교환자 부분군

1. 개요

교환자 부분군은 군 G의 교환자들로 생성되는 부분군이며, G(1) 또는 [G, G]로 표기한다. 교환자 부분군은 G의 정규 부분군이며, G의 모든 자기 동형 사상에 대해 불변이다. 교환자 부분군은 G의 원소들을 곱하고 재배열하여 항등원을 만들 수 있는 원소들의 집합으로도 정의할 수 있다. 교환자 부분군의 개념은 유도열, 아벨화, 가해군, 완전군 등 군의 다양한 성질을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 대칭군, 교대군, 선형군, 사원수군 등 다양한 군의 교환자 부분군을 예시로 들 수 있으며, 대수적 위상수학에서도 중요한 의미를 가진다.

2. 정의

군 $G$의 교환자 부분군 $G^\{(1)\}$은 교환자들로 생성되는 부분군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.

:$[g\_1,h\_1][g\_2,h\_2][g\_3,h\_3]\backslash dots[g\_n,h\_n]\backslash in\; G^\{(1)\}\backslash subset\; G$
:$g\_1,g\_2,\backslash dots,g\_n,h\_1,h\_2,\backslash dots,h\_n\backslash in\; G$

여기서 $[g,h]=g^\{-1\}h^\{-1\}gh$는 군의 교환자이다.

$[G,\; G]$ (도출 부분군이라고도 하며, $G\text{'}$ 또는 $G^\{(1)\}$으로 표기)는 모든 교환자에 의해 생성되는 부분군이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다.

교환자 부분군은 군 $G$의 원소 $g$를 곱의 형태 $g\; =\; g\_1\; g\_2\; \backslash dots\; g\_k$로 쓸 때, 우변의 곱셈 순서를 적당히 교환하여 항등원으로 만들 수 있는 원소 $g$의 전체로 생성되는 부분군으로 정의할 수도 있다.

2.1. 교환자

군 G의 원소 $g$와 $h$에 대해, $g$와 $h$의 교환자는 $[g,h]\; =\; g^\{-1\}h^\{-1\}gh$로 정의된다. $[g,h]$는 $g$와 $h$가 교환할 때, 즉 $gh\; =\; hg$일 때에만 항등원 e와 같다. 일반적으로, $gh\; =\; hg[g,h]$가 성립한다.

어떤 g와 h에 대해 $[g,h]$ 형태를 갖는 G의 원소를 교환자라고 한다. 항등원 e = [e,e]는 항상 교환자이며, G가 가환군일 때에만 유일한 교환자이다.

다음은 군 G의 임의의 원소 s, g, h에 대해 참인 몇 가지 교환자 항등식이다.

* $[g,h]^\{-1\}\; =\; [h,g]$
* $[g,h]^s\; =\; [g^s,h^s]$ (여기서 $g^s\; =\; s^\{-1\}gs$는 $g$의 $s$에 의한 켤레이다.)
* 임의의 군 준동형 사상 $f:\; G\; \backslash to\; H$에 대해, $f([g,\; h])\; =\; [f(g),\; f(h)]$

첫 번째 및 두 번째 항등식은 G의 교환자 집합이 역원 및 켤레에 대해 닫혀 있음을 의미한다. 세 번째 항등식에서 H = G로 놓으면, 교환자 집합은 G의 모든 자기 준동형 사상에 대해 안정적임을 알 수 있다.

하지만, 두 개 이상의 교환자의 곱은 교환자가 될 필요는 없다. 자유군에서 [a,b][c,d]가 그 예시이다. 두 교환자의 곱이 교환자가 아닌 유한군의 최소 차수는 96이며, 실제로 이 속성을 가진 두 개의 서로 동형이 아닌 군이 차수 96을 갖는다.

2.2. 교환자 부분군

군 $G$의 교환자 부분군 $G^\{(1)\}$은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다.

:$[g\_1,h\_1][g\_2,h\_2][g\_3,h\_3]\backslash dots[g\_n,h\_n]\backslash in\; G^\{(1)\}\backslash subset\; G$
:$g\_1,g\_2,\backslash dots,g\_n,h\_1,h\_2,\backslash dots,h\_n\backslash in\; G$

여기서

:$[g,h]=g^\{-1\}h^\{-1\}gh$

는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다.

$[G,\; G]$ (도출 부분군이라고도 하며, $G\text{'}$ 또는 $G^\{(1)\}$으로 표기)는 모든 교환자에 의해 생성되는 부분군이다.

이 정의로부터 $[G,\; G]$의 모든 원소는

:$[g\_1,h\_1]\; \backslash cdots\; [g\_n,h\_n]$

의 형태를 띄며, 여기서 $n$은 자연수이고, g_i와 h_i는 G의 원소이다. 게다가, $([g\_1,h\_1]\; \backslash cdots\; [g\_n,h\_n])^s\; =\; [g\_1^s,h\_1^s]\; \backslash cdots\; [g\_n^s,h\_n^s]$이므로, 교환자 부분군은 G에서 정규 부분군이다. 임의의 준동형 f: G → H에 대해,

:$f([g\_1,h\_1]\; \backslash cdots\; [g\_n,h\_n])\; =\; [f(g\_1),f(h\_1)]\; \backslash cdots\; [f(g\_n),f(h\_n)]$

이므로 $f([G,G])\; \backslash subseteq\; [H,H]$이다.

이것은 교환자 부분군을 군의 범주에 대한 함자로 볼 수 있음을 보여준다. G = H로 두면 교환자 부분군이 G의 모든 자기 준동형에 대해 안정적임을 보여준다. 즉, [G,G]는 G의 완전 특성 부분군이며, 이는 정규성보다 훨씬 강력한 속성이다.

교환자 부분군은 곱으로 표현될 수 있는 그룹의 원소 g의 집합으로 정의될 수 있다. 즉, g = g₁ g₂ ... g_k이며, 이를 재배열하여 항등원을 얻을 수 있다.

군 $G$의 교환자 전체가 생성하는 부분군
: $[G,\; G]\; =\; \backslash big\backslash langle\backslash left\backslash \{\backslash ,\; [x,\; y]\; \backslash mid\; x,\; y\; \backslash in\; G\; \backslash ,\backslash right\backslash \}\backslash big\backslash rangle$
을 $G$의 교환자 부분군이라고 한다. 이것을 도출 부분군이라고 부르기도 한다. 교환자 부분군을 나타내는 기호로는
: $G\text{'},\; \backslash quad\; G^\{(1)\},\; \backslash quad\; \backslash gamma\_2(G),\; \backslash quad\; D(G)$
등이 관습적으로 사용되기도 한다. 교환자의 역원도 교환자이므로, 교환자 부분군 $[G,\; G]$의 임의의 원소는 유한 개의 교환자의 곱
: $[x\_1,\; y\_1][x\_2,\; y\_2]\; \backslash cdots\; [x\_n,\; y\_n]$
의 형태로 쓸 수 있다. 켤레에 관해서는,
: $([x\_1,\; y\_1]\; \backslash cdots\; [x\_n,\; y\_n])^z\; =\; [x\_1^z,\; y\_1^z]\; \backslash cdots\; [x\_n^z,\; y\_n^z]$
이 성립하므로, 교환자 부분군은 $G$의 정규 부분군이 된다. 임의의 준동형 $\backslash varphi:\; G\; \backslash rightarrow\; H$에 대해
: $\backslash varphi([x\_1,\; y\_1]\; \backslash cdots\; [x\_n,\; y\_n])\; =\; [\backslash varphi(x\_1),\; \backslash varphi(y\_1)]\; \backslash cdots\; [\backslash varphi(x\_n),\; \backslash varphi(y\_n)]$
이 성립하므로, 교환자 부분군의 준동형 사상에 의한 상은 교환자 부분군에 포함된다. 이에 따라, 교환자 부분군을 만드는 연산은 군의 범주에서의 함자로 볼 수 있다. $G\; =\; H$로 놓으면, 교환자 부분군은 $G$의 임의의 자기 준동형에 관해 보존됨을 알 수 있다. 즉, 교환자 부분군 $[G,\; G]$는 $G$의 완전 특성 부분군이며, 이것은 단순히 정규라는 것보다 매우 강한 성질이다.

교환자 부분군은, 군 $G$의 원소 $g$를 곱의 형태 $g\; =\; g\_1\; g\_2\; \backslash dots\; g\_k$로 쓸 때, 우변의 곱셈 순서를 적당히 교환하여 항등원으로 만들 수 있는 원소 $g$의 전체로 생성되는 부분군으로 정의할 수도 있다.

3. 성질

교환자 부분군은 군의 구조를 파악하는 데 중요한 정보를 제공하며, 특히 군의 가해성과 완전성과 밀접하게 관련되어 있다.

군 $G$의 교환자 부분군 $G^\{(1)\}$은 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군 $G^\{\backslash operatorname\{ab\}\}=G/G^\{(1)\}$은 아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(abelianization^영어)라고 한다. 군 $G$의 몫군 $G/N$이 아벨 군일 필요충분조건은 $[G,\; G]\backslash subseteq\; N$이다.

범주론적으로 아벨화는 군과 군 준동형의 범주 $\backslash operatorname\{Grp\}$에서 아벨 군과 군 준동형의 범주 $\backslash operatorname\{Ab\}$로 가는 함자이다.
:$(-)^\{\backslash operatorname\{ab\}\}\backslash colon\backslash operatorname\{Grp\}\backslash to\backslash operatorname\{Ab\}$
아벨화 함자는 포함 함자 $I\backslash colon\backslash operatorname\{Ab\}\backslash to\backslash operatorname\{Grp\}$의 왼쪽 수반 함자이다.
:$(-)^\{\backslash operatorname\{ab\}\}\backslash dashv\; I$

호몰로지 대수학에서 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지와 같다.
:$G^\{\backslash operatorname\{ab\}\}=\backslash operatorname\; H\_1(G;\backslash mathbb\; Z)$

사상 $\backslash varphi:\; G\; \backslash rightarrow\; G^\{\backslash operatorname\{ab\}\}$는 $G$에서 아벨 군 $H$로의 준동형 사상에 대해 보편적이다. 즉, 임의의 아벨 군 $H$와 군 준동형 사상 $f:\; G\; \backslash to\; H$에 대해 $f\; =\; F\; \backslash circ\; \backslash varphi$를 만족하는 유일한 준동형 사상 $F:\; G^\{\backslash operatorname\{ab\}\}\backslash to\; H$가 존재한다.

3.1. 유도열

군 $G$의 n차 유도 부분군은 $G^\{(n+1)\}=(G^\{(n)\})^\{(1)\}$ 와 같이 정의된다. 즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규 부분군들의 열이 존재한다.

:$G=G^\{(0)\}\backslash triangleright\; G^\{(1)\}\backslash triangleright\; G^\{(2)\}\backslash triangleright\backslash cdots$

이를 유도열(誘導列, derived series^영어)이라고 한다.

유도열은 임의의 순서수에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.
* $G^\{(0)\}=G$
* 따름 순서수 $\backslash alpha+1$에 대하여,
*:$G^\{(\backslash alpha+1)\}=(G^\{(\backslash alpha)\})^\{(1)\}$
* 극한 순서수 $\backslash alpha$에 대하여,
*:

이를 초한 유도열(超限誘導列, transfinite derived series^영어)이라고 한다.

유한군의 경우, 유도열은 완전군에서 끝나며, 이는 자명할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 무한군의 경우, 유도열이 유한 단계에서 끝나지 않을 수 있으며, 초한 귀납법을 통해 무한 순서수까지 연장하여, 결국 군의 완전 핵에서 끝나는 초한 유도열을 얻을 수 있다.

:$G^\{(0)\}\; :=\; G$
:$G^\{(n)\}\; :=\; [G^\{(n-1)\},G^\{(n-1)\}]\; \backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbf\{N\}$

군 $G^\{(2)\},\; G^\{(3)\},\; \backslash ldots$은 두 번째 유도 부분군, 세 번째 유도 부분군 등으로 불리며, 다음의 감소하는 정규열

:$\backslash cdots\; \backslash triangleleft\; G^\{(2)\}\; \backslash triangleleft\; G^\{(1)\}\; \backslash triangleleft\; G^\{(0)\}\; =\; G$

은 유도열이라고 불린다. 이는 $G\_n\; :=\; [G\_\{n-1\},G]$로 정의되는 하강 중심열과는 혼동해서는 안 된다.

3.2. 아벨화

군 $G$가 주어졌을 때, 교환자 부분군 $G^\{(1)\}$은 그 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군
:$G^\{\backslash operatorname\{ab\}\}=G/G^\{(1)\}$
은 아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(abelianization^영어)라고 한다.

범주론적으로 이는 군과 군 준동형의 범주 $\backslash operatorname\{Grp\}$에서 아벨 군과 군 준동형의 범주 $\backslash operatorname\{Ab\}$로 가는 함자를 이룬다.
:$(-)^\{\backslash operatorname\{ab\}\}\backslash colon\backslash operatorname\{Grp\}\backslash to\backslash operatorname\{Ab\}$
아벨 군은 군의 일종이므로, 포함 함자
:$I\backslash colon\backslash operatorname\{Ab\}\backslash to\backslash operatorname\{Grp\}$
가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 왼쪽 수반 함자이다.
:$(-)^\{\backslash operatorname\{ab\}\}\backslash dashv\; I$

호몰로지 대수학에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지
:$G^\{\backslash operatorname\{ab\}\}=\backslash operatorname\; H\_1(G;\backslash mathbb\; Z)$
와 같다.

군 $G$가 주어졌을 때, 몫군 $G/N$이 아벨 군일 필요충분조건은 $[G,\; G]\backslash subseteq\; N$이다.

사상 $\backslash varphi:\; G\; \backslash rightarrow\; G^\{\backslash operatorname\{ab\}\}$는 $G$에서 아벨 군 $H$로의 준동형 사상에 대해 보편적이다. 즉, 임의의 아벨 군 $H$와 군 준동형 사상 $f:\; G\; \backslash to\; H$에 대해 $f\; =\; F\; \backslash circ\; \backslash varphi$를 만족하는 유일한 준동형 사상 $F:\; G^\{\backslash operatorname\{ab\}\}\backslash to\; H$가 존재한다.

4. 관련 군의 분류

군 $G$의 n차 유도 부분군 $G^\{(n)\}$은 $G^\{(n+1)\}=(G^\{(n)\})^\{(1)\}$와 같이 정의되며, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 이러한 정규 부분군들의 열을 유도열이라고 하며, 이를 확장하여 초한 유도열을 정의할 수 있다.

유도열을 사용하여 군을 다음과 같이 분류할 수 있다.

* [[아벨 군]]: 교환자 부분군이 자명군인 군이다.
* [[완전군]]: 교환자 부분군이 자기 자신과 같은 군이다.
* [[가해군]]: 어떤 자연수 $n$에 대하여 $G^\{(n)\}=1$인 군이다.
* 준 아벨 군: 어떤 순서수 $\backslash alpha$에 대하여 $G^\{(\backslash alpha)\}=1$인 군이다.

이들 사이에는 아벨 군 ⊊ 가해군 ⊊ 준 아벨 군 관계가 성립한다.

4.1. 아벨군

가환군은 도출군이 자명군이 되는 군, 즉 모든 원소가 교환 가능한 군이다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: [G,G] = {e}

이는 군이 자신의 가환화와 같다는 의미이다. 가해군의 특수한 경우 (n=1)로 볼 수 있다.

4.2. 완전군

군 $G$의 도출 부분군이 자기 자신과 같을 때, 즉 $G^\{(1)\}\; =\; G$일 때 완전군이라고 부른다. 완전군은 교환자 부분군이 자기 자신과 같은 군, 즉 아벨화가 자명군인 군이다. 비가환 단순군, 특수 선형군 등이 완전군의 예시이다.

군 $G$가 완전군이 되기 위한 필요충분 조건은 도출 부분군이 군 전체와 같아지는 것($[$G,G] = G)이다. 이는 군의 아벨화가 자명해지는 것과 같으며, 이는 아벨 군의 경우와 "반대"된다.

4.3. 가해군

어떤 자연수 $n$에 대하여 $n$차 유도 부분군이 자명군이 되는 군을 가해군이라고 한다. 이는 아벨 군을 일반화한 개념이며, 유도열의 길이가 유한한 군으로 특징지어진다. 가해군은 사회 변혁의 점진적이고 단계적인 과정을 나타내는 것으로 해석할 수 있다.

$n=1$인 경우는 아벨 군이 되므로, 가해군은 아벨 군의 성질을 확장한 개념으로 생각할 수 있다. 임의의 자연수 $n$에 대하여 $n$차 유도 부분군이 자명군이 아닌 군은 비가해군이라고 한다.

4.4. 준 아벨군 (Hypo-Abelian group)

어떤 순서수 $\backslash alpha$에 대하여 $G^\{(\backslash alpha)\}=1$인 군 $G$를 준 아벨 군(hypo-Abelian group^영어)이라고 한다. 정의에 따라 아벨 군 ⊊ 가해군 ⊊ 준 아벨 군임을 알 수 있다.

이는 가해군보다 약한 조건이며, $\backslash alpha$가 유한 순서수, 즉 자연수라면 가해군이 된다.

5. 예시

몇 가지 군들의 교환자 부분군은 다음과 같다.

* 모든 아벨 군의 교환자 부분군은 자명군이다.

대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간 $X$의 기본군 $\backslash pi\_1(X)$의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지 $\backslash operatorname\; H\_1(X;\backslash mathbb\; Z)$이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형의 핵이다.

5.1. 대칭군과 교대군

대칭군 $S\_n$의 교환자 부분군은 교대군 $A\_n$이다. 교대군 $A\_4$의 교환자 부분군은 클라인 4원군이다.

5.2. 선형군

체 또는 사환 환 k 위의 일반 선형군 $\backslash operatorname\{GL\}\_n(k)$의 교환자 부분군은 $n\; \backslash ne\; 2$이거나 k가 유한체가 아닌 경우 특수 선형군 $\backslash operatorname\{SL\}\_n(k)$와 같다.

5.3. 사원수군

사원수군 Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}의 교환자 부분군은 [Q,Q] = {1, −1}이다. 이는 비가환군의 대표적인 예시 중 하나인 사원수군의 구조를 파악하는 데 기여한다.

6. 대수적 위상수학과의 관련성

대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간 $X$의 기본군 $\backslash pi\_1(X)$의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지 $\backslash operatorname\; H\_1(X;\backslash mathbb\; Z)$이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형의 핵이다.

7. 외부 자기 동형군과의 관계

도출 부분군은 특성 부분군이므로, G의 모든 자기 동형 사상은 아벨화의 자기 동형 사상을 유도한다. 아벨화는 아벨 군이므로, 내부 자기 동형 사상은 자명하게 작용하며, 따라서 준동형 사상 $\backslash operatorname\{Out\}(G)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Aut\}(G^\{\backslash mbox\{ab\}\})$을 얻는다.