조화수

1. 개요

조화수는 자연수 n에 대해 정의되는 수열로, 각 항은 1부터 n까지의 자연수의 역수의 합으로 표현된다. 조화수는 다음과 같은 정의와 점화식을 가지며, 부호 교대 조화수도 정의된다. 조화수는 점화 관계, 급수 항등식, 산술적 성질 등 다양한 수학적 성질을 가지며, 특히 Hₙ이 정수가 되는 것은 n=1일 때뿐이다. 조화수는 π와 관련된 무한 합을 포함하며, 적분 표현을 통해 계산할 수 있다. 조화수는 자연 로그와 연관되어 있으며, 오일러-마스케로니 상수를 포함하는 점근 전개를 갖는다. 또한, 조화수는 생성 함수와 실수 및 복소수 값에 대한 확장을 통해 다루어진다. 조화수는 일반화 조화수, 초조화수, 로만 조화수 등으로 확장될 수 있으며, 디감마 함수 계산, 리만 가설과의 관계, 비국소 문제의 고유값 계산 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 조화수의 정의 및 연산

조화수($H\_n$)는 자연수 n에 대해 다음과 같이 정의된다.

:$H\_n\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k\}$

부호 교대 조화수는 다음과 같다.

:$H\_n^\text{'}\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^n\; \backslash frac\{k\}$

:$H\_\{2n\}^\{\text{'}\}\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^\{2n\}\; \backslash frac\{k\}$

정의에 따라, 조화수는 다음의 점화 관계를 만족한다.

:$$H\_\{n\; +\; 1\}\; =\; H\_\{n\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{n\; +\; 1\}.$$

3. 조화수의 성질

조화수는 다음과 같은 흥미로운 성질들을 가지고 있다.

* 점화 관계 및 항등식:
* 조화수는 다음 점화 관계를 만족한다.

:$H\_\{n\; +\; 1\}\; =\; H\_\{n\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{n\; +\; 1\}.$
* 제1종 스털링 수와 다음 관계를 갖는다.

:$H\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{n!\}\backslash left[\{n+1\; \backslash atop\; 2\}\backslash right].$
* 다음 급수 항등식을 만족한다.

:$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; H\_k\; =\; (n+1)\; H\_\{n\}\; -\; n$

:$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; H\_k^2\; =\; (n+1)H\_\{n\}^2\; -\; (2\; n\; +1)\; H\_n\; +\; 2\; n.$

* 산술적 성질:
* Hₙ^영어이 정수가 되는 필요충분조건은 n=1^영어일 때 뿐이다.
* Wolstenholme's theorem에 따르면, 모든 소수 p ≥ 5^영어에 대해 Hₚ₋₁^영어의 분자는 p²^영어으로 나누어진다.

* π 항등식:
* π의 거듭제곱을 포함하는 몇 가지 무한 합은 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n\cdot 2^n} &= \frac{\pi^2}{12} \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{n^2} &= \frac{17}{360}\pi^4 \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} &= \frac{\pi^4}{72}
\end{align}

3.1. 점화 관계 및 항등식

정의에 따라, 조화수는 다음의 점화 관계를 만족한다.

:$H\_\{n\; +\; 1\}\; =\; H\_\{n\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{n\; +\; 1\}.$

조화수는 다음 관계를 통해 제1종 스털링 수와 연결된다.

:$H\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{n!\}\backslash left[\{n+1\; \backslash atop\; 2\}\backslash right].$

조화수는 다음의 급수 항등식을 만족한다.

:$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; H\_k\; =\; (n+1)\; H\_\{n\}\; -\; n$

그리고

:$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; H\_k^2\; =\; (n+1)H\_\{n\}^2\; -\; (2\; n\; +1)\; H\_n\; +\; 2\; n.$

이 두 결과는 다음과 같은 해당 적분 결과와 매우 유사하다.

:$\backslash int\_0^x\; \backslash log\; y\; \backslash \; d\; y\; =\; x\; \backslash log\; x\; -\; x$

그리고

:$\backslash int\_0^x\; (\backslash log\; y)^2\backslash \; d\; y\; =\; x\; (\backslash log\; x)^2\; -\; 2\; x\; \backslash log\; x\; +\; 2\; x.$

3.2. 산술적 성질

조화수는 몇 가지 흥미로운 산술적 성질을 가지고 있다. Hₙ^영어이 정수가 되는 필요충분조건은 n=1^영어일 때 뿐이라는 것이 잘 알려져 있으며, 이는 종종 테이징거(Taeisinger)의 결과로 여겨진다. 실제로, 2진법 평가를 사용하면, n ≥ 2^영어에 대해 Hₙ^영어의 분자가 홀수이고, Hₙ^영어의 분모가 짝수임을 증명하는 것은 어렵지 않다. 보다 정확하게는 다음과 같다.
:Hₙ^영어 = (1/2^{⌊log₂(n)⌋영어})(aₙ/bₙ^영어)
여기서 aₙ^영어과 bₙ^영어은 홀수인 정수이다.

Wolstenholme's theorem에 따르면, 모든 소수 p ≥ 5^영어에 대해 Hₚ₋₁^영어의 분자는 p²^영어으로 나누어진다. 또한, 아이젠슈타인(Eisenstein)은 모든 홀수 소수 p^영어에 대해 다음이 성립함을 증명했다.
:H(ₚ₋₁)/₂ ≡ -2qₚ(2) (mod p)^영어
여기서 qₚ(2) = (2^p-1 -1)/p^영어는 Fermat quotient이며, p^영어가 H(ₚ₋₁)/₂^영어의 분자를 나누는 것은 p^영어가 Wieferich 소수일 때와 필요충분 조건이다.

1991년, 에스와라타산(Eswarathasan)과 레빈(Levine)은 Jₚ^영어를 Hₙ^영어의 분자가 소수 p^영어로 나누어지는 모든 양의 정수 n^영어의 집합으로 정의했다. 그들은 모든 소수 p ≥ 5^영어에 대해 다음이 성립함을 증명했다.
:{p-1,p²-p,p²-1}⊆Jₚ^영어
또한, Jₚ^영어가 정확히 3개의 원소를 가지는 소수 p^영어를 조화 소수로 정의했다.

에스와라타산과 레빈은 모든 소수 p^영어에 대해 Jₚ^영어가 유한 집합이며, 조화 소수가 무한히 많다는 것을 추측했다. 보이드(Boyd)는 83, 127, 397을 제외하고 p = 547^영어까지 모든 소수에 대해 Jₚ^영어가 유한함을 확인했고, 모든 소수 집합에서 조화 소수의 밀도가 1/e^영어가 되어야 한다는 휴리스틱을 제시했다. 산나(Sanna)는 Jₚ^영어가 점근 밀도가 0임을 보였고, 삥-링 우(Bing-Ling Wu)와 용-가오 첸(Yong-Gao Chen)은 x^영어를 넘지 않는 Jₚ^영어의 원소의 개수가 모든 x ≥ 1^영어에 대해 최대 3x^{⅔+1/25log p영어}임을 증명했다.

3.3. π 항등식

조화수와 π의 거듭제곱을 포함하는 몇 가지 무한 합은 다음과 같다:

:$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n\cdot 2^n} &= \frac{\pi^2}{12} \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{n^2} &= \frac{17}{360}\pi^4 \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} &= \frac{\pi^4}{72}
\end{align}

4. 조화수의 계산

오일러는 조화수를 적분으로 표현하는 방법을 제시했고, 이를 통해 조화수의 값을 계산할 수 있다. 조화수는 자연 로그와 오일러-마스케로니 상수를 이용하여 점근적으로 전개할 수 있다.

4.1. 적분 표현

오일러가 제시한 적분 표현은 다음과 같다.

$$H\_n\; =\; \backslash int\_0^1\; \backslash frac\{1\; -\; x^n\}\{1\; -\; x\}\backslash ,dx.$$

위의 등식은 간단한 대수적 항등식을 통해 쉽게 알 수 있다.

$$\backslash frac\{1-x^n\}\{1-x\}=1+x+\backslash cdots\; +x^\{n-1\}.$$

$x\; =\; 1\; -\; u$를 대입하면, $H\_n$의 또 다른 표현을 얻을 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$
H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx = \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\[6pt]
&= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n \binom nk (-u)^{k-1}\right]\,du
= \sum_{k=1}^n \binom nk \int_0^1 (-u)^{k-1}\,du \\[6pt]
&= \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^{k-1}}{k}.
\end{align}

4.2. 점근 전개

번째 조화수는 의 자연 로그(ln n)와 거의 같다. 그 이유는 조화수의 합이 다음 적분으로 근사되기 때문이다.
:$\backslash int\_1^n\; \backslash frac\{1\}\{x\}\backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\; n$

수열 은 단조 감소하며, 극한은 다음과 같다.
:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(H\_n\; -\; \backslash ln\; n\backslash right)\; =\; \backslash gamma$

여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 의 점근 전개는 다음과 같다.
:$\backslash begin\{align\}$
H_n &\sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}\\
&=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,
\end{align}
여기서 는 베르누이 수이다.

5. 생성 함수

조화수의 생성 함수는 다음과 같다.
$$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; z^n\; H\_n\; =\; \backslash frac\; \{-\backslash ln(1-z)\}\{1-z\}$$
여기서 ln(z)는 자연 로그이다. 지수 생성 함수는 다음과 같다.
$$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\; \{z^n\}\{n!\}\; H\_n\; =\; e^z\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^\{k-1\}\}\{k\}\; \backslash frac\; \{z^k\}\{k!\}\; =\; e^z\; \backslash operatorname\{Ein\}(z)$$
여기서 Ein(z)는 완전 지수 적분이다. 지수 적분은 다음과 같이 표현될 수도 있다.
$$\backslash operatorname\{Ein\}(z)\; =\; \backslash mathrm\{E\}\_1(z)\; +\; \backslash gamma\; +\; \backslash ln\; z\; =\; \backslash Gamma\; (0,z)\; +\; \backslash gamma\; +\; \backslash ln\; z$$
여기서 Γ(0, z)는 불완전 감마 함수이다.

6. 실수 및 복소수 값에 대한 조화수

조화수는 해석적 연속을 통해 음의 정수를 제외한 복소 평면으로 정의를 확장할 수 있으며, 디감마 함수와 밀접하게 관련되어 있다. 실제로 디감마 함수와 오일러-마스케로니 상수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$H\_x\; =\; \backslash psi(x+1)+\backslash gamma.$$

복소수 $x$에 대한 조화수의 무한 급수 표현은 다음과 같다.

:$$H\_x\; =\; x\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{k(x+k)\}.$$

이 급수는 음의 정수를 제외한 모든 복소수 $x$에 대해 수렴한다.

복소수 $n$에 대한 조화수의 점근적 공식은 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
H_n &\sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}\\
&=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,
\end{align}

여기서 $B\_k$는 베르누이 수이다.

조화수의 테일러 급수는 다음과 같다.

:

여기서 $\backslash zeta$는 리만 제타 함수이다.

7. 일반화

n번째 m차 일반화 조화수(generalized harmonic number^영어)는 다음과 같이 주어진다.

:$H\_\{n,m\}=\backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k^m\}$

n을 무한대로 보냈을 때 극한이 존재하는 것은 m > 1일 때뿐이다. 일반화 조화수를 나타내는 기호로는 다음이 사용되기도 한다.

:$H\_\{n,m\}=\; H\_n^\{(m)\}\; =\; H\_m(n).$

m = 1인 경우는 통상적인 조화수이며, 아래첨자 m을 생략하고 다음과 같이 표기한다.

:$H\_n=\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k\}$

n → ∞의 극한에서 일반화 조화수는 리만 제타 함수로 수렴한다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\; \backslash infty\}\; H\_\{n,m\}\; =\; \backslash zeta(m)$

일반화 조화수는 베르누이 수와 스털링 수를 조사할 때 나타난다. 일반화 조화수의 모함수는 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; z^n\; H\_\{n,m\}\; =$
\frac {\mbox{Li}_m(z)}{1-z}

여기서 Li_m(z)는 다중로그 함수이며, |z| < 1이다. 이 식에서 m = 1로 한 것은, 앞서 언급한 조화 수열의 모함수와 일치한다.

7.1. 일반화 조화수

m차 일반화 조화수는 다음과 같이 정의된다.

$$H\_\{n,m\}=\backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k^m\}.$$

(일부 자료에서는 이를 $H\_n^\{(m)\}$ 또는 $H\_m(n)$으로 표기하기도 한다.)

특수한 경우인 m = 0일 때 $H\_\{n,0\}=\; n$ 이다. m = 1일 때는 일반적인 조화수로 축약된다.

$$H\_\{n,\; 1\}\; =\; H\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k\}.$$

$n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$ 일 때 $H\_\{n,\; m\}$의 극한은 $m\; >\; 1$일 경우 유한하며, 일반화 조화수는 리만 제타 함수에 의해 제한되고 수렴한다.

$$\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; H\_\{n,m\}\; =\; \backslash zeta(m).$$

일반화 조화수의 생성 함수는 다음과 같다.

$$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; z^n\; H\_\{n,m\}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash operatorname\{Li\}\_m(z)\}\{1-z\},$$

여기서 $\backslash operatorname\{Li\}\_m(z)$는 폴리로그 함수이며 이다. $m\; =\; 1$에 대한 위의 생성 함수는 이 공식의 특수한 경우이다.

7.2. 초조화수 (Hyperharmonic numbers)

1995년 J. H. 콘웨이와 R. K. 가이가 저술한 책 The Book of Numbers에서 r차(r>0)의 n번째 고조화수는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

:$H\_n^\{(r)\}\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; H\_k^\{(r-1)\}$

:$H\_n^\{(0)\}\; =\; \backslash frac1n$

특히, $H\_n^\{(1)\}$은 일반적인 조화수 $H\_n$이다.

7.3. 로만 조화수 (Roman Harmonic numbers)

스티븐 로만(Steven Roman)의 이름을 따서 지어진 로만 조화수(Roman Harmonic numbers)는 다니엘 E. 롭(Daniel E. Loeb)과 잔-카를로 로타(Gian-Carlo Rota)에 의해 로그를 사용한 엄브랄 미적분의 일반화 맥락에서 도입되었다.

다양한 정의가 가능하지만, $n,k\; \backslash geq\; 0$에 대해 다음이 성립한다.

:$c\_n^\{(0)\}\; =\; 1,$

:$c\_n^\{(k+1)\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash frac\{c\_i^\{(k)\}\}\{i\}.$

따라서, $c\_n^\{(1)\}\; =\; H\_n$이다.

만약 $n\; \backslash neq\; 0$ 이면 다음을 만족한다.

:$c\_n^\{(k+1)\}\; -\; \backslash frac\{c\_n^\{(k)\}\}\{n\}\; =\; c\_\{n-1\}^\{(k+1)\}.$

닫힌 형태의 공식은 다음과 같다.

:$c\_n^\{(k)\}\; =\; n!\; (-1)^k\; s(-n,k),$

여기서 $s(-n,k)$는 음의 첫 번째 인수로 일반화된 제1종 스털링 수이며, 다음 공식도 성립한다.

:$c\_n^\{(k)\}\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash binom\{n\}\{j\}\; \backslash frac\{(-1)^\{j-1\}\}\{j^k\},$

이 공식은 도널드 커누스(Donald Knuth)가 발견했다.

이 숫자들은 로만 숫자와 음수 $n$을 포함하는 로만 계승을 사용하여 더 일반적인 방식으로 정의될 수 있다. 이러한 일반화는 조화 로그를 정의하기 위한 연구에 유용하다.

8. 응용

조화수는 디감마 함수digamma function^영어와 같은 여러 특수 함수 계산에 사용된다.

:$\backslash psi(n)\; =\; H\_\{n-1\}\; -\; \backslash gamma$

이 관계는 조화수를 정수가 아닌 n으로 확장하는 데 사용되기도 한다. 조화수는 극한을 사용하여 $\backslash gamma$를 정의하는 데에도 사용된다.

:$\backslash gamma\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\{\backslash left(H\_n\; -\; \backslash ln(n)\backslash right)\}$

하지만

:$\backslash gamma\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\{\backslash left(H\_n\; -\; \backslash ln\backslash left(n+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\backslash right)\}$

가 더 빠르게 수렴한다.

2002년, 제프리 라가리아스는 리만 가설이 다음 명제와 동치임을 증명했다.

:$\backslash sigma(n)\; \backslash le\; H\_n\; +\; (\backslash log\; H\_n)e^\{H\_n\}$

여기서 $\backslash sigma(n)$은 $n$의 약수의 합을 나타내며, $n\; >\; 1$이면 엄격한 부등호로, 모든 정수 $n\; \backslash ge\; 1$에 대해 참이다.