_''n''의 원소에 의해 켤레 관계에 있는 A_''n''의 두 원소는 동일한 사이클 구조를 가져야 한다. 그러나 그 역은 반드시 성립하지 않는다. 사이클 구조가 길이가 같지 않은 홀수 길이의 사이클로만 구성되어 있고, 길이가 1인 사이클도 사이클 유형에 포함되는 경우, 이 사이클 구조에 대해 정확히 두 개의 켤레류가 있다.

예시:

두 개의 순열 (123)과 (132)는 A₃에서 켤레 관계에 있지 않지만, 동일한 사이클 구조를 가지므로 S₃에서는 켤레 관계에 있다.
순열 (123)(45678)은 그 역원 (132)(48765)와 A₈에서 켤레 관계에 있지 않지만, 두 순열은 동일한 사이클 구조를 가지므로 S₈에서는 켤레 관계에 있다.

3. 2. 생성원과 관계식

''n'' ≥ 3인 경우, A_''n''은 3-사이클에 의해 생성되는데, 3-사이클은 전치 쌍을 조합하여 얻을 수 있기 때문이다. 이 생성 집합은 ''n'' ≥ 5일 때 A_''n''이 단순군임을 증명하는 데 자주 사용된다.^[6]

교대군 ''A''_''n'' (''n'' ≥ 3)의 표시에는 다음과 같은 것들이 알려져 있다.^[6]

표시	생성원	관계식	대응
Carmichael 표시	V₁, …, V_n−2		$V_i \mapsto (i, n - 1, n)$
Moore 표시	x₁, …, x_n−2		$x_i \mapsto (1, 2)(i+1, i+2)$

3. 3. 자기 동형 사상군

n > 3^영어 이고 n = 6^영어을 제외한 경우, A_''n''의 자기 동형 사상군은 대칭군 S_''n''이며, 내부 자기 동형 사상군 A_''n''과 외부 자기 동형 사상군 Z₂를 갖는다. 이때 외부 자기 동형 사상은 홀 치환에 의한 켤레에서 발생한다.

n = 1^영어과 2의 경우, 자기 동형 사상군은 자명군이다. n = 3^영어의 경우, 자기 동형 사상군은 Z₂이며, 자명한 내부 자기 동형 사상군과 외부 자기 동형 사상군 Z₂를 갖는다.^[1]

A₆의 외부 자기 동형 사상군은 클라인 네-군 V = Z₂ × Z₂^영어이며, S₆의 외부 자기 동형 사상과 관련이 있다. A₆의 추가적인 외부 자기 동형 사상은 3-사이클(예: (123))을 3² 형태의 원소(예: (123)(456))로 바꾼다.^[2]

n	Aut(A_n)	Out(A_n)
n ≥ 4, n ≠ 6	S_n	Z₂
n = 1, 2	Z₁	Z₁
n = 3	Z₂	Z₂
n = 6	S₆ ⋊ Z₂	V = Z₂ × Z₂

3. 4. 부분군

A₄는 라그랑주 정리의 역이 일반적으로 성립하지 않음을 보여주는 가장 작은 군이다. 유한군 ''G''와 |''G''|의 약수 ''d''가 주어졌을 때, 위수가 ''d''인 ''G''의 부분군이 반드시 존재하는 것은 아니다. 위수가 12인 A₄는 위수가 6인 부분군을 갖지 않는다. 세 개의 원소로 이루어진 부분군(세 개의 객체의 순환 회전에 의해 생성됨)은 임의의 서로 다른 비자명 원소를 사용하여 전체 군을 생성한다.^[5]

에 대해, A_''n''은 자명하지 않은(즉, 진) 정규 부분군을 갖지 않는다. 따라서 A_''n''은 에 대해 단순군이다. A₅는 가장 작은 비가해군이다.

3. 5. 군 호몰로지

교대군의 군 호몰로지는 안정 호모토피 이론에서와 같이 안정성을 보인다. 즉, 충분히 큰 ''n''에 대해 일정하다.

제1 호몰로지 군은 아벨화와 일치한다. ''n''^영어이 5 이상인 경우를 제외하고는 다음과 같다.

''H''₁(A_''n'', Z) = Z₁ (''n'' = 0, 1, 2)
''H''₁(A₃, Z) = A₃ = Z₃
''H''₁(A₄, Z) = Z₃
''H''₁(A_''n'', Z) = Z₁ (''n'' ≥ 5)

A_''n''은 3-사이클에 의해 생성되므로, 유일한 자명하지 않은 아벨화 사상은 A_''n'' → Z₃이다. ''n''^영어 ≥ 5에 대해 모든 3-사이클은 켤레이므로, 아벨화에서 같은 원소로 매핑되어야 한다. (123)과 같은 3-사이클은 역 (321)과 같은 원소로 매핑되어야 하지만, 2와 3을 나누는 차수를 가져야 하므로 항등원으로 매핑되어야 하고, 따라서 아벨화는 자명하다.

''n''^영어 < 3의 경우, A_''n''은 자명하며, 따라서 자명한 아벨화를 갖는다. A₃ 및 A₄의 경우, 3-사이클이 두 개의 켤레류를 형성하고 자명하지 않은 사상 A₃ ↠ Z₃ (사실 동형사상) 및 A₄ ↠ Z₃가 있음을 언급하면서 아벨화를 직접 계산할 수 있다.

교대군 A_''n''의 슈어 승수 (''n''이 5 이상인 경우)는 위수 2의 순환군이며, ''n''이 6 또는 7인 경우에는 삼중 덮개도 존재한다는 점을 제외하면 그렇다.^[3]

''H''₂(A_''n'', Z) = Z₁ for ''n'' = 1, 2, 3
''H''₂(A_''n'', Z) = Z₂ for ''n'' = 4, 5
''H''₂(A_''n'', Z) = Z₆ for ''n'' = 6, 7
''H''₂(A_''n'', Z) = Z₂ for ''n'' ≥ 8.

4. 예외적인 동형

몇몇 작은 교대군과 작은 리 유형 군 사이에는 몇몇 예외적 동형이 존재하며, 특히 사영 특수 선형군에서 나타난다.

A₄^영어는 PSL₂^영어(3)^[1]와 동형이며, 키랄 사면체 대칭군의 대칭군이다.
A₅^영어는 PSL₂^영어(4), PSL₂^영어(5)와 동형이며 키랄 정이십면체 대칭군의 대칭군이다.
A₆^영어는 PSL₂^영어(9) 및 PSp₄^영어(2)'와 동형이다.
A₈^영어는 PSL₄^영어(2)와 동형이다.^[1]

더욱 명백하게, A₃^영어는 순환군 Z₃^영어와 동형이며, A₀^영어, A₁^영어, 및 A₂^영어는 자명군과 동형이다.

5. 예시

교대군의 예시는 다음과 같다.

=== S₄와 A₄ ===

대칭군 S₄와 교대군 A₄의 케일리 표 및 사이클 그래프를 통해 두 군의 구조와 관계를 시각적으로 확인할 수 있다. S₄의 케일리 표에서는 홀순열이 녹색(전치)과 주황색(4-사이클)으로 색칠되어 있다. A₄의 케일리 표에서는 짝순열(항등원, 8개의 3-사이클, 3개의 이중 전치)이 표시되며, 이중 전치는 굵게 표시되어 있다. A₄는 클라인 네 그룹과 여러 순환군 Z₃를 부분군으로 갖는다.

--

사이클 그래프
A₄ (차수 12)	S₄ (차수 24)	S₄ 내의 A₄

=== 3차원 회전군의 부분군으로서의 A₅ ===

A₅는 3차원 공간에서 정십이면체의 등거리 변환 그룹이므로, 표현이 존재한다.

이 그림에서 다면체의 꼭짓점은 그룹의 원소를 나타내며, 구의 중심은 항등원을 나타낸다. 각 꼭짓점은 중심에서 해당 꼭짓점을 향하는 축을 중심으로, 원점에서 꼭짓점까지의 거리(라디안)에 해당하는 각도로 회전을 나타낸다. 같은 다면체에 있는 꼭짓점은 동일한 켤레류에 있다. A₅에 대한 켤레류 방정식이므로, 네 개의 서로 다른 (자명하지 않은) 다면체를 얻는다.

각 다면체의 꼭짓점은 (2,2)-사이클의 켤레류를 제외하고, 해당 켤레류의 원소와 일대일 대응을 이룬다. (2,2)-사이클은 바깥 표면에 있는 십이이십면체로 표현되며, 서로 반대편에 있는 꼭짓점은 서로 동일하게 식별된다. 이러한 중복성의 이유는 해당 회전이 π 라디안으로 이루어지며, 두 방향 중 하나에서 길이 π의 벡터로 표현될 수 있기 때문이다. 따라서 (2,2)-사이클의 클래스는 15개의 원소를 포함하는 반면, 십이이십면체는 30개의 꼭짓점을 갖는다.

A₅에 있는 12개의 5-사이클의 두 켤레류는 각각 반지름이 2π/5와 4π/5인 두 개의 정십이면체로 표현된다. 에 있는 자명하지 않은 외부 자기 동형 사상은 이 두 개의 클래스와 해당 정십이면체를 서로 바꾼다.

=== 15 퍼즐 ===

15 퍼즐은 슬라이딩 퍼즐의 한 예시로, 교대군 A₁₅로 표현될 수 있다.^[2] 15 퍼즐의 조합은 3-사이클로 생성될 수 있기 때문이다. 같은 크기의 정사각형 타일로 구성된 슬라이딩 퍼즐은 A_2''k''−1로 표현될 수 있다.

5. 1. S₄와 A₄

대칭군 S₄와 교대군 A₄의 케일리 표 및 사이클 그래프를 통해 두 군의 구조와 관계를 시각적으로 확인할 수 있다. S₄의 케일리 표에서는 홀순열이 녹색( 전치)과 주황색(4-사이클)으로 색칠되어 있다. A₄의 케일리 표에서는 짝순열(항등원, 8개의 3-사이클, 3개의 이중 전치)이 표시되며, 이중 전치는 굵게 표시되어 있다. A₄는 클라인 네 그룹과 여러 순환군 Z₃를 부분군으로 갖는다.

}

사이클 그래프

5. 2. 3차원 회전군의 부분군으로서의 A₅

A₅는 3차원 공간에서 정십이면체의 등거리 변환 그룹이므로, 표현이 존재한다.

이 그림에서 다면체의 꼭짓점은 그룹의 원소를 나타내며, 구의 중심은 항등원을 나타낸다. 각 꼭짓점은 중심에서 해당 꼭짓점을 향하는 축을 중심으로, 원점에서 꼭짓점까지의 거리(라디안)에 해당하는 각도로 회전을 나타낸다. 같은 다면체에 있는 꼭짓점은 동일한 켤레류에 있다. A₅에 대한 켤레류 방정식이므로, 네 개의 서로 다른 (자명하지 않은) 다면체를 얻는다.

각 다면체의 꼭짓점은 (2,2)-사이클의 켤레류를 제외하고, 해당 켤레류의 원소와 일대일 대응을 이룬다. (2,2)-사이클은 바깥 표면에 있는 십이이십면체로 표현되며, 서로 반대편에 있는 꼭짓점은 서로 동일하게 식별된다. 이러한 중복성의 이유는 해당 회전이 π 라디안으로 이루어지며, 두 방향 중 하나에서 길이 π의 벡터로 표현될 수 있기 때문이다. 따라서 (2,2)-사이클의 클래스는 15개의 원소를 포함하는 반면, 십이이십면체는 30개의 꼭짓점을 갖는다.

A₅에 있는 12개의 5-사이클의 두 켤레류는 각각 반지름이 2π/5와 4π/5인 두 개의 정십이면체로 표현된다. 에 있는 자명하지 않은 외부 자기 동형 사상은 이 두 개의 클래스와 해당 정십이면체를 서로 바꾼다.

5. 3. 15 퍼즐

15 퍼즐은 슬라이딩 퍼즐의 한 예시로, 교대군 A₁₅로 표현될 수 있다.^[2] 15 퍼즐의 조합은 3-사이클로 생성될 수 있기 때문이다. 같은 크기의 정사각형 타일로 구성된 슬라이딩 퍼즐은 A_2''k''−1로 표현될 수 있다.

6. 낮은 차수의 교대군

교대군	다른 이름
A₀, A₁, A₂	1 (자명군)
A₃	Z/3Z
A₄	PSL(2;F₃)
A₅	PSL(2;F₄) ≅ PSL(2;F₅)
A₆	PSL(2;F₉)
A₈	PSL(4;F₂)

참조

_[1] Google books 1996
_[2] 웹사이트 The Fifteen Puzzle: A Motivating Example for the Alternating Group https://web.archive.[...] East Tennessee State University 2020-12-26
_[3] 간행물 The finite simple groups, 2006 versions https://web.archive.[...] 2006-10-31
_[4] 문서 たとえば基本交代式（差積） $\Delta(x_1, \dotsc, x_n) := \prod_{1 \le i < j \le n}(x_i - x_j)$
_[5] 문서 "[[エヴァリスト・ガロア|ガロワ]]は素数位数でない単純群の最小位数は 60 であると予想していた {{harv|Kline|1992|p=766}}。"
_[6] 서적 Generators and Relations for Discrete Groups
_[7] 간행물 http://www.maths.qmu[...] 2006-10-31

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